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Kontraposition Unter von lateinisch contra gegen und lat positio Position Stellung Lage versteht man in der Logik den Um

Kontraposition

Unter Kontraposition (von lateinisch contra ‚gegen‘ und lat. positio ‚Position‘, ‚Stellung‘, ‚Lage‘) versteht man in der Logik den Umkehrschluss einer Implikation, d. h. den Schluss von „Wenn A, dann B“ auf „Wenn nicht B, dann nicht A“.

Tatsächlich ist die Aussage „Aus A folgt B“ sogar äquivalent zu ihrer Kontraposition „Aus nicht B folgt nicht A“.

Nicht zulässig ist dagegen der Schluss „Aus B folgt A“ oder „Aus nicht A folgt nicht B“.

Notation in der Mathematik Bearbeiten

Sind und zwei Aussagen, dann sind die Folgerungen (Subjunktionen) und äquivalente Aussagen:

Dabei bezeichnet die Negation einer Aussage . In der Mathematik verwendet man für Implikationen die Notation , die die Allgemeingültigkeit der Folgerung anzeigt.

Für ist die Subjunktion äquivalent („“) zur Kontraposition . Die Subjunktion selbst ist allerdings in den reellen Zahlen eine falsche Aussage, denn es gilt zwar , aber wegen der Ungleichung gilt nicht . Die Äquivalenz („“) ist dagegen tautologisch (allgemeingültig), da die linke Aussage genau dann wahr ist, wenn auch die Kontraposition (rechte Aussage) wahr ist.

Wahrheitstafeln Bearbeiten

Die Äquivalenz der Aussagen kann man über Wahrheitstabellen überpüfen:

Wahrheitstabelle für
wahr wahr wahr
wahr falsch falsch
falsch wahr wahr
falsch falsch wahr
Wahrheitstabelle für
wahr wahr falsch falsch wahr
wahr falsch wahr falsch falsch
falsch wahr falsch wahr wahr
falsch falsch wahr wahr wahr

Äquivalenz zu einer ODER-Aussage Bearbeiten

Sowohl als auch sind ferner äquivalent zu . „“ ist dabei die Notation für ein „ODER“ (Disjunktion) – siehe auch folgende Wahrheitstabelle im Vergleich zu den Wahrheitstabellen für Subjunktion und Kontraposition.

Wahrheitstabelle für
wahr wahr falsch wahr
wahr falsch falsch falsch
falsch wahr wahr wahr
falsch falsch wahr wahr

Beispiele Bearbeiten

Alltagsbeispiel Bearbeiten

„Wenn es regnet, dann ist der Fußgängerweg nass.“ Diese Aussage („Aus A folgt B“) ist äquivalent zu ihrer Kontraposition („Aus nicht B folgt nicht A“): „Wenn der Fußgängerweg nicht nass ist, dann regnet es nicht.“

„Aus B folgt A“ gilt allerdings nicht: „Wenn der Fußgängerweg nass ist“, muss es nicht zwangsläufig regnen. Es kann (immer noch) regnen; es kann schon wieder regnen; es regnet nicht; oder der Fußgängerweg ist aus anderen Gründen nass (Straßenreinigung, spielende Kinder).

Mathematisches Beispiel Bearbeiten

Aussage:

Es gilt die Kontraposition:

Falsch wäre jedoch:

Denn ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend für :
Wenn gilt, kann neben auch gelten.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Kontraposition – Lern- und Lehrmaterialien
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Veröffentlichungsdatum:
Unter Kontraposition von lateinisch contra gegen und lat positio Position Stellung Lage versteht man in der Logik den Umkehrschluss einer Implikation d h den Schluss von Wenn A dann B auf Wenn nicht B dann nicht A Tatsachlich ist die Aussage Aus A folgt B sogar aquivalent zu ihrer Kontraposition Aus nicht B folgt nicht A Nicht zulassig ist dagegen der Schluss Aus B folgt A oder Aus nicht A folgt nicht B Inhaltsverzeichnis 1 Notation in der Mathematik 1 1 Wahrheitstafeln 1 2 Aquivalenz zu einer ODER Aussage 2 Beispiele 2 1 Alltagsbeispiel 2 2 Mathematisches Beispiel 3 Siehe auch 4 WeblinksNotation in der Mathematik BearbeitenSind A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp zwei Aussagen dann sind die Folgerungen Subjunktionen A B displaystyle A rightarrow B nbsp und B A displaystyle neg B rightarrow neg A nbsp aquivalente Aussagen A B B A displaystyle A rightarrow B Longleftrightarrow neg B rightarrow neg A nbsp Dabei bezeichnet A displaystyle neg A nbsp die Negation einer Aussage A displaystyle A nbsp In der Mathematik verwendet man fur Implikationen die Notation displaystyle Rightarrow nbsp die die Allgemeingultigkeit der Folgerung anzeigt Fur x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp ist die Subjunktion x lt y x 2 lt y 2 displaystyle x lt y rightarrow x 2 lt y 2 nbsp aquivalent displaystyle Longleftrightarrow nbsp zur Kontraposition x 2 y 2 x y displaystyle x 2 geq y 2 rightarrow x geq y nbsp Die Subjunktion x lt y x 2 lt y 2 displaystyle x lt y rightarrow x 2 lt y 2 nbsp selbst ist allerdings in den reellen Zahlen eine falsche Aussage denn es gilt zwar 4 lt 3 displaystyle 4 lt 3 nbsp aber wegen der Ungleichung 16 4 2 3 2 9 displaystyle 16 4 2 geq 3 2 9 nbsp gilt nicht 4 2 lt 3 2 displaystyle 4 2 lt 3 2 nbsp Die Aquivalenz displaystyle Longleftrightarrow nbsp ist dagegen tautologisch allgemeingultig da die linke Aussage genau dann wahr ist wenn auch die Kontraposition rechte Aussage wahr ist Wahrheitstafeln Bearbeiten Die Aquivalenz der Aussagen kann man uber Wahrheitstabellen uberpufen Wahrheitstabelle fur A B displaystyle A rightarrow B nbsp A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp A B displaystyle A rightarrow B nbsp wahr wahr wahrwahr falsch falschfalsch wahr wahrfalsch falsch wahrWahrheitstabelle fur B A displaystyle neg B rightarrow neg A nbsp A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp B displaystyle neg B nbsp A displaystyle neg A nbsp B A displaystyle neg B rightarrow neg A nbsp wahr wahr falsch falsch wahrwahr falsch wahr falsch falschfalsch wahr falsch wahr wahrfalsch falsch wahr wahr wahrAquivalenz zu einer ODER Aussage Bearbeiten Sowohl A B displaystyle A rightarrow B nbsp als auch B A displaystyle neg B rightarrow neg A nbsp sind ferner aquivalent zu A B displaystyle neg A vee B nbsp displaystyle vee nbsp ist dabei die Notation fur ein ODER Disjunktion siehe auch folgende Wahrheitstabelle im Vergleich zu den Wahrheitstabellen fur Subjunktion und Kontraposition Wahrheitstabelle fur A B displaystyle neg A vee B nbsp A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp A displaystyle neg A nbsp A B displaystyle neg A vee B nbsp wahr wahr falsch wahrwahr falsch falsch falschfalsch wahr wahr wahrfalsch falsch wahr wahrBeispiele BearbeitenAlltagsbeispiel Bearbeiten Wenn es regnet dann ist der Fussgangerweg nass Diese Aussage Aus A folgt B ist aquivalent zu ihrer Kontraposition Aus nicht B folgt nicht A Wenn der Fussgangerweg nicht nass ist dann regnet es nicht Aus B folgt A gilt allerdings nicht Wenn der Fussgangerweg nass ist muss es nicht zwangslaufig regnen Es kann immer noch regnen es kann schon wieder regnen es regnet nicht oder der Fussgangerweg ist aus anderen Grunden nass Strassenreinigung spielende Kinder Mathematisches Beispiel Bearbeiten Aussage a Z a 1 mod 3 a 2 1 mod 3 displaystyle forall a in mathbb Z colon quad left a equiv 1 bmod 3 Rightarrow a 2 equiv 1 bmod 3 right nbsp Es gilt die Kontraposition a Z a 2 1 mod 3 a 1 mod 3 displaystyle forall a in mathbb Z colon quad left a 2 not equiv 1 bmod 3 Rightarrow a not equiv 1 bmod 3 right nbsp Falsch ware jedoch a Z a 2 1 mod 3 a 1 mod 3 displaystyle forall a in mathbb Z colon quad left a 2 equiv 1 bmod 3 Rightarrow a equiv 1 bmod 3 right nbsp Denn a 2 1 mod 3 displaystyle a 2 equiv 1 bmod 3 nbsp ist zwar notwendig aber nicht hinreichend fur a 1 mod 3 displaystyle a equiv 1 bmod 3 nbsp Wenn a 2 1 mod 3 displaystyle a 2 equiv 1 bmod 3 nbsp gilt kann neben a 1 mod 3 displaystyle a equiv 1 bmod 3 nbsp auch a 2 mod 3 displaystyle a equiv 2 bmod 3 nbsp gelten Siehe auch BearbeitenUmkehrschluss die Kontraposition als juristische Auslegungsmethode Negation DisjunktionWeblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Kontraposition Lern und Lehrmaterialien Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kontraposition amp oldid 233132382