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Dreizehneck Das oder Tridekagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon Es ist bestimmt durch dreizehn Punkt

Dreizehneck

Das Dreizehneck oder Tridekagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch dreizehn Punkte und deren dreizehn Verbindungen, bezeichnet als Strecken, Seiten oder Kanten.

Regelmäßiges Dreizehneck

Variationen Bearbeiten

Das Dreizehneck ist darstellbar als:

  • konkaves Dreizehneck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Dreizehneck kann höchstens sechs solche Winkel haben.
  • konvexes Dreizehneck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Dreizehneck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • Sehnendreizehneck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen ungleich sind.
  • regelmäßiges Dreizehneck: Es ist bestimmt durch dreizehn Punkte auf einem virtuellen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
  • regelmäßiges überschlagenes Dreizehneck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der dreizehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Regelmäßiges Dreizehneck Bearbeiten

Das regelmäßige Dreizehneck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel kein konstruierbares Polygon, denn seine Seitenanzahl ist kein Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen.

Größen Bearbeiten

Größen eines regelmäßigen Dreizehnecks
Innenwinkel

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

Seitenlänge
Umkreisradius
Inkreisradius
Höhe
Flächeninhalt

Mathematische Zusammenhänge Bearbeiten

Innenwinkel Bearbeiten

Der Innenwinkel wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl einzusetzen.

Zentriwinkel Bearbeiten

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable die Zahl einzusetzen.

Seitenlänge und Umkreisradius Bearbeiten

Das Dreizehneck ist in dreizehn gleichschenklige Dreiecke, sogenannte Teildreiecke, teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge) , der Hypotenuse (Umkreisradius) und dem halben Zentriwinkel erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge wie folgt

durch Umformen erhält man den Umkreisradius

Inkreisradius Bearbeiten

Der Inkreisradius ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge des Dreizehnecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius

Höhe Bearbeiten

Die Höhe eines regelmäßigen Dreizehneckes ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius.

Flächeninhalt Bearbeiten

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein . Für die Berechnung des Dreizehnecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge und des Inkreisradius herangezogen, worin für die Höhe eingesetzt wird.

und für die Fläche des gesamten Dreizehnecks

Geometrische Konstruktionen Bearbeiten

Wie unter Regelmäßiges Dreizehneck begründet, ergibt eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal keine Lösung. Gelten jedoch zusätzliche Hilfsmittel, wie z. B. die Methode des Archimedes, Bieberbachs Rechtwinkelhaken und der Tomahawk für eine Dreiteilung des Winkels oder die Kurven Quadratrix des Hippias und archimedische Spirale um den 90-Grad-Winkel in gleich große Winkel zu unterteilen, ist eine exakte Konstruktion machbar.

Tomahawk als zusätzliches Hilfsmittel Bearbeiten

Andrew M. Gleason veröffentlichte 1988 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly zwei elegante Konstruktionen zu den regelmäßigen Polygonen Siebeneck und Dreizehneck. Beide verlangen für eine exakte Lösung die Dreiteilung des Winkels. Die Methode hierfür ließ Andrew M. Gleason offen. Die folgende Konstruktionsskizze (linkes Bild des Doppelbildes) unterscheidet sich vom Original durch die Weiterführung der Konstruktion bis zum fertigen Dreizehneck. Die gepunkteten Linien dienen der Verdeutlichung, z. B. wie man bestimmte Funktionspunkte erzeugt. Näheres hierzu in der nachfolgenden Beschreibung anhand der Originalbeschreibung.

Dreizehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)
Animation der Konstruktionsskizze

Für das Dreizehneck beginnt man im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Kreis um Punkt mit Radius . Es folgt die Festlegung des Punktes . Um den Punkt zu erhalten, werden zunächst die Zahlenwerte , als zwölfter Teil von , sowie bestimmt, die Strecke halbiert und um deren Mittelpunkt der Thaleskreis gezogen. Die danach errichtete Senkrechte auf ab schneidet den Thaleskreis in . Die Verbindung des Punktes mit ergibt für das Eintragen des Punktes . Im Anschluss die Zahlenwerte und auf ermitteln sowie die Punkte und einzeichnen.

Zum Finden der Punkte und wird zuerst der Zahlenwert auf festgelegt und eine Senkrechte durch die errichtet. Zieht man nun einen Kreisbogen um durch , schneidet er die Senkrechte in und . Nach dem Verbinden der Punkte und mit sowie dem Ziehen eines Kreises um durch , wird der Winkel mit einer frei wählbaren Methode gedrittelt. Hier z. B. geschieht dies mithilfe eines sogenannten Tomahawks, dabei ergeben sich die Punkte und . Eine Gerade durch und ergibt und , die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreizehnecks sind. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens nacheinander gefunden werden.

Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel Bearbeiten

Bild 1: Regelmäßiges Dreizehneck mit vorgegebenem Umkreis als exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Die Konstruktion (Bild 1) des Dreizehnecks mit vorgegebenem Umkreis ist nahezu gleich der des Elfecks. Aus diesem Grund wurde die Beschreibung des Elfecks mit den erforderlichen Anpassungen übernommen.

