Moivrescher Satz Der Moivresche Satz auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre genannt besagt dass für jede komp

Moivrescher Satz

Der Moivresche Satz, auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre genannt, besagt, dass für jede komplexe Zahl (und damit auch jede reelle Zahl) und jede natürliche Zahl der Zusammenhang

gilt.

Er trägt seinen Namen zu Ehren von Abraham de Moivre, der diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18. Jahrhunderts fand. De Moivre selbst hatte die Formel nach eigener Aussage von seinem Lehrer Isaac Newton und verwendete sie in verschiedenen seiner Schriften, auch wenn er sie nie explizit niederschrieb (das tat erst Leonhard Euler 1748, Introductio in analysin infinitorum, wo er auch die Eulersche Formel aufstellte).

Die Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie, sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können. Der Ausdruck kann auch verkürzt als dargestellt werden.

Herleitung Bearbeiten

Der Moivresche Satz kann mit der Eulerformel

der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung

abgeleitet werden.

Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe Additionstheoreme)

per vollständiger Induktion.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Wenn

dann ist

eine mehrwertige Funktion, aber nicht

Dadurch gilt

Siehe auch Bearbeiten

Einheitswurzel

Literatur Bearbeiten

Anton von Braunmühl: Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. Geschichte der Trigonometrie. Enthält: Teil 1 – Von den ältesten Zeiten bis zur Erfindung der Logarithmen, Teil 2 Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart. Reprografischer Nachdruck der 1. Auflage. M. Sändig, Niederwalluf bei Wiesbaden 1971, ISBN 3-500-23250-7 (Erstauflage bei Teubner, Leipzig, 1900–1903).
Hans Kerner, Wolf von Wahl: Mathematik für Physiker. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-72479-7.

Einzelnachweise Bearbeiten

Kerner und Wahl (2007), S. 70
Braunmühl (1971), Teil 2 S. 75
Braunmühl (1971), Teil 2 S. 78
Nahin, An imaginary tale, Princeton University Press 1998, S. 56

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 05:31 am

Der Moivresche Satz auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre genannt besagt dass fur jede komplexe Zahl und damit auch jede reelle Zahl x displaystyle x und jede naturliche Zahl n displaystyle n der Zusammenhang cos x i sin x n cos n x i sin n x displaystyle left cos x i sin x right n cos left n x right i sin left n x right gilt 1 Er tragt seinen Namen zu Ehren von Abraham de Moivre 2 der diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18 Jahrhunderts fand 3 De Moivre selbst hatte die Formel nach eigener Aussage von seinem Lehrer Isaac Newton 4 und verwendete sie in verschiedenen seiner Schriften auch wenn er sie nie explizit niederschrieb das tat erst Leonhard Euler 1748 Introductio in analysin infinitorum wo er auch die Eulersche Formel aufstellte Die Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden konnen Der Ausdruck cos x i sin x displaystyle cos x i sin x kann auch verkurzt als cis x displaystyle operatorname cis x dargestellt werden Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Verallgemeinerung 3 Siehe auch 4 Literatur 5 EinzelnachweiseHerleitung BearbeitenDer Moivresche Satz kann mit der Eulerformel e i x cos x i sin x displaystyle e mathrm i x cos x mathrm i sin x nbsp der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung e i x n e i x n displaystyle left e mathrm i x right n e mathrm i xn nbsp abgeleitet werden Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung siehe Additionstheoreme cos f i sin f cos ps i sin ps cos f ps i sin f ps displaystyle cos varphi mathrm i sin varphi cdot cos psi mathrm i sin psi cos varphi psi mathrm i sin varphi psi nbsp per vollstandiger Induktion Verallgemeinerung BearbeitenWenn z w C displaystyle z w in mathbb C nbsp dann ist cos z i sin z w displaystyle left cos z i sin z right w nbsp eine mehrwertige Funktion aber nicht cos w z i sin w z displaystyle cos left w z right i sin left w z right nbsp Dadurch gilt cos w z i sin w z cos z i sin z w displaystyle cos left w z right i sin left w z right in left cos z i sin z right w nbsp Siehe auch BearbeitenEinheitswurzelLiteratur BearbeitenAnton von Braunmuhl Vorlesungen uber Geschichte der Trigonometrie Geschichte der Trigonometrie Enthalt Teil 1 Von den altesten Zeiten bis zur Erfindung der Logarithmen Teil 2 Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart Reprografischer Nachdruck der 1 Auflage M Sandig Niederwalluf bei Wiesbaden 1971 ISBN 3 500 23250 7 Erstauflage bei Teubner Leipzig 1900 1903 Hans Kerner Wolf von Wahl Mathematik fur Physiker 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2007 ISBN 978 3 540 72479 7 Einzelnachweise Bearbeiten Kerner und Wahl 2007 S 70 Braunmuhl 1971 Teil 2 S 75 Braunmuhl 1971 Teil 2 S 78 Nahin An imaginary tale Princeton University Press 1998 S 56 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Moivrescher Satz amp oldid 200023129