www.wikidata.de-de.nina.az

Polygonzug Mathematik Ein Polygonzug oder Streckenzug ist in der Mathematik die Vereinigung der Verbindungsstrecken eine

Polygonzug (Mathematik)

Ein Polygonzug oder Streckenzug ist in der Mathematik die Vereinigung der Verbindungsstrecken einer Folge von Punkten. Polygonzüge werden in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet, etwa in der Geometrie, der Numerik, der Topologie, der Analysis und der Funktionentheorie. Darüber hinaus kommen sie auch in einigen Anwendungsgebieten wie in der Computergrafik oder der Geodäsie zum Einsatz.

Ein offener Polygonzug
Ein geschlossener Polygonzug

Polygonzüge in der Geometrie Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sind Punkte in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum, dann heißt die Vereinigung der Strecken

Streckenzug oder Polygonzug von nach . Fallen und zusammen, spricht man von einem geschlossenen Polygonzug, ansonsten von einem offenen Polygonzug.

Bezug zu Polygonen Bearbeiten

Die geometrische Figur, deren Rand von einem geschlossenen Polygonzug gebildet wird, heißt Polygon, die Punkte heißen Eckpunkte des Polygons und die Strecken heißen Seiten des Polygons. Liegen die Punkte in einer Ebene, so nennt man diese Figur ein ebenes Polygon, andernfalls ein windschiefes Polygon.

Verwendung Bearbeiten

Polygonzüge besitzen vielfältige Einsatzmöglichkeiten, beispielsweise bei der Interpolation von Datenpunkten, bei der numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit dem eulerschen Polygonzugverfahren sowie bei der Modellierung in der Computergrafik und im Computer-Aided Design. Zur Anwendung von Polygonzügen im Vermessungswesen siehe Polygonzug (Geodäsie).

Polygonzüge in der Analysis Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei nun allgemein ein reeller Vektorraum und seien gegebene Elemente des Vektorraums, dann heißt die Vereinigung

der Strecken

Streckenzug oder Polygonzug von nach . Ist ein topologischer Vektorraum, dann sind diese Strecken stetige Bilder des Einheitsintervalls und damit kompakt, was dann auch für die aus ihnen gebildeten endlichen Vereinigungen gilt. Jeder Streckenzug ist stets auch Beispiel eines Kontinuums.

Rektifizierbarkeit Bearbeiten

Polygonzüge spielen eine wesentliche Rolle für die Längenmessung von Kurven im -dimensionalen Raum.

Eine Länge ist allein erklärt für rektifizierbare Kurven. Zum Nachweis der Rektifizierbarkeit betrachtet man für eine gegebene Kurve alle Polygonzüge von nach , durch deren Ecken die Kurve in dieser Reihenfolge verläuft, welche also so beschaffen sind, dass die Seiten des von den Ecken gebildeten Polygons zugleich Sehnen von darstellen. Ein derartiger Polygonzug wird auch als Sehnenzug oder als Sehnenpolygon bezeichnet und man sagt, ist einbeschrieben. Zur Feststellung der Rektifizierbarkeit von zwischen und werden die Längen aller einbeschriebenen Sehnenpolygone untersucht. Dabei versteht man unter der Länge eines Polygonzugs die Summe der Längen seiner Strecken.

Wenn für all diese Längen innerhalb eine obere Schranke existiert, dann ist eine rektifizierbare Kurve, und zwar nur dann. In diesem Falle wird die Länge als das Supremum aller Längen einbeschriebener Sehnenpolygone definiert (alles für den Kurvenabschnitt bis ). Für die Feststellung der Rektifizierbarkeit von Kurven gilt folgendes Kriterium:

Zusammenhang mit der Gebietseigenschaft Bearbeiten

Die Polygonzüge spielen ebenfalls eine Rolle für die Feststellung, wann im Raum ein Gebiet vorliegt und wann nicht. Hier gilt der folgende Satz:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Rudolf Bereis: Darstellende Geometrie I (= Mathematische Lehrbücher und Monographien. Band 11). Akademie-Verlag, Berlin 1964.
  • Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of Topology (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 39). Marcel Dekker, New York / Basel 1977, ISBN 0-8247-6331-9.
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Grundwissen Mathematik (Springer-Lehrbuch)). 6., korrigierte Auflage. Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
  • György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  • Michael Henle: A Combinatorial Introduction to Topology (= A Series of Books in Mathematical Sciences). W. H. Freeman and Company, San Francisco 1979, ISBN 0-7167-0083-2.
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2 (= Mathematische Leitfäden). 5., durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0.
  • Konrad Knopp: Funktionentheorie I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen (= Sammlung Göschen. Band 668). Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1965.
  • Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.
  • Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 2. Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1968.
  • Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 3. Band: Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1967.

