Die Ramanujanschen Funktionen g und G zahlen zu den elliptischen Funktionen Sie wurden nach dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan श र न व स र म न जन benannt Diese beiden G Funktionen stehen mit der elliptischen Lambda Funktion und der Jacobischen Thetafunktion in algebraischer Beziehung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Umkehrfunktionen 3 Algebraische Beziehungen 4 Spezielle Werte 5 Kreiszahlformeln 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Ramanujansche g Funktion und die G Funktion sind auf folgende Weise als unendliche Produkte 1 definiert g x 1 2 4 exp p 24 x a 0 1 exp 2 a 1 p x 1 2 4 exp p 24 x exp p x exp 2 p x displaystyle g x frac 1 sqrt 4 2 exp left frac pi 24 sqrt x right prod a 0 infty 1 exp 2a 1 pi sqrt x frac 1 sqrt 4 2 exp left frac pi 24 sqrt x right exp pi sqrt x exp 2 pi sqrt x infty nbsp G x 1 2 4 exp p 24 x a 0 1 exp 2 a 1 p x 1 2 4 exp p 24 x exp 2 p x exp 4 p x exp p x exp 2 p x displaystyle G x frac 1 sqrt 4 2 exp left frac pi 24 sqrt x right prod a 0 infty 1 exp 2a 1 pi sqrt x frac 1 sqrt 4 2 exp left frac pi 24 sqrt x right frac exp 2 pi sqrt x exp 4 pi sqrt x infty exp pi sqrt x exp 2 pi sqrt x infty nbsp Bei den Ausdrucken mit den eckigen Klammern auf der rechten Seite sind hierbei die Pochhammer Symbole dargestellt Deswegen lassen sich diese Funktionen auch uber die Webersche Modulfunktion und die Dedekindsche Etafunktion definieren 2 g x 2 1 4 f 1 i x 2 1 4 h 1 2 i x h i x 1 displaystyle g x 2 1 4 mathfrak f 1 i sqrt x 2 1 4 eta tfrac 1 2 i sqrt x eta i sqrt x 1 nbsp 2 1 4 a 1 a exp 6 a 1 2 p 24 x a 1 a exp 6 a 1 2 p 12 x 1 displaystyle 2 1 4 biggl sum a infty infty 1 a exp biggl 6a 1 2 frac pi 24 sqrt x biggr biggr biggl sum a infty infty 1 a exp biggl 6a 1 2 frac pi 12 sqrt x biggr biggr 1 nbsp G x 2 1 4 f 1 1 i x f 2 1 i x 2 1 4 h 1 2 i x 1 h i x 2 h 2 i x 1 displaystyle G x 2 1 4 mathfrak f 1 1 i sqrt x mathfrak f 2 1 i sqrt x 2 1 4 eta tfrac 1 2 i sqrt x 1 eta i sqrt x 2 eta 2i sqrt x 1 nbsp Diese Summenformeln sind mit dem Pentagonalzahlensatz von den Produktformeln hergeleitet Alternativ konnen die Ramanujanschen Funktionen uber die Jacobische Thetafunktion definiert werden g x 2 1 12 ϑ 01 0 exp p x 1 3 ϑ 10 0 exp p x 1 6 ϑ 00 0 exp p x 1 6 displaystyle g x 2 1 12 vartheta 01 0 exp pi sqrt x 1 3 vartheta 10 0 exp pi sqrt x 1 6 vartheta 00 0 exp pi sqrt x 1 6 nbsp 2 1 