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Catalan Zahl Die en oder catalanschen Zahlen bilden eine Folge natürlicher Zahlen die in vielen Problemen der Kombinator

Catalan-Zahl

Die Catalan-Zahlen oder catalanschen Zahlen bilden eine Folge natürlicher Zahlen, die in vielen Problemen der Kombinatorik auftritt und eine ähnlich wichtige Rolle wie die Binomialkoeffizienten oder die Fibonacci-Zahlen spielt. Sie sind nach dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan benannt.

Die Catalan-Zahlen zählen beispielsweise die nicht überkreuzenden Partitionen einer Menge mit Elementen, hier (oben), wobei sämtliche Partitionen von den Bellsche Zahlen angegeben werden, hier

Die Folge der Catalan-Zahlen beginnt mit

Die Catalan-Zahlen sind für gegeben durch

wobei der mittlere Binomialkoeffizient ist. Mit erhält man, dass die Formel äquivalent zu

ist und somit tatsächlich nur ganze Zahlen liefert.

Historisches Bearbeiten

Als Erster fand der Chinese Minggatu Catalan-Zahlen in seiner Arbeit zu unendlichen Reihen für trigonometrische Funktionen (1730er Jahre als Manuskript zirkulierend, aber erst 1839 als Buch veröffentlicht).

Die Zahlen dieser Folge wurden bereits 1751 von Leonhard Euler in einem Brief an Christian Goldbach beschrieben. Johann Andreas von Segner fand 1758 eine Rekursionsformel, zu der Euler in der Zusammenfassung zu Segners Artikel die Lösung angab. Eine von Johann Friedrich Pfaff gestellte allgemeinere Abzählungsaufgabe löste 1795 Nikolaus Fuss. In den Jahren 1838 und 1839 griffen Gabriel Lamé, Olinde Rodrigues, Jacques Binet und Eugène Catalan die Fragestellung erneut auf. Eugen Netto führte in seinem 1901 veröffentlichten Lehrbuch der Combinatorik die Zahlen auf Catalan zurück.

Eigenschaften Bearbeiten

Euler suchte die Anzahl der Möglichkeiten, ein konvexes -Eck durch Diagonalen in Dreiecke zu zerteilen (Triangulation). Diese Anzahl ist . Zum Beispiel gibt es für ein Fünfeck fünf mögliche Triangulationen:

Euler gab in seinem Brief an Goldbach 1751 (siehe Historisches) die explizite Formel

(*)

und die Formel

für die erzeugende Funktion an, insbesondere

auch als Beschreibung des Wachstumsverhaltens.

Mit der Gammafunktion gilt:

Direkt aus der Formel (*) folgt

Es gilt außerdem die Rekursionsformel (Segner 1758)

zum Beispiel ist .

Eine weitere Rekursionsformel ist

sowie mit den Motzkin-Zahlen M (Folge A001006 in OEIS)

Da alle Primfaktoren von , siehe Formel (*), kleiner als sind und für gilt, sind und als einzige Catalan-Zahlen auch Primzahlen. Die Formel zeigt auch, dass durch jede Primzahl zwischen und genau einmal teilbar ist und genau dann ungerade ist, wenn eine Potenz von 2 ist.

Aus dem Satz von Wolstenholme folgt die Kongruenz

für jede Primzahl , für Wolstenholme-Primzahlen gilt die Kongruenz , für die Primzahlen 2 und 3 gilt sie .

Insbesondere ist und für jede Primzahl und ganze Zahl .