Nach dem Zeichen des Quadrates, z. B. mit der Seitenlänge , und des Umkreises um den Punkt durch erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung :

mit

Danach wird die Strecke in dreizehn gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

Der Zentriwinkels des Dreizehnecks ergibt sich aus aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab bis in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Dreizehntel der Strecke kann nur ein Dreizehntel des Winkels erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels aus dem Umkreis mit seinen das Vierfache eines Dreizehntels, d. h. der Teilungspunkt der Strecke zur Konstruktion des Zentriwinkels genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu ab bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt . Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel durch bis zum Umkreis. Somit ergibt sich auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt . Die Länge der Strecke ist die exakte Seitenlänge des regelmäßigen Dreizehnecks.

Nach dem elfmaligen Abtragen der Seitenlänge auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte, ist das Dreizehneck fertiggestellt.

Bei gegebener Seitenlänge Bearbeiten

Bild 2: Regelmäßiges Dreizehneck mit vorgegebener Seitenlänge (grün).
Weiterführung einer exakten Konstruktion (mithilfe der Quadratrix) oder einer Näherungskonstruktion.

Die Konstruktion des Dreizehnecks mit vorgegebener Seitenlänge (siehe Bild 2) ist nahezu gleich der des Elfecks. Aus diesem Grund wurde die Beschreibung des Elfecks mit den erforderlichen Anpassungen übernommen.

Ist die Seitenlänge eines Dreizehnecks mit vorgegebenem Umkreis bereits – exakt mithilfe der Quadratrix oder näherungsweise – bestimmt, kann daraus mithilfe der sogenannten zentrischen Streckung ein Dreizehneck mit vorgegebener Seitenlänge konstruiert werden.

Nur falls die vorgegebene Seitenlänge länger als ist, werden zuerst beide Winkelschenkel des Zentriwinkels verlängert. Als Nächstes wird die Winkelhalbierenden des Winkels eingezeichnet und anschließend darauf der Punkt mit beliebiger Position bestimmt. Es folgt eine Parallele zu durch . Beim Ziehen des Halbkreises um mit Radius ergeben sich die Schnittpunkte und . Die beiden Parallelen zu ab bzw. , bis zu den betreffenden Winkelschenkeln, liefern die beiden ersten Eckpunkte und des gesuchten Dreizehnecks. Abschließend wird der somit gefundene Umkreis mit dem Radius um gezogen, ab dem Eckpunkt die Seitenlänge elfmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abgetragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

Näherungskonstruktionen Bearbeiten

Es sind nur wenige Näherungskonstruktionen des Dreizehnecks in der einschlägigen Literatur beschrieben.

Von Albrecht Dürer Bearbeiten

Bild 3: Ein Elfeck und rechts das regelmäßige Dreizehneck nach Dürer (1525) mit dem empirisch bestimmten Punkt , nahe dem Punkt

Im Jahr 1525 veröffentlichte Albrecht Dürer in seinem Werk Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen im zweiten Buch ein Elfeck und ein Dreizehneck (im Bild 3 rechts). Das in einem Kreis einbeschriebene regelmäßige Dreizehneck, benötigt zum Bestimmen der Seitenlänge nur den halben Radius und den Punkt , nahe dem Punkt . Der Punkt , Dürer hat ihn nicht näher erläutert, wird mithilfe von Versuchen (empirisch) festgelegt.

„... Weyter so jch behend ein .13. eck soll machen / so reiß jch auß einem Centrum .a. ein zirckellini Darnach reiß jch ein halbenn [63] diameter .a.b. vnd schneid den mit einem punckten .d. in der mit von einander vnd brauch die leng .c.d. zue .13. malen im zirckel herum / ist aber auch mechanice vnd nit demonstratiue.“

Dürer weist in seiner Beschreibung insbesondere darauf hin, dass dies eine näherungsweise („mechanische“) und keine exakte („demonstrative“) Konstruktion sei. Der absolute Fehler der so konstruierten ersten Seitenlänge ist abhängig von der Genauigkeit des empirisch ermittelten Punktes .

Mit einer universellen Methode Bearbeiten

Bild 4: Dreizehneck, Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode

Bild 4 zeigt ein Dreizehneck in seinem Umkreis, erstellt mit einer universellen Methode.

Zuerst wird die Strecke , später der Durchmesser des gesuchten Dreizehnecks, in gleich lange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt (in der Zeichnung nicht dargestellt) oder mittels Aneinanderreihen von gleich langen Abständen bestimmt. Nun werden entweder die geraden oder die ungeraden Zahlen (Teilungspunkte) auf markiert. In diesem Beispiel sind die geraden Zahlen und eingetragen. Die anschließende Halbierung von erfolgt mithilfe der zwei Kreisbögen um bzw. mit dem Radius . Die Kreisbögen schneiden sich in den Punkten und Durch deren Verbindung erhält man den Mittelpunkt und die Symmetrieachse.

