Die Elliptische Lambda Funktion auch Modulare Lambda Funktion genannt ist eine holomorphe modulare Funktion auf der oberen Halbebene der komplexen Zahlen Sie ist eine Kongruenzuntergruppe vom Typ G 2 Sie wird als Hauptmodul fur die modulare Kurve X 2 beschrieben Inhaltsverzeichnis 1 Definition der Funktion l 𝜏 2 Definition von Lambda Stern 2 1 Definition als Losung einer Integralgleichung 2 2 Definitionen uber die Jacobischen Thetafunktionen 2 3 Definitionen als Summenreihen und Produktreihen 2 4 Definition mit Integralen 2 5 Weitere Identitaten zwischen Thetafunktion und Lambdafunktion 2 6 Anwendungsbeispiele 3 Eigenschaften 4 Algebraische Beziehungen von Lambda Stern 4 1 Allgemeine Beziehungen 4 2 Liste exemplarischer Beziehungen 4 3 Ramanujansche Funktionen 5 Spezielle Werte 5 1 Lambda Stern Werte ganzer Zahlen 5 2 Lambda Stern Werte von gebrochen rationalen Zahlen 6 Ableitung 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseDefinition der Funktion l 𝜏 Bearbeiten nbsp Komplexe Ebenendarstellung der elliptischen LambdafunktionDie Elliptische Lambda Funktion ist auf folgende Weise definiert Sei H displaystyle mathbb H nbsp die obere Halbebene der komplexen Zahlen sodass fur die Lambda Funktion gilt l H C displaystyle lambda colon mathbb H to mathbb C nbsp dann kann Folgendes formuliert werden Ausdruck uber die Jacobi Thetafunktion l t ϑ 10 4 exp i p t ϑ 00 4 exp i p t displaystyle lambda tau frac vartheta 10 4 exp i pi tau vartheta 00 4 exp i pi tau nbsp Dabei gilt ϑ 10 exp i p t n exp i p t n 1 2 2 displaystyle vartheta 10 exp i pi tau sum n infty infty exp i pi tau n 1 2 2 nbsp ϑ 00 exp i p t n exp i p t n 2 displaystyle vartheta 00 exp i pi tau sum n infty infty exp i pi tau n 2 nbsp Die Kongruenzuntergruppe G 2 ist hierbei folgendermassen beschaffen G 2 a b c d SL 2 Z a d 1 mod 2 b c 0 mod 2 1 2 0 1 1 0 2 1 1 0 0 1 displaystyle Gamma 2 left begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix in operatorname SL 2 mathbb Z a equiv d equiv 1 pmod 2 b equiv c equiv 0 pmod 2 right left langle begin pmatrix 1 amp 2 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 2 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix right rangle nbsp Ausdruck uber die Dedekindsche Etafunktion l t 16 h 8 t 2 h 16 2 t h 24 t displaystyle lambda tau frac 16 eta 8 tau 2 eta 16 2 tau eta 24 tau nbsp Ausdruck uber die Weierstrass Funktion 1 l t t 2 1 2 t t 2 t 1 2 t t 2 t displaystyle lambda tau frac wp tau 2 1 2 tau wp tau 2 tau wp 1 2 tau wp tau 2 tau nbsp Definition von Lambda Stern BearbeitenDefinition als Losung einer Integralgleichung Bearbeiten nbsp Funktionsgraph fur l ix l x das Quadrat der Lambda Stern FunktionDie Elliptische Lambda Funktion ausgedruckt mit einem Stern oben rechts