4 ϑ 00 1 12 p exp 1 24 p x ϑ 00 5 12 p exp 1 24 p x ϑ 00 1 12 p exp 1 12 p x ϑ 00 5 12 p exp 1 12 p x 1 displaystyle 2 1 4 vartheta 00 tfrac 1 12 pi exp tfrac 1 24 pi sqrt x vartheta 00 tfrac 5 12 pi exp tfrac 1 24 pi sqrt x vartheta 00 tfrac 1 12 pi exp tfrac 1 12 pi sqrt x vartheta 00 tfrac 5 12 pi exp tfrac 1 12 pi sqrt x 1 nbsp G x 2 1 12 ϑ 00 0 exp p x 1 3 ϑ 10 0 exp p x 1 6 ϑ 01 0 exp p x 1 6 displaystyle G x 2 1 12 vartheta 00 0 exp pi sqrt x 1 3 vartheta 10 0 exp pi sqrt x 1 6 vartheta 01 0 exp pi sqrt x 1 6 nbsp Dabei gelten fur die Thetafunktionen 3 folgende Definitionen ϑ 00 y z n 1 1 z 2 n 1 2 cos 2 y z 2 n 1 z 4 n 2 displaystyle vartheta 00 y z prod n 1 infty 1 z 2n 1 2 cos 2y z 2n 1 z 4n 2 nbsp ϑ 01 y z n 1 1 z 2 n 1 2 cos 2 y z 2 n 1 z 4 n 2 displaystyle vartheta 01 y z prod n 1 infty 1 z 2n 1 2 cos 2y z 2n 1 z 4n 2 nbsp ϑ 10 y z 2 z 1 4 cos y n 1 1 z 2 n 1 2 cos 2 y z 2 n z 4 n displaystyle vartheta 10 y z 2z 1 4 cos y prod n 1 infty 1 z 2n 1 2 cos 2y z 2n z 4n nbsp Bei beiden Ramanujanschen Funktionen werden alle positiven x Werte reellen positiven Werten zugeordnet Die Funktion g x beginnt am Punkt g x 0 0 Fur positive x Werte ist die Funktion g x monoton steigend Im Gegensatz dazu weist die Funktion G x ein relatives Minimum bei dem Wert G x 1 1 auf Generell zahlen alle g Funktionswerte und G Funktionswerte von positiven rationalen Zahlen zur Menge der reellen positiven algebraischen Zahlen g x Q A displaystyle g x in mathbb Q in mathbb A nbsp G x Q A 1 displaystyle G x in mathbb Q in mathbb A geq 1 nbsp Umkehrfunktionen BearbeitenDie Umkehrfunktionen zu den Ramanujanschen Funktionen konnen allein mit den Integralen algebraischer Funktionen dargestellt werden Bei diesen Integralen handelt es sich um vollstandige elliptische Integrale erster Art g 1 x 2 0 1 x 6 y 4 2 x 24 1 y 2 1 d y 2 0 1 1 y 4 2 x 24 1 y 2 1 d y 2 displaystyle g langle 1 rangle x 2 biggl int 0 1 frac x 6 sqrt y 4 2 sqrt x 24 1 y 2 1 mathrm d y biggr 2 biggl int 0 1 frac 1 sqrt y 4 2 sqrt x 24 1 y 2 1 mathrm d y biggr 2 nbsp G 1 x 0 1 1 y 4 2 x 24 1 y 2 1 d y 2 0 1 1 y 4 2 x 24 1 y 2 1 d y 2 displaystyle G langle 1 rangle x biggl int 0 1 frac 1 sqrt y 4 2 sqrt x 24 1 y 2 1 mathrm d y biggr 2 biggl int 0 1 frac 1 sqrt y 4 2 sqrt x 24 1 y 2 1 mathrm d y biggr 2 nbsp Unter Verwendung des Ausdrucks K x fur das vollstandige elliptische Integral erster Art konnen diese