In der Zahlentheorie ist eine Primorial Primzahl vom englischen Primorial prime eine Primzahl p displaystyle p der Form p p n 1 displaystyle p p n pm 1 wobei p n displaystyle p n die Primfakultat oder Primorial von p n displaystyle p n ist also das Produkt der ersten n displaystyle n Primzahlen Primzahlen der Form p p n 1 displaystyle p p n 1 werden auch Kummer Primzahlen genannt 1 Primzahlen der Form p p n 1 displaystyle p p n 1 werden auch Euklidische Primzahlen genannt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Ungeloste Probleme 3 Zusammenhang mit dem Satz von Euklid 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenSei p p 7 1 displaystyle p p 7 1 nbsp Es ist p 7 17 displaystyle p 7 17 nbsp somit ist p 7 17 displaystyle p 7 17 nbsp das Produkt der ersten 7 Primzahlen also aller Primzahlen bis inklusive n 17 displaystyle n 17 nbsp Man erhalt p 7 p 1 p 2 p 7 2 3 5 7 11 13 17 510510 displaystyle p 7 p 1 cdot p 2 cdot ldots cdot p 7 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 cdot 13 cdot 17 510510 nbsp Somit ist p p 7 1 510510 1 510509 61 8369 P displaystyle p p 7 1 510510 1 510509 61 cdot 8369 not in mathbb P nbsp keine Primzahl und somit auch keine Primorial Primzahl Sei p p 5 1 displaystyle p p 5 1 nbsp Es ist p 5 11 displaystyle p 5 11 nbsp somit ist p 5 11 displaystyle p 5 11 nbsp das Produkt der ersten 5 Primzahlen also aller Primzahlen bis inklusive n 11 displaystyle n 11 nbsp Man erhalt p 5 p 1 p 2 p 5 2 3 5 7 11 2310 displaystyle p 5 p 1 cdot p 2 cdot ldots cdot p 5 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 2310 nbsp Somit ist p p 5 1 2310 1 2311 P displaystyle p p 5 1 2310 1 2311 in mathbb P nbsp eine Primzahl und somit auch eine Primorial Primzahl Sei p p 1 1 displaystyle p p 1 1 nbsp Es ist p 1 2 displaystyle p 1 2 nbsp somit ist p 1 2 displaystyle p 1 2 nbsp das Produkt der ersten Primzahl also p 1 2 2 displaystyle p 1 2 2 nbsp Somit ist p p 1 1 2 1 1 P displaystyle p p 1 1 2 1 1 not in mathbb P nbsp keine Primzahl und somit auch keine Primorial Primzahl Sei p p 0 1 displaystyle p p 0 1 nbsp Es ist p 0 1 displaystyle p 0 1 nbsp das leere Produkt Somit ist p p 0 1 1 1 2 P displaystyle p p 0 1 1 1 2 in mathbb P nbsp eine Primzahl und somit auch eine Primorial Primzahl Fur folgende n displaystyle n nbsp erhalt man Primorial Primzahlen der Form p p n 1 displaystyle p p n 1 nbsp 2 3 5 6 13 24 66 68 167 287 310 352 564 590 620 849 1552 1849 67132 85586 Folge A057704 in OEIS dd Diese Zahlen kann man auch in der Form p 1 displaystyle p 1 nbsp schreiben mit folgenden p displaystyle p nbsp 3 5 11 13 41 89 317 337 991 1873 2053 2377 4093 4297 4583 6569 13033 15877 843301 1098133 Folge A006794 in OEIS Beispiel An der achten Stelle der obigen beiden Listen steht 68 displaystyle 68 nbsp bzw 337 displaystyle 337 nbsp Dies bedeutet dass die 68 Primzahl p 68 337 displaystyle p 68 337 nbsp ist und p p 68 1 337 1 P displaystyle p p 68 1 337 1 in mathbb P nbsp eine Primzahl ist dd dd dd Fur folgende n displaystyle n nbsp erhalt man Primorial Primzahlen der Form p p n 1 displaystyle p p n 1 nbsp 0 1 2 3 4 5 11 75 171 172 384 457 616 643 1391 1613 2122 2647 2673 4413 13494 31260 33237 Folge A014545 in OEIS dd Diese Zahlen kann man auch in der Form p 1 displaystyle p 1 nbsp schreiben mit folgenden p displaystyle p nbsp 1 2 3 5 7 11 31 379 1019 1021 2657 3229 4547 4787 11549 13649 18523 23801 24029 42209 145823 366439 392113 Folge A005234 in OEIS Beispiel An der achten Stelle der obigen beiden Listen steht 75 displaystyle 75 nbsp bzw 379 displaystyle 379 nbsp Dies bedeutet dass die 75 Primzahl p 75 379 displaystyle p 75 379 