In der Zahlentheorie ist eine Smarandache Wellin Zahl eine ganze Zahl n N displaystyle n in mathbb N deren Ziffern im Dezimalsystem oder einem beliebigen anderen Zahlensystem aus der Aneinanderkettung der ersten Primzahlen in diesem Zahlensystem besteht Zum Beispiel sind die ersten funf Primzahlen im Dezimalsystem die Zahlen 2 3 5 7 und 11 Somit ist die funfte Smarandache Wellin Zahl die Zahl n 235711 displaystyle n 235711 Ist eine Smarandache Wellin Zahl eine Primzahl so heisst sie Smarandache Wellin Primzahl Diese Zahlen wurden nach dem Kunstler Florentin Smarandache und dem Mathematiker Paul R Wellin benannt Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Smarandache Zahlen und Champernowne Zahlen 2 1 Beispiele 2 2 Faktorisierung von Smarandache Zahlen 2 3 Verallgemeinerungen 2 4 Ungeloste Probleme 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenDie ersten Smarandache Wellin Zahlen im Dezimalsystem sind die folgenden 2 23 235 2357 235711 23571113 2357111317 235711131719 23571113171923 2357111317192329 235711131719232931 23571113171923293137 Folge A019518 in OEIS Die ersten Smarandache Wellin Primzahlen im Dezimalsystem sind die folgenden 2 23 2357 Folge A069151 in OEIS Die vierte Smarandache Wellin Primzahl hat bereits 355 Stellen die funfte schon 499 Stellen Die folgende Liste gibt an die wievielte Smarandache Wellin Zahl die jeweilige Smarandache Wellin Primzahl ist 1 2 4 128 174 342 435 1429 Folge A046035 in OEIS Beispiel 1 Obiger Liste kann man an der dritten Stelle die Zahl 4 entnehmen Somit ist die Zahl die man durch Aneinanderkettung der ersten 4 Primzahlen erhalt selbst eine Primzahl p 2357 P displaystyle p 2357 in mathbb P nbsp dd Beispiel 2 Obiger Liste kann man an der vierten Stelle die Zahl 128 entnehmen Somit ist die Zahl die man durch Aneinanderkettung der ersten 128 Primzahlen erhalt selbst eine Primzahl p 23571113 709719 P displaystyle p 23571113 ldots 709719 in mathbb P nbsp Aus dieser Zahl kann man herauslesen dass die vorletzte Primzahl die 127 Primzahl die Zahl 709 ist und die letzte die 128 Primzahl die Zahl 719 sein muss Dies fuhrt zu folgender Liste dd Die folgende Liste gibt an mit welcher Primzahl die Smarandache Wellin Primzahlen enden 2 3 7 719 1033 2297 3037 11927 Folge A046284 in OEIS dd Die folgende Liste gibt die Anzahl der Stellen der ersten Smarandache Wellin Primzahlen an 1 2 4 355 499 1171 1543 5719 Folge A263959 in OEIS Beispiel Den obigen drei Listen kann man an der achten Stelle die Zahlen 1429 11927 und 5719 entnehmen Somit ist die achte Smarandache Wellin Primzahl die Aneinanderkettung der ersten 1429 Primzahlen und endet mit ebendieser 1429 Primzahl welche die Primzahl p 11927 displaystyle p 11927 nbsp ist Diese 1429 Smarandache Wellin Zahl ist eine 5719 stellige PRP Zahl also eine probable prime das heisst dass es noch nicht gesichert ist ob sie tatsachlich eine Primzahl oder vielleicht doch nur eine Pseudoprimzahl ist Sie wurde von Eric W Weisstein im Jahr 1998 entdeckt dd Die nachste also die neunte Smarandache Wellin Primzahl sofern sie existiert ist mindestens die 34736 Smarandache Wellin Zahl also die Aneinanderkettung der ersten 34736 Primzahlen 1 Smarandache Zahlen und Champernowne Zahlen BearbeitenIn der Zahlentheorie ist eine Smarandache Zahl eine ganze Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp deren Ziffern im Dezimalsystem oder einem beliebigen anderen Zahlensystem aus der Aneinanderkettung der ersten Zahlen in diesem Zahlensystem besteht Die n