uber dem Lambda liefert den elliptischen Modul beziehungsweise die Exzentrizitat auf folgende Weise K 1 l x 2 K l x x displaystyle K left sqrt 1 lambda x 2 right K lambda x sqrt x nbsp Dabei bezeichnet K das vollstandige elliptische Integral erster Art Die Funktionen Lambda und Lambda Stern stehen in folgender Beziehung zueinander l x l i x displaystyle lambda x sqrt lambda i sqrt x nbsp Definitionen uber die Jacobischen Thetafunktionen Bearbeiten Primar ist die Funktion l x so uber die Theta Nullwertfunktionen definiert l x ϑ 10 2 exp p x ϑ 00 2 exp p x displaystyle lambda x frac vartheta 10 2 exp pi sqrt x vartheta 00 2 exp pi sqrt x nbsp Ebenso kann Lambda Stern Funktion uber den pythagoraisch komplementaren Modul dargestellt werden l x ϑ 01 2 exp p x ϑ 00 2 exp p x displaystyle lambda x frac vartheta 01 2 exp pi sqrt x vartheta 00 2 exp pi sqrt x nbsp Auch uber die Theta Nicht Nullwertfunktionen ist die Definition moglich l x ϑ 10 1 4 p exp 1 2 p x 4 ϑ 00 1 4 p exp 1 2 p x 4 displaystyle lambda x frac vartheta 10 tfrac 1 4 pi exp tfrac 1 2 pi sqrt x 4 vartheta 00 tfrac 1 4 pi exp tfrac 1 2 pi sqrt x 4 nbsp Die Thetafunktionen selbst sind nach Whittaker und Watson so definiert ϑ 00 v w n 1 1 w 2 n 1 2 cos 2 v w 2 n 1 w 4 n 2 displaystyle vartheta 00 v w prod n 1 infty 1 w 2n 1 2 cos 2v w 2n 1 w 4n 2 nbsp ϑ 01 v w n 1 1 w 2 n 1 2 cos 2 v w 2 n 1 w 4 n 2 displaystyle vartheta 01 v w prod n 1 infty 1 w 2n 1 2 cos 2v w 2n 1 w 4n 2 nbsp ϑ 10 v w 2 w 1 4 cos v n 1 1 w 2 n 1 2 cos 2 v w 2 n w 4 n displaystyle vartheta 10 v w 2w 1 4 cos v prod n 1 infty 1 w 2n 1 2 cos 2v w 2n w 4n nbsp Ausserdem gelten folgende Ausdrucksweisen ϑ 00 w ϑ 00 0 w displaystyle vartheta 00 w vartheta 00 0 w nbsp ϑ 01 w ϑ 01 0 w displaystyle vartheta 01 w vartheta 01 0 w nbsp ϑ 10 w ϑ 10 0 w displaystyle vartheta 10 w vartheta 10 0 w nbsp Definitionen als Summenreihen und Produktreihen Bearbeiten Die Lambda Stern Werte konnen mit diesen sehr schnell konvergierenden Definitionsformeln 2 berechnet werden l x a exp a 1 2 2 p x 2 a exp a 2 p x 2 displaystyle lambda x biggl sum a infty infty exp bigl a 1 2 2 pi sqrt x bigr biggr 2 biggl sum a infty infty exp a 2 pi sqrt x biggr 2 nbsp l x a sech a 1 2 p x a sech a p x 1 displaystyle lambda x biggl sum a infty infty operatorname sech bigl a 1 2 pi sqrt x bigr biggr biggl sum a infty infty operatorname sech a pi sqrt x biggr 1 nbsp l x a 1 a exp a 2 p x 2 a exp a 2 p x 2 displaystyle lambda x biggl sum a infty infty 1 a exp biggl frac a 2 pi sqrt x biggr biggr 2 biggl sum a infty infty exp left frac a 2 pi sqrt x right biggr 2 nbsp l x a 0 tanh a 1 2 p x 4 displaystyle lambda x prod a 0 infty operatorname tanh biggl frac a 1 2 pi sqrt x biggr 4 nbsp Definition mit Integralen