Nach dem Einzeichnen des Umkreises um durch geht es weiter mit dem Festlegen der Eckpunkte auf dem Umkreis. Das Lineal wird an den Punkt und an die gerade Zahl gelegt. Danach am Lineal entlang eine kurze Linie durch die gegenüberliegende Hälfte der Umkreislinie gezogen, ergibt den Eckpunkt des entstehenden Dreizehnecks. Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen der Eckpunkte Sie wird fortgesetzt, jetzt ausgehend vom Punkt bis die restlichen Eckpunkte gefunden sind. Abschließend werden die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

Das Besondere an dieser Methode ist, sechs Seiten des Dreizehnecks haben paarweise die gleiche Länge, z. B. die Seiten und Die Seite hat eine von den anderen unterschiedliche Länge.

Größter und kleinster absoluter Fehler der Seitenlängen bei einem Umkreisradius mit :

Sieht man sich die beiden kleinsten absoluten Fehler der benachbarten Seiten an, folgt daraus, beide sind nahezu gleich von einer idealen Mitte entfernt. Das bedeutet, würde man in dieser Näherungskonstruktion z. B. nur die Strecken und konstruieren, anschließend das arithmetische Mittel dieser Strecken konstruktiv ermitteln, ergäbe dies eine Seitenlänge des Dreizehnecks mit einer Abweichung von

Oder anders gesagt, bei einem Umkreisradius wäre die Abweichung der konstruierten ersten Seite .

Vorkommen Bearbeiten

  • Beispiele zu Münzen mit der Form bzw. eingeprägten Figur eines regelmäßigen Dreizehnecks:

Literatur Bearbeiten

  • H. Maser: Die Teilung des Kreises ..., Artikel 365., in Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik, Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen; abgerufen am 15. März 2018.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Dreizehneck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  • Dreizehneck, Variante der Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode
  • Dreizehneck bei gegebener Seitenlänge , exakte Konstruktion