displaystyle n nbsp te Smarandache Zahl kurzt man mit S m n displaystyle Sm n nbsp ab Zum Beispiel sind die ersten funf Zahlen im Dezimalsystem die Zahlen 1 2 3 4 und 5 Somit ist die funfte Smarandache Zahl die Zahl S m 5 12345 displaystyle Sm 5 12345 nbsp Ist eine Smarandache Zahl eine Primzahl so heisst sie Smarandache Primzahl Es ist aber noch keine bekannt Wenn mitten in einer Smarandache Zahl abgebrochen werden darf heisst die so entstandene Zahl Champernowne Zahl Zum Beispiel ist die zwolfte Smarandache Zahl die Zahl S m 12 123456789101112 displaystyle Sm 12 123456789101112 nbsp Die letzten beiden Ziffern stammen von der Zahl 12 displaystyle 12 nbsp Bricht man diese Zahl aber ganz hinten zwischen 1 displaystyle 1 nbsp und 2 displaystyle 2 nbsp ab so erhalt man die Champernowne Zahl m 12345678910111 displaystyle m 12345678910111 nbsp Ist eine Champernowne Zahl eine Primzahl so heisst sie Champernowne Primzahl 2 Die folgende Zahl nennt sich Champernowne Konstante oder auch wie oben Champernowne Zahl C 0 1234567891011121314 displaystyle C 0 1234567891011121314 ldots nbsp Folge A033307 in OEIS Diese Zahlen wurden nach dem Mathematiker David Gawen Champernowne en benannt Beispiele Bearbeiten Die ersten Smarandache Zahlen sind die folgenden 1 12 123 1234 12345 123456 1234567 12345678 123456789 12345678910 1234567891011 123456789101112 Folge A007908 in OEIS dd Die Anzahl der Stellen der ersten Smarandache Zahlen sind die folgenden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 Folge A058183 in OEIS dd Die ersten Smarandache Zahlen im Dualsystem sind die folgenden 0 1 110 11011 11011100 11011100101 11011100101110 11011100101110111 110111001011101111000 1101110010111011110001001 Folge A058935 in OEIS Die ersten Champernowne Zahlen sind die folgenden 1 12 123 1234 12345 123456 1234567 12345678 123456789 1234567891 12345678910 123456789101 1234567891011 12345678910111 123456789101112 1234567891011121 Folge A252043 in OEIS dd Die ersten Champernowne Primzahlen sind die folgenden 1234567891 12345678910111 123456789101112131415161 Folge A176942 in OEIS dd Die Anzahl der Stellen der ersten Champernowne Primzahlen sind die folgenden 10 14 24 235 2804 4347 37735 Folge A071620 in OEIS dd Die achte noch nicht entdeckte Champernowne Primzahl wird mehr als 37800 Stellen haben 3 Faktorisierung von Smarandache Zahlen Bearbeiten Die folgende Tabelle gibt die Primfaktoren der ersten 30 Smarandache Zahlen an n displaystyle n nbsp Faktorisierung von S m n displaystyle Sm n nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 2 3 displaystyle 2 2 cdot 3 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 3 41 displaystyle 3 cdot 41 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 2 617 displaystyle 2 cdot 617 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 3 5 823 displaystyle 3 cdot 5 cdot 823 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp 2 6 3 643 displaystyle 2 6 cdot 3 cdot 643 nbsp 7 displaystyle 7 nbsp 127 9721 displaystyle 127 cdot 9721 nbsp 8 displaystyle 8 nbsp 2 3 2 47 14593 displaystyle 2 cdot 3 2 cdot 47 cdot 14593 nbsp 9 displaystyle 9 nbsp 3 2 3607 3803 displaystyle 3 2 cdot 3607 cdot 3803 nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 2 5 1234567891 displaystyle 2 cdot 5 cdot 1234567891 nbsp 11 displaystyle 11 nbsp 3 7 13 67 107 630803 displaystyle 3 cdot 7 cdot 13 cdot 67 cdot 107 cdot 630803 nbsp 12 displaystyle 12 nbsp 2 3 3 2437 2110805449 displaystyle 2 3 cdot 3 cdot 2437 cdot 2110805449 nbsp 13 