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Fibonacci Primzahl Eine engl Fibonacci prime ist eine natürliche Zahl welche zugleich eine Fibonacci Zahl und eine Primz

Fibonacci-Primzahl

Eine Fibonacci-Primzahl (engl. Fibonacci prime) ist eine natürliche Zahl, welche zugleich eine Fibonacci-Zahl und eine Primzahl ist. Fibonacci-Primzahlen sind Gegenstand der Zahlentheorie.

Beispiele für Fibonacci-Primzahlen Bearbeiten

Die Folge der Fibonacci-Primzahlen beginnt mit folgenden zehn Zahlen (vgl. Folge A005478 in OEIS):

Die momentan größten bekannten Fibonacci-Primzahlen sind die folgenden:

Die größte bekannte Fibonacci-Primzahl hat 21.925 Stellen und wurde im April 2001 von Bouk de Water entdeckt, aber erst am 16. Oktober 2015 von Mathew Steine als Primzahl identifiziert (Stand: 15. August 2018).

Es gibt noch wesentlich größere Zahlen, die Fibonacci-Primzahlen sein könnten, nur ist man sich wegen ihrer Größe noch nicht sicher, ob es sich tatsächlich um Primzahlen oder doch „nur“ um Pseudoprimzahlen handelt. Sie erfüllen jedenfalls viele Eigenschaften einer Primzahl und es gilt als wahrscheinlich, dass es sich um Primzahlen handelt. Solche „wahrscheinlichen Primzahlen“ nennt man PRP-Zahlen. Diese potentiellen weiteren Fibonacci-Primzahlen haben folgenden Index :

Die größte bekannte Fibonacci-PRP-Zahl hat 698.096 Stellen und wurde im März 2018 von Henri Lifchitz entdeckt (Stand: 15. August 2018).

Primalitätsprüfung Bearbeiten

Es gibt eine Anzahl von Bedingungen, auf die man bei der Primalitätsprüfung der Fibonacci-Zahlen und ihrer Teilbarkeitseigenschaften zurückgreifen kann.

Eine dieser Bedingungen ist die folgende:

Daraus ergibt sich die folgende Bedingung:

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend. Viele Fibonacci-Zahlen , deren Index eine Primzahl ist, sind keine Primzahlen. Die drei kleinsten Beispielfälle hierfür sind:

Ungelöstes Problem Bearbeiten

Als eines der großen ungelösten Probleme im Zusammenhang mit den Fibonacci-Primzahlen gilt die Frage:

Existieren unendlich viele Fibonacci-Primzahlen?

Der israelische Astrophysiker und Wissenschaftsautor Mario Livio schreibt dazu:

Die Lösung des Problems gilt nach Ansicht des britischen Mathematikers Richard K. Guy als sehr unwahrscheinlich, er schreibt:

Literatur Bearbeiten

  • Fred Wayne Dodd: Number Theory in the Quadratic Field with Golden Section Unit. 3. Auflage. Polygonal Publishing House, Passaic NJ 1983, ISBN 0-936428-08-2.
  • Richard K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2004, ISBN 0-387-20860-7.
  • Mario Livio: The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. Broadway Books, New York 2003, ISBN 0-7679-0816-3.
  • Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. M. Livio: The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. 2003, S. 237.
  2. ↑ R. K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 2004, S. 17–18. und auch Eric W. Weisstein: Fibonacci Prime. In: MathWorld (englisch).
  3. Der Index gibt die Position der jeweiligen Fibonacci-Primzahl in der Fibonacci-Folge an.
  4. f(104911) auf Prime Pages
  5. Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Top Records - Search by form F(n). PRP Records, abgerufen am 14. August 2018.
  6. ↑ F. W. Dodd: Number Theory in the Quadratic Field with Golden Section Unit. 1983, S. 119–120.
Primzahl­mengen


formelbasiert

Carol ((2n − 1)2 − 2) | Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (22n + 1) | Kubisch (x3 − y3)/(x − y) | Kynea ((2n + 1)2 − 2) | Leyland (xy + yx) | Mersenne (2p − 1) | Mills (A3n) | Pierpont (2u⋅3v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x4 + y4) | Thabit (3⋅2n − 1) | Wagstaff ((2p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅bn − 1) | Woodall (n⋅2n − 1)

Primzahlfolgen

Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin

eigenschaftsbasiert

Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson

basis­abhängig

Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular

basierend auf Tupel

Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)

nach Größe

Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)

