Die Pell Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen der Pell Zahlen engl Pell numbers genauso wie die Pell Zahlen 2 Art engl companion Pell numbers Ihren Namen hat sie von dem englischen Mathematiker John Pell 1611 1685 Inhaltsverzeichnis 1 Pell Folge Zahlen 2 Silberner Schnitt 2 1 Herleitung des Zahlenwertes 3 Geschlossene Form der Pell Folge 4 Erzeugende Funktion der Pell Folge 4 1 Herleitung der Funktion 5 Reihenentwicklungen 6 Pell Primzahlen 7 Pell Zahlen 2 Art Companion Pell Folge 8 Weblinks 9 EinzelnachweisePell Folge Zahlen BearbeitenDie Folge ist rekursiv definiert durch P n 0 wenn n 0 1 wenn n 1 2 P n 1 P n 2 sonst displaystyle P n begin cases 0 amp text wenn n 0 1 amp text wenn n 1 2P n 1 P n 2 amp text sonst end cases nbsp Das bedeutet in Worten fur die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgangers und anschliessende Addition des Vorvorgangers Die ersten n displaystyle n nbsp Zahlen der Folge lauten wenn man mit n 0 displaystyle n 0 nbsp zu zahlen beginnt 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378 5741 13860 33461 Folge A000129 in OEIS Die Pell Folge lasst sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas Folge U n P Q displaystyle U n P Q nbsp mit P 2 displaystyle P 2 nbsp und Q 1 displaystyle Q 1 nbsp interpretieren f n U n 2 1 displaystyle f n U n 2 1 nbsp Silberner Schnitt BearbeitenFur den Grenzwert des Verhaltnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell Folge gilt d S lim n P n P n 1 1 2 displaystyle delta S lim n to infty frac P n P n 1 1 sqrt 2 nbsp Diese Zahl nennt man Silberner Schnitt in Analogie zum Goldenen Schnitt der Fibonacci Folge Herleitung des Zahlenwertes Bearbeiten Es ist folgender Grenzwert zu bestimmen L lim n P n P n 1 displaystyle L lim n to infty frac P n P n 1 nbsp Mit P n 2 P n 1 P n 2 displaystyle P n 2 cdot P n 1 P n 2 nbsp folgt L lim n 2 P n 1 P n 2 P n 1 lim n 2 P n 1 P n 1 lim n P n 2 P n 1 2 lim n P n 2 P n 1 displaystyle L lim n to infty frac 2 cdot P n 1 P n 2 P n 1 lim n to infty frac 2 cdot P n 1 P n 1 lim n to infty frac P n 2 P n 1 2 lim n to infty frac P n 2 P n 1 nbsp Mit L lim n P n 1 P n 2 displaystyle L lim n to infty frac P n 1 P n 2 nbsp folgt weiter L 2 1 L displaystyle L 2 tfrac 1 L nbsp Damit ergibt sich die quadratische Gleichung L 2 2 L 1 0 displaystyle L 2 2L 1 0 nbsp mit den beiden Losungen L 1 1 2 displaystyle L 1 1 sqrt 2 nbsp und L 2 1 2 displaystyle L 2 1 sqrt 2 nbsp Da von diesen beiden Werten nur der positive fur den Grenzwert in Frage kommt folgt lim n P n P n 1 1 2 displaystyle lim n to infty frac P n P n 1 1 sqrt 2 nbsp Geschlossene Form der Pell Folge BearbeitenIm Abschnitt Herleitung des Zahlenwertes wurde fur die Grenzwerte des Verhaltnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell Folge gezeigt lim n P n P n 1 1 2 displaystyle lim n to infty frac P n P n 1 1 sqrt 2 nbsp und lim n P n P n 1 1 2 displaystyle lim n to