Weierstraßsche ℘-Funktion

In der Mathematik bezeichnet die Weierstraßsche ℘-Funktion (sprich „… p-Funktion“, siehe Weierstraß-p) eine bestimmte elliptische Funktion in Abhängigkeit eines Gitters. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Karl Weierstraß. Mithilfe der Weierstraßschen ℘-Funktion und ihrer Ableitung lassen sich elliptische Kurven über den komplexen Zahlen parametrisieren.

Definition

Graph der ℘-Funktion mit den Invarianten und , wobei die weißen Stellen für Pole und die schwarzen für Nullstellen stehen

Seien zwei komplexe Zahlen, welche über linear unabhängig sind und sei das Gitter, das von und erzeugt wird. Dann ist die ℘-Funktion zum Gitter wie folgt definiert:

Die Reihe konvergiert lokal gleichmäßig absolut in . Häufig wird statt auch nur geschrieben.

Die Weierstraßsche ℘-Funktion ist gerade so konstruiert, dass sie einen Pol der Ordnung 2 an jeder Stelle hat. Da die Summe alleine nicht absolut konvergieren würde, ist es nötig, den Term hinzuzufügen.

Motivation

Eine Kubik der Form , wobei komplexe Zahlen sind mit , lässt sich nicht rational parametrisieren. Dennoch würde man gerne eine Parametrisierung finden.

Für die Quadrik , also den Einheitskreis, existiert bekanntlich eine (nichtrationale) Parametrisierung durch die Sinusfunktion und deren Ableitung, die Kosinusfunktion:

Wegen der Periodizität des Sinus und des Kosinus ist hier als Definitionsbereich gewählt, um eine injektive Abbildung zu erhalten.

Auf ganz analoge Weise erhält man auch eine Parametrisierung der Kubik mit der doppeltperiodischen ℘-Funktion (siehe im Abschnitt „Zusammenhang mit elliptischen Kurven“). Diese Parametrisierung hat dann den Definitionsbereich , was topologisch einem Torus entspricht.

Es gibt noch eine weitere Analogie zu den trigonometrischen Funktionen. Betrachtet man die Integralfunktion

dann lässt sich diese durch die Substitution und vereinfachen. Dadurch ergibt sich:

Das bedeutet, . Also erhält man den Sinus als Umkehrfunktion einer Integralfunktion.

Auch elliptische Funktionen sind Umkehrfunktionen von Integralfunktionen, den elliptischen Integralen. Insbesondere erhält man die ℘-Funktion auf folgende Weise:

Sei

Dann lässt sich auf die komplexe Ebene fortsetzen und entspricht der ℘-Funktion.

Eigenschaften

• ℘ ist eine gerade Funktion. Das heißt, es gilt für alle , wie man auf folgende Weise sieht:

Die vorletzte Gleichheit folgt daraus, dass . Da die Summe absolut konvergiert, ändert diese Umordnung am Grenzwert nichts.

• ℘ ist meromorph und die Ableitung ist gegeben durch

• und sind doppeltperiodisch mit den Perioden und . Das bedeutet, es gilt:

Daraus folgt, dass für alle gilt: und . Funktionen, die meromorph und doppeltperiodisch sind, nennt man auch elliptische Funktionen.

Laurent-Entwicklung

Sei . Dann hat die ℘-Funktion für folgende Laurent-Reihe:

wobei

Differentialgleichung

Wir setzen und . Dann erfüllt die ℘-Funktion folgende Differentialgleichung:

Dies lässt sich verifizieren, indem man den Pol an der Stelle durch eine Linearkombination von Potenzen von und eliminiert. Dann erhält man eine ganze, elliptische Funktion, die nach dem Satz von Liouville konstant sein muss.

Invarianten und modulare Diskriminante

Die Koeffizienten und , die in der Differentialgleichung auftauchen, heißen die Invarianten. Man betrachtet und als Funktionen in und und definiert die Diskriminante .

Wie man an der Eisensteinreihe erkennen kann, sind und homogene Funktionen vom Grad −4 und −6. Das heißt, es gilt:

Wenn und so gewählt sind, dass , können und als Funktionen in einer komplexen Variablen in der oberen Halbebene aufgefasst werden.

Dazu setzt man und erhält:

Also werden , und dadurch nur skaliert. Man setzt nun:

Damit erhält man sogenannte Modulformen. Auch die ℘-Funktion kann auf diese Weise als Modulform aufgefasst werden.

Zusammenhang mit elliptischen Kurven

Sei ein Gitter , wobei komplexe Zahlen sind, sodass und linear unabhängig über sind.

Betrachte nun die ebene kubische Kurve

bzw. die projektive Kurve

Für diese Kubiken, auch Weierstraßkubiken genannt, existieren keine Parametrisierungen durch rationale Funktionen, falls ist. Trotzdem gibt es eine explizite Parametrisierung mittels der ℘-Funktion und ihrer Ableitung .

Damit erhält man die Abbildung

Indem man das Gitter auf den Punkt abbildet, kann die Abbildung fortgesetzt werden zu

Aufgrund der Periodizität von und ist diese Abbildung jedoch nicht injektiv. Wählt man stattdessen , erhält man dann die Abbildung

ist dabei sowohl eine abelsche Gruppe als auch ein topologischer Raum, versehen mit der Quotiententopologie.

Die Abbildung ist nun bijektiv und parametrisiert die Kurve .

Weiter lässt sich zeigen, dass jede glatte Weierstraßkubik auf diese Weise gegeben ist. Also dass es für jedes Paar mit ein Gitter gibt, sodass

und .

Die Aussage, dass alle elliptischen Kurven über durch Modulformen über parametrisiert werden können, ist als Modularitätssatz bekannt. Dieser Satz ist von großer Bedeutung in der Zahlentheorie. Andrew Wiles konnte damit 1995 den Großen Fermatschen Satz beweisen.

Additionstheoreme

Seien , sodass . Dann gilt:

Darüber hinaus gibt es noch die Verdopplungsformel:

Diese Formeln haben auch eine geometrische Bedeutung, wenn man wie im vorherigen Abschnitt die elliptische Kurve zusammen mit der Abbildung betrachtet.

ist als Faktorgruppe selbst eine Gruppe. Diese Gruppenstruktur überträgt sich auch auf die Kurve (siehe Gruppenoperationen auf elliptischen Kurven) und kann dort geometrisch interpretiert werden.

Damit ist dann insbesondere ein Gruppenisomorphismus. Nun lässt sich das Additionstheorem auch auf folgende Weise geometrisch formulieren:

Die Summe dreier paarweise verschiedener Punkte ist genau dann Null, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden in liegen.

Dies ist äquivalent dazu, dass gilt:

wobei , und gelte.

Siehe auch

• äquianharmonischer Fall

Einzelnachweise

1. Apostol, Tom M.: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Springer-Verlag, New York 1976, ISBN 0-387-90185-X, S. 9. 
2. Hulek, Klaus.: Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarb. u. erw. Aufl. 2012. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9, S. 8. 
3. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 259. 
4. Jeremy Gray: Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 71. 
5. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 294. 
6. Apostol, Tom M.: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Springer-Verlag, New York 1976, ISBN 0-387-90185-X, S. 11. 
7. Apostol, Tom M.: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Springer-Verlag, New York 1976, ISBN 0-387-90185-X, S. 14. 
8. Hulek, Klaus.: Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarb. u. erw. Aufl. 2012. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9, S. 12. 
9. Hulek, Klaus.: Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarb. u. erw. Aufl. 2012. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9, S. 111. 
10. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 286. 
11. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 287. 
12. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 288.