www.wikidata.de-de.nina.az

Vierzehneck Ein oder Tetradekagon ist ein Polygon mit 14 Seiten und 14 Ecken Oft ist dabei ein ebenes regelmäßiges gemei

Vierzehneck

Ein Vierzehneck oder Tetradekagon ist ein Polygon mit 14 Seiten und 14 Ecken. Oft ist dabei ein ebenes, regelmäßiges Vierzehneck gemeint, bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Ein regelmäßiges Vierzehneck

Regelmäßiges Vierzehneck Bearbeiten

Das regelmäßige Vierzehneck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel kein konstruierbares Polygon, denn seine Seitenanzahl ist kein Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen.

Größen Bearbeiten

Größen eines regelmäßigen Vierzehnecks
Innenwinkel

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

Seitenlänge
Umkreisradius
Inkreisradius
Höhe
Flächeninhalt mit Seitenlänge

mit Umkreisradius

Mathematische Zusammenhänge Bearbeiten

Innenwinkel Bearbeiten

Der Innenwinkel wird von zwei benachbarten Seitenlängen eingeschlossen.

Zentriwinkel Bearbeiten

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien eingeschlossen.

Seitenlänge Bearbeiten

Die Seitenlänge errechnet sich

Umkreisradius Bearbeiten

Der Radius des Umkreises ergibt sich durch Umformen der Formel für die Seitenlänge .

Inkreisradius Bearbeiten

Der Inkreisradius ist die Höhe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit den beiden Schenkeln gleich dem Umkreisradius und der Grundlinie gleich der Seitenlänge .

Höhe Bearbeiten

Die Höhe eines regelmäßigen Vierzehneckes ergibt sich aus der Summe von zwei Inkreisradien

Flächeninhalt Bearbeiten

Mithilfe der Seitenlänge

Die Fläche eines regelmäßigen Vierzehnecks mit Seitenlänge wird durch die Formel gegeben

Mithilfe des Umkreisradius

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein . Für die Berechnung des Vierzehnecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge und des Inkreisradius herangezogen, worin für die Höhe eingesetzt wird.

und für die Fläche des gesamten Vierzehnecks

Geometrische Konstruktionen Bearbeiten

Ein regelmäßiges Vierzehneck kann nicht allein als Konstruktion mit Zirkel und Lineal dargestellt werden; es ist kein konstruierbares Polygon. Nimmt man jedoch zu diesen klassischen (euklidischen) Werkzeugen noch ein zusätzliches Hilfsmittel, wie z. B. einen Tomahawk zur Dreiteilung des Winkels oder ein Lineal mit einer bestimmten Markierung, ist eine exakte Konstruktion möglich. Grundsätzlich kann aus der Konstruktion eines Siebenecks, z. B. durch zusätzliche Halbierung des Zentriwinkel, ein regelmäßiges Vierzehneck gewonnen werden.

Tomahawk als zusätzliches Hilfsmittel Bearbeiten

Andrew M. Gleason veröffentlichte 1988 in der mathematische Zeitschrift The American Mathematical Monthly zwei elegante Konstruktionen zu den regulären Polygonen Siebeneck und Dreizehneck, die zur Lösung eine Dreiteilung des Winkels benötigen. Das Prinzip der Dreiteilung ist in keinem der beiden Konstruktionen festgelegt.

Bild 1: Konstruktion des Vierzehnecks,
eine Abwandlung der Konstruktion des Siebenecks mit Tomahawk.
Animation

Bei gegebenem Umkreis (siehe Bild 1)

Der folgende Konstruktionsplan für das Vierzehneck, ist nahezu gleich dem Original des Siebenecks von Andrew M. Gleason:

Es beginnt im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems im Punkt mit einem Kreis mit Radius Es folgt die Festlegung der Punkte und . Anschließend werden die Punkte und bestimmt, sie sind Eckpunkte zweier gleichseitiger Dreiecke mit Basis . Nach dem Verbinden der Punkte und mit in der Original-Zeichnung aus der Zeitschrift The American Mathematical Monthly, siehe Einzelnachweise, ist dieser Punkt zwischen und , wird um ein Kreisbogen von bis gezogen. Nun drittelt man den Winkel mit einer freiwählbaren Methode (z. B. Kurven, Tomahawk etc.), dabei ergeben sich die Punkte und . Eine Gerade durch und ergibt und , die zusammen mit Eckpunkte eines regelmäßigen Siebenecks sind.