Umkehrfunktionen auf folgende Weise formuliert werden g 1 x K 2 x 6 x 24 1 x 12 2 K x 24 1 x 12 2 displaystyle g langle 1 rangle x K sqrt 2 x 6 sqrt sqrt x 24 1 x 12 2 K sqrt x 24 1 x 12 2 nbsp G 1 x K 1 2 x 12 1 1 2 x 12 1 2 K 1 2 x 12 1 1 2 x 12 1 2 displaystyle G langle 1 rangle x K biggl frac 1 2 sqrt x 12 1 frac 1 2 sqrt x 12 1 biggr 2 K biggl frac 1 2 sqrt x 12 1 frac 1 2 sqrt x 12 1 biggr 2 nbsp Fur die Umkehrfunktionen von den Funktionen g und G gelten folgende mathematische Satze Wenn gilt g 1 x 1 A A displaystyle g langle 1 rangle x 1 in mathbb A in mathbb A nbsp dann gilt g 1 x 1 A Q displaystyle g langle 1 rangle x 1 in mathbb A in mathbb Q nbsp Wenn gilt G 1 x 2 A A displaystyle G langle 1 rangle x 2 in mathbb A in mathbb A nbsp dann gilt G 1 x 2 A Q displaystyle G langle 1 rangle x 2 in mathbb A in mathbb Q nbsp Algebraische Beziehungen BearbeitenFolgende Gleichungen gelten fur die Ramanujanschen Funktionen G x 2 1 8 g x 1 2 g x 24 1 g x 12 1 8 displaystyle G x 2 1 8 g x 1 2 sqrt g x 24 1 g x 12 1 8 nbsp g x 24 g 1 x 24 8 2 64 g x 24 1 g 1 x 24 1 displaystyle g x 24 g 1 x 24 8 2 64 g x 24 1 g 1 x 24 1 nbsp G x G 1 x displaystyle G x G 1 x nbsp g x g 4 x 1 displaystyle g x g 4 x 1 nbsp g 4 x 2 1 4 g x G x displaystyle g 4x 2 1 4 g x G x nbsp g 9 x 12 g x 12 2 2 g x 9 g 9 x 9 2 2 g x 3 g 9 x 3 displaystyle g 9x 12 g x 12 2 sqrt 2 g x 9 g 9x 9 2 sqrt 2 g x 3 g 9x 3 nbsp g 9 x 2 1 6 g x 1 3 g x 8 1 2 g x 16 g x 8 1 2 g x 8 1 g x 8 g x 16 g x 8 1 1 3 displaystyle g 9x 2 1 6 g x 1 3 left sqrt g x 8 1 sqrt 2 sqrt g x 16 g x 8 1 2g x 8 1 g x 8 sqrt g x 16 g x 8 1 right 1 3 nbsp Einige Theoreme fur Vervielfachungen mit ungeraden Quadratzahlen werden nur durch Gleichungen beschrieben bei welchen die Losungen fur den Allgemeinfall von g und G nicht elementar dargestellt werden konnen Ein solches Beispiel sind die beiden unten abgebildeten Theoreme fur die Verfunfundzwanzigfachung Diese Gleichungen sechsten Grades haben quintische Resolventen in der Bring Jerrard Form deren Allgemeinfall nicht elementar losbar ist 4 Auch konnen die Jacobischen elliptischen Sinus Cosinus und Delta Funktionenswerte vom Funftel des vollstandigen elliptischen Integrals erster Ordnung fur den Allgemeinfall des elliptischen Moduls auch nicht elementar dargestellt werden Dies funktioniert jedoch sehr wohl fur das Drittel 5 und das Neuntel des vollstandigen elliptischen