In der Unterhaltungsmathematik ist eine Primeval Zahl vom englischen Primeval Number eine naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N fur die die Anzahl der Primzahlen die man durch Permutation einiger oder aller ihrer Ziffern also durch Vertauschung bzw Weglassung ihrer Ziffern erhalten kann grosser ist als die Anzahl der Primzahlen die man auf dieselbe Art und Weise fur alle kleineren naturlichen Zahlen m lt n displaystyle m lt n erhalten kann Der Mathematiker Mike Keith en hat sich im Jahr 1998 als Erster mit diesen Zahlen beschaftigt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Primeval Primzahlen 3 Eigenschaften 3 1 Beispiele 4 Primeval Zahlen zu anderen Basen 4 1 Beispiele 5 k Primeval Zahlen 5 1 Beispiele 6 k Primeval Primzahlen 6 1 Beispiele 7 Siehe auch 8 Einzelnachweise 9 WeblinksBeispiele BearbeitenAus der Zahl n 1379 displaystyle n 1379 nbsp kann man folgende Primzahlen durch Vertauschung und Weglassung der Ziffern erzeugen 3 7 13 17 19 31 37 71 73 79 97 137 139 173 179 193 197 317 379 397 719 739 937 971 1973 3719 3917 7193 9137 9173 9371 dd Insgesamt sind das 31 Primzahlen die erzeugt werden konnen Dies macht die Zahl n 1379 displaystyle n 1379 nbsp noch nicht zur Primeval Zahl Man muss vorher nachweisen dass man aus allen kleineren naturlichen Zahlen 0 lt m lt n 1379 displaystyle 0 lt m lt n 1379 nbsp nicht so viele also weniger als 31 Primzahlen erzeugen kann Dies ist allerdings tatsachlich der Fall es gibt keine einzige Zahl m lt n 1379 displaystyle m lt n 1379 nbsp aus der man 31 oder mehr Primzahlen durch Vertauschung und Weglassung der Ziffern erzeugen kann Somit ist n 1379 displaystyle n 1379 nbsp eine Primeval Zahl Die ersten Primeval Zahlen lauten 1 2 13 37 107 113 137 1013 1037 1079 1237 1367 1379 10079 10123 10136 10139 10237 10279 10367 10379 12379 13679 100279 100379 101237 102347 102379 103679 123479 1001237 1002347 1002379 1003679 1012349 1012379 Folge A072857 in OEIS dd Die Anzahl der Primzahlen die man aus obig genannten Primeval Zahlen machen kann lauten 0 1 3 4 5 7 11 14 19 21 26 29 31 33 35 41 53 55 60 64 89 96 106 122 153 188 248 311 349 402 421 547 705 812 906 1098 Folge A076497 in OEIS dd Beispiel An der 15 Stelle obiger beiden Listen kann man die Zahlen n 10123 displaystyle n 10123 nbsp und 35 displaystyle 35 nbsp ablesen Dies bedeutet dass man aus der Zahl n 10123 displaystyle n 10123 nbsp genau 35 displaystyle 35 nbsp verschiedene Primzahlen machen kann und dass es keine einzige Zahl m lt n 10123 displaystyle m lt n 10123 nbsp gibt aus der man 35 displaystyle 35 nbsp oder mehr verschiedene Primzahlen machen kann dd Die grosste Anzahl an Primzahlen die man aus einer k displaystyle k nbsp stelligen Primeval Zahl machen kann mit k 1 2 3 displaystyle k 1 2 3 ldots nbsp sind die folgenden 1 4 11 31 106 402 1953 10542 75447 398100 3605464 Folge A076730 in OEIS Die dazugehorigen k displaystyle k nbsp stelligen Primeval Zahlen mit der grossten Anzahl an Primzahlen sind die folgenden es sind auch gleichzeitig die grossten k displaystyle k nbsp stelligen Primeval Zahlen 2 37 137 1379 13679 123479 1234679 12345679 102345679 1123456789 10123456789 Folge A134596 in OEIS Beispiel An der 6 Stelle obiger beider Listen steht die Zahl 402 displaystyle 402 nbsp und 123479 displaystyle 123479 nbsp Das bedeutet dass man aus einer 6 stelligen Primeval Zahl maximal 402 displaystyle 402 nbsp Primzahlen machen kann In diesem Fall ware es die Primeval Zahl n 123479 displaystyle n 123479 nbsp aus der man 402 displaystyle 402 nbsp verschiedene