Nun bedarf es noch einer Halbierung des Zentriwinkels des Siebenecks und man erhält so den zweiten Eckpunkt des gesuchten Vierzehnecks. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens nacheinander gefunden werden.

Markiertes Lineal als zusätzliches Hilfsmittel Bearbeiten

Bild 2: Regelmäßiges Vierzehneck, Weiterführung der Neusis-Konstruktion nach David Johnson Leisk (Crockett Johnson), für das Siebeneck Animation siehe

David Johnson Leisk, meist bekannt als Crockett Johnson, veröffentlichte 1975 eine sogenannte Neusis-Konstruktion eines Siebenecks (Heptagon), bei dem die Seitenlänge gegeben ist. Hierfür verwendete er einen Zirkel und ein spezielles Lineal, auf dem eine Markierung angebracht war.

Bei gegebener Seitenlänge (siehe Bild 2)

  • Errichte senkrecht zur Seitenlänge im Punkt die Strecke , sie ist gleich lang wie die Seitenlänge
  • Verbinde den Punkt mit z. B. bei einer Seitenlänge hat die Diagonale den Wert
  • Halbiere die Seitenlänge , es ergibt sich der Punkt
  • Errichte eine Senkrechte auf die Seitenlänge im Punkt
  • Ziehe den Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt und durch den Punkt
  • Setze das mit dem Punkt markierte Lineal (Abstand Ecke Lineal bis Punkt entspricht ) auf die Zeichnung. Drehe und schiebe das Lineal bis dessen Ecke auf der Mittelsenkrechten anliegt, die Markierung Punkt auf dem Kreisbogen aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt verläuft, es ergibt sich der Punkt
  • Verbinde den Punkt mit dem Punkt , der dadurch entstandene Winkel , mit (Theta) bezeichnet, entspricht einem Viertel des Zentriwinkels eines Siebenecks, aufgrund des 2. Strahlensatzes entspricht er auch einer Hälfte des gesuchten Zentriwinkels des Vierzehnecks.
  • Ziehe um den Punkt einen Kreis durch es ist der Umkreis des entstehenden Vierzehnecks.
  • Bestimme mit der Seitenlänge die restlichen zwölf Eckpunkte des Siebenecks und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander. Somit entsteht das regelmäßige Vierzehneck

Näherungskonstruktion Bearbeiten

Bild 3: Vierzehneck, Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode

Bild 3 zeigt ein Vierzehneck in seinem Umkreis, erstellt mit einer universellen Methode.

Zuerst wird die Strecke , später der Durchmesser des gesuchten Vierzehnecks, in gleich lange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt (in der Zeichnung nicht dargestellt) oder mittels Aneinanderreihen von gleich langen Abständen bestimmt. Es werden entweder die geraden oder die ungeraden Zahlen (Teilungspunkte) auf markiert. In diesem Beispiel sind die ungeraden Zahlen und eingetragen, dadurch liegen z. B. die späteren Eckpunkte und nicht in der Nähe des Punktes . Der Teilungspunkt entspricht dem Mittelpunkt des Durchmesser Nun wird um den Mittelpunkt und durch der Umkreis gezogen. Die zwei darauffolgenden Kreisbögen um bzw. mit dem Radius schneiden sich in den Punkten und Nach deren Verbindung erhält man die Mittelachse und als Schnittpunkte die Eckpunkte und des entstehenden Vierzehnecks.

Es geht weiter mit dem Festlegen der Eckpunkte auf dem Umkreis. Das Lineal wird an den Punkt und an die ungerade Zahl gelegt. Danach am Lineal entlang eine Linie bis zur gegenüberliegenden Hälfte der Umkreislinie gezogen, ergibt den Eckpunkt Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen des Eckpunktes sowie ausgehend vom Punkt beim Festlegen der Eckpunkte und Es folgt das Verbinden des Eckpunktes mit . Somit ist die Strecke die erste annähernd konstruierte Seitenlänge des gesuchten Vierzehnecks

Zunächst sind auf der unteren Hälfte des Umkreises die noch fehlenden Eckpunkte in der Reihenfolge und durch mehrmaliges Abtragen der Seitenlänge festzulegen sowie danach die noch fehlenden Eckpunkte in der Reihenfolge und auf der oberen Hälfte des Umkreises. Abschließend werden die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

Zwei der Seiten dieses Vierzehnecks haben zwar die gleiche Länge, aber eine von den anderen unterschiedliche; es sind dies die Seiten und Die übrigen zwölf Seitenlängen sind gleich lang.