Bearbeiten Die Jacobische Theta Nullwertfunktion ϑ hat diese Integralidentitat ϑ 00 exp p x 1 2 exp p x 0 exp p y 2 exp 2 p x cos 2 p x 4 y cosh 2 p x cos 2 p x 4 y d y displaystyle vartheta 00 exp pi sqrt x 1 2 exp pi sqrt x int 0 infty exp pi y 2 frac exp 2 pi sqrt x cos 2 pi sqrt 4 x y cosh 2 pi sqrt x cos 2 pi sqrt 4 x y mathrm d y nbsp ϑ 00 exp 2 p x 1 2 exp 2 p x 0 exp p y 2 exp 4 p x cos 2 p 4 x 4 y cosh 4 p x cos 2 p 4 x 4 y d y displaystyle vartheta 00 exp 2 pi sqrt x 1 2 exp 2 pi sqrt x int 0 infty exp pi y 2 frac exp 4 pi sqrt x cos 2 pi sqrt 4 4x y cosh 4 pi sqrt x cos 2 pi sqrt 4 4x y mathrm d y nbsp Die Lambda Stern Funktion kann dann auf jenem Definitionsweg dargestellt werden l x sin 2 arccos ϑ 00 exp 2 p x ϑ 00 exp p x displaystyle lambda x sin biggl langle 2 arccos biggl frac vartheta 00 exp 2 pi sqrt x vartheta 00 exp pi sqrt x biggr biggr rangle nbsp Weitere Identitaten zwischen Thetafunktion und Lambdafunktion Bearbeiten Fur die Thetafunktionen ϑ und ϑ in reeller Form gelten folgende Formeln ϑ 10 exp p x a exp a 1 2 2 p x a sech a 1 2 p x 1 2 displaystyle vartheta 10 exp pi sqrt x sum a infty infty exp a tfrac 1 2 2 pi sqrt x biggl sum a infty infty operatorname sech a tfrac 1 2 pi sqrt x biggr 1 2 nbsp 2 p 1 l x K l x l 4 x 4 4 p 1 K l 4 x displaystyle sqrt 2 pi 1 lambda x K lambda x sqrt 4 lambda 4x sqrt 4 pi 1 K lambda 4x nbsp ϑ 00 exp p x a exp a 2 p x a sech a p x 1 2 2 p 1 K l x agm 1 l 1 x 1 2 displaystyle vartheta 00 exp pi sqrt x sum a infty infty exp a 2 pi sqrt x biggl sum a infty infty operatorname sech a pi sqrt x biggr 1 2 sqrt 2 pi 1 K lambda x operatorname agm 1 lambda 1 x 1 2 nbsp ϑ 01 exp p x a 1 a exp a 2 p x 2 p 1 l 1 x K l x displaystyle vartheta 01 exp pi sqrt x sum a infty infty 1 a exp a 2 pi sqrt x sqrt 2 pi 1 lambda 1 x K lambda x nbsp Mit der Abkurzung agm wird das arithmetisch geometrische Mittel zum Ausdruck gebracht Von diesen beiden Thetafunktionen werden im Folgenden einige Theta Nullwerte aufgelistet Anwendungsbeispiele Bearbeiten Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Fibonacci Zahlen n 1 1 F 2 n 1 n 1 5 2 sech n 1 2 arcosh 3 2 5 4 a sech a 1 2 arcosh 3 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 F 2n 1 sum n 1 infty frac sqrt 5 2 operatorname sech bigl n tfrac 1 2 operatorname arcosh tfrac 3 2 bigr frac sqrt 5 4 sum a infty infty operatorname sech bigl a tfrac 1 2 operatorname arcosh tfrac 3 2 bigr nbsp 5 4 ϑ 10 F 2 2 5 8 ϑ 00 F 1 2 ϑ 01 F 1 2 5 p l 16 p 2 ln F 2 K l 16 p 2 ln F 2 displaystyle frac sqrt 5 4 vartheta 10 Phi 2 2 frac sqrt 5 8 bigl vartheta 00 Phi 1 2 vartheta 01 Phi 1 2 bigr frac sqrt 5 pi sqrt lambda 16 pi 2 ln Phi 2 K lambda 16 pi 2 ln Phi 2 nbsp Dabei ist F 5 1 2 displaystyle Phi tfrac sqrt 5 1 