Primzahlen machen kann kann man auch an der 30 Stelle der beiden obersten Listen entnehmen dd Die folgende Tabelle gibt die ersten sieben Primeval Zahlen an und welche Primzahlen man daraus machen kann Primeval Zahl daraus erhaltene Primzahlen Anzahl der so erhaltenenPrimzahlen1 02 2 113 3 13 31 337 3 7 37 73 4107 7 17 71 107 701 5113 3 11 13 31 113 131 311 7137 3 7 13 17 31 37 71 73 137 173 317 11Primeval Primzahlen BearbeitenEine Primeval Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp welche Primzahl ist nennt man Primeval Primzahl Eigenschaften BearbeitenDie Maximalanzahl der durch Permutation erhaltbaren Zahlen sind jeweils fur ein zwei drei oder mehrstellige Zahlen 1 4 15 64 325 dd Die grosste Primeval Zahl mit der Eigenschaft dass alle Permutationen ihrer Ziffern Primzahlen sind ist die Zahl n 37 displaystyle n 37 nbsp 1 Beispiel Sei n 107 displaystyle n 107 nbsp Diese Zahl ist eine dreistellige Primeval Zahl Insgesamt gibt es wenn man alle drei Ziffern permutiert 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 1 3 2 1 6 15 displaystyle binom 3 1 cdot 1 binom 3 2 cdot 2 binom 3 3 cdot 3 3 cdot 1 3 cdot 2 1 cdot 6 15 nbsp Moglichkeiten Obiger Tabelle kann man aber entnehmen dass man nur 5 Primzahlen namlich 7 17 71 107 displaystyle 7 17 71 107 nbsp und 701 displaystyle 701 nbsp durch Vertauschungen erhalt Es fehlen noch 10 weitere Moglichkeiten namlich 0 1 01 07 10 70 017 071 170 displaystyle 0 1 01 07 10 70 017 071 170 nbsp und 710 displaystyle 710 nbsp die aber allesamt entweder nicht prim sind oder die ungewohnliche Schreibweise mit Nullen vorne haben Obiger Aussage zufolge gibt es keine Primeval Zahlen welche grosser als n 37 displaystyle n 37 nbsp sind bei denen alle Permutationen Primzahlen ergeben dd dd Beispiele Bearbeiten Die kleinste Primeval Primzahl ist p 2 displaystyle p 2 nbsp Aus ihr kann man nur die Primzahl p 2 displaystyle p 2 nbsp machen Die kleinste Primeval Zahl die nicht gleichzeitig Primzahl ist ist n 1037 17 61 displaystyle n 1037 17 cdot 61 nbsp Aus ihr kann man folgende Primzahlen machen 3 7 13 17 31 37 71 73 103 107 137 173 307 317 701 1307 3701 7013 7103 dd Es gibt keine kleinere naturliche Zahl m lt n 1037 displaystyle m lt n 1037 nbsp aus welcher man 19 oder mehr Primzahlen machen kann Die kleinsten Primeval Primzahlen sind die folgenden 2 13 37 107 113 137 1013 1237 1367 10079 10139 12379 13679 100279 100379 123479 1001237 1002347 1003679 1012379 Folge A119535 in OEIS dd Primeval Zahlen zu anderen Basen BearbeitenBisher wurden nur Primeval Zahlen im Dezimalsystem also zur Basis b 10 displaystyle b 10 nbsp behandelt Die Primeval Zahl n 37 displaystyle n 37 nbsp ware zum Beispiel zur Basis b 8 displaystyle b 8 nbsp die Zahl n 37 4 8 1 5 8 0 45 8 displaystyle n 37 underline 4 cdot 8 1 underline 5 cdot 8 0 45 8 nbsp und man konnte ganz andere Primzahlen zur Basis b 8 displaystyle b 8 nbsp daraus machen in diesem Fall nur die beiden Primzahlen 5 8 5 displaystyle 5 8 5 nbsp und 45 8 37 displaystyle 45 8 37 nbsp Daher spielt die jeweilige Basis eine grosse Rolle bei Primeval Zahlen Eine Primeval Zahl zur Basis b displaystyle b nbsp ist eine naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp fur die die Anzahl der Primzahlen die man durch Permutation also durch Vertauschung bzw Weglassung einiger oder aller ihrer Ziffern zur Basis b displaystyle b nbsp erhalten kann grosser ist als die Anzahl der Primzahlen die man auf dieselbe Art und Weise fur alle kleineren naturlichen Zahlen m lt n displaystyle m lt n nbsp erhalten kann Ist diese Zahl