Durch Einsetzen der Stirling-Formel erhält man für das asymptotische Verhalten der Catalan-Zahlen

Die Summe der Kehrwerte konvergiert:

Zudem gilt (Folge A013709 in OEIS 2016):

Über die Cauchy-Produktformel mit dem Basler Problem ergibt sich daraus (Folge A281070 in OEIS 2017):

Interpretationen und Zusammenhänge Bearbeiten

Die Catalan-Zahlen treten bei zahlreichen Abzählungsaufgaben auf, die graphentheoretisch Abzählungen von Bäumen sind. So ist die Anzahl der

Ein explizites Beispiel für die Subtraktion ist
Daher ist . Das Hinzufügen redundanter Klammern um einen bereits in Klammern gesetzten Ausdruck oder um den vollständigen Ausdruck herum ist nicht zulässig. Es gibt einen Binärbaum mit 0 Knoten und jeder andere Binärbaum ist durch die Kombination aus seinem linken und seinem rechten Teilbaum gekennzeichnet. Wenn diese Teilbäume bzw. Knoten haben, hat der gesamte Baum Knoten. Daher hat die Anzahl von Binärbäumen mit Knoten die folgende rekursive Beschreibung und für jede positive ganze Zahl . Daraus folgt, dass die Catalan-Zahl mit Index ist. Diese ist beispielsweise ein Maß für die Anzahl der möglichen Berechnungsreihenfolgen bei der nichtkommutativen Matrix-Kettenmultiplikation, wo durch geschickt optimierte Klammerung der Rechenaufwand minimiert werden kann.
  • monotonen Pfade entlang der Ränder eines Quadratgitters mit quadratischen Zellen, die keinen Punkt oberhalb der Diagonale enthalten. Ein monotoner Pfad beginnt in der unteren linken Ecke, endet in der oberen rechten Ecke und besteht vollständig aus Kanten, die nach rechts oder oben zeigen. Die 14 monotonen Pfade für sind:
  • Möglichkeiten, eine Stufenform der Breite und Höhe mit Rechtecken zu kacheln. Die 14 Möglichkeiten für sind:
  • möglichen Verläufe der Auszählung bei einer Wahl, bei denen Kandidat A nach jeder gezählten Stimme nie hinter Kandidat B liegt, wenn beide Kandidaten je Stimmen erhalten und die Stimmzettel nacheinander aus der Urne geholt und gezählt werden. Beispielsweise für wären die möglichen Ziehungsfolgen, die die Voraussetzung erfüllen, ABAB und AABB.
  • Möglichkeiten, wie sich Personen, die an einem runden Tisch sitzen, paarweise über den Tisch die Hand geben, ohne dass sich Arme überkreuzen.

Literatur Bearbeiten

  • Peter J. Hilton, Jean Pedersen: Catalan-Zahlen und Wege in einem ganzzahligen Gitter. Elemente der Mathematik 48, 1993, doi:10.5169/seals-44624#51, S. 45 ff.
  • Jürgen Schmidthammer: Catalan-Zahlen. (PDF-Datei; 7,05 MB), Zulassungsarbeit zum Staatsexamen, Erlangen Februar 1996.
  • Thomas Koshy: Catalan Numbers with Applications. Oxford University Press, New York 2009, ISBN 978-0-19-533454-8.
  • Richard P. Stanley: Enumerative combinatorics. Band 2, Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-56069-1 (englisch; Stanleys Webseite zum Buch mit laufend aktualisierter Liste zu Interpretationen der Catalan-Zahlen: Information on Enumerative Combinatorics).