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 193, JSTOR:2323624 (Online [PDF; 303 kB; abgerufen am 17. August 2021]).
  2. Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Verlag Vieweg+Teubner 2003, S. 45–48 Die Quadratur des Kreises (Auszug (Google)), abgerufen am 29. Oktober 2017
  3. Horst Hischer: Mathematik in der Schule 32 (1994) 5, Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme. (PDF; 2,1 MB) S. 279 ff., abgerufen am 29. Oktober 2017.
  4. Albrecht Dürer: Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen. Nürnberg 1525 (ETH-Bibliothek, Konstruktion eines regelmäßigen Elf- und Dreizehnecks, S. 63, Fig 19 [abgerufen am 17. Oktober 2017]).
  5. H. August: Zeichnerische Konstruktion eines Elfecks. In: Zeichnerische Konstruktionen: Mehrecke. Abgerufen am 17. Oktober 2017.
  6. Peter Eckardt: Siebeneck. In: Sterne und Polygone. Abgerufen am 17. Oktober 2017.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Dreizehneck oder Tridekagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon Es ist bestimmt durch dreizehn Punkte und deren dreizehn Verbindungen bezeichnet als Strecken Seiten oder Kanten Regelmassiges Dreizehneck Inhaltsverzeichnis 1 Variationen 2 Regelmassiges Dreizehneck 2 1 Grossen 3 Mathematische Zusammenhange 3 1 Innenwinkel 3 2 Zentriwinkel 3 3 Seitenlange und Umkreisradius 3 4 Inkreisradius 3 5 Hohe 3 6 Flacheninhalt 4 Geometrische Konstruktionen 4 1 Tomahawk als zusatzliches Hilfsmittel 4 2 Quadratrix des Hippias als zusatzliches Hilfsmittel 4 3 Bei gegebener Seitenlange 4 4 Naherungskonstruktionen 4 4 1 Von Albrecht Durer 4 4 2 Mit einer universellen Methode 5 Vorkommen 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseVariationen BearbeitenDas Dreizehneck ist darstellbar als konkaves Dreizehneck in dem mindestens ein Innenwinkel grosser als 180 ist Ein Dreizehneck kann hochstens sechs solche Winkel haben konvexes Dreizehneck in dem alle Innenwinkel kleiner als 180 sind Ein konvexes Dreizehneck kann regelmassig oder unregelmassig sein Sehnendreizehneck in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen aber die Seitenlangen ungleich sind regelmassiges Dreizehneck Es ist bestimmt durch dreizehn Punkte auf einem virtuellen Kreis Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken auch Seiten oder Kanten genannt verbunden regelmassiges uberschlagenes Dreizehneck Es ergibt sich wenn beim Verbinden der dreizehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer ubersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind Notiert werden solche regelmassigen Sterne mit Schlafli Symbolen n k displaystyle left n k right nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k displaystyle k nbsp te Punkt verbunden wird In der folgenden Galerie sind die funf moglichen regelmassigen Dreizehnstrahlsterne auch Tridekagramme genannt dargestellt Regelmassige Dreizehnstrahlsterne nbsp 13 2 13 11 displaystyle left 13 2 right left 13 11 right nbsp nbsp 13 3 13 10 displaystyle left 13 3 right left 13 10 right nbsp nbsp 13 4 13 9 displaystyle left 13 4 right left 13 9 right nbsp nbsp 13 5 13 8 displaystyle left 13 5 right left 13 8 right nbsp nbsp 13 6 13 7 displaystyle left 13 6 right left 13 7 right nbsp Regelmassiges Dreizehneck BearbeitenDas regelmassige Dreizehneck ist nach Carl Friedrich Gauss und Pierre Laurent Wantzel kein konstruierbares Polygon denn seine Seitenanzahl n 13 displaystyle n 13 nbsp ist kein Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen Grossen Bearbeiten Grossen eines regelmassigen DreizehnecksInnenwinkel a n 2 n 180 11 13 180 a 152 307692 displaystyle begin aligned alpha amp frac n 2 n cdot 180 circ frac 11 13 cdot 180 circ alpha amp 152 overline 307692 circ end aligned nbsp nbsp Zentriwinkel Mittelpunktswinkel m 360 13 m 27 692307 displaystyle begin aligned mu amp frac 360 circ 13 mu amp 27 overline 692307 circ end aligned nbsp Seitenlange a R 2 sin 180 13 a R 1 6 26 6 13 1 3 26 6 13 cos 1 3 arctan 3 3 5 a 0 478 631 R displaystyle begin aligned a amp R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 13 right a amp R cdot left frac 1 6 sqrt 26 6 sqrt 13 frac 1 3 sqrt 26 6 sqrt 13 cos left frac 1 3 arctan left frac 3 sqrt 3 5 right right right a amp approx 0 478631 cdot R end aligned nbsp Umkreisradius R a 2 sin 180 13 R a 0 478 631 displaystyle begin aligned R amp frac a 2 cdot sin left frac 180 circ 13 right R amp approx frac a 0 478631 end aligned nbsp Inkreisradius r R cos 180 13 r R 13 3 8 13 1 8 3 tan p 6 1 6 arctan 3 3 5 r 0 970 941 R displaystyle begin aligned r amp R cdot cos left frac 180 circ 13 right r amp R cdot left frac sqrt 13 3 8 frac sqrt 13 1 8 sqrt 3 tan left frac pi 6 frac 1 6 arctan left frac 3 sqrt 3 5 right right right r amp approx 0 970941 cdot R end aligned nbsp Hohe h R r R 1 cos 180 13 h 1 970 9418 R displaystyle begin aligned h amp R r R cdot left 1 cos left frac 180 circ 13 right right h amp approx 1 9709418 cdot R end aligned nbsp Flacheninhalt A 13 R 2 sin 180 13 cos 180 13 A 3 