2 nbsp die goldene Zahl Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Pell Zahlen n 1 1 P 2 n 1 2 2 p l 16 p 2 arsinh 1 2 K l 16 p 2 arsinh 1 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 P 2n 1 frac 2 sqrt 2 pi sqrt lambda 16 pi 2 operatorname arsinh 1 2 K lambda 16 pi 2 operatorname arsinh 1 2 nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Funktion l t displaystyle lambda tau nbsp verhalt sich in der auf folgende Weise erzeugten Gruppe invariant t t 2 t t 1 2 t displaystyle tau longmapsto tau 2 tau longmapsto frac tau 1 2 tau nbsp Die Erzeuger der modularen Gruppen sind wie folgt beschaffen t t 1 l l l 1 displaystyle tau longmapsto tau 1 lambda longmapsto frac lambda lambda 1 nbsp t 1 t l 1 l displaystyle tau longmapsto frac 1 tau lambda longmapsto 1 lambda nbsp Folglich verhalt sich die Gruppe in Bezug auf l t displaystyle lambda tau nbsp unharmonisch Das Doppelverhaltnis weist folgende sechs Werte auf l 1 1 l l 1 l 1 l l l 1 1 l displaystyle left lambda frac 1 1 lambda frac lambda 1 lambda frac 1 lambda frac lambda lambda 1 1 lambda right nbsp Algebraische Beziehungen von Lambda Stern BearbeitenAllgemeine Beziehungen Bearbeiten Generell ist jeder Lambda Stern Wert einer positiven rationalen Zahl eine positive algebraische Zahl l x Q A displaystyle lambda x in mathbb Q in mathbb A nbsp Folgende Beziehung gilt fur alle n ℕ n a 1 n dn 2 a n K l 1 n l 1 n displaystyle sqrt n sum a 1 n operatorname dn biggl frac 2a n K biggl lambda biggl frac 1 n biggr biggr lambda biggl frac 1 n biggr biggr nbsp Hierbei ist dn die Jacobische elliptische Funktion Delta Amplitudinis Weiterhin gilt fur alle Zahlen n ℕ l n 2 x l x n a 1 n sn 2 a 1 n K l x l x 2 displaystyle lambda n 2 x lambda x n prod a 1 n operatorname sn biggl frac 2a 1 n K bigl lambda x bigr lambda x biggr 2 nbsp l 4 n 2 a 1 n sl 2 a 1 4 n ϖ 4 displaystyle lambda 4n 2 prod a 1 n operatorname sl left frac 2a 1 4n varpi right 4 nbsp Hierbei ist sn die Jacobische elliptische Funktion Sinus Amplitudinis wahrend sl der lemniskatische Sinus ist Liste exemplarischer Beziehungen Bearbeiten Folgende weitere Beziehungen 3 existieren zwischen den Lambda Funktionswerten l x 2 l 1 x 2 1 displaystyle lambda x 2 lambda 1 x 2 1 nbsp l x 1 l 4 x 1 2 displaystyle lambda x 1 lambda 4 x 1 2 nbsp l 4 x 1 1 l x 2 1 1 l x 2 l x 2 1 1 l x 2 2 displaystyle lambda 4x frac 1 sqrt 1 lambda x 2 1 sqrt 1 lambda x 2 frac lambda x 2 bigl 1 sqrt 1 lambda x 2 bigr 2 nbsp l 4 x tan 1 2 arcsin l x 2 tanh 1 2 artanh l x 2 displaystyle lambda 4x tan tfrac 1 2 arcsin lambda x 2 tanh tfrac 1 2 operatorname artanh lambda x 2 nbsp l x l 9 x 4 16 l x l 9 x 1 l x 2 1 l 9 x 2 displaystyle lambda x lambda 9x 4 16 lambda x lambda 9x 1 lambda x 2 1 lambda 9x 2 nbsp l