Weblinks Bearbeiten

Commons: Catalan-Zahlen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Brief (PDF-Datei; 137 kB) von Euler an Goldbach vom 4. September 1751, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 549–552.
  2. ↑ Ioh. Andr. de Segner: Enumeratio modorum quibus figurae planae rectilineae per diagonales dividuntur in triangula. Novi commentarii academiae scientiarum imperialis petropolitanae 7 pro annis 1758 et 1759, 1761, S. 203–210 (lateinisch).
  3. Leonhard Euler: Summarium dissertationum. Novi commentarii academiae scientiarum imperialis petropolitanae 7 pro annis 1758 et 1759, 1761, S. 13–15 (lateinisch).
  4. Nicolao Fuss: Solutio quaestionis, quot modis polygonum n laterum in polygona m laterum, per diagonales resolvi queat. Nova acta academiae scientiarum imperialis petropolitanae 9, 1795, S. 243–251 (lateinisch).
  5. Gabriel Lamé: Extrait d’une lettre de M. Lamé à M. Liouville sur cette question: Un polygone convexe étant donné, de combien de manières peut-on le partager en triangles au moyen de diagonales? Journal de mathématiques pures et appliquées 3, 1838, S. 505–507 (französisch).
  6. Olinde Rodrigues: Sur le nombre de manières de décomposer un polygone en triangles au moyen de diagonales und Sur le nombre de manières d’effectuer un produit de n facteurs. Journal de mathématiques pures et appliquées 3, 1838, S. 547–549 (französisch).
  7. J. Binet: Problèmes sur les polygones. Société philomathique de Paris – Séances de 1838 – Extraits des procès-verbaux, S. 127–129 (französisch).
  8. J. Binet: Réflexions sur le problème de déterminer le nombre de manières dont une figure rectiligne peut être partagée en triangles au moyen de ses diagonales. Journal de mathématiques pures et appliquées 4, 1839, S. 79–90 (französisch).
  9. ↑ E. Catalan: Note sur une équation aux différences finies. Journal de mathématiques pures et appliquées 3, 1838, S. 508–516, und 4, 1838, S. 95–99 (französisch).
  10. E. Catalan: Solution nouvelle de cette question: Un polygone étant donné, de combien de manières peut-on le partager en triangles au moyen de diagonales? Journal de mathématiques pures et appliquées 4, 1839, S. 91–94 (französisch).
  11. Eugen Netto: Lehrbuch der Combinatorik. B. G. Teubner, Leipzig 1901 (Zurückführung der Zahlen auf Catalan in § 122, S. 192–194 und § 124, S. 195).
  12. whole sum of the reciprocal Catalan numbers. Bei: juanmarqz.wordpress.com. 29. Juli 2009, abgerufen am 11. Januar 2021.
  13. ↑ Matej Crepinsek, Luka Mernik: An efficient representation for solving Catalan number related problems. (PDF; 253 kB). In: ijpam.eu. International Journal of Pure and Applied Mathematics, abgerufen am 11. Januar 2021.
  14. ↑ Doina Logofătu: Algorithmen und Problemlösungen mit C++. Kapitel 8 Catalan-Zahlen. Vieweg-Verlag, 1. Auflage 2006, ISBN 978-3-8348-0126-5, S. 189–206.