020 7006 R 2 displaystyle begin aligned A amp 13 cdot R 2 cdot sin left frac 180 circ 13 right cdot cos left frac 180 circ 13 right A amp approx 3 0207006 cdot R 2 end aligned nbsp Mathematische Zusammenhange BearbeitenInnenwinkel Bearbeiten Der Innenwinkel a displaystyle alpha nbsp wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen In der allgemeinen Formel fur regelmassige Polygone steht die Variable n displaystyle n nbsp fur die Anzahl der Eckpunkte des Polygons In diesem Fall ist fur die Variable die Zahl 13 displaystyle 13 nbsp einzusetzen a n 2 n 180 13 2 13 180 11 13 180 152 307692 displaystyle alpha frac n 2 n cdot 180 circ frac 13 2 13 cdot 180 circ frac 11 13 cdot 180 circ 152 overline 307692 circ nbsp Zentriwinkel Bearbeiten Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp wird von zwei benachbarten Umkreisradien R displaystyle R nbsp eingeschlossen In der allgemeinen Formel ist fur die Variable n displaystyle n nbsp die Zahl 13 displaystyle 13 nbsp einzusetzen m 360 n 360 13 27 692307 displaystyle mu frac 360 circ n frac 360 circ 13 27 overline 692307 circ nbsp Seitenlange und Umkreisradius Bearbeiten Das Dreizehneck ist in dreizehn gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar Aus der Halfte eines solchen Teildreiecks sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete halbe Seitenlange a 2 displaystyle frac a 2 nbsp der Hypotenuse Umkreisradius R displaystyle R nbsp und dem halben Zentriwinkel m 2 displaystyle frac mu 2 nbsp erhalt man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlange a displaystyle a nbsp wie folgt a R 2 sin m 2 R 2 sin 180 13 R 2 sin 13 846153 a 0 478 631 R displaystyle begin aligned a amp R cdot 2 cdot sin left frac mu 2 right R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 13 right amp R cdot 2 cdot sin left 13 overline 846153 circ right a amp approx 0 478631 cdot R end aligned nbsp durch Umformen erhalt man den Umkreisradius R displaystyle R nbsp R a 2 sin 180 13 R a 0 478 631 displaystyle begin aligned R amp frac a 2 cdot sin left frac 180 circ 13 right R amp approx frac a 0 478631 end aligned nbsp Inkreisradius Bearbeiten Der Inkreisradius r displaystyle r nbsp ist die Hohe eines Teildreiecks senkrecht zur Seitenlange a displaystyle a nbsp des Dreizehnecks Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlange verwendet gilt fur den Inkreisradius r displaystyle r nbsp r R cos m 2 R cos 180 13 r 0 970 941 R displaystyle begin aligned r amp R cdot cos left frac mu 2 right R cdot cos left frac 180 circ 13 right r amp approx 0 970941 cdot R end aligned nbsp Hohe Bearbeiten Die Hohe h displaystyle h nbsp eines regelmassigen Dreizehneckes ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius h R r R R cos 180 13 R 1 cos 180 13 displaystyle h R r R R cdot cos left frac 180 circ 13 right R cdot left 1 cos left frac 180 circ 13 right right nbsp h 1 970 941817 R displaystyle h approx 1 970941817 cdot R nbsp Flacheninhalt Bearbeiten Der Flacheninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein A D 1 2 a h a displaystyle A Delta frac 1 2 a cdot h a nbsp Fur die Berechnung des Dreizehnecks werden die Ergebnisse der Seitenlange a displaystyle a nbsp und des Inkreisradius r displaystyle r nbsp herangezogen worin r displaystyle r nbsp fur die Hohe h a displaystyle h a nbsp eingesetzt wird a R 2 sin 180 13 displaystyle a R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 13 right nbsp h a r R cos 180 13 displaystyle h a r R cdot cos left frac 180 circ 13 right nbsp daraus folgt fur die Flache eines Teildreiecks A D 1 2 R 2 sin 180 13 R cos 180 13 displaystyle begin aligned A Delta amp frac 1 2 cdot R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 13 right cdot R cdot cos left frac 180 circ 13 right end aligned nbsp zusammengefasst ergibt sich A D R 2 sin 180 13 cos 180 13 displaystyle A Delta R 2 cdot sin left frac 180 circ 13 right cdot cos left frac 180 circ 13 right nbsp A D 0 232 361586 R 2 displaystyle A Delta approx 0 232361586 cdot R 2 nbsp und fur die Flache des gesamten Dreizehnecks A 13 A D 13 R 2 sin 180 13 cos 180 13 displaystyle A 13 cdot A Delta 13 cdot R 2 cdot sin left frac 180 circ 13 right cdot cos left frac 180 circ 13 right nbsp A 3 020 700618 R 2 displaystyle A approx 3 020700618 cdot R 2 nbsp Geometrische Konstruktionen BearbeitenWie unter Regelmassiges Dreizehneck begrundet ergibt eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal keine Losung Gelten jedoch zusatzliche Hilfsmittel wie z B die Methode des Archimedes Bieberbachs Rechtwinkelhaken und der Tomahawk fur eine Dreiteilung des Winkels oder die Kurven Quadratrix des Hippias und archimedische Spirale um den 90 Grad Winkel in n displaystyle n nbsp gleich grosse Winkel zu unterteilen ist eine exakte Konstruktion machbar Tomahawk als zusatzliches Hilfsmittel Bearbeiten Andrew M Gleason veroffentlichte 1988 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly zwei elegante Konstruktionen zu den regelmassigen Polygonen Siebeneck