Größter und kleinster absoluter Fehler der Seitenlängen bei einem Umkreisradius mit :

Die übrigen zwölf Seitenlängen

Regelmäßige überschlagene Vierzehnecke Bearbeiten

Ein regelmäßiges überschlagenes Vierzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der vierzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur zwei regelmäßige Vierzehnstrahlsterne.

Die Sterne mit den Symbolen {14/2} und {14/12} sind regelmäßige Siebenecke, {14/4} und {14/10} sowie {14/6} und {14/8} sind regelmäßige Heptagramme.

Literatur Bearbeiten

  • H. Maser: Die Teilung des Kreises …, Artikel 365., in Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik, Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen; abgerufen am 15. März 2018.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Regelmäßige Vierzehnecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194, 186 ff., JSTOR:2323624 (math.fau.edu, FIG.1. Construction of a regular heptagon [PDF; 303 kB; abgerufen am 21. Mai 2019]).
  2. Weisstein, Eric W. „Heptagon.“ From MathWorld, A Wolfram Web Resource.
  3. H. August: Zeichnerische Konstruktion eines Elfecks. In: Zeichnerische Konstruktionen: Mehrecke. Abgerufen am 3. Januar 2018.
  4. Peter Eckardt: Siebeneck. In: Sterne und Polygone. Abgerufen am 3. Januar 2018.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Ein Vierzehneck oder Tetradekagon ist ein Polygon mit 14 Seiten und 14 Ecken Oft ist dabei ein ebenes regelmassiges Vierzehneck gemeint bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen Ein regelmassiges Vierzehneck Inhaltsverzeichnis 1 Regelmassiges Vierzehneck 1 1 Grossen 2 Mathematische Zusammenhange 2 1 Innenwinkel 2 2 Zentriwinkel 2 3 Seitenlange 2 4 Umkreisradius 2 5 Inkreisradius 2 6 Hohe 2 7 Flacheninhalt 3 Geometrische Konstruktionen 3 1 Tomahawk als zusatzliches Hilfsmittel 3 2 Markiertes Lineal als zusatzliches Hilfsmittel 3 3 Naherungskonstruktion 4 Regelmassige uberschlagene Vierzehnecke 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseRegelmassiges Vierzehneck BearbeitenDas regelmassige Vierzehneck ist nach Carl Friedrich Gauss und Pierre Laurent Wantzel kein konstruierbares Polygon denn seine Seitenanzahl n 14 displaystyle n 14 nbsp ist kein Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen Grossen Bearbeiten Grossen eines regelmassigen VierzehnecksInnenwinkel a n 2 n 180 12 14 180 a 154 285 714 displaystyle begin aligned alpha amp frac n 2 n cdot 180 circ frac 12 14 cdot 180 circ alpha amp 154 285714 circ end aligned nbsp nbsp Zentriwinkel Mittelpunktswinkel m 360 14 m 25 714 285 displaystyle begin aligned mu amp frac 360 circ 14 mu amp 25 714285 circ end aligned nbsp Seitenlange a R 2 sin 180 14 a R 1 2 3 2 tan 1 3 arctan 3 9 a 0 445 0418 R displaystyle begin aligned a amp R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 14 right a amp R cdot left frac 1 2 frac sqrt 3 2 tan left frac 1 3 arctan left frac sqrt 3 9 right right right a amp approx 0 4450418 cdot R end aligned nbsp Umkreisradius R a 2 sin 180 14 R a 0 445 0418 displaystyle begin aligned R amp frac a 2 cdot sin left frac 180 circ 14 right R amp approx frac a 0 4450418 end aligned nbsp Inkreisradius r R cos 180 14 r 0 974 9279 R displaystyle begin aligned r amp R cdot cos left frac 180 circ 14 right r amp approx 0 9749279 cdot R end aligned nbsp Hohe h 2 r h 1 949 8558 R displaystyle begin aligned h amp 2 cdot r h amp approx 1 9498558 cdot R end aligned nbsp Flacheninhalt mit Seitenlange a displaystyle a nbsp A 7 2 a 2 cot p 14 7 6 a 2 7 4 7 cos 2 3 arctan 3 9 A 15 334 5 a 2 displaystyle begin aligned A amp frac 7 2 a 2 cot frac pi 14 amp