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Die Catalan Zahlen oder catalanschen Zahlen bilden eine Folge naturlicher Zahlen die in vielen Problemen der Kombinatorik auftritt und eine ahnlich wichtige Rolle wie die Binomialkoeffizienten oder die Fibonacci Zahlen spielt Sie sind nach dem belgischen Mathematiker Eugene Charles Catalan benannt Die Catalan Zahlen zahlen beispielsweise die nicht uberkreuzenden Partitionen einer Menge mit n displaystyle n Elementen hier C 5 42 displaystyle C 5 42 oben wobei samtliche Partitionen von den Bellsche Zahlen angegeben werden hier B 5 52 displaystyle B 5 52 Die Folge der Catalan Zahlen C 0 C 1 C 2 C 3 displaystyle C 0 C 1 C 2 C 3 dotsc beginnt mit 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 58786 208012 742900 Folge A000108 in OEIS Die Catalan Zahlen sind fur n 0 displaystyle n geq 0 gegeben durch C n 1 n 1 2 n n 2 n n 1 n displaystyle C n frac 1 n 1 binom 2n n frac 2n n 1 n wobei 2 n n displaystyle tbinom 2n n der mittlere Binomialkoeffizient ist Mit 2 n n 1 n n 1 2 n n displaystyle tbinom 2n n 1 tfrac n n 1 tbinom 2n n erhalt man dass die Formel aquivalent zu C n 2 n n 2 n n 1 displaystyle C n binom 2n n binom 2n n 1 ist und somit tatsachlich nur ganze Zahlen liefert Inhaltsverzeichnis 1 Historisches 2 Eigenschaften 3 Interpretationen und Zusammenhange 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseHistorisches BearbeitenAls Erster fand der Chinese Minggatu Catalan Zahlen in seiner Arbeit zu unendlichen Reihen fur trigonometrische Funktionen 1730er Jahre als Manuskript zirkulierend aber erst 1839 als Buch veroffentlicht Die Zahlen dieser Folge wurden bereits 1751 von Leonhard Euler in einem Brief an Christian Goldbach beschrieben 1 Johann Andreas von Segner fand 1758 eine Rekursionsformel 2 zu der Euler in der Zusammenfassung zu Segners Artikel die Losung angab 3 Eine von Johann Friedrich Pfaff gestellte allgemeinere Abzahlungsaufgabe loste 1795 Nikolaus Fuss 4 In den Jahren 1838 und 1839 griffen Gabriel Lame 5 Olinde Rodrigues 6 Jacques Binet 7 8 und Eugene Catalan 9 10 die Fragestellung erneut auf Eugen Netto fuhrte in seinem 1901 veroffentlichten Lehrbuch der Combinatorik die Zahlen auf Catalan zuruck 11 Eigenschaften BearbeitenEuler suchte die Anzahl der Moglichkeiten ein konvexes n displaystyle n nbsp Eck durch Diagonalen in Dreiecke zu zerteilen Triangulation Diese Anzahl ist C n 2 displaystyle C n 2 nbsp Zum Beispiel gibt es fur ein Funfeck funf mogliche Triangulationen nbsp Euler gab in seinem Brief an Goldbach 1751 siehe Historisches die explizite Formel C n 2 6 10 4 n 2 2 3 4 n 1 k 1 n 4 k 2 k 1 displaystyle C n frac 2 cdot 6 cdot 10 dotsb 4n 2 2 cdot 3 cdot 4 dotsb n 1 prod k 1 n frac 4k 2 k 1 nbsp und die Formel n 0 C n x n 1 1 4 x 2 x 2 1 1 4 x displaystyle sum n 0 infty C n x n frac 1 sqrt 1 4x 2x frac 2 1 sqrt 1 4x nbsp fur die erzeugende Funktion an insbesondere n 0 C n 4 n 2 displaystyle sum n 0 infty frac C n 4 n 2 nbsp auch als Beschreibung des Wachstumsverhaltens 1 Mit der Gammafunktion G displaystyle Gamma nbsp gilt C n 4 n G 1 2 n p G 2 n displaystyle C n frac 4 n Gamma left tfrac 1 2 n right sqrt pi Gamma left 2 n right nbsp Direkt aus der Formel folgt C n 1 4 n 2 n 2 C n displaystyle C n 1 frac 4n 2 n 2 C n nbsp Es gilt ausserdem die Rekursionsformel Segner 1758 2 C n 1 k 0 n C k C n k displaystyle C n 1 sum k 0 n C k C n k nbsp zum Beispiel ist C 3 C 0 C 2 C 1 C 1 C 2 C 0 displaystyle C 3 C 0 C 2 C 1 C 1 C 2 C 0 nbsp Eine weitere Rekursionsformel ist C n 1 k 0 n 2 n 2 k 2 n 2 k C k displaystyle C n 1 sum k 0 lfloor n 2 rfloor binom n 2k 2 n 2k C k nbsp sowie mit den Motzkin Zahlen M Folge A001006 in OEIS C n 1 k 0 n n k M k displaystyle C n 1 sum k 0 n binom n k M k nbsp Da alle Primfaktoren von C n 2 n 1 3 5 2 n 1 2 3 4 n 1 