Die Stirling Formel ist eine mathematische Formel mit der man fur grosse Fakultaten Naherungswerte berechnen kann Sie ist nach dem schottischen Mathematiker James Stirling benannt Die Fakultat und die Stirlingformel Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegendes 1 1 Herleitung der ersten beiden Glieder 2 Verallgemeinerung Stirling Formel fur die Gammafunktion 3 Anwendungen 4 Siehe auch 5 Literatur 6 Weblinks 7 AnmerkungenGrundlegendes Bearbeiten nbsp Relative Abweichung der einfachen Stirlingformel von der Fakultat in Abhangigkeit von nDie Stirling Formel in ihrer einfachsten Form ist eine asymptotische Formel n 2 p n n e n n displaystyle n sim sqrt 2 pi n left frac n mathcal e right n qquad n to infty nbsp Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe Fakultat Quadratwurzel Kreiszahl p und Eulersche Zahl e displaystyle mathcal e nbsp Eine Herleitung findet sich im Artikel Sattelpunktsnaherung Genauer gilt fur n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp 1 lt e 1 12 n 1 lt n 2 p n n e n lt e 1 12 n lt 1 1 11 n displaystyle 1 lt mathcal e frac 1 12n 1 lt frac n sqrt 2 pi n cdot frac n mathcal e n lt mathcal e frac 1 12n lt 1 frac 1 11n nbsp Insbesondere ist der Grenzwert des Bruches fur n displaystyle n to infty nbsp gleich 1 Die Stirling Reihe fur ln n i 1 n ln i displaystyle ln n sum i 1 n ln i nbsp nach der Euler MacLaurinschen Summenformel lautet ln n n ln n n 1 2 ln 2 p n 1 12 n 1 360 n 3 B 2 k 2 k 1 2 k 1 n 2 k 1 n displaystyle ln n simeq n ln n n tfrac 1 2 ln 2 pi n frac 1 12n frac 1 360n 3 cdots frac B 2k 2k 1 2k cdot frac 1 n 2k 1 cdots quad n to infty nbsp wobei B k displaystyle B k nbsp die k displaystyle k nbsp te Bernoulli Zahl bezeichnet Als Naherung betrachtet man lediglich eine endliche Zahl von Gliedern Der Fehler liegt in der Grossenordnung des ersten vernachlassigten Gliedes Beispiel Bricht man nach dem dritten Glied ab ist der absolute Fehler kleiner als 1 12 n displaystyle tfrac 1 12n nbsp Die Reihe selbst konvergiert nicht fur festes n displaystyle n nbsp sie ist eine asymptotische Reihe Fur n 7 31 10 43 displaystyle n gtrsim 7 31 cdot 10 43 nbsp genugt ein Glied fur einen relativen Fehler kleiner als 1 ln n n ln n displaystyle ln n approx n cdot ln n nbsp Fur n gt 751 displaystyle n gt 751 nbsp genugen zwei Glieder fur einen relativen Fehler kleiner als 0 1 ln n n ln n n displaystyle ln n approx n cdot ln n n nbsp Fur kleine n displaystyle n nbsp lasst sich aus der Formel fur vier Glieder eine einfache Formel fur n displaystyle n nbsp ableiten Mit e 1 12 n 1 1 12 n 1 1 6 n displaystyle mathcal e frac 1 12n approx 1 frac 1 12n approx sqrt 1 frac 1 6n nbsp ergibt sich die Approximation n 2 p n n e n e 1 12 n 2 p n n e n 1 1 6 n p 3 6 n 1 n e n displaystyle n approx sqrt 2 pi n left frac n mathcal e right n mathcal e frac 1 12n approx sqrt 2 pi n left frac n mathcal e right n sqrt 1 frac 1 6n sqrt pi over 3 6n 1 left frac n mathcal e right n nbsp Der Approximationsfehler betragt bei minimal zusatzlichem Rechenaufwand zur Berechnung der ersten beiden Glieder etwa 2 3 fur n 0 displaystyle n 0 nbsp 1 etwa 0 4 fur n 1 displaystyle n 1 nbsp und wird kleiner als 0 1 ab n 3 displaystyle n 3 nbsp Durch Einsetzen in die Exponentialfunktion ergibt sich fur n displaystyle n nbsp die asymptotische Entwicklung n n n 2 p n e n 1 12 n 1 360 n 3 B 2 k 2 k 1 2 k 1 n 2 k 1 n displaystyle n simeq n n cdot sqrt 2 pi n cdot mathcal e n frac 1 12n frac 1 360n 3 cdots frac B 2k 2k 1 2k cdot frac 1 n 2k 1 cdots quad n to infty nbsp und durch Einsetzen der Stirlingschen Reihe in die Reihe der Exponentialfunktion n n n 2 p n e n 1 1 12 n 1 288 n 2 139 51840 n 3 571 2488320 n 4 C k n k n displaystyle n simeq n n cdot sqrt 2 pi n cdot mathcal e n cdot left 1 frac 1 12 n frac 1 288 n 2 frac 139 51840 n 3 frac 571 2488320 n 4 cdots frac C k n k cdots right quad n to infty nbsp wobei die Koeffizienten C k displaystyle C k nbsp keinem einfachen Bildungsgesetz genugen 2 Herleitung der ersten beiden Glieder Bearbeiten Die Formel wird oft in der statistischen Physik fur den Grenzfall grosser Teilchenzahlen verwendet wie sie in thermodynamischen Systemen Grossenordnung 10 23 displaystyle 10 23 nbsp Teilchen vorkommen Fur thermodynamische Betrachtungen ist es meist vollig ausreichend die ersten beiden Glieder ln N N ln N N displaystyle ln N approx N ln N N nbsp zu berucksichtigen Diese Formel lasst sich einfach gewinnen indem man nur den ersten Term der Euler MacLaurin Formel verwendet ln N n 1 N ln n 1 N ln x d x x ln x x 1 N N ln N