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Veröffentlichungsdatum:
Eine Fibonacci Primzahl engl Fibonacci prime ist eine naturliche Zahl welche zugleich eine Fibonacci Zahl und eine Primzahl ist Fibonacci Primzahlen sind Gegenstand der Zahlentheorie 1 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele fur Fibonacci Primzahlen 2 Primalitatsprufung 3 Ungelostes Problem 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBeispiele fur Fibonacci Primzahlen BearbeitenDie Folge der Fibonacci Primzahlen beginnt mit folgenden zehn Zahlen vgl Folge A005478 in OEIS 2 3 f 3 2 displaystyle f 3 2 nbsp f 4 3 displaystyle f 4 3 nbsp f 5 5 displaystyle f 5 5 nbsp f 7 13 displaystyle f 7 13 nbsp f 11 89 displaystyle f 11 89 nbsp f 13 233 displaystyle f 13 233 nbsp f 17 1597 displaystyle f 17 1597 nbsp f 23 28657 displaystyle f 23 28657 nbsp f 29 514229 displaystyle f 29 514229 nbsp f 43 433494437 displaystyle f 43 433494437 nbsp Die momentan grossten bekannten Fibonacci Primzahlen sind die folgenden 2 f 50833 f 81839 f 104911 displaystyle f 50833 f 81839 f 104911 nbsp Die grosste bekannte Fibonacci Primzahl f 104911 displaystyle f 104911 nbsp hat 21 925 Stellen und wurde im April 2001 von Bouk de Water entdeckt aber erst am 16 Oktober 2015 von Mathew Steine als Primzahl identifiziert Stand 15 August 2018 4 Es gibt noch wesentlich grossere Zahlen die Fibonacci Primzahlen sein konnten nur ist man sich wegen ihrer Grosse noch nicht sicher ob es sich tatsachlich um Primzahlen oder doch nur um Pseudoprimzahlen handelt Sie erfullen jedenfalls viele Eigenschaften einer Primzahl und es gilt als wahrscheinlich dass es sich um Primzahlen handelt Solche wahrscheinlichen Primzahlen nennt man PRP Zahlen Diese potentiellen weiteren Fibonacci Primzahlen f n displaystyle f n nbsp haben folgenden Index n displaystyle n nbsp 5 n 130021 148091 201107 397379 433781 590041 593689 604711 931517 1049897 1285607 1636007 1803059 1968721 2904353 3244369 3340367Die grosste bekannte Fibonacci PRP Zahl f 3340367 displaystyle f 3340367 nbsp hat 698 096 Stellen und wurde im Marz 2018 von Henri Lifchitz entdeckt Stand 15 August 2018 Primalitatsprufung BearbeitenEs gibt eine Anzahl von Bedingungen auf die man bei der Primalitatsprufung der Fibonacci Zahlen und ihrer Teilbarkeitseigenschaften zuruckgreifen kann 6 Eine dieser Bedingungen ist die folgende Fur m n N displaystyle m n in mathbb N nbsp und m gt 2 displaystyle m gt 2 nbsp ist m displaystyle m nbsp ein Teiler von n displaystyle n nbsp dann und nur dann wenn f m displaystyle f m nbsp ein Teiler von f n displaystyle f n nbsp ist 6 Daraus ergibt sich die folgende Bedingung Ist n 4 displaystyle n neq 4 nbsp und f n displaystyle f n nbsp eine Fibonacci Primzahl so ist n displaystyle n nbsp selbst eine Primzahl Diese Bedingung ist notwendig aber nicht hinreichend Viele Fibonacci Zahlen f p displaystyle f p nbsp deren Index p displaystyle p nbsp eine Primzahl ist sind keine Primzahlen Die drei kleinsten Beispielfalle hierfur sind p 19 displaystyle p 19 nbsp mit f 19 4181 37 113 displaystyle f 19 4181 37 cdot 113 nbsp p 31 displaystyle p 31 nbsp mit f 31 1346269 557 2417 displaystyle f 31 1346269 557 cdot 2417 nbsp p 37 displaystyle p 37 nbsp mit f 37 24157817 73 149 2221 displaystyle f 37 24157817 73 cdot 149 cdot 2221 nbsp Ungelostes Problem BearbeitenAls eines der grossen ungelosten Probleme im Zusammenhang mit den Fibonacci Primzahlen gilt die Frage Existieren unendlich viele Fibonacci Primzahlen Der israelische Astrophysiker und Wissenschaftsautor Mario Livio schreibt dazu 6 So is there an infinite number of Fibonacci primes No one actually knows and this is probably the greatest unsolved mathematical mystery about Fibonacci numbers Die Losung des Problems gilt nach Ansicht des britischen Mathematikers Richard K Guy als sehr unwahrscheinlich er schreibt 2 We are very unlikely to know for sure that the Fibonacci sequence contains infinitely many primes Literatur BearbeitenFred Wayne Dodd Number Theory in the Quadratic Field with Golden Section Unit 3 Auflage Polygonal Publishing House Passaic NJ 1983 ISBN 0 936428 08 2 Richard K Guy Unsolved Problems in Number Theory 3 Auflage Springer Verlag New York 2004 ISBN 0 387 20860 7 Mario Livio The Golden Ratio The Story of Phi the World s Most Astonishing Number Broadway Books New York 2003 ISBN 0 7679 0816 3 Harald Scheid Zahlentheorie 3 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg u a 2003 ISBN 3 8274 1365 6 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Fibonacci Prime In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten M Livio The Golden Ratio The Story of Phi the World s Most Astonishing Number 2003 S 237 a b c R K Guy Unsolved Problems in Number Theory 2004 S 17 18 und auch Eric W Weisstein Fibonacci Prime In MathWorld englisch Der Index gibt die Position der jeweiligen Fibonacci Primzahl in der Fibonacci Folge an f 104911 auf Prime Pages Henri Lifchitz Renaud Lifchitz PRP Top Records Search by form F n PRP Records abgerufen am 14 August 2018 a b c F W Dodd Number Theory in the Quadratic Field with Golden Section Unit 1983 S 119 120 V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fibonacci Primzahl amp oldid 217108512