displaystyle textstyle C n 2 n frac 1 cdot 3 cdot 5 cdots 2n 1 2 cdot 3 cdot 4 cdots n 1 nbsp siehe Formel kleiner als 2 n displaystyle 2n nbsp sind und C n gt 2 n displaystyle C n gt 2n nbsp fur n gt 3 displaystyle n gt 3 nbsp gilt sind C 2 2 displaystyle C 2 2 nbsp und C 3 5 displaystyle C 3 5 nbsp als einzige Catalan Zahlen auch Primzahlen Die Formel zeigt auch dass C n displaystyle C n nbsp durch jede Primzahl zwischen n 1 displaystyle n 1 nbsp und 2 n displaystyle 2n nbsp genau einmal teilbar ist und genau dann ungerade ist wenn n 1 displaystyle n 1 nbsp eine Potenz von 2 ist Aus dem Satz von Wolstenholme folgt die Kongruenz p n 1 C p n n 1 C n mod p 3 displaystyle p n 1 C p n equiv n 1 C n pmod p 3 nbsp fur jede Primzahl p gt 3 displaystyle p gt 3 nbsp fur Wolstenholme Primzahlen gilt die Kongruenz mod p 4 displaystyle operatorname mod p 4 nbsp fur die Primzahlen 2 und 3 gilt sie mod p 2 displaystyle operatorname mod p 2 nbsp Insbesondere ist C p k n n 1 C n mod p displaystyle C p k n equiv n 1 C n pmod p nbsp und C p k 2 mod p displaystyle C p k equiv 2 pmod p nbsp fur jede Primzahl p displaystyle p nbsp und ganze Zahl k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp Durch Einsetzen der Stirling Formel erhalt man fur das asymptotische Verhalten der Catalan Zahlen C n 4 n n 1 p n displaystyle C n sim frac 4 n n 1 sqrt pi n nbsp Die Summe der Kehrwerte konvergiert 12 n 0 1 C n 2 4 3 p 27 displaystyle sum n 0 infty frac 1 C n 2 frac 4 sqrt 3 pi 27 nbsp Zudem gilt Folge A013709 in OEIS 2016 n 0 C n 2 2 n 1 2 n 1 1 p displaystyle sum n 0 infty left frac C n 2 2n 1 right 2 n 1 frac 1 pi nbsp sowie n 0 C n 2 2 n 1 2 4 n 3 1 displaystyle sum n 0 infty left frac C n 2 2n 1 right 2 4n 3 1 nbsp n 0 C n 2 2 n 2 n 1 4 p n 1 C n 2 2 n 1 2 displaystyle sum n 0 infty left frac C n 2 2n right 2 n 1 frac 4 pi sum n 1 infty left frac C n 2 2n 1 right 2 nbsp Wallis Lambert Reihe mit C 1 1 2 displaystyle C 1 frac 1 2 nbsp Uber die Cauchy Produktformel mit dem Basler Problem ergibt sich daraus Folge A281070 in OEIS 2017 n 0 k 0 n C k 2 2 k 1 2 k 1 n k 1 2 p 6 displaystyle sum n 0 infty sum k 0 n left frac C k 2 2k 1 right 2 frac k 1 n k 1 2 frac pi 6 nbsp Interpretationen und Zusammenhange BearbeitenDie Catalan Zahlen treten bei zahlreichen Abzahlungsaufgaben auf die graphentheoretisch Abzahlungen von Baumen sind So ist C n displaystyle C n nbsp die Anzahl der Binarbaume mit n displaystyle n nbsp Knoten Dies ist gleich der Anzahl der Klammerungen eines Produktes in dem n displaystyle n nbsp Multiplikationen vorkommen oder gleichbedeutend mit n 1 displaystyle n 1 nbsp Faktoren sodass immer nur die Multiplikation von zwei Faktoren durchzufuhren ist 9 Statt der Multiplikationen konnen es beliebige mathematische Operatoren fur eine zweistellige Verknupfung zum Beispiel Addition Subtraktion Multiplikation oder Division sein Die Reihenfolge der Zahlen oder Elemente zum Beispiel Matrizen ist festgelegt Die Operation muss weder assoziativ noch kommutativ sein Dabei entspricht jeder Knoten des Binarbaums einer zweistellige Verknupfung und fur jeden Knoten entspricht der linke Teilbaum dem linken Ausdruck und der rechte Teilbaum dem rechten Ausdruck der Verknupfung Zum Beispiel muss man fur n 3 displaystyle n 3 nbsp eine Zeichenfolge wie X X X X displaystyle X X X X nbsp in Klammern