und Dreizehneck 1 Beide verlangen fur eine exakte Losung die Dreiteilung des Winkels Die Methode hierfur liess Andrew M Gleason offen Die folgende Konstruktionsskizze linkes Bild des Doppelbildes unterscheidet sich vom Original durch die Weiterfuhrung der Konstruktion bis zum fertigen Dreizehneck Die gepunkteten Linien dienen der Verdeutlichung z B wie man bestimmte Funktionspunkte erzeugt Naheres hierzu in der nachfolgenden Beschreibung anhand der Originalbeschreibung nbsp Dreizehneck Konstruktionsskizze mit Tomahawk hellblau nbsp Animation der Konstruktionsskizze Fur das Dreizehneck beginnt man im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Kreis um Punkt O 0 0 displaystyle O 0 0 nbsp mit Radius 12 displaystyle 12 nbsp Es folgt die Festlegung des Punktes A 13 12 0 displaystyle A 13 12 0 nbsp Um den Punkt P 13 1 0 displaystyle P left sqrt 13 1 0 right nbsp zu erhalten werden zunachst die Zahlenwerte 1 displaystyle 1 nbsp als zwolfter Teil von O 13 displaystyle overline O13 nbsp sowie 13 displaystyle 13 nbsp bestimmt die Strecke O 13 displaystyle overline O13 nbsp halbiert und um deren Mittelpunkt der Thaleskreis gezogen Die danach errichtete Senkrechte auf O 13 displaystyle overline O13 nbsp ab 1 displaystyle 1 nbsp schneidet den Thaleskreis in E displaystyle E nbsp Die Verbindung des Punktes O displaystyle O nbsp mit E displaystyle E nbsp ergibt 13 displaystyle sqrt 13 nbsp fur das Eintragen des Punktes P 13 1 0 displaystyle P left sqrt 13 1 0 right nbsp Im Anschluss die Zahlenwerte 5 displaystyle 5 nbsp und 7 displaystyle 7 nbsp auf O 13 displaystyle overline O13 nbsp ermitteln sowie die Punkte Q 5 13 0 displaystyle Q left 5 sqrt 13 0 right nbsp und R 7 13 0 displaystyle R left 7 sqrt 13 0 right nbsp einzeichnen Zum Finden der Punkte K displaystyle K nbsp und L displaystyle L nbsp wird zuerst der Zahlenwert 6 displaystyle 6 nbsp auf O 13 displaystyle overline O13 nbsp festgelegt und eine Senkrechte durch die 6 displaystyle 6 nbsp errichtet Zieht man nun einen Kreisbogen um R displaystyle R nbsp durch Q displaystyle Q nbsp schneidet er die Senkrechte in K 6 3 13 1 displaystyle K left 6 sqrt 3 cdot left sqrt 13 1 right right nbsp und L 6 3 13 1 displaystyle L left 6 sqrt 3 cdot left sqrt 13 1 right right nbsp Nach dem Verbinden der Punkte K displaystyle K nbsp und L displaystyle L nbsp mit P displaystyle P nbsp sowie dem Ziehen eines Kreises um P displaystyle P nbsp durch K displaystyle K nbsp wird der Winkel L P K displaystyle LPK nbsp mit einer frei wahlbaren Methode gedrittelt Hier z B geschieht dies mithilfe eines sogenannten Tomahawks dabei ergeben sich die Punkte S displaystyle S nbsp und T displaystyle T nbsp Eine Gerade durch S displaystyle S nbsp und T displaystyle T nbsp ergibt A 1 displaystyle A 1 nbsp und A 12 displaystyle A 12 nbsp die Eckpunkte eines regelmassigen Dreizehnecks A 1 A 13 displaystyle A 1 dots A 13 nbsp sind Die ubrigen Eckpunkte konnen durch Verwendung des Kreisbogens O A 13 A 1 displaystyle OA 13 A 1 nbsp nacheinander gefunden werden Quadratrix des Hippias als zusatzliches Hilfsmittel Bearbeiten nbsp Bild 1 Regelmassiges Dreizehneck mit vorgegebenem Umkreis als exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusatzliches HilfsmittelDie Konstruktion Bild 1 des Dreizehnecks mit vorgegebenem Umkreis ist nahezu gleich der des Elfecks Aus diesem Grund wurde die Beschreibung des Elfecks mit den erforderlichen Anpassungen ubernommen Nach dem Zeichen des Quadrates z B mit der Seitenlange 1 displaystyle 1 nbsp und des Umkreises um den Punkt O displaystyle O nbsp durch A 1 displaystyle A 1 nbsp erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve der sogenannten Quadratrix des Hippias mit der Parameterdarstellung g 0 p 2 R 2 displaystyle gamma colon 0 tfrac pi 2 rightarrow mathbb R 2 nbsp 2 3 g t x t y t displaystyle gamma t begin pmatrix x t y t end pmatrix nbsp mit x t t cot p t 2 1 0 t 1 y t t displaystyle begin aligned x t amp begin cases t cot left frac pi t 2 cdot 1 right amp 0 leq t leq 1 end cases y t amp t end aligned nbsp Danach wird die Strecke C O displaystyle overline CO nbsp in dreizehn gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt Aus Grunden der Ubersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt Der Zentriwinkels des Dreizehnecks ergibt sich aus m 360 13 displaystyle mu frac 360 circ 13 nbsp aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab gt 0 displaystyle gt 0 circ nbsp bis 90 displaystyle leq 90 circ nbsp in gleich grosse Winkel Daraus folgt ein Dreizehntel der Strecke C O displaystyle overline CO nbsp kann nur ein Dreizehntel des Winkels 90 displaystyle 90 circ nbsp erzielen Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels m displaystyle mu nbsp aus dem Umkreis mit seinen 360 displaystyle 360 circ nbsp das Vierfache eines Dreizehntels d h der Teilungspunkt 4 displaystyle 4 nbsp der Strecke C O displaystyle overline CO nbsp zur Konstruktion des Zentriwinkels m displaystyle mu nbsp