Integrals erster Ordnung g 25 x 6 g x 6 2 g x 5 g 25 x 5 2 g x g 25 x displaystyle g 25x 6 g x 6 2g x 5 g 25x 5 2g x g 25x nbsp G 25 x 6 G x 6 2 G x 5 G 25 x 5 2 G x G 25 x displaystyle G 25x 6 G x 6 2G x 5 G 25x 5 2G x G 25x nbsp g 49 x 8 g x 8 7 g x 4 g 49 x 4 2 2 g x 7 g 49 x 7 2 2 g x g 49 x displaystyle g 49x 8 g x 8 7g x 4 g 49x 4 2 sqrt 2 g x 7 g 49x 7 2 sqrt 2 g x g 49x nbsp G 49 x 8 G x 8 7 G x 4 G 49 x 4 2 2 G x 7 G 49 x 7 2 2 G x G 49 x displaystyle G 49x 8 G x 8 7G x 4 G 49x 4 2 sqrt 2 G x 7 G 49x 7 2 sqrt 2 G x G 49x nbsp g 121 x 12 g x 12 displaystyle g 121x 12 g x 12 nbsp 2 2 g x g 121 x g x 2 g 121 x 2 1 g x 4 g 121 x 4 3 g x 2 g 121 x 2 1 2 g x 4 g 121 x 4 3 g x 2 g 121 x 2 2 displaystyle 2 sqrt 2 g x g 121x g x 2 g 121x 2 1 g x 4 g 121x 4 3g x 2 g 121x 2 1 2g x 4 g 121x 4 3g x 2 g 121x 2 2 nbsp g 169 x 2 g x 2 g 169 x 4 g x 4 7 g x 2 g 169 x 2 g 169 x 2 g x 2 4 g x 2 g 169 x 2 g 169 x 2 g x 2 2 displaystyle g 169x 2 g x 2 g 169x 4 g x 4 7g x 2 g 169x 2 g 169x 2 g x 2 4 g x 2 g 169x 2 g 169x 2 g x 2 2 nbsp 8 g x 13 g 169 x 13 8 g x g 169 x displaystyle 8g x 13 g 169x 13 8g x g 169x nbsp Folgende Beziehungen gelten zur elliptischen Lambdafunktion 6 l x tan 1 2 arctan g x 12 1 2 g x 4 G x 8 g x 24 1 g x 12 displaystyle lambda x tan frac 1 2 arctan g x 12 frac 1 2 g x 4 G x 8 sqrt g x 24 1 g x 12 nbsp g x tan 2 arctan l x 1 12 2 l x 1 12 1 l x 2 1 12 displaystyle g x tan 2 arctan lambda x 1 12 2 lambda x 1 12 1 lambda x 2 1 12 nbsp G x sin 2 arcsin l x 1 12 2 l x 1 12 1 l x 2 1 24 displaystyle G x sin 2 arcsin lambda x 1 12 2 lambda x 1 12 1 lambda x 2 1 24 nbsp l 4 x g x 24 1 1 g x 6 2 g x 24 1 1 g x 6 2 displaystyle lambda 4x biggl sqrt sqrt g x 24 1 1 g x 6 biggr 2 biggl sqrt sqrt g x 24 1 1 g x 6 biggr 2 nbsp l 9 x l x 3 tan arctan 2 g x 16 g x 8 1 g x 8 2 g x 8 1 1 4 p 4 displaystyle lambda 9x lambda x 3 tan biggl arctan biggl sqrt 2 sqrt g x 16 g x 8 1 g x 8 2 sqrt g x 8 1 biggr frac 1 4 pi biggr 4 nbsp g 25 x g x 5 nc 4 5 K l x l x nc 2 5 K l x l x displaystyle g 25x g x 5 left langle operatorname nc tfrac 4 5 K lambda x lambda x operatorname nc tfrac 2 5 K lambda x lambda x right rangle nbsp Dabei ist nc der Kehrwert der Jacobischen Funktion Cosinus Amplitudinis Spezielle Werte BearbeitenWerte der g Funktion g 1 2 1 8 displaystyle g 1 2 1 8 nbsp g 2 1 displaystyle g 2 1 nbsp g 3 2 1 6 2 3 1 8 displaystyle g 3 2 1 6 2 sqrt 3 