x l 9 x 2 l x l 9 x 1 4 2 l x l 9 x 3 4 displaystyle lambda x lambda 9x 2 lambda x lambda 9x 1 4 2 lambda x lambda 9x 3 4 nbsp l x l 9 x 1 l x 2 1 l 9 x 2 4 1 displaystyle sqrt lambda x lambda 9x sqrt 4 1 lambda x 2 1 lambda 9x 2 1 nbsp 2 l x 1 l x 2 1 2 2 l 25 x 1 l 25 x 2 1 2 2 2 l x 1 l x 2 1 12 2 l 25 x 1 l 25 x 2 1 12 2 2 l x 1 l x 2 5 12 2 l 25 x 1 l 25 x 2 5 12 displaystyle biggl frac 2 lambda x 1 lambda x 2 biggr 1 2 biggl frac 2 lambda 25x 1 lambda 25x 2 biggr 1 2 2 biggl frac 2 lambda x 1 lambda x 2 biggr 1 12 biggl frac 2 lambda 25x 1 lambda 25x 2 biggr 1 12 2 biggl frac 2 lambda x 1 lambda x 2 biggr 5 12 biggl frac 2 lambda 25x 1 lambda 25x 2 biggr 5 12 nbsp l x 1 2 l 25 x 1 2 l x l 25 x 6 l x 1 2 l 25 x 1 2 4 l x 1 4 l 25 x 1 4 1 l x l 25 x displaystyle lambda x 1 2 lambda 25x 1 2 lambda x lambda 25x 6 lambda x 1 2 lambda 25x 1 2 4 lambda x 1 4 lambda 25x 1 4 1 lambda x lambda 25x nbsp l x l 25 x 1 l x 2 1 l 25 x 2 2 16 l x 2 l 25 x 2 1 l x 2 1 l 25 x 2 6 1 displaystyle lambda x lambda 25x sqrt 1 lambda x 2 1 lambda 25x 2 2 sqrt 6 16 lambda x 2 lambda 25x 2 1 lambda x 2 1 lambda 25x 2 1 nbsp l x l 49 x 4 1 l x 2 1 l 49 x 2 8 1 displaystyle sqrt 4 lambda x lambda 49x sqrt 8 1 lambda x 2 1 lambda 49x 2 1 nbsp l x l 121 x 1 l x 2 1 l 121 x 2 4 2 16 l x 2 l 121 x 2 1 l x 2 1 l 121 x 2 12 1 displaystyle sqrt lambda x lambda 121x sqrt 4 1 lambda x 2 1 lambda 121x 2 2 sqrt 12 16 lambda x 2 lambda 121x 2 1 lambda x 2 1 lambda 121x 2 1 nbsp l x l 529 x 4 1 l x 2 1 l 529 x 2 8 2 16 l x 2 l 529 x 2 1 l x 2 1 l 529 x 2 24 1 displaystyle sqrt 4 lambda x lambda 529x sqrt 8 1 lambda x 2 1 lambda 529x 2 sqrt 2 sqrt 24 16 lambda x 2 lambda 529x 2 1 lambda x 2 1 lambda 529x 2 1 nbsp Ramanujansche Funktionen Bearbeiten Folgende Beziehungen gelten zu den Ramanujanschen Funktionen g und G G x sin 2 arcsin l x 1 12 1 2 l x 12 1 l x 2 24 displaystyle G x sin 2 arcsin lambda x 1 12 1 left left sqrt 12 2 lambda x sqrt 24 1 lambda x 2 right right nbsp g x tan 2 arctan l x 1 12 1 l x 2 2 l x 12 displaystyle g x tan 2 arctan lambda x 1 12 sqrt 12 1 lambda x 2 2 lambda x nbsp l x tan 1 2 arctan g x 12 g x 24 1 g x 12 displaystyle lambda x tan tfrac 1 2 arctan g x 12 sqrt g x 24 1 g x 12 nbsp Spezielle Werte BearbeitenLambda Stern Werte ganzer Zahlen Bearbeiten In dieser Liste werden die Lambda Stern Werte 4 der ganzen Zahlen 1 bis 25 radikalisch dargestellt l 1 1 2 2 displaystyle lambda 1 frac 1 2 sqrt 2 nbsp l 2 2 1 displaystyle lambda 2 sqrt 2 1 nbsp l 3 1 4 6 2 displaystyle lambda 3 frac 1 4 sqrt 6 sqrt 2 nbsp l 4 2 1 2 displaystyle lambda 4 sqrt 2 1 2 nbsp l 5 1 2 5 1 3 5 displaystyle lambda 5 frac 1 2 left sqrt sqrt 5 1 sqrt 3 sqrt 5 right nbsp l 6 2 3 3 2 displaystyle lambda 6 2 sqrt 3 sqrt 3 sqrt 2 