frac 7 6 a 2 left sqrt 7 4 sqrt 7 cos left frac 2 3 arctan frac sqrt 3 9 right right A amp approx 15 3345 cdot a 2 end aligned nbsp mit Umkreisradius R displaystyle R nbsp A 14 R 2 sin 180 14 cos 180 14 A 3 037 18617 R 2 displaystyle begin aligned A amp 14 cdot R 2 cdot sin left frac 180 circ 14 right cdot cos left frac 180 circ 14 right A amp approx 3 03718617 cdot R 2 end aligned nbsp Mathematische Zusammenhange BearbeitenInnenwinkel Bearbeiten Der Innenwinkel a displaystyle alpha nbsp wird von zwei benachbarten Seitenlangen a displaystyle a nbsp eingeschlossen a n 2 n 180 14 2 14 180 12 14 180 154 4 14 displaystyle alpha frac n 2 n cdot 180 circ frac 14 2 14 cdot 180 circ frac 12 14 cdot 180 circ 154 frac 4 14 circ nbsp Zentriwinkel Bearbeiten Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp wird von zwei benachbarten Umkreisradien R displaystyle R nbsp eingeschlossen m 360 n 360 14 25 10 14 displaystyle mu frac 360 circ n frac 360 circ 14 25 frac 10 14 circ nbsp Seitenlange Bearbeiten Die Seitenlange a displaystyle a nbsp errechnet sich a R 2 sin 180 14 displaystyle a R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 14 right nbsp Umkreisradius Bearbeiten Der Radius R displaystyle R nbsp des Umkreises ergibt sich durch Umformen der Formel fur die Seitenlange a displaystyle a nbsp R a 2 csc 180 14 displaystyle R frac a 2 cdot csc left frac 180 circ 14 right nbsp Inkreisradius Bearbeiten Der Inkreisradius r displaystyle r nbsp ist die Hohe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit den beiden Schenkeln gleich dem Umkreisradius R displaystyle R nbsp und der Grundlinie gleich der Seitenlange a displaystyle a nbsp r R cos m 2 R cos 180 14 displaystyle begin aligned r amp R cdot cos left frac mu 2 right R cdot cos left frac 180 circ 14 right end aligned nbsp Hohe Bearbeiten Die Hohe h displaystyle h nbsp eines regelmassigen Vierzehneckes ergibt sich aus der Summe von zwei Inkreisradien r displaystyle r nbsp h 2 r displaystyle h 2 cdot r nbsp Flacheninhalt Bearbeiten Mithilfe der Seitenlange a displaystyle a nbsp Die Flache eines regelmassigen Vierzehnecks mit Seitenlange a displaystyle a nbsp wird durch die Formel gegeben A 7 2 a 2 cot p 14 7 6 a 2 7 4 7 cos 2 3 arctan 3 9 displaystyle begin aligned A amp frac 7 2 a 2 cot frac pi 14 frac 7 6 a 2 left sqrt 7 4 sqrt 7 cos left frac 2 3 arctan frac sqrt 3 9 right right end aligned nbsp Mithilfe des Umkreisradius R displaystyle R nbsp Der Flacheninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein A D 1 2 a h a displaystyle A Delta frac 1 2 a cdot h a nbsp Fur die Berechnung des Vierzehnecks werden die Ergebnisse der Seitenlange a displaystyle a nbsp und des Inkreisradius r displaystyle r nbsp herangezogen worin r displaystyle r nbsp fur die Hohe h a displaystyle h a nbsp eingesetzt wird a R 2 sin 180 14 displaystyle a R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 14 right nbsp h a r R cos 180 14 displaystyle h a r R cdot cos left frac 180 circ 14 right nbsp daraus folgt fur die Flache eines Teildreiecks A D 1 2 R 2 sin 180 14 R cos 180 14 displaystyle begin aligned A Delta amp frac 1 2 cdot R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 14 right cdot R cdot cos left frac 180 circ 14 right end aligned nbsp zusammengefasst ergibt sich A D R 2 sin 180 14 cos 180 14 displaystyle A Delta R 2 cdot sin left frac 180 circ 14 right cdot cos left frac 180 circ 14 right nbsp und fur die Flache des gesamten Vierzehnecks A 14 A D 14 R 2 sin 180 14 cos 180 14 displaystyle A 14 cdot A Delta 14 cdot R 2 cdot sin left frac 180 circ 14 right cdot cos left frac 180 circ 14 