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Winkelsumme Mit der Innen einer ebenen geometrischen Figur ist meistens die Summe aller Innenwinkel der Figur gemeint Be

Winkelsumme

Mit der (Innen-)Winkelsumme einer ebenen geometrischen Figur ist meistens die Summe aller Innenwinkel der Figur gemeint.

Beispiele und deren Winkelsummen

Winkelsumme in der euklidischen Geometrie Bearbeiten

Für ein nicht-überschlagendes Polygon in der euklidischen Ebene ist seine Winkelsumme durch die Formel

gegeben, wobei für die Zahl der Ecken des Polygons steht.

Beispiele Bearbeiten

Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für Drei-, Vier- und Fünfecke:

  • für Dreiecke ():
  • für Vierecke ():
  • für Fünfecke ():
Winkel im Fünfstern

Für nicht notwendig regelmäßige Fünfsterne gilt:

  • Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°.
Das Viereck hat die Innenwinkelsumme:
Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung:
und sind Nebenwinkelpaare mit:
Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung:

Herleitung der Formel Bearbeiten

Dreiecke Bearbeiten

Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:
Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, da es sich um Stufenwinkel an Parallelen handelt, die beiden roten weil sie Wechselwinkel an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt:

Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den Axiomen der euklidischen Geometrie (siehe Grafik). Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den Elementen des Euklid überliefert, der Mathematikhistoriker Thomas Heath hält es aber für möglich, dass sie bereits Thales von Milet bekannt war, wie es auch Moritz Cantor annahm.

Allgemein Bearbeiten

Man kann ein konvexes -Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von haben. Allerdings muss man hiervon noch den Vollwinkel um diesen Punkt abziehen, also

Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus Diagonalen ausgehen, die das Polygon in Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also ist. Damit ist die Formel gezeigt.

Für ein nicht-konvexes Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht.

Für ein nicht-überschlagenes n-Eck (einfaches Polygon) ist es aber dennoch immer möglich, es so in n-2 Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht. Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus n-2 Dreiecken. Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel.

Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie Bearbeiten

In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver Krümmung, beispielsweise auf der Oberfläche einer Kugel, beträgt die Winkelsumme stets mehr als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom Äquator, vom Nullmeridian und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°.

In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer Krümmung, zum Beispiel auf einer Sattelfläche, beträgt die Winkelsumme stets weniger als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen.