setzen was auf 5 verschiedene Arten moglich ist X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X displaystyle X X X X qquad X X X X qquad X X X X qquad X X X X qquad X X X X nbsp dd Ein explizites Beispiel fur die Subtraktion ist 10 6 3 1 10 6 3 1 10 6 3 1 10 6 3 1 10 6 3 1 displaystyle 10 6 3 1 qquad 10 6 3 1 qquad 10 6 3 1 qquad 10 6 3 1 qquad 10 6 3 1 nbsp dd Daher ist C 3 5 displaystyle C 3 5 nbsp Das Hinzufugen redundanter Klammern um einen bereits in Klammern gesetzten Ausdruck oder um den vollstandigen Ausdruck herum ist nicht zulassig Es gibt einen Binarbaum mit 0 Knoten und jeder andere Binarbaum ist durch die Kombination aus seinem linken und seinem rechten Teilbaum gekennzeichnet Wenn diese Teilbaume i displaystyle i nbsp bzw j displaystyle j nbsp Knoten haben hat der gesamte Baum i j 1 displaystyle i j 1 nbsp Knoten Daher hat die Anzahl C n displaystyle C n nbsp von Binarbaumen mit n displaystyle n nbsp Knoten die folgende rekursive Beschreibung C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp und C n i 0 n 1 C i C n 1 i displaystyle textstyle C n sum i 0 n 1 C i cdot C n 1 i nbsp fur jede positive ganze Zahl n displaystyle n nbsp Daraus folgt dass C n displaystyle C n nbsp die Catalan Zahl mit Index n displaystyle n nbsp ist Diese ist beispielsweise ein Mass fur die Anzahl der moglichen Berechnungsreihenfolgen bei der nichtkommutativen Matrix Kettenmultiplikation wo durch geschickt optimierte Klammerung der Rechenaufwand minimiert werden kann eindimensionalen Irrfahrten von 0 nach 2 n displaystyle 2n nbsp mit Anfangs und Endpunkt in 0 sodass sich der Pfad nie unterhalb der x displaystyle x nbsp Achse befindet sogenannte Dyck Pfade nach Walther von Dyck Zum Beispiel ist C 3 5 displaystyle C 3 5 nbsp denn alle moglichen Pfade sind nbsp monotonen Pfade entlang der Rander eines Quadratgitters mit n n displaystyle n times n nbsp quadratischen Zellen die keinen Punkt oberhalb der Diagonale enthalten Ein monotoner Pfad beginnt in der unteren linken Ecke endet in der oberen rechten Ecke und besteht vollstandig aus Kanten die nach rechts oder oben zeigen Die 14 monotonen Pfade fur n 4 displaystyle n 4 nbsp sind 13 nbsp Moglichkeiten eine Stufenform der Breite n displaystyle n nbsp und Hohe n displaystyle n nbsp mit n displaystyle n nbsp Rechtecken zu kacheln Die 14 Moglichkeiten fur n 4 displaystyle n 4 nbsp sind 13 nbsp moglichen Verlaufe der Auszahlung bei einer Wahl bei denen Kandidat A nach jeder gezahlten Stimme nie hinter Kandidat B liegt wenn beide Kandidaten je n displaystyle n nbsp Stimmen erhalten und die Stimmzettel nacheinander aus der Urne geholt und gezahlt werden Beispielsweise fur n 2 displaystyle n 2 nbsp waren die moglichen Ziehungsfolgen die die Voraussetzung erfullen ABAB und AABB 14 Moglichkeiten wie sich 2 n displaystyle 2n nbsp Personen die an einem runden Tisch sitzen paarweise uber den Tisch die Hand geben ohne dass sich Arme uberkreuzen 14 Literatur BearbeitenPeter J Hilton Jean Pedersen Catalan Zahlen und Wege in einem ganzzahligen Gitter Elemente der Mathematik 48 1993 doi 10 5169 seals 44624 51 S 45 ff Jurgen Schmidthammer Catalan Zahlen PDF Datei 7 05 MB Zulassungsarbeit zum Staatsexamen Erlangen Februar 1996 Thomas Koshy Catalan Numbers with Applications Oxford University Press New York 2009 ISBN 978 0 19 533454 