genutzt Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu A 1 O displaystyle overline A 1 O nbsp ab 4 displaystyle 4 nbsp bis zur Kurve der Quadratrix dabei ergibt sich der Punkt D displaystyle D nbsp Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel O displaystyle O nbsp durch D displaystyle D nbsp bis zum Umkreis Somit ergibt sich auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt A 2 displaystyle A 2 nbsp Die Lange der Strecke A 1 A 2 displaystyle overline A 1 A 2 nbsp ist die exakte Seitenlange a displaystyle a nbsp des regelmassigen Dreizehnecks Nach dem elfmaligen Abtragen der Seitenlange a displaystyle a nbsp auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschliessenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte ist das Dreizehneck A 1 A 13 displaystyle A 1 ldots A 13 nbsp fertiggestellt Bei gegebener Seitenlange Bearbeiten nbsp Bild 2 Regelmassiges Dreizehneck mit vorgegebener Seitenlange a displaystyle a nbsp grun Weiterfuhrung einer exakten Konstruktion mithilfe der Quadratrix oder einer Naherungskonstruktion Die Konstruktion des Dreizehnecks mit vorgegebener Seitenlange siehe Bild 2 ist nahezu gleich der des Elfecks Aus diesem Grund wurde die Beschreibung des Elfecks mit den erforderlichen Anpassungen ubernommen Ist die Seitenlange a displaystyle a nbsp eines Dreizehnecks mit vorgegebenem Umkreis bereits exakt mithilfe der Quadratrix oder naherungsweise bestimmt kann daraus mithilfe der sogenannten zentrischen Streckung ein Dreizehneck mit vorgegebener Seitenlange a displaystyle a nbsp konstruiert werden Nur falls die vorgegebene Seitenlange a displaystyle a nbsp langer als a displaystyle a nbsp ist werden zuerst beide Winkelschenkel des Zentriwinkels m displaystyle mu nbsp verlangert Als Nachstes wird die Winkelhalbierenden w h displaystyle wh nbsp des Winkels m displaystyle mu nbsp eingezeichnet und anschliessend darauf der Punkt M displaystyle M nbsp mit beliebiger Position bestimmt Es folgt eine Parallele zu a A 1 A 2 displaystyle a overline A 1 A 2 nbsp durch M displaystyle M nbsp Beim Ziehen des Halbkreises um M displaystyle M nbsp mit Radius r a 2 displaystyle r frac a 2 nbsp ergeben sich die Schnittpunkte E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp Die beiden Parallelen zu w h displaystyle wh nbsp ab E displaystyle E nbsp bzw F displaystyle F nbsp bis zu den betreffenden Winkelschenkeln liefern die beiden ersten Eckpunkte A 1 displaystyle A 1 nbsp und A 2 displaystyle A 2 nbsp des gesuchten Dreizehnecks Abschliessend wird der somit gefundene Umkreis mit dem Radius r u O A 1 displaystyle r u overline OA 1 nbsp um O displaystyle O nbsp gezogen ab dem Eckpunkt A 2 displaystyle A 2 nbsp die Seitenlange a displaystyle a nbsp elfmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abgetragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden Naherungskonstruktionen Bearbeiten Es sind nur wenige Naherungskonstruktionen des Dreizehnecks in der einschlagigen Literatur beschrieben Von Albrecht Durer Bearbeiten nbsp Bild 3 Ein Elfeck und rechts das regelmassige Dreizehneck nach Durer 1525 mit dem empirisch bestimmten Punkt c displaystyle c nbsp nahe dem Punkt b displaystyle b nbsp Im Jahr 1525 veroffentlichte Albrecht Durer in seinem Werk Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt in Linien Ebenen unnd gantzen im zweiten Buch ein Elfeck und ein Dreizehneck im Bild 3 rechts 4 Das in einem Kreis einbeschriebene regelmassige Dreizehneck benotigt zum Bestimmen der Seitenlange nur den halben Radius und den Punkt c displaystyle c nbsp nahe dem Punkt b displaystyle b nbsp Der Punkt c displaystyle c nbsp Durer hat ihn nicht naher erlautert wird mithilfe von Versuchen empirisch festgelegt Weyter so jch behend ein 13 eck soll machen so reiss jch auss einem Centrum a ein zirckellini Darnach reiss jch ein halbenn 63 diameter a b vnd schneid den mit einem punckten d in der mit von einander vnd brauch die leng c d zue 13 malen im zirckel herum ist aber auch mechanice vnd nit demonstratiue Durer weist in seiner Beschreibung insbesondere darauf hin dass dies eine naherungsweise mechanische und keine exakte demonstrative Konstruktion sei Der absolute Fehler der so konstruierten ersten Seitenlange ist abhangig von der Genauigkeit des empirisch ermittelten Punktes c displaystyle c nbsp Mit einer universellen Methode Bearbeiten nbsp Bild 4 Dreizehneck Naherungskonstruktion mit einer universellen MethodeBild 4 zeigt ein Dreizehneck in seinem Umkreis erstellt mit einer universellen Methode 5 6 Zuerst wird die Strecke A B displaystyle overline AB nbsp spater der Durchmesser des gesuchten Dreizehnecks in 13 displaystyle 13 nbsp gleich lange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt in der Zeichnung nicht dargestellt oder mittels Aneinanderreihen von 13 displaystyle 13 nbsp gleich langen Abstanden bestimmt Nun werden entweder die geraden oder die ungeraden Zahlen Teilungspunkte auf A B displaystyle overline AB nbsp markiert In diesem Beispiel sind die geraden