1 8 nbsp g 4 2 1 8 displaystyle g 4 2 1 8 nbsp g 5 2 1 4 5 1 2 1 4 displaystyle g 5 2 1 4 sqrt sqrt 5 1 sqrt 2 1 4 nbsp g 6 2 1 1 6 displaystyle g 6 sqrt 2 1 1 6 nbsp g 7 2 1 4 8 3 7 1 8 displaystyle g 7 2 1 4 8 3 sqrt 7 1 8 nbsp g 8 2 1 8 2 1 1 8 displaystyle g 8 2 1 8 sqrt 2 1 1 8 nbsp g 9 2 1 6 3 1 1 12 2 3 4 1 4 displaystyle g 9 2 1 6 sqrt 3 1 1 12 sqrt 2 sqrt 4 3 1 4 nbsp g 10 2 1 2 5 1 1 2 displaystyle g 10 2 1 2 sqrt 5 1 1 2 nbsp g 14 1 2 3 2 1 2 2 1 displaystyle g 14 frac 1 2 sqrt 3 sqrt 2 frac 1 2 sqrt sqrt 2 1 nbsp g 18 3 2 1 3 displaystyle g 18 sqrt 3 sqrt 2 1 3 nbsp g 22 2 1 displaystyle g 22 sqrt sqrt 2 1 nbsp g 26 1 6 2 13 2 3 2 3 3 26 6 3 2 3 3 26 6 1 3 13 2 displaystyle g 26 frac 1 6 sqrt 2 sqrt 13 2 sqrt sqrt 3 sqrt 2 sqrt 6 3 sqrt 3 sqrt 26 sqrt sqrt 3 sqrt 2 sqrt 6 3 sqrt 3 sqrt 26 frac 1 3 sqrt sqrt 13 2 nbsp g 30 10 3 1 6 5 2 1 6 displaystyle g 30 sqrt 10 3 1 6 sqrt 5 2 1 6 nbsp g 34 1 4 14 2 17 1 4 2 17 2 displaystyle g 34 frac 1 4 sqrt 14 2 sqrt 17 frac 1 4 sqrt 2 sqrt 17 2 nbsp g 38 1 6 2 1 57 6 2 1 3 57 16 2 3 57 6 2 1 3 57 16 2 3 2 2 displaystyle g 38 frac 1 6 sqrt sqrt 2 1 sqrt 57 6 sqrt 2 1 sqrt 3 3 sqrt 57 16 sqrt 2 sqrt 57 6 sqrt 2 1 sqrt 3 3 sqrt 57 16 sqrt 2 2 sqrt 2 nbsp g 42 2 7 3 3 1 6 2 2 7 1 6 displaystyle g 42 2 sqrt 7 3 sqrt 3 1 6 2 sqrt 2 sqrt 7 1 6 nbsp g 46 1 2 5 2 1 2 2 1 displaystyle g 46 frac 1 2 sqrt 5 sqrt 2 frac 1 2 sqrt sqrt 2 1 nbsp g 50 1 144 5 1 2 5 12 16 6 6 3 16 6 6 3 5 4 3 5 2 1 2 displaystyle g 50 frac 1 144 sqrt 5 1 2 sqrt 12 5 sqrt 3 16 6 sqrt 6 sqrt 3 16 6 sqrt 6 sqrt 4 5 3 sqrt 5 2 frac 1 2 nbsp g 54 2 1 3 2 2 2 1 7 6 2 2 1 5 6 1 3 displaystyle g 54 sqrt 2 1 3 2 sqrt 2 sqrt 2 1 7 6 sqrt 2 sqrt 2 1 5 6 1 3 nbsp g 58 1 2 2 29 10 displaystyle g 58 frac 1 2 sqrt 2 sqrt 29 10 nbsp g 62 1 4 9 5 2 1 4 2 1 1 8 4 2 2 7 31 4 2 31 4 7 31 4 2 31 4 displaystyle g 62 frac 1 4 sqrt 9 5 sqrt 2 frac 1 4 sqrt sqrt 2 1 frac 1 8 sqrt 4 2 sqrt 2 sqrt 7 sqrt 31 sqrt 4 4 sqrt 2 sqrt 31 sqrt 7 sqrt 31 sqrt 4 4 sqrt 2 sqrt 31 nbsp g 66 1 2 2 2 1 126 14 33 32 2 9 33 2 2 33 4 2 4 2 2 1 126 14 33 32 2 9 33 2 2 33 4 2 4 1 3 displaystyle g 66 frac 1 2 left 2 sqrt 2 1 sqrt 126 14 sqrt 33 32 sqrt 2 9 sqrt 33 2 sqrt 2 sqrt 4 sqrt 33 4 sqrt 2 2 sqrt 2 1 sqrt 126 14 sqrt 33 32 sqrt 2 9 sqrt 33 2 sqrt 2 sqrt 4 sqrt 33 4 sqrt 2 right 1 3 nbsp g 70 1 2 5 1 2 1 displaystyle g 70 frac 1 2 sqrt 5 1 sqrt sqrt 2 1 nbsp Der Wert g 74 