8 Richard P Stanley Enumerative combinatorics Band 2 Cambridge University Press Cambridge 1999 ISBN 0 521 56069 1 englisch Stanleys Webseite zum Buch mit laufend aktualisierter Liste zu Interpretationen der Catalan Zahlen Information on Enumerative Combinatorics Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Catalan Zahlen Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Catalan Number In MathWorld englisch Lattice Paths Catalan Numbers in der NIST Digital Library of Mathematical Functions englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b Brief PDF Datei 137 kB von Euler an Goldbach vom 4 September 1751 abgedruckt in Paul Heinrich Fuss Hrsg Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du XVIIIeme siecle Band 1 St Petersbourg 1843 S 549 552 a b Ioh Andr de Segner Enumeratio modorum quibus figurae planae rectilineae per diagonales dividuntur in triangula Novi commentarii academiae scientiarum imperialis petropolitanae 7 pro annis 1758 et 1759 1761 S 203 210 lateinisch Leonhard Euler Summarium dissertationum Novi commentarii academiae scientiarum imperialis petropolitanae 7 pro annis 1758 et 1759 1761 S 13 15 lateinisch Nicolao Fuss Solutio quaestionis quot modis polygonum n laterum in polygona m laterum per diagonales resolvi queat Nova acta academiae scientiarum imperialis petropolitanae 9 1795 S 243 251 lateinisch Gabriel Lame Extrait d une lettre de M Lame a M Liouville sur cette question Un polygone convexe etant donne de combien de manieres peut on le partager en triangles au moyen de diagonales Journal de mathematiques pures et appliquees 3 1838 S 505 507 franzosisch Olinde Rodrigues Sur le nombre de manieres de decomposer un polygone en triangles au moyen de diagonales und Sur le nombre de manieres d effectuer un produit de n facteurs Journal de mathematiques pures et appliquees 3 1838 S 547 549 franzosisch J Binet Problemes sur les polygones Societe philomathique de Paris Seances de 1838 Extraits des proces verbaux S 127 129 franzosisch J Binet Reflexions sur le probleme de determiner le nombre de manieres dont une figure rectiligne peut etre partagee en triangles au moyen de ses diagonales Journal de mathematiques pures et appliquees 4 1839 S 79 90 franzosisch a b E Catalan Note sur une equation aux differences finies Journal de mathematiques pures et appliquees 3 1838 S 508 516 und 4 1838 S 95 99 franzosisch E Catalan Solution nouvelle de cette question Un polygone etant donne de combien de manieres peut on le partager en triangles au moyen de diagonales Journal de mathematiques pures et appliquees 4 1839 S 91 94 franzosisch Eugen Netto Lehrbuch der Combinatorik B G Teubner Leipzig 1901 Zuruckfuhrung der Zahlen auf Catalan in 122 S 192 194 und 124 S 195 whole sum of the reciprocal Catalan numbers Bei juanmarqz wordpress com 29 Juli 2009 abgerufen am 11 Januar 2021 a b Matej Crepinsek Luka Mernik An efficient representation for solving Catalan number related problems PDF 253 kB In ijpam eu International Journal of Pure and Applied Mathematics abgerufen am 11 Januar 2021 a b Doina Logofătu Algorithmen und Problemlosungen mit C Kapitel 8 Catalan Zahlen Vieweg Verlag 1 Auflage 2006 ISBN 978 3 8348 0126 5 S 189 206 Normdaten Sachbegriff GND 1072323532 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Catalan Zahl amp oldid 238232672