In der ebenen und spharischen Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenuberliegenden Seiten her Inhaltsverzeichnis 1 Sinussatz fur ebene Dreiecke 1 1 Beweis 1 2 Zusammenhang mit dem Umkreis 1 3 Anwendungsbeispiel 2 Sinussatz fur Kugeldreiecke 2 1 Beweis 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksSinussatz fur ebene Dreiecke Bearbeiten nbsp SinussatzSind a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp die Seiten eines Dreiecks mit dem Flacheninhalt A displaystyle A nbsp den Winkeln a displaystyle alpha nbsp b displaystyle beta nbsp und g displaystyle gamma nbsp die der zugehorigen Seite gegenuber liegen und dem Radius R displaystyle R nbsp des Umkreises dann gilt mit der Sinusfunktion a sin a b sin b c sin g a b c 2 A 2 R displaystyle frac a sin alpha frac b sin beta frac c sin gamma frac a cdot b cdot c 2 cdot A 2 cdot R nbsp Wenn mit Hilfe des Sinussatzes Winkel im Dreieck errechnet werden sollen muss darauf geachtet werden dass es im Intervall 0 180 im Allgemeinen zwei verschiedene Winkel mit demselben Sinuswert gibt Diese Zweideutigkeit entspricht der des Kongruenzsatzes SSW Zum Zusammenhang mit den Kongruenzsatzen und zur Systematik der Dreiecksberechnung siehe den Artikel zum Kosinussatz In der spharischen Trigonometrie gibt es einen entsprechenden Satz der ebenfalls als Sinussatz bezeichnet wird Beweis Bearbeiten nbsp Dreieck mit Hohe h c displaystyle h c nbsp Die eingezeichnete Hohe h c displaystyle h c nbsp zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke in denen man den Sinus von a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp jeweils als Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrucken kann sin a h c b displaystyle sin alpha frac h c b nbsp sin b h c a displaystyle sin beta frac h c a nbsp Auflosen nach h c displaystyle h c nbsp ergibt h c b sin a displaystyle h c b cdot sin alpha nbsp h c a sin b displaystyle h c a cdot sin beta nbsp Durch Gleichsetzen erhalt man demnach a sin b b sin a displaystyle a cdot sin beta b cdot sin alpha nbsp Dividiert man nun durch sin a sin b displaystyle sin alpha cdot sin beta nbsp so erhalt man den ersten Teil der Behauptung a sin a b sin b displaystyle frac a sin alpha frac b sin beta nbsp Die Gleichheit mit c sin g displaystyle tfrac c sin gamma nbsp ergibt sich entsprechend durch Benutzung der Hohe h a displaystyle h a nbsp oder h b displaystyle h b nbsp Um auch noch die Ubereinstimmung mit 2 R displaystyle 2R nbsp zu zeigen die streng genommen nicht zum Sinussatz gehort benotigt man den bekannten Satz uber Peripheriewinkel Umfangswinkel oder den Kosinussatz zusammen mit dem Peripherie Zentriwinkelsatz Beweis siehe auch Wikibooks Beweisarchiv Zusammenhang mit dem Umkreis Bearbeiten nbsp Auf dem Umkreis des Dreiecks ABC soll D der Punkt sein der zusammen mit dem Punkt A einen Durchmesser bildet sodass die Verbindung von A und D durch den Mittelpunkt des Umkreises verlauft siehe Abbildung Dann ist ABD nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt sin d c 2 R displaystyle sin delta frac c 2 cdot R nbsp Nach dem Umfangswinkelsatz sind die Umfangswinkel g displaystyle gamma nbsp und d displaystyle delta nbsp uber der Seite c displaystyle c nbsp gleich gross also gilt sin d sin g c 2 R displaystyle sin delta sin gamma frac c 2 cdot R nbsp c sin g 2 R displaystyle frac c sin gamma 2 cdot R nbsp Entsprechend gilt auch a sin a 2 R displaystyle frac a sin alpha 2 cdot R nbsp und b sin b 2 R displaystyle frac b sin beta 2 cdot R nbsp also insgesamt a sin a b sin b c sin g 2 R displaystyle frac a sin alpha frac b sin beta frac c sin gamma 2 cdot R nbsp Anwendungsbeispiel Bearbeiten Die folgenden Zahlenwerte sind grobe Naherungen In einem Dreieck ABC sind folgende Seiten und Winkelgrossen bekannt Bezeichnungen wie ublich a 5 4 c m b 3 8 c m a 73 displaystyle a 5 4 mathrm cm b 3 8 mathrm cm alpha 73 circ nbsp Gesucht sind die Grossen der restlichen Seiten und Winkel