eine Primzahl so nennt man sie Primeval Primzahl zur Basis b displaystyle b nbsp Beispiele Bearbeiten Sei n 117 displaystyle n 117 nbsp Man kann aus ihr im Dezimalsystem also zur Basis b 10 displaystyle b 10 nbsp folgende Primzahlen durch Vertauschung und Weglassung der Ziffern erzeugen 7 11 17 71 dd Es sind nur vier Stuck Aber schon aus m 107 lt n 117 displaystyle m 107 lt n 117 nbsp kann man 5 Primzahlen erzeugen namlich 7 17 71 107 und 701 Somit ist n 117 displaystyle n 117 nbsp im Dezimalsystem keine Primeval Zahl Sei aber nun n 117 12 displaystyle n 117 12 nbsp eine Zahl im Duodezimalsystem also zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp diese Zahl ware im Dezimalsystem die Zahl n 117 12 1 12 2 1 12 1 7 12 0 144 12 7 163 displaystyle n 117 12 underline 1 cdot 12 2 underline 1 cdot 12 1 underline 7 cdot 12 0 144 12 7 163 nbsp Auch diese Zahl ist im Dezimalsystem keine Primeval Zahl Zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp kann man folgende Primzahlen daraus erzeugen 7 12 7 12 0 7 P 11 12 1 12 1 1 12 0 12 1 13 P 17 12 1 12 1 7 12 0 12 7 19 P 117 12 1 12 2 1 12 1 7 12 0 144 12 7 163 P 171 12 1 12 2 7 12 1 1 12 0 144 84 1 229 P 711 12 7 12 2 1 12 1 1 12 0 1008 12 1 1021 P displaystyle begin aligned 7 12 amp amp amp amp amp amp underline 7 cdot 12 0 amp amp amp amp 7 in mathbb P 11 12 amp amp amp amp underline 1 cdot 12 1 amp amp underline 1 cdot 12 0 amp amp 12 1 amp amp 13 in mathbb P 17 12 amp amp amp amp underline 1 cdot 12 1 amp amp underline 7 cdot 12 0 amp amp 12 7 amp amp 19 in mathbb P 117 12 amp amp underline 1 cdot 12 2 amp amp underline 1 cdot 12 1 amp amp underline 7 cdot 12 0 amp amp 144 12 7 amp amp 163 in mathbb P 171 12 amp amp underline 1 cdot 12 2 amp amp underline 7 cdot 12 1 amp amp underline 1 cdot 12 0 amp amp 144 84 1 amp amp 229 in mathbb P 711 12 amp amp underline 7 cdot 12 2 amp amp underline 1 cdot 12 1 amp amp underline 1 cdot 12 0 amp amp 1008 12 1 amp amp 1021 in mathbb P end aligned nbsp dd Somit kann man aus n 117 12 displaystyle n 117 12 nbsp im Duodezimalsystem insgesamt 6 verschiedene Primzahlen aus den einzelnen Ziffern erzeugen Weil man aus keiner kleineren Zahl m lt n 117 12 displaystyle m lt n 117 12 nbsp im Duodezimalsystem 6 oder mehr Primzahlen erzeugen kann ist n 117 12 displaystyle n 117 12 nbsp eine Primeval Zahl zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp Die ersten Primeval Zahlen zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp sind die folgenden dabei ist aus Ermangelung an weiteren Ziffern A 10 displaystyle A 10 nbsp und B 11 displaystyle B 11 nbsp 1 2 13 15 57 115 117 125 135 157 1017 1057 1157 1257 125B 157B 167B Die Anzahl der Primzahlen die man aus obig genannten Primeval Zahlen zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp machen kann lauten 0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 12 20 23 27 29 33 35 Beispiel An der 10 Stelle obiger beiden Listen kann man die Zahlen n 157 12 displaystyle n 157 12 nbsp und 11 displaystyle 11 nbsp ablesen Dies bedeutet dass man aus der Zahl n 157 12 displaystyle n 157 12 nbsp genau 11 displaystyle 11 nbsp verschiedene Primzahlen machen kann und dass es keine einzige Zahl m lt n 157 12 displaystyle m lt n 157 12 nbsp zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp gibt aus der man 11 displaystyle 11 nbsp oder mehr verschiedene Primzahlen machen kann dd Die folgende Tabelle gibt die ersten 10 Primeval Zahlen zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp an und welche Primzahlen man daraus machen kann Primeval