In der Zahlentheorie ist eine Pillaische Primzahl eine Primzahl p displaystyle p fur welche eine positive ganze Zahl n gt 0 displaystyle n gt 0 existiert sodass die Fakultat von n displaystyle n also n displaystyle n um Eins kleiner ist als ein Vielfaches der Primzahl p displaystyle p Die Primzahl selbst darf aber nicht um Eins grosser sein als ein Vielfaches von n displaystyle n Mit anderen Worten Es existiert ein k 1 N displaystyle k 1 in mathbb N mit n 1 k 1 p displaystyle n 1 k 1 cdot p und es muss p 1 k 2 n displaystyle p 1 not k 2 cdot n sein fur alle k 2 N displaystyle k 2 in mathbb N Mit Kongruenzen geschrieben bedeutet das Es muss n 1 0 mod p displaystyle n 1 equiv 0 pmod p und p 1 mod n displaystyle p not equiv 1 pmod n gelten Die dazugehorigen Zahlen n N displaystyle n in mathbb N nennt man EHS Zahlen 1 Die Pillai Primzahlen wurden nach dem Mathematiker Subbayya Sivasankaranarayana Pillai benannt der sich als erstes mit diesen Zahlen beschaftigte indem er sich fragte ob es wahr ist dass jeder Primteiler p P displaystyle p in mathbb P von n 1 displaystyle n 1 von der Form p k n 1 displaystyle p k cdot n 1 ist 1 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Ungeloste Probleme 4 Einzelnachweise 5 Weblinks 6 QuellenBeispiele BearbeitenDie Zahl p 137 displaystyle p 137 nbsp ist eine Pillai Pimzahl weil gilt Mit n 16 displaystyle n 16 nbsp und k 152721094073 displaystyle k 152721094073 nbsp gilt n 1 16 1 20922789888001 152721094073 137 k 1 p displaystyle n 1 16 1 20922789888001 152721094073 cdot 137 k 1 cdot p nbsp und es ist auch tatsachlich p 1 137 1 136 k 2 16 k 2 n displaystyle p 1 137 1 136 not k 2 cdot 16 k 2 cdot n nbsp fur alle k 2 N displaystyle k 2 in mathbb N nbsp Die ersten Pillai Primzahlen sind die folgenden 23 29 59 61 67 71 79 83 109 137 139 149 193 227 233 239 251 257 269 271 277 293 307 311 317 359 379 383 389 397 401 419 431 449 461 463 467 479 499 503 521 557 563 569 571 577 593 599 601 607 613 619 631 641 647 661 673 Folge A063980 in OEIS dd Die ersten EHS Zahlen sind die folgenden 8 9 13 14 15 16 17 18 19 22 dd Die kleinsten zu obiger Liste dazugehorenden p P displaystyle p in mathbb P nbsp es gibt mehrere sind die folgenden 61 71 83 23 59 61 661 23 71 521 dd Beispiel Den beiden obigen Listen kann man jeweils an der 7 Stelle die EHS Zahl n 17 displaystyle n 17 nbsp und die Primzahl p 661 displaystyle p 661 nbsp entnehmen Und tatsachlich ist n 1 17 1 355687428096001 538105034941 661 k 1 p displaystyle n 1 17 1 355687428096001 538105034941 cdot 661 k 1 cdot p nbsp und es ist auch tatsachlich p 1 661 1 660 k 2 17 k 2 n displaystyle p 1 661 1 660 not k 2 cdot 17 k 2 cdot n nbsp fur alle k 2 N displaystyle k 2 in mathbb N nbsp Eigenschaften BearbeitenEs gibt unendlich viele Pillai Primzahlen 1 Es gibt unendlich viele EHS Zahlen 1 Ungeloste Probleme BearbeitenDie folgenden ungelosten Probleme werden in 1 aufgeworfen Sei p x displaystyle pi x nbsp die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x displaystyle x nbsp und p P x displaystyle pi mathcal P x nbsp die Anzahl der Pillai Primzahlen kleiner oder gleich x displaystyle x nbsp Ist lim x p P x p x 1 displaystyle lim x to infty frac pi mathcal P x pi x 1 nbsp dd Sei f x displaystyle f x nbsp die Anzahl der EHS Zahlen kleiner oder gleich x displaystyle x nbsp Existiert lim x f x x displaystyle lim x to infty frac f x x nbsp Wenn ja gegen welche Wert geht dieser Limes Es ist f 100 100 5 5 displaystyle frac f 100 100 approx 5 5 nbsp und f 200 200 5 25 displaystyle frac f 200 200 approx 5 25 nbsp und f 300 300 5 7 displaystyle frac f 300 300 approx 5 7 nbsp und f 400 400 5 45 displaystyle frac f 400 400 approx 5 45 nbsp und f 500 500 4 98 displaystyle frac f 500 500 approx 4 98 nbsp Es konnte sein dass der Limes 0 5 displaystyle 0 5 nbsp betragt falls er existiert dd Einzelnachweise Bearbeiten a b c d e G E Hardy M V Subbarao A Modified Problem of Pillai and Some Related Questions The American Mathematical Monthly 109 6 2002 S 554 559 abgerufen am 13 Juni 2018 Weblinks BearbeitenPillai prime In PlanetMath englisch Chris K Caldwell Pillai prime The Prime Glossary abgerufen am 13 Juni 2018 englisch Quellen BearbeitenG E Hardy M V Subbarao A Modified Problem of Pillai and Some Related Questions In The American Mathematical Monthly Band 109 Nr 6 2002 S 554 559 R K Guy Unsolved Problems in Number Theory 3 Auflage Springer Verlag New York 2004 ISBN 0 387 20860 7 V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pillaische Primzahl amp oldid 179226010