infty frac P n P n 1 1 sqrt 2 nbsp Seien c 1 displaystyle c 1 nbsp und c 2 displaystyle c 2 nbsp reelle Konstanten Dann erfullen die geometrischen Folgen P 1 0 c 1 P 1 n c 1 1 2 n n N displaystyle P 1 0 c 1 quad P 1 n c 1 1 sqrt 2 n quad n in mathbb N nbsp undP 2 0 c 2 P 2 n c 2 1 2 n n N displaystyle P 2 0 c 2 quad P 2 n c 2 1 sqrt 2 n quad n in mathbb N nbsp die Rekursionsformeln P 1 n 2 P 1 n 1 P 1 n 2 displaystyle P 1 n 2P 1 n 1 P 1 n 2 nbsp und P 2 n 2 P 2 n 1 P 2 n 2 displaystyle P 2 n 2P 2 n 1 P 2 n 2 nbsp Deren Linearkombination P l n c 1 1 2 n c 2 1 2 n displaystyle P l n c 1 1 sqrt 2 n c 2 1 sqrt 2 n nbsp erfullt ebenfalls die Pell Rekursion Fur die Pell Folge mussen folgende Anfangswerte gelten P 0 0 displaystyle P 0 0 nbsp und P 1 1 displaystyle P 1 1 nbsp Eingesetzt in P l n displaystyle P l n nbsp ergibt sich folgendes Gleichungssystem P l 0 c 1 c 2 0 displaystyle P l 0 c 1 c 2 0 nbsp und P l 1 c 1 1 2 c 2 1 2 1 displaystyle P l 1 c 1 1 sqrt 2 c 2 1 sqrt 2 1 nbsp mit den Losungen c 1 1 2 2 displaystyle c 1 frac 1 2 sqrt 2 nbsp und c 2 1 2 2 displaystyle c 2 frac 1 2 sqrt 2 nbsp Damit ergibt sich die geschlossene Form der Pell Folge P n 1 2 n 1 2 n 2 2 displaystyle P n frac 1 sqrt 2 n 1 sqrt 2 n 2 sqrt 2 nbsp Erzeugende Funktion der Pell Folge BearbeitenDie erzeugende Funktion der Pell Folge ist P x n 0 P n x n x 1 2 x x 2 displaystyle mathcal P x sum n 0 infty P n cdot x n frac x 1 2x x 2 nbsp Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius 2 1 displaystyle sqrt 2 1 nbsp Herleitung der Funktion Bearbeiten Die erzeugende Funktion der Pell Folge hat den Konvergenzradius 2 1 displaystyle sqrt 2 1 nbsp Fur x lt 2 1 displaystyle x lt sqrt 2 1 nbsp gilt daher mit P n 2 2 P n 1 P n 0 P 0 0 und P 1 1 displaystyle P n 2 2 cdot P n 1 P n 0 P 0 0 text und P 1 1 nbsp P x P 0 P 1 x P 2 x 2 P 3 x 3 P 4 x 4 2 x P x 2 P 0 x 2 P 1 x 2 2 P 2 x 3 2 P 3 x 4 x 2 P x P 0 x 2 P 1 x 3 P 2 x 4 1 2 x x 2 P x P 0 P 1 x 2 P 0 x x displaystyle begin alignedat 5 mathcal P x amp P 0 amp amp P 1 cdot x amp amp P 2 cdot x 2 amp amp P 3 cdot x 3 amp amp P 4 cdot x 4 dotsb 2x cdot mathcal P x amp amp amp 2 cdot P 0 cdot x amp amp 2 cdot P 1 cdot x 2 amp amp 2 cdot P 2 cdot x 3 amp amp 2 cdot P 3 cdot x 4 dotsb x 2 cdot mathcal P x amp amp amp amp amp P 0 cdot x 2 amp amp P 1 cdot x 3 amp amp P 2 cdot x 4 dotsb hline 1 2x x 2 cdot mathcal P x amp P 0 amp amp P 1 cdot x 2 cdot P 0 cdot x amp x end alignedat nbsp Reihenentwicklungen BearbeitenDie unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der ungeradstelligen Pell Zahlen ist algebraisch n 1 1 P 2 n 1 1 1 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 P 2n 1 1 frac 1 sqrt 2 nbsp Die unendliche Summe der Kehrwerte der ungeradstelligen Pell Zahlen ergibt folgenden elliptischen Funktionswert n 1 1 P 2 n 1 2 2 p l 16 p 2 arsinh 1 2 K l 16 p 2 arsinh 1 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 P 2n 1 frac 2 