nbsp l 7 1 8 3 2 14 displaystyle lambda 7 frac 1 8 3 sqrt 2 sqrt 14 nbsp l 8 2 1 2 2 2 2 displaystyle lambda 8 left sqrt 2 1 sqrt 2 sqrt 2 2 right 2 nbsp l 9 1 2 3 1 2 3 4 displaystyle lambda 9 frac 1 2 sqrt 3 1 sqrt 2 sqrt 4 3 nbsp l 10 10 3 2 1 2 displaystyle lambda 10 sqrt 10 3 sqrt 2 1 2 nbsp l 11 1 16 22 3 2 1 3 6 3 2 11 3 1 3 6 3 2 11 3 1 3 11 1 4 displaystyle lambda 11 frac 1 16 sqrt 22 3 sqrt 2 left frac 1 3 sqrt 3 6 sqrt 3 2 sqrt 11 frac 1 3 sqrt 3 6 sqrt 3 2 sqrt 11 frac 1 3 sqrt 11 1 right 4 nbsp l 12 3 2 2 2 1 2 displaystyle lambda 12 sqrt 3 sqrt 2 2 sqrt 2 1 2 nbsp l 13 1 2 5 13 17 19 5 13 displaystyle lambda 13 frac 1 2 left sqrt 5 sqrt 13 17 sqrt 19 5 sqrt 13 right nbsp l 14 2 2 2 8 2 11 8 2 11 8 2 10 displaystyle lambda 14 left 2 sqrt 2 2 sqrt 8 sqrt 2 11 right left sqrt 8 sqrt 2 11 sqrt 8 sqrt 2 10 right nbsp l 15 1 16 10 6 3 5 2 3 displaystyle lambda 15 frac 1 16 sqrt 10 sqrt 6 3 sqrt 5 2 sqrt 3 nbsp l 16 2 1 2 2 4 1 4 displaystyle lambda 16 sqrt 2 1 2 sqrt 4 2 1 4 nbsp l 17 1 4 7 17 17 3 5 17 10 17 38 4 displaystyle lambda 17 frac 1 4 left sqrt 7 sqrt 17 sqrt sqrt 17 3 right left sqrt 5 sqrt 17 sqrt 4 10 sqrt 17 38 right nbsp l 18 2 3 2 2 1 3 displaystyle lambda 18 2 sqrt 3 2 sqrt 2 1 3 nbsp l 19 1 16 3 38 13 2 1 6 19 2 3 3 3 19 3 1 6 19 2 3 3 3 19 3 1 3 5 19 4 displaystyle lambda 19 frac 1 16 3 sqrt 38 13 sqrt 2 left frac 1 6 sqrt 19 2 sqrt 3 sqrt 3 3 sqrt 3 sqrt 19 frac 1 6 sqrt 19 2 sqrt 3 sqrt 3 3 sqrt 3 sqrt 19 frac 1 3 5 sqrt 19 right 4 nbsp l 20 10 3 5 2 2 1 5 1 1 2 displaystyle lambda 20 sqrt 10 3 sqrt 5 2 sqrt 2 1 left sqrt sqrt 5 1 1 right 2 nbsp l 21 1 4 7 3 3 1 7 2 2 14 5 2 42 2 6 displaystyle lambda 21 frac 1 4 left sqrt 7 sqrt 3 sqrt 3 1 sqrt sqrt 7 2 2 sqrt 14 5 sqrt 2 sqrt 42 2 sqrt 6 right nbsp l 22 10 3 11 3 11 7 2 displaystyle lambda 22 10 3 sqrt 11 3 sqrt 11 7 sqrt 2 nbsp l 23 1 32 5 2 46 2 3 1 6 3 1 100 12 69 3 1 6 3 1 100 12 69 3 4 displaystyle lambda 23 frac 1 32 5 sqrt 2 sqrt 46 left frac 2 3 frac 1 6 sqrt 3 1 sqrt 3 100 12 sqrt 69 frac 1 6 sqrt 3 1 sqrt 3 100 12 sqrt 69 right 4 nbsp l 24 2 3 2 3 2 3 1 2 1 3 2 2 displaystyle lambda 24 2 sqrt 3 2 left sqrt 3 sqrt 2 sqrt 3 1 sqrt 2 1 sqrt sqrt 3 sqrt 2 right 2 nbsp l 25 1 2 10 2 2 3 2 5 4 displaystyle lambda 25 frac 1 2 sqrt 10 2 sqrt 2 3 2 sqrt 4 5 nbsp Weitere Lambdafunktionswerte des Schemas l 4n 2 mit n ℕ konnen vereinfacht mit dem Tangens dargestellt werden l 26 26 5 2 1 2 tan 1 4 p arctan 1 3 3 3 26 3 1 3 3 3 26 3 1 6 26 1 2 2 4 displaystyle lambda 26 sqrt 26 5 sqrt 2 1 2 tan left tfrac 1 4 pi arctan left tfrac 1 3 sqrt 3 3 sqrt 3 sqrt 26 tfrac 1 3 sqrt 3 3 sqrt 3 sqrt 26 tfrac 1 6 sqrt 26 tfrac 1 2 sqrt 2 right right 4 nbsp l 30 tan 1 2 arctan 10 3 2 5 2 2 displaystyle lambda 30 tan bigl tfrac 