ist quintisch radikal beschaffen Folglich muss fur die Ermittlung dieses Wertes eine Gleichung funften Grades gelost werden g 74 5 g 74 3 g 74 37 6 g 74 4 g 74 2 1 0 displaystyle g 74 5 g 74 3 g 74 sqrt sqrt 37 6 left g 74 4 g 74 2 1 right 0 nbsp Werte 7 der G Funktion G 1 1 displaystyle G 1 1 nbsp G 2 2 1 8 2 1 1 8 displaystyle G 2 2 1 8 sqrt 2 1 1 8 nbsp G 3 2 1 12 displaystyle G 3 2 1 12 nbsp G 4 2 3 16 2 1 1 4 displaystyle G 4 2 3 16 sqrt 2 1 1 4 nbsp G 5 2 1 4 5 1 1 4 displaystyle G 5 2 1 4 sqrt 5 1 1 4 nbsp G 6 2 1 8 2 3 1 8 3 2 1 8 2 1 1 12 displaystyle G 6 2 1 8 2 sqrt 3 1 8 sqrt 3 sqrt 2 1 8 sqrt 2 1 1 12 nbsp G 7 2 1 4 displaystyle G 7 2 1 4 nbsp G 8 2 1 4 2 2 2 2 1 8 2 1 2 2 2 1 8 displaystyle G 8 2 1 4 sqrt 2 sqrt 2 2 2 1 8 sqrt 2 1 sqrt 2 sqrt 2 2 1 8 nbsp G 9 2 3 1 6 displaystyle G 9 2 sqrt 3 1 6 nbsp G 10 2 3 8 10 3 1 8 5 1 1 4 2 1 1 4 displaystyle G 10 2 3 8 sqrt 10 3 1 8 sqrt 5 1 1 4 sqrt 2 1 1 4 nbsp G 11 2 1 4 3 1 3 33 17 3 3 33 17 3 2 2 1 12 T T R I 1 3 2 1 4 T T R I 2 T T R I displaystyle G 11 2 1 4 3 1 sqrt 3 3 sqrt 33 17 sqrt 3 3 sqrt 33 17 2 2 1 12 T TRI 1 3 2 1 4 T TRI 2 T TRI nbsp G 13 2 1 4 13 3 1 4 displaystyle G 13 2 1 4 sqrt 13 3 1 4 nbsp G 15 2 1 12 5 1 1 3 displaystyle G 15 2 1 12 sqrt 5 1 1 3 nbsp G 17 1 4 10 2 17 1 4 2 17 6 displaystyle G 17 frac 1 4 sqrt 10 2 sqrt 17 frac 1 4 sqrt 2 sqrt 17 6 nbsp G 19 2 1 4 3 2 3 9 57 3 9 57 3 2 3 18 4 cosh 1 3 arcosh 3 4 6 displaystyle G 19 2 1 4 3 2 3 sqrt 3 9 sqrt 57 sqrt 3 9 sqrt 57 tfrac 2 3 sqrt 4 18 cosh tfrac 1 3 operatorname arcosh tfrac 3 4 sqrt 6 nbsp G 21 2 1 12 3 7 1 6 2 7 3 3 1 12 displaystyle G 21 2 1 12 3 sqrt 7 1 6 2 sqrt 7 3 sqrt 3 1 12 nbsp G 23 2 1 12 3 2 3 9 69 3 9 69 3 2 3 18 4 cosh 1 3 arcosh 3 2 3 2 1 4 r displaystyle G 23 2 1 12 3 2 3 sqrt 3 9 sqrt 69 sqrt 3 9 sqrt 69 tfrac 2 3 sqrt 4 18 cosh tfrac 1 3 operatorname arcosh tfrac 3 2 sqrt 3 2 1 4 rho nbsp G 25 1 2 5 1 displaystyle G 25 frac 1 2 sqrt 5 1 nbsp G 27 2 1 12 3 1 3 2 3 1 displaystyle G 27 2 1 12 3 1 3 sqrt 3 2 1 nbsp G 29 2 5 4 3 1 29 5 1 4 29 3 3 1 2 29 6 3 3 3 1 2 29 6 3 3 displaystyle G 29 2 5 4 3 1 sqrt 29 5 1 4 sqrt 29 3 sqrt 3 1 sqrt 3 2 sqrt 29 6 sqrt 3 sqrt 3 1 sqrt 3 2 sqrt 29 6 sqrt 3 nbsp G 31 2 3 4 3 1 116 12 93 3 116 12 93 3 2 1 2 18 4 csch 1 3 arsinh 3 2 3 2 1 4 ps displaystyle G 31 2 3 4 3 1 sqrt 3 116 12 sqrt 93 sqrt 3 116 12 sqrt 93 2 tfrac 1 2 sqrt 4 18 operatorname csch tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 2 sqrt 3 2 1 4 psi nbsp G 33 10 3 11 1 12 2 3 1 4 displaystyle G 33 10 3 sqrt 11 1 12 2 sqrt 3 1 4 nbsp G 35 2 9 4 3 1 5 1 7 3 35 3 3 3 7 3 35 3 3 3 2 1 4 3 1 5 1 displaystyle G 35 2 9 4 3 1 sqrt 5 1 sqrt 7 sqrt 3 sqrt 3 sqrt 35 3 sqrt 3 sqrt 7 sqrt 3 sqrt 3 sqrt 35 3 sqrt 3 2 1 4 3 1 sqrt 5 1 nbsp G 37 37 6 1 4 displaystyle G 37 sqrt 37 6 1 4 nbsp G 39 2 13 12 2 13 7 1 13 3 1 3 displaystyle G 39 2 13 12 sqrt 2 sqrt 13 7 1 sqrt 13 3 1 3 nbsp G 41 1 8 6 41 38 1 8 14 2 41 1 8 40 41 8 4 1 8 40 41 248 4 displaystyle G 41 frac 1 8 sqrt 6 sqrt 41 38 frac 1 8 sqrt 14 2 sqrt 41 frac 1 8 sqrt 4 40 sqrt 41 8 frac 1 8 sqrt 4 40 sqrt 41 248 nbsp G 43 2 1 4 3 1 35 3 129 3 35 3 129 3 2 1 4 72 4 csch 1 3 arsinh 3 4 3 displaystyle G 43 2 1 4 3 1 sqrt 3 35 3 sqrt 129 sqrt 3 35 3 sqrt 129 2 tfrac 1 4 sqrt 4 72 operatorname csch tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 4 sqrt 3 nbsp G 45 4 15 1 6 5 2 1 4 displaystyle G 45 4 sqrt 15 1 6 sqrt 5 2 1 4 nbsp Der Wert G 47 ist quintisch radikal der Wert G 71 sogar septisch radikal beschaffen 8 2 1 4 G 47 5 2 1 4 G 47 3 2 2 1 4 G 47 2 2 2 1 4 G 47 1 0 displaystyle 2 1 4 G 47 5 2 1 4 G 47 3 2 2 1 4 G 47 2 2 2 1 4 G 47 1 0 nbsp Das Kurzel T TRI steht fur die Tribonacci Konstante das Kurzel r steht fur die Plastische Zahl und das Kurzel ps steht fur die Supergoldene Zahl Alle drei Konstanten sind die Losungen von kubischen Gleichungen mit rationalen Koeffizienten an allen vier Gliedern Konstante Algebraischer Ausdruck Kubische GleichungTribonacci Konstante T T R I 1 3 19 3 33 3 1 3 19 3 33 3 1 3 displaystyle T TRI tfrac 1 3 sqrt 3 19 3 sqrt 33 tfrac 1 3 sqrt 3 19 3 sqrt 33 tfrac 1 3 nbsp T T R I 3 T T R I 2 T T R I 1 0 displaystyle T TRI 3 T TRI 2 T TRI 1 0 nbsp Plastische Zahl r 1 6 12 3 9 69 3 9 69 3 displaystyle rho tfrac 1 6 sqrt 3 12 sqrt 3 9 sqrt 69 sqrt 3 9 sqrt 69 nbsp r 3 r 1 0 displaystyle rho 3 rho 1 0 nbsp Supergoldene Zahl ps 1 6 116 12 93 3 1 6 116 12 93 3 1 3 displaystyle psi tfrac 1 6 sqrt 3 116 12 sqrt 93 tfrac 1 6 sqrt 3 116 12 sqrt 93 tfrac 1 3 nbsp ps 3 ps 2 1 0 displaystyle psi 3 psi 2 1 0 nbsp Kreiszahlformeln BearbeitenDer Mathematiker Srinivasa Ramanujan erkannte dass diese Formel fur alle positiven x Werte gultig ist 1 p k 0 4 k k 4 g x 12 8 g x 24 8 2 k 1 l x 2 x 1 l x 2 2 x E l x 1 l x 2 K l x p 4 1 l x 2 K l x 2 k g x 24 1 x g x 24 1 