sqrt 2 pi sqrt lambda 16 pi 2 operatorname arsinh 1 2 K lambda 16 pi 2 operatorname arsinh 1 2 nbsp Hierbei ist l x die elliptische Lambdafunktion und K x ist das vollstandige elliptische Integral erster Art Analog zur Millin Reihe uber die Fibonaccizahlen kann folgende Reihe uber die Pell Zahlen formuliert werden n 1 1 P 2 n lim z n 1 z 1 P 2 n lim z P 2 z 1 P 2 z 2 P 2 z 2 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 P 2 n lim z rightarrow infty sum n 1 z frac 1 P 2 n lim z rightarrow infty frac P 2 z 1 P 2 z 2 P 2 z 2 sqrt 2 nbsp Pell Primzahlen BearbeitenEine Pell Primzahl ist eine Pell Zahl die prim ist Die kleinsten Pell Primzahlen lauten 2 5 29 5741 33461 44560482149 1746860020068409 68480406462161287469 13558774610046711780701 4125636888562548868221559797461449 4760981394323203445293052612223893281 Folge A086383 in OEIS Fur diese Pell Primzahlen ist der Index n displaystyle n nbsp von P n displaystyle P n nbsp der folgende 2 3 5 11 13 29 41 53 59 89 97 101 167 181 191 523 929 1217 1301 1361 2087 2273 2393 8093 13339 14033 23747 28183 34429 36749 90197 Folge A096650 in OEIS Beispiel 1 Es ist P 10 2378 displaystyle P 10 2378 nbsp und P 9 985 displaystyle P 9 985 nbsp Somit ist P 11 2 P 10 P 9 2 2378 985 5741 P displaystyle P 11 2 cdot P 10 P 9 2 cdot 2378 985 5741 in mathbb P nbsp eine Primzahl Tatsachlich taucht der Index n 11 displaystyle n 11 nbsp in obiger Liste an der 4 Stelle auf weil er zur viertkleinsten Pell Primzahl P 11 5741 displaystyle P 11 5741 nbsp fuhrt dd dd Es gelten folgende Eigenschaften fur Pell Primzahlen Wenn P n displaystyle P n nbsp eine Pell Primzahl ist dann ist der Index n displaystyle n nbsp ebenfalls eine Primzahl die Umkehrung stimmt nicht das heisst dass nicht jeder Primzahl Index zu einer Pell Primzahl fuhrt 1 Pell Zahlen 2 Art Companion Pell Folge BearbeitenPell Zahlen 2 Art werden auch Pell Lucas Zahlen genannt Die Folge ist rekursiv definiert durch Q n 2 wenn n 0 2 wenn n 1 2 Q n 1 Q n 2 sonst displaystyle Q n begin cases 2 amp text wenn n 0 2 amp text wenn n 1 2Q n 1 Q n 2 amp text sonst end cases nbsp Das bedeutet in Worten fur die beiden ersten Zahlen wird der Wert Zwei vorgegeben jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgangers und anschliessende Addition des Vorvorgangers Die ersten Zahlen der Folge lauten 2 2 6 14 34 82 198 478 1154 Folge A002203 in OEIS Die Companion Pell Folge lasst sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas Folge V n P Q displaystyle V n P Q nbsp mit P 2 displaystyle P 2 nbsp und Q 1 displaystyle Q 1 nbsp interpretieren Q n V n 2 1 displaystyle Q n V n 2 1 nbsp Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Pell Number In MathWorld englisch Eric W Weisstein Integer Sequence Primes In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Comments zu OEIS A096650 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pell Folge amp oldid 232041381 Pell Primzahlen