Als erstes verwendet man den Sinussatz zur Berechnung von b displaystyle beta nbsp Danach gilt a sin a b sin b displaystyle frac a sin alpha frac b sin beta nbsp was sich umformen lasst zu sin b b sin a a 3 8 c m sin 73 5 4 c m 0 67 displaystyle sin beta frac b cdot sin alpha a frac 3 8 mathrm cm cdot sin 73 circ 5 4 mathrm cm approx 0 67 nbsp woraus sich mit Hilfe des Arkussinus der Umkehrfunktion des Sinus b arcsin 0 67 42 displaystyle beta approx arcsin 0 67 approx 42 circ nbsp errechnen lasst Eigentlich gibt es noch einen zweiten Winkel mit demselben Sinuswert namlich b 180 b 138 displaystyle beta 180 circ beta approx 138 circ nbsp Dieser kommt als Losung aber nicht in Betracht da sonst die Winkelsumme des Dreiecks die vorgeschriebenen 180 displaystyle 180 circ nbsp uberschreiten wurde g displaystyle gamma nbsp erhalt man nun mit Hilfe der Winkelsumme g 180 a b 180 73 42 65 displaystyle gamma 180 circ alpha beta approx 180 circ 73 circ 42 circ 65 circ nbsp Die Seitenlange c displaystyle c nbsp soll wieder mit dem Sinussatz ermittelt werden Auch der Kosinussatz ware hier moglich Es gilt a sin a c sin g displaystyle frac a sin alpha frac c sin gamma nbsp Durch Umformung gelangt man so zum Ergebnis c a sin g sin a 5 4 c m sin 65 sin 73 5 1 c m displaystyle c frac a cdot sin gamma sin alpha approx frac 5 4 mathrm cm cdot sin 65 circ sin 73 circ approx 5 1 mathrm cm nbsp Sinussatz fur Kugeldreiecke BearbeitenFur Kugeldreiecke gelten die Gleichungen sin a sin a sin b sin b sin g sin c displaystyle frac sin alpha sin a frac sin beta sin b frac sin gamma sin c nbsp Dabei sind a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp die Seiten Kreisbogen des Kugeldreiecks und a displaystyle alpha nbsp b displaystyle beta nbsp und g displaystyle gamma nbsp die gegenuberliegenden Winkel auf der Kugeloberflache Beweis Bearbeiten nbsp Der Radius der Einheitskugel ist gegeben durch O A O B O C 1 displaystyle OA OB OC 1 nbsp Der Punkt D displaystyle D nbsp liegt auf dem Radius O B displaystyle OB nbsp und der Punkt E displaystyle E nbsp liegt auf dem Radius O C displaystyle OC nbsp sodass A D O A E O 90 displaystyle angle ADO angle AEO 90 circ nbsp Der Punkt A displaystyle A nbsp liegt auf der Ebene O B C displaystyle OBC nbsp sodass A D O A E O 90 displaystyle angle A DO angle A EO 90 circ nbsp gilt Daraus folgt A D A b displaystyle angle ADA beta nbsp und A E A g displaystyle angle AEA gamma nbsp Weil A displaystyle A nbsp die senkrechte Projektion von A displaystyle A nbsp auf die Ebene O B C displaystyle OBC nbsp ist gilt A A D A A E 90 displaystyle angle AA D angle AA E 90 circ nbsp Nach Definition des Sinus gilt sin c A D O A A D displaystyle sin c frac AD OA AD nbsp sin b A E O A A E displaystyle sin b frac AE OA AE nbsp Ausserdem ist A A A D sin b A E sin g displaystyle AA AD cdot sin beta AE cdot sin gamma nbsp Einsetzen ergibt sin c sin b sin b sin g displaystyle sin c cdot sin beta sin b cdot sin gamma nbsp Entsprechend erhalt man sin b sin a sin a sin b displaystyle sin b cdot sin alpha sin a cdot sin beta nbsp also insgesamt sin a sin a sin b sin b sin g sin c displaystyle frac sin alpha sin a frac sin beta sin b frac sin gamma sin c nbsp Siehe auch BearbeitenKosinussatz Tangenssatz Geometrie auf der Kugeloberflache Formelsammlung TrigonometrieLiteratur BearbeitenManfred Leppig Hrsg Lernstufen Mathematik 1 Auflage 4 Druck Girardet Essen 1981 ISBN 3 7736 2005 5 S 189 190 H S M Coxeter S L Greitzer Geometry Revisited Washington DC Math Assoc Amer S 1 3 Online Kopie Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Beweisarchiv Geometrie Trigonometrie Trignometriesatze Sinussatz Lern und Lehrmaterialien nbsp Commons Sinussatz Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Sinussatz Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen http www arndt bruenner de mathe 10 sinussatz htm Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sinussatz amp oldid 238972227