Zahlen 2 4 6 8 10 displaystyle 2 4 6 8 10 nbsp und 12 displaystyle 12 nbsp eingetragen Die anschliessende Halbierung von A B displaystyle overline AB nbsp erfolgt mithilfe der zwei Kreisbogen um A displaystyle A nbsp bzw B displaystyle B nbsp mit dem Radius A B displaystyle overline AB nbsp Die Kreisbogen schneiden sich in den Punkten C displaystyle C nbsp und D displaystyle D nbsp Durch deren Verbindung erhalt man den Mittelpunkt O displaystyle O nbsp und die Symmetrieachse Nach dem Einzeichnen des Umkreises um O displaystyle O nbsp durch A displaystyle A nbsp geht es weiter mit dem Festlegen der Eckpunkte auf dem Umkreis Das Lineal wird an den Punkt D displaystyle D nbsp und an die gerade Zahl 2 displaystyle 2 nbsp gelegt Danach am Lineal entlang eine kurze Linie durch die gegenuberliegende Halfte der Umkreislinie gezogen ergibt den Eckpunkt E 6 displaystyle E 6 nbsp des entstehenden Dreizehnecks Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen der Eckpunkte E 5 E 1 displaystyle E 5 ldots E 1 nbsp Sie wird fortgesetzt jetzt ausgehend vom Punkt C displaystyle C nbsp bis die restlichen Eckpunkte E 8 E 13 displaystyle E 8 ldots E 13 nbsp gefunden sind Abschliessend werden die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden Das Besondere an dieser Methode ist sechs Seiten des Dreizehnecks haben paarweise die gleiche Lange z B die Seiten E 6 E 7 displaystyle overline E 6 E 7 nbsp und E 7 E 8 displaystyle overline E 7 E 8 nbsp Die Seite E 1 E 13 displaystyle overline E 1 E 13 nbsp hat eine von den anderen unterschiedliche Lange Grosster und kleinster absoluter Fehler der Seitenlangen bei einem Umkreisradius mit R 1 m displaystyle R 1 mathrm m nbsp E 1 E 13 21 26 m m displaystyle overline E 1 E 13 approx 21 26 mathrm mm nbsp E 4 E 5 displaystyle overline E 4 E 5 nbsp und E 9 E 10 1 176 704 m m displaystyle overline E 9 E 10 approx 1 176704 mathrm mm nbsp E 3 E 4 displaystyle overline E 3 E 4 nbsp und E 10 E 11 1 193 636 m m displaystyle overline E 10 E 11 approx 1 193636 mathrm mm nbsp Sieht man sich die beiden kleinsten absoluten Fehler der benachbarten Seiten an folgt daraus beide sind nahezu gleich von einer idealen Mitte 0 m m displaystyle 0 mathrm mm nbsp entfernt Das bedeutet wurde man in dieser Naherungskonstruktion z B nur die Strecken E 9 E 10 displaystyle overline E 9 E 10 nbsp und E 10 E 11 displaystyle overline E 10 E 11 nbsp konstruieren anschliessend das arithmetische Mittel dieser Strecken konstruktiv ermitteln ergabe dies eine Seitenlange des Dreizehnecks mit einer Abweichung von 1 2 1 176 704 m m 1 193 636 m m 0 008 466 m m displaystyle frac 1 2 cdot left 1 176704 ldots mathrm mm 1 193636 ldots mathrm mm right 0 008466 ldots mathrm mm nbsp Oder anders gesagt bei einem Umkreisradius R 1 k m displaystyle R 1 mathrm km nbsp ware die Abweichung der konstruierten ersten Seite 8 5 m m displaystyle approx 8 5 mathrm mm nbsp Vorkommen BearbeitenBeispiele zu Munzen mit der Form bzw eingepragten Figur eines regelmassigen Dreizehnecks nbsp Tschechische 20 Kronen Munze mit gerundeten Kanten 1997 links Vorderseite mit dem Bohmischen Lowen rechts Ruckseite mit der Wenzelsstatue am Wenzelsplatz nbsp Tunesische 200 Millim Munze 2013 mit gerundeten Kanten links Ruckseite rechts Vorderseite nbsp Tunesische 2 Dinar Munze 2013 mit gerundeten Kanten links Ruckseite mit dem Hafen von Karthago rechts Vorderseite mit einem Olivenbaum Literatur BearbeitenH Maser Die Teilung des Kreises Artikel 365 in Carl Friedrich Gauss Untersuchungen uber hohere Arithmetik Verlag von Julius Springer Berlin 1889 Gottinger Digitalisierungszentrum Universitat Gottingen abgerufen am 15 Marz 2018 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Dreizehneck Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Dreizehneck Variante der Naherungskonstruktion mit einer universellen Methode Dreizehneck bei gegebener Seitenlange a displaystyle a nbsp exakte KonstruktionEinzelnachweise Bearbeiten Andrew Gleason Angle Trisection the Heptagon and the Triskaidecagon In The American Mathematical Monthly Band 95 Nr 3 1988 S 193 JSTOR 2323624 Online PDF 303 kB abgerufen am 17 August 2021 Hans Wolfgang Henn Elementare Geometrie und Algebra Verlag Vieweg Teubner 2003 S 45 48 Die Quadratur des Kreises Auszug Google abgerufen am 29 Oktober 2017 Horst Hischer Mathematik in der Schule 32 1994 5 Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt 2 Losung klassischer Probleme PDF 2 1 MB S 279 ff abgerufen am 29 Oktober 2017 Albrecht Durer Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt in Linien Ebenen unnd gantzen corporen Nurnberg 1525 ETH Bibliothek Konstruktion eines regelmassigen Elf und Dreizehnecks S 63 Fig 19 abgerufen am 17 Oktober 2017 H August Zeichnerische Konstruktion eines Elfecks In Zeichnerische Konstruktionen Mehrecke Abgerufen am 17 Oktober 2017 Peter Eckardt Siebeneck In Sterne und Polygone Abgerufen am 17 Oktober 2017 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dreizehneck amp oldid 226815310