Literatur Bearbeiten

  • Roselyn Berman, Martin Berman: Concave Polygons. In: The Mathematics Teacher, Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 (JSTOR)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.
  2. Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf (Memento vom 24. Juni 2013 im Internet Archive).
  3. A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134
  4. https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)
  5. Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. 132
  6. Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition, Heausg. Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.
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Veröffentlichungsdatum:
Mit der Innen Winkelsumme einer ebenen geometrischen Figur ist meistens die Summe aller Innenwinkel der Figur gemeint Beispiele und deren Winkelsummen Inhaltsverzeichnis 1 Winkelsumme in der euklidischen Geometrie 1 1 Beispiele 1 2 Herleitung der Formel 1 2 1 Dreiecke 1 2 2 Allgemein 2 Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseWinkelsumme in der euklidischen Geometrie BearbeitenFur ein nicht uberschlagendes Polygon in der euklidischen Ebene ist seine Winkelsumme durch die Formel n 180 360 n 2 180 displaystyle n cdot 180 circ 360 circ n 2 cdot 180 circ nbsp gegeben wobei n displaystyle n nbsp fur die Zahl der Ecken des Polygons steht Beispiele Bearbeiten Aus der Formel ergeben sich fur die Werte der Winkelsummen fur Drei Vier und Funfecke fur Dreiecke n 3 displaystyle n 3 nbsp n 2 180 3 2 180 180 displaystyle n 2 cdot 180 circ 3 2 cdot 180 circ 180 circ nbsp fur Vierecke n 4 displaystyle n 4 nbsp n 2 180 4 2 180 360 displaystyle n 2 cdot 180 circ 4 2 cdot 180 circ 360 circ nbsp fur Funfecke n 5 displaystyle n 5 nbsp n 2 180 5 2 180 540 displaystyle n 2 cdot 180 circ 5 2 cdot 180 circ 540 circ nbsp nbsp Winkel im FunfsternFur nicht notwendig regelmassige Funfsterne gilt Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Funfsterns betragt 180 Geometrischer Beweis Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe wendet jeweils die Satze uber Winkel an parallelen Geraden an und setzt die funf Winkel zu einem gestreckten Winkel der Weite 180 wie abgebildet zusammen 1 Algebraischer Beweis Das Dreieck B D F displaystyle BDF nbsp hat die Innenwinkelsumme ϵ b ϕ 2 180 displaystyle epsilon beta phi 2 180 circ nbsp 1 dd Das Viereck A C D E displaystyle ACDE nbsp hat die Innenwinkelsumme a g ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 d 360 displaystyle alpha gamma phi 1 phi 2 phi 3 delta 360 circ nbsp 2 dd Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen 1 und 2 erhalt man die Gleichung ϵ b ϕ 2 a g ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 d 180 360 displaystyle epsilon beta phi 2 alpha gamma phi 1 phi 2 phi 3 delta 180 circ 360 circ nbsp 3 dd ϕ 1 ϕ 2 displaystyle phi 1 phi 2 nbsp und ϕ 2 ϕ 3 displaystyle phi 2 phi 3 nbsp sind Nebenwinkelpaare mit ϕ 1 ϕ 2 ϕ 2 ϕ 3 360 displaystyle phi 1 phi 2 phi 2 phi 3 360 circ nbsp 4 dd Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung 4 von der Gleichung 3 erhalt man die Gleichung ϵ b a g d 180 displaystyle epsilon beta alpha gamma delta 180 circ nbsp dd Herleitung der Formel Bearbeiten Dreiecke Bearbeiten nbsp Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck Die beiden blauen Winkel sind gleich gross da es sich um Stufenwinkel an Parallelen handelt die beiden roten weil sie Wechselwinkel an Parallelen sind Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt a b g 180 displaystyle alpha beta gamma 180 circ nbsp Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180 ist folgt aus den Axiomen der euklidischen Geometrie siehe Grafik 2 Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den Elementen des Euklid uberliefert der Mathematikhistoriker Thomas Heath halt es aber fur moglich dass sie bereits Thales von Milet bekannt war wie es auch Moritz Cantor annahm 3 Allgemein Bearbeiten Man kann ein konvexes n displaystyle n nbsp Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in n displaystyle n nbsp Teildreiecke teilen die dann insgesamt eine Winkelsumme von n 180 displaystyle n cdot 180 circ nbsp haben Allerdings muss man hiervon noch den Vollwinkel um diesen Punkt abziehen also n 180 360 n 180 2 180 n 2 180 displaystyle n cdot 180 circ 360 circ n cdot 180 circ 2 cdot 180 circ mathbf n 2 cdot 180 circ nbsp Alternativ kann man sagen dass von einer Ecke aus n 3 displaystyle n 3 nbsp Diagonalen ausgehen die das Polygon in n 2 displaystyle n 2 nbsp Teildreiecke teilen deren Winkelsumme also n 2 180 displaystyle n 2 cdot 180 circ nbsp ist Damit ist die Formel gezeigt 4 Fur ein nicht konvexes Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht Fur ein nicht uberschlagenes n Eck einfaches Polygon ist es aber dennoch immer moglich es so in n 2 Dreiecke aufzuteilen dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht 5 Denn jedes nicht uberschlagene n Eck lasst sich in Dreiecke zerlegen siehe erstes Bild Solch eine Zerlegung besteht immer aus n 2 Dreiecken 6 Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen Summiert man alle Innenwinkel auf tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf Also gilt auch hier die obige Formel Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie BearbeitenIn einer nichteuklidischen Ebene mit positiver Krummung beispielsweise auf der Oberflache einer Kugel betragt die Winkelsumme stets mehr als die angegebenen Werte Je grosser das Polygon desto grosser ist im Allgemeinen die Abweichung Beispiel Auf der Erde hat das Dreieck das vom Aquator vom Nullmeridian und vom 90 Langengrad gebildet wird die Winkelsumme 270 In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer Krummung zum Beispiel auf einer Sattelflache betragt die Winkelsumme stets weniger als die angegebenen Werte Sie kann sogar Werte annehmen die beliebig nahe bei 0 liegen Literatur BearbeitenRoselyn Berman Martin Berman Concave Polygons In The Mathematics Teacher Band 56 Nr 6 1963 S 403 406 JSTOR Weblinks BearbeitenSum of interior angles of a polygon Video der Khan Academy Video Englisch mit deutschen Untertiteln 9 10 Min Geometrie Quiz Die Winkelsumme eines 100 Ecks Spiegel Online 10 April 2008 Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck In GeoGebra Abgerufen am 23 Juli 2022 Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Zeuge Nutzliche und schone Geometrie Eine etwas andere Einfuhrung in die Euklidische Geometrie Zweite korrigierte und erganzte Auflage Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2021 ISBN 978 3 662 63830 9 S 13 Ubersetzung des Beweises aus Euklids Elemente I 32 auf I 31 Memento vom 24 Juni 2013 im Internet Archive A History of Greek Mathematics Volume 1 From Thales to Euclid Clarendon Press Oxford 1921 Nachdruck Dover 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