displaystyle 13 nbsp 113 125693 869211457 displaystyle 113 cdot 125693 cdot 869211457 nbsp 14 displaystyle 14 nbsp 2 3 205761315168520219 displaystyle 2 cdot 3 cdot 205761315168520219 nbsp 15 displaystyle 15 nbsp 3 5 8230452606740808761 displaystyle 3 cdot 5 cdot 8230452606740808761 nbsp n displaystyle n nbsp Faktorisierung von S m n displaystyle Sm n nbsp 16 displaystyle 16 nbsp 2 2 2507191691 1231026625769 displaystyle 2 2 cdot 2507191691 cdot 1231026625769 nbsp 17 displaystyle 17 nbsp 3 2 47 4993 584538396786764503 displaystyle 3 2 cdot 47 cdot 4993 cdot 584538396786764503 nbsp 18 displaystyle 18 nbsp 2 3 2 97 88241 801309546900123763 displaystyle 2 cdot 3 2 cdot 97 cdot 88241 cdot 801309546900123763 nbsp 19 displaystyle 19 nbsp 13 43 79 281 1193 833929457045867563 displaystyle 13 cdot 43 cdot 79 cdot 281 cdot 1193 cdot 833929457045867563 nbsp 20 displaystyle 20 nbsp 2 5 3 5 323339 3347983 2375923237887317 displaystyle 2 5 cdot 3 cdot 5 cdot 323339 cdot 3347983 cdot 2375923237887317 nbsp 21 displaystyle 21 nbsp 3 17 37 43 103 131 140453 802851238177109689 displaystyle 3 cdot 17 cdot 37 cdot 43 cdot 103 cdot 131 cdot 140453 cdot 802851238177109689 nbsp 22 displaystyle 22 nbsp 2 7 1427 3169 85829 2271991367799686681549 displaystyle 2 cdot 7 cdot 1427 cdot 3169 cdot 85829 cdot 2271991367799686681549 nbsp 23 displaystyle 23 nbsp 3 41 769 13052194181136110820214375991629 displaystyle 3 cdot 41 cdot 769 cdot 13052194181136110820214375991629 nbsp 24 displaystyle 24 nbsp 2 2 3 7 978770977394515241 1501601205715706321 displaystyle 2 2 cdot 3 cdot 7 cdot 978770977394515241 cdot 1501601205715706321 nbsp 25 displaystyle 25 nbsp 5 2 15461 31309647077 1020138683879280489689401 displaystyle 5 2 cdot 15461 cdot 31309647077 cdot 1020138683879280489689401 nbsp 26 displaystyle 26 nbsp 2 3 4 21347 2345807 982658598563 154870313069150249 displaystyle 2 cdot 3 4 cdot 21347 cdot 2345807 cdot 982658598563 cdot 154870313069150249 nbsp 27 displaystyle 27 nbsp 3 3 19 2 4547 68891 40434918154163992944412000742833 displaystyle 3 3 cdot 19 2 cdot 4547 cdot 68891 cdot 40434918154163992944412000742833 nbsp 28 displaystyle 28 nbsp 2 3 47 409 416603295903037 192699737522238137890605091 displaystyle 2 3 cdot 47 cdot 409 cdot 416603295903037 cdot 192699737522238137890605091 nbsp 29 displaystyle 29 nbsp 3 859 24526282862310130729 19532994432886141889218213 displaystyle 3 cdot 859 cdot 24526282862310130729 cdot 19532994432886141889218213 nbsp 30 displaystyle 30 nbsp 2 3 5 13 49269439 370677592383442753 17333107067824345178861 displaystyle 2 cdot 3 cdot 5 cdot 13 cdot 49269439 cdot 370677592383442753 cdot 17333107067824345178861 nbsp Verallgemeinerungen Bearbeiten Weil es keine bekannten Smarandache Primzahlen gibt werden Verallgemeinerungen gesucht Wenn man k displaystyle k nbsp aufeinanderfolgende Zahlen hintereinander aufschreibt aber nicht unbedingt mit n 1 displaystyle n 1 nbsp sondern auch mit n 2 displaystyle n 2 nbsp oder n 3 displaystyle n 3 nbsp etc beginnt erhalt man Primzahlen Wie lautet die kleinste Primzahl die so erzeugt werden kann wenn man mit n 1 2 3 displaystyle n 1 2 3 ldots nbsp beginnt Die folgende Liste gibt Auskunft wenn es keine bekannte Primzahl gibt wird 0 angegeben 0 1 1 4 1 2 1 2 179 0 1 2 1 4 5 28 1 3590 1 4 0 0 1 0 25 122 0 46 1 0 1 0 71 4 569 2 1 20 5 0 1 2 1 8 0 0 1 0 193 2 0 0 1 0 0 2 5 4 1 0 1 2 0 4 5 938 1 2 119 58 1 116 1 0 125 346 5 2 1 2 0 0 1 0 0 32 Folge A244424 in OEIS Beispiel 1 An der 1 Stelle der obigen Liste steht eine 