1 2 arctan bigl sqrt 10 3 2 sqrt 5 2 2 bigr bigr nbsp l 34 tan 1 4 arcsin 1 9 17 4 2 displaystyle lambda 34 tan bigl tfrac 1 4 arcsin bigl tfrac 1 9 sqrt 17 4 2 bigr bigr nbsp l 42 tan 1 2 arctan 2 7 3 3 2 2 2 7 2 displaystyle lambda 42 tan bigl tfrac 1 2 arctan bigl 2 sqrt 7 3 sqrt 3 2 2 sqrt 2 sqrt 7 2 bigr bigr nbsp l 46 tan 1 4 arcsin 1 207 104 2 147 displaystyle lambda 46 tan bigl tfrac 1 4 arcsin bigl tfrac 1 207 104 sqrt 2 147 bigr bigr nbsp l 50 2 1 tan arctan 1 3 5 1 3 6 30 4 5 3 1 3 6 30 4 5 3 1 8 p 4 displaystyle lambda 50 sqrt 2 1 tan left arctan left tfrac 1 3 sqrt 5 tfrac 1 3 sqrt 3 6 sqrt 30 4 sqrt 5 tfrac 1 3 sqrt 3 6 sqrt 30 4 sqrt 5 right tfrac 1 8 pi right 4 nbsp l 58 tan 1 4 arcsin 1 9801 displaystyle lambda 58 tan bigl tfrac 1 4 arcsin tfrac 1 9801 bigr nbsp Lambda Stern Werte von gebrochen rationalen Zahlen Bearbeiten In jener Liste sind die Lambda Stern Werte von Bruchen aufgelistet l 1 2 2 2 2 displaystyle lambda frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 2 nbsp l 1 3 1 4 6 2 displaystyle lambda frac 1 3 frac 1 4 sqrt 6 sqrt 2 nbsp l 2 3 2 3 3 2 displaystyle lambda frac 2 3 2 sqrt 3 sqrt 3 sqrt 2 nbsp l 1 4 2 2 4 2 1 displaystyle lambda frac 1 4 2 sqrt 4 2 sqrt 2 1 nbsp l 3 4 8 4 3 2 2 1 3 1 3 displaystyle lambda frac 3 4 sqrt 4 8 sqrt 3 sqrt 2 sqrt 2 1 sqrt sqrt 3 1 3 nbsp l 1 5 1 2 5 1 3 5 displaystyle lambda frac 1 5 frac 1 2 left sqrt sqrt 5 1 sqrt 3 sqrt 5 right nbsp l 2 5 10 3 2 1 2 displaystyle lambda frac 2 5 sqrt 10 3 sqrt 2 1 2 nbsp l 3 5 1 16 10 6 3 5 2 3 displaystyle lambda frac 3 5 frac 1 16 sqrt 10 sqrt 6 3 sqrt 5 2 sqrt 3 nbsp l 4 5 10 3 5 2 2 1 5 1 1 2 displaystyle lambda frac 4 5 sqrt 10 3 sqrt 5 2 sqrt 2 1 left sqrt sqrt 5 1 1 right 2 nbsp Ableitung BearbeitenDie Funktion l x wird auf folgende Weise 5 abgeleitet d d x l x l x l 1 x 2 K l x 2 p x l x l 1 x 2 K l x 3 p K l 1 x displaystyle frac mathrm d mathrm d x lambda x frac lambda x lambda 1 x 2 K lambda x 2 pi sqrt x frac lambda x lambda 1 x 2 K lambda x 3 pi K lambda 1 x nbsp Dies wird im nun Folgenden bewiesen Fur die Ableitung des vollstandigen elliptischen Integrals erster Art gilt d d x K x E x 1 x 2 K x x 1 x 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x K x frac E x 1 x 2 K x x 1 x 2 nbsp Mit der Quotientenregel kann die Umkehrfunktion zur elliptischen Lambda Stern Funktion abgeleitet werden d d x K 1 x 2 2 K x 2 2 K 1 x 2 x 1 x 2 K x 3 K x E 1 x 2 E x K 1 x 2 K x K 1 x 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x frac K sqrt 1 x 2 2 K x 2 frac 2K sqrt 1 x 2 x 1 x 2 K x 3 bigl K x E sqrt 1 x 2 E x K sqrt 1 x 2 K x K sqrt 1 x 2 bigr nbsp Die Legendresche Identitat 6 besagt dass die in den eckigen Klammern stehende Bilanz konstant den Wert p 2 annimmt d d x