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 22–23.
  2. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2 (= Mathematische Leitfäden). 5., durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 349 ff.
  3. Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 2. Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1968, S. 296 ff.
  4. Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of Topology (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 39). Marcel Dekker, New York / Basel 1977, ISBN 0-8247-6331-9, S. 63–64.
  5. Rudolf Bereis: Darstellende Geometrie I (= Mathematische Lehrbücher und Monographien. Band 11). Akademie-Verlag, Berlin 1964, S. 117 ff.
  6. György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig, S. 32 ff. (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  7. In der Regel wird der Grenzfall, dass nur aus einer einzigen Strecke oder gar nur aus einem einzigen Punkt besteht, ausgeschlossen. Polygonzüge bestehen also in der Regel aus mindestens zwei Strecken.
  8. Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 3. Band: Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1967, S. 306–307.
  9. Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 2. Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1968, S. 415 ff.
  10. Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 3. Band: Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1967, S. 224 ff.
  11. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Grundwissen Mathematik (Springer-Lehrbuch)). 6., korrigierte Auflage. Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 78, 308 ff.
  12. Konrad Knopp: Funktionentheorie I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen (= Sammlung Göschen. Band 668). Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1965, S. 22–23.
  13. Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 150.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Ein Polygonzug oder Streckenzug ist in der Mathematik die Vereinigung der Verbindungsstrecken einer Folge von Punkten Polygonzuge werden in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet etwa in der Geometrie der Numerik der Topologie der Analysis und der Funktionentheorie Daruber hinaus kommen sie auch in einigen Anwendungsgebieten wie in der Computergrafik oder der Geodasie zum Einsatz 1 2 3 4 5 6 Ein offener PolygonzugEin geschlossener Polygonzug Inhaltsverzeichnis 1 Polygonzuge in der Geometrie 1 1 Definition 1 2 Bezug zu Polygonen 1 3 Verwendung 2 Polygonzuge in der Analysis 2 1 Definition 2 2 Rektifizierbarkeit 2 3 Zusammenhang mit der Gebietseigenschaft 3 Siehe auch 4 Literatur 5 Einzelnachweise und AnmerkungenPolygonzuge in der Geometrie BearbeitenDefinition Bearbeiten Sind P 1 P 2 P m displaystyle P 1 P 2 dotsc P m nbsp Punkte in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum dann heisst die Vereinigung der Strecken P 1 P 2 P 2 P 3 P m 1 P m displaystyle P 1 P 2 cup P 2 P 3 cup cdots cup P m 1 P m nbsp Streckenzug oder Polygonzug von P 1 displaystyle P 1 nbsp nach P m displaystyle P m nbsp Fallen P 1 displaystyle P 1 nbsp und P m displaystyle P m nbsp zusammen spricht man von einem geschlossenen Polygonzug ansonsten von einem offenen Polygonzug 7 Bezug zu Polygonen Bearbeiten Die geometrische Figur deren Rand von einem geschlossenen Polygonzug gebildet wird heisst Polygon die Punkte P 1 P m 1 displaystyle P 1 ldots P m 1 nbsp heissen Eckpunkte des Polygons und die Strecken P 1 P 2 P m 1 P m displaystyle P 1 P 2 ldots P m 1 P m nbsp heissen Seiten des Polygons Liegen die Punkte in einer Ebene so nennt man diese Figur ein ebenes Polygon andernfalls ein windschiefes Polygon Verwendung Bearbeiten Polygonzuge besitzen vielfaltige Einsatzmoglichkeiten beispielsweise bei der Interpolation von Datenpunkten bei der numerischen