N 1 N ln N N displaystyle ln N sum n 1 N ln n approx int 1 N ln x mathrm d x left x ln x x right 1 N N ln N N 1 approx N ln N N nbsp und wird dann in dieser Form gebraucht N N e N displaystyle N approx left frac N mathcal e right N nbsp 3 Verallgemeinerung Stirling Formel fur die Gammafunktion BearbeitenFur alle x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp gilt G x 2 p x x e x e m x displaystyle Gamma x sqrt 2 pi x left frac x mathcal e right x mathcal e mu x nbsp wobei m displaystyle mu nbsp eine Funktion ist die 0 lt m x lt 1 12 x displaystyle 0 lt mu x lt 1 12x nbsp fur alle x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp erfullt Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe Gammafunktion G displaystyle Gamma nbsp Quadratwurzel Kreiszahl p und Eulersche Zahl e Fur alle x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp ist der Wert einer Approximation von G x displaystyle Gamma x nbsp nach obiger Formel mit m 0 displaystyle mu 0 nbsp also immer etwas zu klein Der relative Fehler ist aber fur x 9 displaystyle x geq 9 nbsp kleiner als 1 und fur x 84 displaystyle x geq 84 nbsp kleiner als 0 1 Es gilt fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp n n G n n 2 p n n e n e m n 2 p n n e n e m n displaystyle n n Gamma n n sqrt 2 pi n left frac n mathcal e right n mathcal e mu n sqrt 2 pi n left frac n mathcal e right n mathcal e mu n nbsp womit sich als Spezialfall die Approximationsformeln des vorigen Abschnitts ergeben Anwendungen BearbeitenDie Stirling Formel findet uberall dort Verwendung wo die exakten Werte einer Fakultat nicht von Bedeutung sind Insbesondere bei der Berechnung der Information einer Nachricht und bei der Berechnung der Entropie eines statistischen Ensembles von Subsystemen ergeben sich mit der Stirling Formel starke Vereinfachungen Beispiel Gegeben sei ein System mit N displaystyle N nbsp verschiedenen Subsystemen von denen jedes m displaystyle m nbsp verschiedene Zustande annehmen kann Ferner sei bekannt dass der Zustand i displaystyle i nbsp mit der Wahrscheinlichkeit w i displaystyle omega i nbsp angenommen werden kann Damit mussen sich N i displaystyle N i nbsp Subsysteme im Zustand i displaystyle i nbsp befinden und es gilt N i N w i displaystyle N i N omega i nbsp Die Zahl der moglichen Verteilungen eines so beschriebenen Systems betragt dann N N 1 N 2 N m displaystyle N N 1 N 2 ldots N m nbsp und fur dessen Entropie s displaystyle sigma nbsp gilt s ln N ln N 1 ln N m displaystyle sigma ln N ln N 1 ldots ln N m nbsp Mittels der Stirling Formel kann man nun bis auf Fehler der Ordnung O ln N displaystyle O ln N nbsp diese Formel vereinfachen zu s displaystyle sigma nbsp N ln N 1 N 1 ln N 1 1 N m ln N m 1 displaystyle N ln N 1 N 1 ln N 1 1 ldots N m ln N m 1 nbsp N ln N N 1 ln N 1 N m ln N m displaystyle N ln N N 1 ln N 1 ldots N m ln N m nbsp N 1 N m ln N N 1 ln N 1 N m ln N m displaystyle N 1 ldots N m ln N N 1 ln N 1 ldots N m ln N m nbsp N 1 ln N 1 N N m ln N m N displaystyle N 1 ln N 1 N ldots N m ln N m N nbsp N i 1 m w i ln w i displaystyle N sum i 1 m omega i ln omega i nbsp Damit ergibt sich fur die Entropie jedes der N displaystyle N nbsp Subsysteme die bekannte Formel s i 1 m w i ln w i displaystyle sigma sum i 1 m omega i ln omega i nbsp In ahnlicher Weise erhalt man bis auf einen konstanten Vorfaktor fur den Informationsgehalt eines ebenso definierten Systems die Formel I i 1 m w i log 2 w i displaystyle I sum i 1 m omega i log 2 omega i nbsp Siehe auch BearbeitenGammafunktion Formel von BurnsideLiteratur BearbeitenEberhard Freitag Rolf Busam Funktionentheorie 2 Auflage Springer Verlag Berlin 1995 Konrad Konigsberger Analysis 1 Springer Heidelberg 2003 ISBN 3 540 40371 X Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Stirling s Approximation In MathWorld englisch Pedro Sanchez Aaron Krowne Raymond Puzio u a Stirling s approximation In PlanetMath englisch Peter Luschny Approximation Formulas for the Factorial Function Varianten und Alternativen zur Stirlingschen Formel englisch Anmerkungen Bearbeiten Hierbei muss der Ausdruck n e n displaystyle left tfrac n mathrm e right n nbsp fur n 0 displaystyle n 0 nbsp mit 1 gleichgesetzt werden In der OEIS finden sich Reihen fur Zahler und Nenner von C k displaystyle C k nbsp zusammen mit Kommentaren und Literaturhinweisen auf Mathworld auch Formeln fur das Bildungsgesetz alles auf Englisch G Joos Lehrbuch der theoretischen Physik 1956 S 516 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stirlingformel amp oldid 230080277