Zahlzur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp entspricht imDezimalsystem daraus erhaltene Primzahlenzur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp daraus erhaltene Primzahlenim Dezimalsystem Anzahl der so erhaltenenPrimzahlen1 12 displaystyle 1 12 nbsp 1 P displaystyle 1 not in mathbb P nbsp 02 12 displaystyle 2 12 nbsp 2 P displaystyle 2 in mathbb P nbsp 2 12 displaystyle 2 12 nbsp 2 113 12 displaystyle 13 12 nbsp 15 P displaystyle 15 not in mathbb P nbsp 3 12 31 12 displaystyle 3 12 31 12 nbsp 3 37 215 12 displaystyle 15 12 nbsp 17 P displaystyle 17 in mathbb P nbsp 5 12 15 12 51 12 displaystyle 5 12 15 12 51 12 nbsp 5 17 61 357 12 displaystyle 57 12 nbsp 67 P displaystyle 67 in mathbb P nbsp 5 12 7 12 57 12 75 12 displaystyle 5 12 7 12 57 12 75 12 nbsp 5 7 67 89 4115 12 displaystyle 115 12 nbsp 161 P displaystyle 161 not in mathbb P nbsp 5 12 11 12 15 12 51 12 511 12 displaystyle 5 12 11 12 15 12 51 12 511 12 nbsp 5 13 17 61 733 5117 12 displaystyle 117 12 nbsp 163 P displaystyle 163 in mathbb P nbsp 7 12 11 12 17 12 117 12 171 12 711 12 displaystyle 7 12 11 12 17 12 117 12 171 12 711 12 nbsp 7 13 19 163 229 1021 6125 12 displaystyle 125 12 nbsp 173 P displaystyle 173 in mathbb P nbsp 2 12 5 12 15 12 25 12 51 12 125 12 251 12 displaystyle 2 12 5 12 15 12 25 12 51 12 125 12 251 12 nbsp 2 5 17 29 61 173 349 7135 12 displaystyle 135 12 nbsp 185 P displaystyle 185 not in mathbb P nbsp 3 12 5 12 15 12 31 12 35 12 51 12 315 12 531 12 displaystyle 3 12 5 12 15 12 31 12 35 12 51 12 315 12 531 12 nbsp 3 5 17 37 41 61 449 757 8157 12 displaystyle 157 12 nbsp 211 P displaystyle 211 in mathbb P nbsp 5 12 7 12 15 12 17 12 51 12 57 12 75 12 157 12 175 12 517 12 751 12 displaystyle 5 12 7 12 15 12 17 12 51 12 57 12 75 12 157 12 175 12 517 12 751 12 nbsp 5 7 17 19 61 67 89 211 233 739 1069 11Obiger Tabelle kann man entnehmen dass die Zahlen 13 12 3 12 5 12 115 12 7 12 1 B 12 displaystyle 13 12 3 12 cdot 5 12 115 12 7 12 cdot 1B 12 nbsp und 135 12 5 12 31 12 displaystyle 135 12 5 12 cdot 31 12 nbsp keine Primzahlen sind Sie sind die kleinsten zusammengesetzten Primeval Zahlen zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp denn 1 12 1 displaystyle 1 12 1 nbsp ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl Alle anderen nicht zusammengesetzten Primeval Zahlen ausser 1 12 1 displaystyle 1 12 1 nbsp sind Primeval Primzahlen zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp k Primeval Zahlen BearbeitenEs gibt Zahlen n N displaystyle n in mathbb N nbsp mit denen man durch Permutation also durch Vertauschung bzw Weglassung einiger oder aller ihrer Ziffern samtliche k displaystyle k nbsp stelligen Primzahlen erhalten kann Diese Zahlen nennt man k Primeval Zahlen Beispiele Bearbeiten Wenn man die kleinste Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp sucht welche alle einstelligen Primzahlen 2 3 5 displaystyle 2 3 5 nbsp und 7 displaystyle 7 nbsp enthalt so kann es sich nur um die Zahl n 2357 displaystyle n 2357 nbsp handeln Diese Zahl ist somit eine 1 Primeval Zahl Alle anderen Zahlen welche die Ziffern 2 3 5 displaystyle 2 3 5 nbsp und 7 displaystyle 7 nbsp enthalten sind naturlich ebenfalls 1 Primeval Zahlen wie zum Beispiel n 3018253975 displaystyle n 3018253975 nbsp Die kleinsten k Primeval Zahlen sind die folgenden fur aufsteigendes k 1 2 3 displaystyle k 1 2 3 ldots nbsp 2357 1123456789 1012233445566778899 10011222333444555666777888999 1000111222233334444555666777788889999 100001111222233333444445555566666777778888899999 