Losung gewohnlicher Differentialgleichungen mit dem eulerschen Polygonzugverfahren sowie bei der Modellierung in der Computergrafik und im Computer Aided Design Zur Anwendung von Polygonzugen im Vermessungswesen siehe Polygonzug Geodasie Polygonzuge in der Analysis BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei nun allgemein V displaystyle V nbsp ein reeller Vektorraum und seien x 1 x 2 x m V displaystyle x 1 x 2 dotsc x m in V nbsp gegebene Elemente des Vektorraums dann heisst die Vereinigung P i 1 m 1 x i x i 1 displaystyle mathcal P bigcup i 1 m 1 x i x i 1 nbsp der Strecken x i x i 1 1 l x i l x i 1 l 0 1 displaystyle x i x i 1 1 lambda x i lambda x i 1 mid lambda in 0 1 nbsp Streckenzug oder Polygonzug von x 1 displaystyle x 1 nbsp nach x m displaystyle x m nbsp Ist V displaystyle V nbsp ein topologischer Vektorraum dann sind diese Strecken stetige Bilder des Einheitsintervalls und damit kompakt was dann auch fur die aus ihnen gebildeten endlichen Vereinigungen gilt Jeder Streckenzug ist stets auch Beispiel eines Kontinuums 8 Rektifizierbarkeit Bearbeiten Polygonzuge spielen eine wesentliche Rolle fur die Langenmessung von Kurven im n displaystyle n nbsp dimensionalen Raum 9 10 11 12 Eine Lange ist allein erklart fur rektifizierbare Kurven Zum Nachweis der Rektifizierbarkeit betrachtet man fur eine gegebene Kurve K displaystyle mathcal K nbsp alle Polygonzuge P displaystyle mathcal P nbsp von x 1 displaystyle x 1 nbsp nach x ende displaystyle x text ende nbsp durch deren Ecken x 1 x 2 x m x ende displaystyle x 1 x 2 dotsc x m x text ende nbsp die Kurve in dieser Reihenfolge verlauft welche also so beschaffen sind dass die Seiten des von den Ecken gebildeten Polygons zugleich Sehnen von K displaystyle mathcal K nbsp darstellen Ein derartiger Polygonzug wird auch als Sehnenzug oder als Sehnenpolygon bezeichnet und man sagt P displaystyle mathcal P nbsp ist K displaystyle mathcal K nbsp einbeschrieben Zur Feststellung der Rektifizierbarkeit von K displaystyle mathcal K nbsp zwischen x 1 displaystyle x 1 nbsp und x ende displaystyle x text ende nbsp werden die Langen aller einbeschriebenen Sehnenpolygone untersucht Dabei versteht man unter der Lange eines Polygonzugs die Summe der Langen seiner Strecken Wenn fur all diese Langen innerhalb R displaystyle mathbb R nbsp eine obere Schranke existiert dann ist K displaystyle mathcal K nbsp eine rektifizierbare Kurve und zwar nur dann In diesem Falle wird die Lange L K displaystyle L mathcal K nbsp als das Supremum aller Langen einbeschriebener Sehnenpolygone definiert alles fur den Kurvenabschnitt x 1 displaystyle x 1 nbsp bis x ende displaystyle x text ende nbsp Fur die Feststellung der Rektifizierbarkeit von Kurven gilt folgendes Kriterium Eine Kurve im R n displaystyle mathbb R n nbsp mit der stetigen Parametrisierung g g 1 g n I R n displaystyle gamma gamma 1 dots gamma n colon I to mathbb R n nbsp I a b R displaystyle I a b subset mathbb R nbsp ist genau dann rektifizierbar wenn die Koordinatenfunktionen g 1 g n displaystyle gamma 1 dots gamma n nbsp von beschrankter Variation sind Zusammenhang mit der Gebietseigenschaft Bearbeiten Die Polygonzuge spielen ebenfalls eine Rolle fur die Feststellung wann im Raum ein Gebiet vorliegt und wann nicht Hier gilt der folgende Satz Eine offene Teilmenge G displaystyle G nbsp eines topologischen Vektorraums und insbesondere des n displaystyle n nbsp dimensionalen Raums ist genau dann zusammenhangend wenn sich je zwei Punkte von G displaystyle G nbsp durch einen ganz in G displaystyle G nbsp liegenden Polygonzug verbinden lassen 13 Siehe auch BearbeitenPolyeder Simplex Weg Mathematik Literatur BearbeitenRudolf Bereis Darstellende Geometrie I Mathematische Lehrbucher und Monographien Band 11 Akademie Verlag Berlin 1964 Charles O Christenson