displaystyle frac 1 pi sum k 0 infty frac 4k k 4 biggl frac g x 12 8g x 24 8 biggr 2k biggl frac 1 lambda x 2 sqrt x 1 lambda x 2 2 frac sqrt x E lambda x 1 lambda x 2 K lambda x frac pi 4 1 lambda x 2 K lambda x 2 frac k g x 24 1 sqrt x g x 24 1 biggr nbsp Fur alle positiven rationalen x Werte entstehen in den geschweiften Klammern stets algebraische Ausdrucke Bei dem Wert x 58 entsteht die weltberuhmte und rasant konvergierende von Ramanujan entdeckte Summenformel fur den Kehrwert der Kreiszahl 1 p k 0 2 2 4 k 1103 26390 k 9801 k 4 396 4 k displaystyle frac 1 pi sum k 0 infty frac 2 sqrt 2 4k 1103 26390k 9801 k 4 396 4k nbsp Bei dem Wert x 22 entsteht diese ebenso sehr schnell konvergierende Summenformel 1 p k 0 4 k 19 280 k 18 11 k 4 1584 2 k displaystyle frac 1 pi sum k 0 infty frac 4k 19 280k 18 sqrt 11 k 4 1584 2k nbsp Bei dem Wert x 10 entsteht jene auch sehr schnell konvergierende Summenformel 1 p k 0 2 2 4 k 1 10 k 9 k 4 12 4 k displaystyle frac 1 pi sum k 0 infty frac 2 sqrt 2 4k 1 10k 9 k 4 12 4k nbsp Literatur BearbeitenSrinivasa Ramanujan Modular Equations and Approximations to pi Quart J Pure Appl Math 45 350 372 1913 1914 J M und P B Borwein Pi amp the AGM A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity New York Wiley Seiten 139 172 und 298 1987 D H Bailey J M und P B Borwein Ramanujan Modular Equations and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits The American Mathematical Monthly Vol 96 No 3 Mar 1989 pp 215 216 Bruce C Berndt Sen Shan Huang Jaebum Sohn und Seung Hwan Son Some theorems on the Rogers Ramanujan continued fraction in Ramanujan s lost notebook pp 19 21Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Ramanujan g and G Functions Abgerufen am 12 Juli 2021 englisch Eric W Weisstein Dedekind Eta Function Abgerufen am 12 Juli 2021 englisch Derivative of the Jacobi theta function Introduction to the Jacobi theta functions Abgerufen am 1 August 2021 Eric W Weisstein Quintic Equation Abgerufen am 12 Juli 2021 englisch http matwbn icm edu pl ksiazki aa aa73 aa7316 pdf Eric W Weisstein Elliptic Lambda Function Abgerufen am 12 Juli 2021 englisch 0026 Part 5 Complete Elliptic Integral of the First Kind A Collection of Algebraic Identities Abgerufen am 12 Juli 2021 A084540 OEIS Abgerufen am 12 Juli 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ramanujansche g Funktion und G Funktion amp oldid 223071888