right nbsp Geometrische Konstruktionen BearbeitenEin regelmassiges Vierzehneck kann nicht allein als Konstruktion mit Zirkel und Lineal dargestellt werden es ist kein konstruierbares Polygon Nimmt man jedoch zu diesen klassischen euklidischen Werkzeugen noch ein zusatzliches Hilfsmittel wie z B einen Tomahawk zur Dreiteilung des Winkels oder ein Lineal mit einer bestimmten Markierung ist eine exakte Konstruktion moglich Grundsatzlich kann aus der Konstruktion eines Siebenecks z B durch zusatzliche Halbierung des Zentriwinkel ein regelmassiges Vierzehneck gewonnen werden Tomahawk als zusatzliches Hilfsmittel Bearbeiten Andrew M Gleason veroffentlichte 1988 in der mathematische Zeitschrift The American Mathematical Monthly zwei elegante Konstruktionen zu den regularen Polygonen Siebeneck und Dreizehneck die zur Losung eine Dreiteilung des Winkels benotigen Das Prinzip der Dreiteilung ist in keinem der beiden Konstruktionen festgelegt 1 nbsp Bild 1 Konstruktion des Vierzehnecks eine Abwandlung der Konstruktion des Siebenecks mit Tomahawk nbsp Animation Bei gegebenem Umkreis siehe Bild 1 Der folgende Konstruktionsplan fur das Vierzehneck ist nahezu gleich dem Original des Siebenecks von Andrew M Gleason Es beginnt im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems im Punkt O displaystyle O nbsp mit einem Kreis mit Radius 6 displaystyle 6 nbsp Es folgt die Festlegung der Punkte A 6 0 P 1 0 Q 3 0 displaystyle A 6 0 P 1 0 Q 3 0 nbsp und R 3 0 displaystyle R 3 0 nbsp Anschliessend werden die Punkte K 0 27 displaystyle K 0 sqrt 27 nbsp und L 0 27 displaystyle L 0 sqrt 27 nbsp bestimmt sie sind Eckpunkte zweier gleichseitiger Dreiecke mit Basis Q R displaystyle overline QR nbsp Nach dem Verbinden der Punkte K displaystyle K nbsp und L displaystyle L nbsp mit P displaystyle P nbsp displaystyle nbsp in der Original Zeichnung aus der Zeitschrift The American Mathematical Monthly siehe Einzelnachweise ist dieser Punkt zwischen P displaystyle P nbsp und O displaystyle O nbsp wird um P displaystyle P nbsp ein Kreisbogen von K displaystyle K nbsp bis L displaystyle L nbsp gezogen Nun drittelt man den Winkel L P K displaystyle LPK nbsp mit einer freiwahlbaren Methode z B Kurven Tomahawk etc dabei ergeben sich die Punkte S displaystyle S nbsp und T displaystyle T nbsp Eine Gerade durch S displaystyle S nbsp und T displaystyle T nbsp ergibt B displaystyle B nbsp und G displaystyle G nbsp die zusammen mit G displaystyle G nbsp Eckpunkte eines regelmassigen Siebenecks sind Nun bedarf es noch einer Halbierung des Zentriwinkels A O B displaystyle AOB nbsp des Siebenecks und man erhalt so den zweiten Eckpunkt E 2 displaystyle E 2 nbsp des gesuchten Vierzehnecks Die ubrigen Eckpunkte konnen durch Verwendung des Kreisbogens O A E 2 displaystyle OAE 2 nbsp nacheinander gefunden werden Markiertes Lineal als zusatzliches Hilfsmittel Bearbeiten nbsp Bild 2 Regelmassiges Vierzehneck Weiterfuhrung der Neusis Konstruktion nach David Johnson Leisk Crockett Johnson fur das Siebeneck Animation sieheDavid Johnson Leisk meist bekannt als Crockett Johnson veroffentlichte 1975 eine sogenannte Neusis Konstruktion eines Siebenecks Heptagon bei dem die Seitenlange gegeben ist 2 Hierfur verwendete er einen Zirkel und ein spezielles Lineal auf dem eine Markierung angebracht war Bei gegebener Seitenlange siehe Bild 2 Errichte senkrecht zur Seitenlange E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp im Punkt E 1 displaystyle E 1 nbsp die Strecke E 1 I displaystyle overline E 1 I nbsp sie ist gleich lang wie die Seitenlange E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp Verbinde den Punkt E 2 displaystyle E 2 nbsp mit I displaystyle I nbsp z B bei einer Seitenlange E 1 E 2 1 displaystyle overline E 1 E 2 1 nbsp hat die Diagonale den Wert 2 displaystyle sqrt 2 nbsp Halbiere die Seitenlange E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp es ergibt sich der Punkt H displaystyle H nbsp Errichte eine Senkrechte auf die Seitenlange E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp im Punkt H displaystyle H nbsp Ziehe den Kreisbogen a displaystyle a nbsp mit dem Radius E 2 I displaystyle overline E 2 I nbsp um den Punkt E 2 displaystyle E 2 nbsp und durch den Punkt I displaystyle I nbsp Setze das mit dem Punkt J displaystyle J nbsp markierte Lineal Abstand Ecke Lineal bis Punkt J displaystyle J nbsp entspricht E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp auf die Zeichnung Drehe und schiebe das Lineal bis dessen Ecke auf der Mittelsenkrechten anliegt die Markierung Punkt J displaystyle J nbsp auf dem Kreisbogen a displaystyle a nbsp aufliegt und die Kante des Lineals durch den Punkt E 1 displaystyle E 1 nbsp verlauft es ergibt sich der Punkt O displaystyle O nbsp Verbinde den Punkt E 1 displaystyle E 1 nbsp mit dem Punkt O displaystyle O nbsp der dadurch entstandene Winkel E 1 O H displaystyle E 1 OH nbsp mit 8 displaystyle theta nbsp Theta bezeichnet entspricht einem Viertel des Zentriwinkels eines Siebenecks aufgrund des 2 Strahlensatzes entspricht er auch einer Halfte des gesuchten Zentriwinkels des Vierzehnecks Ziehe um den Punkt O displaystyle O nbsp einen Kreis durch E 1 displaystyle E 1 nbsp es ist der Umkreis des entstehenden Vierzehnecks Bestimme mit der Seitenlange E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp die restlichen zwolf Eckpunkte des Siebenecks und verbinde abschliessend die benachbarten Eckpunkte miteinander Somit entsteht das regelmassige Vierzehneck E 1 E 14 displaystyle E 1 dots E 14 nbsp Naherungskonstruktion Bearbeiten nbsp Bild 3 Vierzehneck Naherungskonstruktion mit einer universellen MethodeBild 3 zeigt ein Vierzehneck in seinem Umkreis erstellt mit einer universellen Methode 3 4 Zuerst wird die Strecke A B displaystyle overline AB nbsp spater der Durchmesser des gesuchten Vierzehnecks in 14 displaystyle 14 nbsp gleich lange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt in der Zeichnung nicht dargestellt oder mittels Aneinanderreihen von 14 displaystyle 14 nbsp gleich langen Abstanden bestimmt Es werden entweder die geraden oder die ungeraden Zahlen Teilungspunkte auf A B displaystyle overline AB nbsp markiert In diesem Beispiel sind die ungeraden Zahlen 1 3 5 7 9 11 displaystyle 1 3 5 7 9 11 nbsp und 13 displaystyle 13 nbsp eingetragen dadurch liegen z B die spateren Eckpunkte E 5 displaystyle E 5 nbsp und E 6 displaystyle E 6 nbsp nicht in der Nahe des Punktes B displaystyle B nbsp Der Teilungspunkt 7 displaystyle 7 nbsp entspricht dem Mittelpunkt O displaystyle O nbsp des Durchmesser A B displaystyle overline AB nbsp Nun wird um den Mittelpunkt O displaystyle O nbsp und durch A displaystyle A nbsp der Umkreis gezogen Die zwei darauffolgenden Kreisbogen um A displaystyle A nbsp bzw B displaystyle B nbsp mit dem Radius A B displaystyle overline AB nbsp schneiden sich in den Punkten C displaystyle C nbsp und D displaystyle D nbsp Nach deren Verbindung erhalt man die Mittelachse C D displaystyle CD nbsp und als Schnittpunkte die Eckpunkte E 2 displaystyle E 2 nbsp und E 9 displaystyle E 9 nbsp des entstehenden Vierzehnecks Es geht weiter mit dem Festlegen der Eckpunkte auf dem Umkreis Das Lineal wird an den Punkt C displaystyle C nbsp und an die ungerade