William L Voxman Aspects of Topology Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics Band 39 Marcel Dekker New York Basel 1977 ISBN 0 8247 6331 9 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie Grundwissen Mathematik Springer Lehrbuch 6 korrigierte Auflage Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie B G Teubner Verlag Leipzig ungarisch Bevezetes A Geometriaba Ubersetzt von G Eisenreich Leipzig auch Redaktion Michael Henle A Combinatorial Introduction to Topology A Series of Books in Mathematical Sciences W H Freeman and Company San Francisco 1979 ISBN 0 7167 0083 2 Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 2 Mathematische Leitfaden 5 durchgesehene Auflage Teubner Verlag Wiesbaden 1990 ISBN 3 519 42222 0 Konrad Knopp Funktionentheorie I Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen Sammlung Goschen Band 668 Walter de Gruyter Verlag Berlin 1965 Willi Rinow Lehrbuch der Topologie Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1975 Hans von Mangoldt Konrad Knopp Einfuhrung in die hohere Mathematik 13 Auflage 2 Band Differentialrechnung unendliche Reihen Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie S Hirzel Verlag Stuttgart 1968 Hans von Mangoldt Konrad Knopp Einfuhrung in die hohere Mathematik 13 Auflage 3 Band Integralrechnung und ihre Anwendungen Funktionentheorie Differentialgleichungen S Hirzel Verlag Stuttgart 1967 Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Willi Rinow Lehrbuch der Topologie Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1975 S 22 23 Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 2 Mathematische Leitfaden 5 durchgesehene Auflage Teubner Verlag Wiesbaden 1990 ISBN 3 519 42222 0 S 349 ff Hans von Mangoldt Konrad Knopp Einfuhrung in die hohere Mathematik 13 Auflage 2 Band Differentialrechnung unendliche Reihen Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie S Hirzel Verlag Stuttgart 1968 S 296 ff Charles O Christenson William L Voxman Aspects of Topology Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics Band 39 Marcel Dekker New York Basel 1977 ISBN 0 8247 6331 9 S 63 64 Rudolf Bereis Darstellende Geometrie I Mathematische Lehrbucher und Monographien Band 11 Akademie Verlag Berlin 1964 S 117 ff Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie B G Teubner Verlag Leipzig S 32 ff ungarisch Bevezetes A Geometriaba Ubersetzt von G Eisenreich Leipzig auch Redaktion In der Regel wird der Grenzfall dass P displaystyle mathcal P nbsp nur aus einer einzigen Strecke oder gar nur aus einem einzigen Punkt besteht ausgeschlossen Polygonzuge bestehen also in der Regel aus mindestens zwei Strecken Hans von Mangoldt Konrad Knopp Einfuhrung in die hohere Mathematik 13 Auflage 3 Band Integralrechnung und ihre Anwendungen Funktionentheorie Differentialgleichungen S Hirzel Verlag Stuttgart 1967 S 306 307 Hans von Mangoldt Konrad Knopp Einfuhrung in die hohere Mathematik 13 Auflage 2 Band Differentialrechnung unendliche Reihen Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie S Hirzel Verlag Stuttgart 1968 S 415 ff Hans von Mangoldt Konrad Knopp Einfuhrung in die hohere Mathematik 13 Auflage 3 Band Integralrechnung und ihre Anwendungen Funktionentheorie Differentialgleichungen S Hirzel Verlag Stuttgart 1967 S 224 ff Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie Grundwissen Mathematik Springer Lehrbuch 6 korrigierte Auflage Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 S 78 308 ff Konrad Knopp Funktionentheorie I Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen Sammlung Goschen Band 668 Walter de Gruyter Verlag Berlin 1965 S 22 23 Willi Rinow Lehrbuch der Topologie Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1975 S 150 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polygonzug Mathematik amp oldid 195021757