0 displaystyle 0 nbsp Somit ist im Moment noch keine Primzahl bekannt die mit p 1 2 3 4 5 displaystyle p 1 mathbf 2 3 mathbf 4 5 ldots nbsp beginnt dd Beispiel 2 An der 15 Stelle der obigen Liste steht eine 5 displaystyle 5 nbsp Somit ist die Zahl p 15 16 17 18 19 P displaystyle p 15 mathbf 16 17 mathbf 18 19 in mathbb P nbsp die kleinste Primzahl die mit 15 displaystyle 15 nbsp beginnt und mit den darauffolgenden Zahlen weitergeht dd Beispiel 3 An der 18 Stelle der obigen Liste steht die Zahl 3590 displaystyle 3590 nbsp Somit ist die Zahl p 18 19 20 21 22 3607 P displaystyle p 18 mathbf 19 20 mathbf 21 22 ldots 3607 in mathbb P nbsp die kleinste Primzahl die mit 18 displaystyle 18 nbsp beginnt und mit den darauffolgenden Zahlen weitergeht Sie endet wie man sieht mit der Zahl 3607 displaystyle 3607 nbsp und hat 13296 displaystyle 13296 nbsp Stellen dd Beispiel 4 An der 21 Stelle der obigen Liste steht eine 0 displaystyle 0 nbsp Somit ist im Moment noch keine Primzahl bekannt die mit p 21 22 23 24 25 displaystyle p 21 mathbf 22 23 mathbf 24 25 ldots nbsp beginnt dd Sei S n k displaystyle S n k nbsp die Zahl die mit 123456 displaystyle 123456 ldots nbsp beginnt die Dezimalzahlen 1 2 3 k beinhaltet aber bei der die n te Zahl fehlt zum Beispiel ist S 4 9 12356789 displaystyle S 4 9 12356789 nbsp Dann sind die kleinsten k displaystyle k nbsp fur die S n k displaystyle S n k nbsp eine Primzahl ist die folgenden wenn es keine bekannte Primzahl gibt wird 0 angegeben 2 3 7 9 11 7 11 1873 19 14513 13 961 0 653 0 5109 493 757 29 1313 Folge A262300 in OEIS Beispiel 1 An der 3 displaystyle 3 nbsp Stelle der obigen Liste steht eine 7 displaystyle 7 nbsp Somit ist die Zahl S 3 7 p 124567 P displaystyle S 3 7 p 124567 in mathbb P nbsp die kleinste Primzahl bei der die 3 displaystyle 3 nbsp fehlt aber die sonst alle Ziffern von 1 displaystyle 1 nbsp weg beinhaltet dd Beispiel 2 An der 9 displaystyle 9 nbsp Stelle der obigen Liste steht die Zahl 19 displaystyle 19 nbsp Somit ist die Zahl S 9 19 p 1234567810111213141516171819 P displaystyle S 9 19 p 1234567810111213141516171819 in mathbb P nbsp die kleinste Primzahl bei der die 9 displaystyle 9 nbsp fehlt aber die sonst alle Zahlen von 1 displaystyle 1 nbsp weg beinhaltet dd Beispiel 3 An der 13 displaystyle 13 nbsp Stelle der obigen Liste steht die Zahl 0 displaystyle 0 nbsp Somit ist keine Zahl der Form S 13 k 123456789101112141516171819 k displaystyle S 13 k 123456789101112141516171819 ldots k nbsp bekannt die prim ist dd Ungeloste Probleme Bearbeiten Es wird vermutet dass es unendlich viele Smarandache Primzahlen gibt es wurde aber noch keine einzige gefunden Stand Dezember 2016 Unter den ersten 344 869 Smarandache Zahlen gibt es auf jeden Fall keine Smarandache Primzahlen 2 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Smarandache Wellin Number In MathWorld englisch Eric W Weisstein Smarandache Wellin Prime In MathWorld englisch Eric W Weisstein Smarandache Number In MathWorld englisch Eric W Weisstein Smarandache Prime In MathWorld englisch Eric W Weisstein Champernowne Constant In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Neil Sloane Numbers n such that the concatenation of the first n primes is a prime Comments OEIS abgerufen am 3 August 2018 a b Eric W Weisstein Smarandache Prime In MathWorld englisch Neil Sloane Champernowne primes Comments OEIS abgerufen am 3 August 2018 V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Smarandache Wellin Zahl amp oldid 236585347