100000111112222233333344444555556666677777788888999999 Folge A134649 in OEIS dd k Primeval Primzahlen BearbeitenEine k Primeval Zahl die gleichzeitig Primzahl ist nennt man k Primeval Primzahl Beispiele Bearbeiten Die kleinsten k Primeval Primzahlen sind die folgenden fur aufsteigendes k 1 2 3 displaystyle k 1 2 3 ldots nbsp 2357 1123465789 10112233445566788997 100111222333444555666777998889 1000111222233334444555666777798889899 100001111222233333444445555566666777778888999989 Folge A135377 in OEIS dd Weil diese Zahlen sehr schnell sehr hoch werden hat sich folgende Schreibweise etabliert Zuerst beginnen alle Zahlen mit 1 welche immer in solchen Zahlen vorkommt danach folgt die Anzahl aller darauffolgenden Nullen danach die Anzahl aller darauffolgenden Einsen etc gegen Ende folgt die Anzahl aller darauffolgenden Achter zuletzt kommt eine Gruppe von Achtern und Neunern die die gesuchte Zahl abschliesst Beispiel Die kleinste 4 Primeval Primzahl ist n 100111222333444555666777998889 displaystyle n 100111222333444555666777998889 nbsp und lautet in dieser Schreibweise 1 2 3 3 3 3 3 3 3 0 998889 Sie beginnt also mit einer Eins darauf kommen zwei Nullen drei Einsen drei Zweier etc gegen Ende kommen drei Siebener Null Achter und zuletzt kommt noch die Ziffernfolge 998889 dd dd dd Mit obiger Schreibweise kann man die weiteren kleinsten k Primeval Primzahlen angeben ohne viel Platz zu gebrauchen k displaystyle k nbsp kleinste k Primeval Primzahl in obiger Schreibweise1 2357 Schreibweise in diesem Fall untauglich 2 1123465789 Schreibweise in diesem Fall untauglich 3 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 9974 1 2 3 3 3 3 3 3 3 0 9988895 1 3 3 4 4 4 3 3 4 0 988898996 1 4 4 4 5 5 5 5 5 4 9999897 1 5 5 5 6 5 5 5 6 3 988999998 1 5 6 7 7 6 7 7 7 6 989999999 1 7 7 8 8 8 7 8 8 6 999998989910 1 8 8 8 9 9 9 9 9 7 9999899999 k displaystyle k nbsp kleinste k Primeval Primzahl in obiger Schreibweise11 1 8 9 10 10 10 9 10 10 6 988998999999912 1 10 10 10 11 11 11 10 11 9 999899999989913 1 10 11 11 12 11 12 11 12 9 9989999999989914 1 11 13 13 13 12 12 12 13 11 98999998999999915 1 12 13 14 14 13 14 13 14 12 999999998899999916 1 13 14 14 15 14 14 14 15 12 9999999999999988917 1 14 15 15 16 15 15 15 16 14 99899999999999899918 1 16 17 17 17 16 17 17 17 14 998999999999989999919 1 17 18 17 18 17 17 17 18 15 98899999989999999999920 1 17 19 18 19 19 18 19 19 16 999999998999999999989 k displaystyle k nbsp kleinste k Primeval Primzahl in obiger Schreibweise21 1 18 19 19 20 19 19 20 20 17 989999999999999999899922 1 18 20 20 21 20 21 21 21 18 9999899999999999999899923 1 21 23 21 22 21 21 22 22 19 99999988999999999999999924 1 20 22 22 23 22 22 22 23 21 99999999999999998999999925 1 23 23 23 24 23 23 23 24 22 999999999999999999899999926 1 23 24 24 25 25 25 24 25 22 99999999999999999989999998927 1 24 25 25 26 25 25 25 26 23 999999999899999999999999899928 1 25 26 27 27 27 26 27 27 25 999989999999999999999999999929 1 25 27 27 28 27 27 27 28 25 99999998999999999999999999998930 1 26 29 28 29 29 28 28 29 27 999999999999998999999999999999Die kleinste 30 Primeval Primzahl hat somit schon 1 26 29 28 29 29 28 28 29 27 30 284 displaystyle 1 26 29 28 29 29 28 28 29 27 30 284 nbsp Stellen Siehe auch BearbeitenPermutierbare Primzahl Trunkierbare PrimzahlEinzelnachweise Bearbeiten a b Mike Keith Primeval Numbers Abgerufen am 30 Dezember 2018 englisch Weblinks BearbeitenChris K Caldwell primeval number Prime Pages abgerufen am 30 Dezember 2018 englisch V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Primeval Zahl amp oldid 190067012