K 1 x 2 2 K x 2 p K 1 x 2 x 1 x 2 K x 3 displaystyle frac mathrm d mathrm d x frac K sqrt 1 x 2 2 K x 2 frac pi K sqrt 1 x 2 x 1 x 2 K x 3 nbsp Nach der Umkehrregel ist die Ableitung einer Funktion der Kehrwert der Ableitung ihrer Umkehrfunktion mit der Funktion als innere Variable d d x l x d d w K 1 w 2 2 K w 2 1 w l x p K 1 w 2 w 1 w 2 K w 3 1 w l x displaystyle frac mathrm d mathrm d x lambda x biggl frac mathrm d mathrm d w frac K sqrt 1 w 2 2 K w 2 biggr 1 w lambda x biggl frac pi K sqrt 1 w 2 w 1 w 2 K w 3 biggr 1 w lambda x nbsp w 1 w 2 K w 3 p K 1 w 2 w l x l x l 1 x 2 K l x 3 p K l 1 x displaystyle biggl frac w 1 w 2 K w 3 pi K sqrt 1 w 2 biggr w lambda x frac lambda x lambda 1 x 2 K lambda x 3 pi K lambda 1 x nbsp Literatur BearbeitenChandrasekharan K 1985 Elliptic Functions Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 281 Springer Verlag pp 108 121 ISBN 3 540 15295 4 Zbl 0575 33001 Reinhardt W P Walker P L 2010 Elliptic Modular Function in Olver Frank W J Lozier Daniel M Boisvert Ronald F Clark Charles W eds NIST Handbook of Mathematical Functions Cambridge University Press ISBN 978 0 521 19225 5 MR 2723248 Rankin Robert A 1977 Modular Forms and Functions Cambridge University Press ISBN 0 521 21212 X Zbl 0376 10020 Jonathan Borwein und Peter Borwein p and the AGM A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity Wiley 1998 ISBN 978 0 471 31515 5 Seite 139 englisch wiley com Milton Abramowitz und Irene Stegun eds 1972 Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables New York Dover Publications ISBN 978 0 486 61272 0 Zbl 0543 33001 Nikos Bagis On the complete solution of the general quintic using the Rogers Ramanujan continued fraction Pella Makedonien Griechenland 2015 p 3 arXiv 1510 00068v1 Folkmar Bornemann Dirk Laurie Stan Wagon und Jorg Waldvogel Vom Losen numerischer Probleme Seiten 277 bis 280Weblinks Bearbeitenhttps arxiv org pdf 2006 12034 pdf http amsacta unibo it 3883 1 JNT3 2013PostUnibo pdf https sites google com site tpiezas 0026 https functions wolfram com EllipticFunctions EllipticThetaPrime4 introductions JacobiThetas ShowAll htmlEinzelnachweise Bearbeiten complex analysis Why is the modular lambda function a quotient of two meromorphic functions in the U H P Abgerufen am 22 Juli 2021 DLMF 23 15 Definitions Abgerufen am 22 Juli 2021 http wayback cecm sfu ca pborwein TEMP PROTECTED pi agm pdf Eric W Weisstein Elliptic Lambda Function Abgerufen am 22 Juli 2021 englisch Modular lambda function Fungrim The Mathematical Functions Grimoire Abgerufen am 22 Juli 2021 integration Proving Legendres Relation for elliptic curves Abgerufen am 12 August 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Elliptische Lambda Funktion amp oldid 230820090