Zahl 5 displaystyle 5 nbsp gelegt Danach am Lineal entlang eine Linie bis zur gegenuberliegenden Halfte der Umkreislinie gezogen ergibt den Eckpunkt E 1 displaystyle E 1 nbsp Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen des Eckpunktes E 3 displaystyle E 3 nbsp sowie ausgehend vom Punkt D displaystyle D nbsp beim Festlegen der Eckpunkte E 8 displaystyle E 8 nbsp und E 10 displaystyle E 10 nbsp Es folgt das Verbinden des Eckpunktes E 1 displaystyle E 1 nbsp mit E 2 displaystyle E 2 nbsp Somit ist die Strecke E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp die erste annahernd konstruierte Seitenlange a displaystyle a nbsp des gesuchten VierzehnecksZunachst sind auf der unteren Halfte des Umkreises die noch fehlenden Eckpunkte in der Reihenfolge E 4 displaystyle E 4 nbsp E 5 displaystyle E 5 nbsp E 14 displaystyle E 14 nbsp und E 13 displaystyle E 13 nbsp durch mehrmaliges Abtragen der Seitenlange a displaystyle a nbsp festzulegen sowie danach die noch fehlenden Eckpunkte in der Reihenfolge E 7 displaystyle E 7 nbsp E 6 displaystyle E 6 nbsp E 11 displaystyle E 11 nbsp und E 12 displaystyle E 12 nbsp auf der oberen Halfte des Umkreises Abschliessend werden die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden Zwei der Seiten dieses Vierzehnecks haben zwar die gleiche Lange aber eine von den anderen unterschiedliche es sind dies die Seiten E 5 E 6 displaystyle overline E 5 E 6 nbsp und E 12 E 13 displaystyle overline E 12 E 13 nbsp Die ubrigen zwolf Seitenlangen sind gleich lang Grosster und kleinster absoluter Fehler der Seitenlangen bei einem Umkreisradius mit R 1 m displaystyle R 1 mathrm m nbsp E 5 E 6 displaystyle overline E 5 E 6 nbsp und E 12 E 13 2 7 m m displaystyle overline E 12 E 13 approx 2 7 mathrm mm nbsp Die ubrigen zwolf Seitenlangen 0 5 m m displaystyle approx 0 5 mathrm mm nbsp Regelmassige uberschlagene Vierzehnecke BearbeitenEin regelmassiges uberschlagenes Vierzehneck ergibt sich wenn beim Verbinden der vierzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer ubersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind Notiert werden solche regelmassigen Sterne mit Schlafli Symbolen n k displaystyle left n k right nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k displaystyle k nbsp te Punkt verbunden wird Es gibt nur zwei regelmassige Vierzehnstrahlsterne Die Sterne mit den Symbolen 14 2 und 14 12 sind regelmassige Siebenecke 14 4 und 14 10 sowie 14 6 und 14 8 sind regelmassige Heptagramme Regelmassige Vierzehnstrahlsterne nbsp 14 3 14 11 displaystyle left 14 3 right left 14 11 right nbsp nbsp 14 5 14 9 displaystyle left 14 5 right left 14 9 right nbsp Literatur BearbeitenH Maser Die Teilung des Kreises Artikel 365 in Carl Friedrich Gauss Untersuchungen uber hohere Arithmetik Verlag von Julius Springer Berlin 1889 Gottinger Digitalisierungszentrum Universitat Gottingen abgerufen am 15 Marz 2018 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Regelmassige Vierzehnecke Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Andrew Gleason Angle Trisection the Heptagon and the Triskaidecagon In The American Mathematical Monthly Band 95 Nr 3 1988 S 185 194 186 ff JSTOR 2323624 math fau edu FIG 1 Construction of a regular heptagon PDF 303 kB abgerufen am 21 Mai 2019 Weisstein Eric W Heptagon From MathWorld A Wolfram Web Resource H August Zeichnerische Konstruktion eines Elfecks In Zeichnerische Konstruktionen Mehrecke Abgerufen am 3 Januar 2018 Peter Eckardt Siebeneck In Sterne und Polygone Abgerufen am 3 Januar 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vierzehneck amp oldid 226927914