nbsp ist und p p 75 1 379 1 P displaystyle p p 75 1 379 1 in mathbb P nbsp eine Primzahl ist dd dd dd Die folgende Liste gibt die kleinsten Primorial Primzahlen der Form p p n 1 displaystyle p p n pm 1 nbsp an 2 3 5 7 29 31 211 2309 2311 30029 200560490131 304250263527209 23768741896345550770650537601358309 Folge A228486 in OEIS dd Die grosste bekannte Primorial Primzahl der Form p p n 1 displaystyle p p n 1 nbsp ist die folgende Stand 12 Januar 2022 2 3 p p 33237 1 392113 1 displaystyle p p 33237 1 392113 1 nbsp dd Sie wurde am 20 September 2001 von Daniel Heuer entdeckt und hat 169 966 Stellen Die grosste bekannte Primorial Primzahl der Form p p n 1 displaystyle p p n 1 nbsp ist die folgende Stand 12 Januar 2022 3 4 5 p p 234725 1 3267113 1 displaystyle p p 234725 1 3267113 1 nbsp dd Sie wurde am 27 September 2021 von James Winskill aus Neuseeland im Zuge des PrimeGrid Projektes entdeckt und hat 1 418 398 Stellen Ungeloste Probleme BearbeitenExistieren unendlich viele Primorial Primzahlen der Form p p n 1 displaystyle p p n 1 nbsp Existieren unendlich viele Primorial Primzahlen der Form p p n 1 displaystyle p p n 1 nbsp Zusammenhang mit dem Satz von Euklid BearbeitenDer griechische Mathematiker Euklid bewies um 300 v Chr dass es unendlich viele Primzahlen gibt siehe Satz von Euklid Der Beweis ist ein Beweis durch Widerspruch es wird eine Annahme getatigt welche sich im Laufe des Beweises als falsch erweist Die Annahme muss fallengelassen werden und das Gegenteil der Annahme muss stimmen Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen p 1 p 2 p n displaystyle p 1 p 2 ldots p n nbsp Man multipliziere alle diese Primzahlen miteinander und erhalt die Zahl m p 1 p 2 p n displaystyle m p 1 cdot p 2 cdot ldots cdot p n nbsp Dann darf die darauffolgende Zahl m 1 displaystyle m 1 nbsp keine Primteiler haben die schon m displaystyle m nbsp hatte denn keine Zahl p displaystyle p nbsp kann sowohl eine Zahl m displaystyle m nbsp als auch deren Nachfolger m 1 displaystyle m 1 nbsp teilen ausser der Zahl n 1 displaystyle n 1 nbsp welche aber keine Primzahl ist und in der Mathematik auch Einheit genannt wird Da aber m displaystyle m nbsp laut Voraussetzung das Produkt aller existierenden Primzahlen ist und m 1 displaystyle m 1 nbsp keinen dieser Primteiler hat muss m 1 displaystyle m 1 nbsp selber eine neue bisher noch nicht gekannte Primzahl sein was aber im Widerspruch zur Voraussetzung ist dass p 1 p 2 p n displaystyle p 1 p 2 ldots p n nbsp die einzigen existierenden Primzahlen sind Die Annahme muss fallengelassen werden es gilt somit das Gegenteil der Annahme es gibt also unendlich viele Primzahlen displaystyle Box nbsp Man konnte nun nach dem Studium dieses Beweises falschlicherweise annehmen dass man mit dem Verfahren die ersten Primzahlen zu multiplizieren immer neue Primzahlen bekommt 6 Dem ist nicht so Schon den obigen Beispielen kann man entnehmen dass man nur fur n 0 1 2 3 4 5 11 75 displaystyle n in 0 1 2 3 4 5 11 75 ldots nbsp Primorial Primzahlen der Form p p n 1 displaystyle p p n 1 nbsp erhalt Fur n 6 7 8 9 10 12 13 74 76 77 displaystyle n in 6 7 8 9 10 12 13 ldots 74 76 77 ldots nbsp aber nicht wie man an folgendem Beispiel erkennen kann Sei n 6 displaystyle n 6 nbsp und m p 1 p 2 p 6 displaystyle m p 1 cdot p 2 cdot ldots cdot p 6 nbsp das Produkt der ersten sechs Primzahlen Dann ist also m 2 3 5 7 11 13 30030 displaystyle m 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 cdot 13 30030 nbsp Addiert man nun 1 displaystyle 1 nbsp dazu erhalt man m 1 30031 displaystyle m 1 30031 nbsp Tatsachlich ist diese Zahl weder durch 2 displaystyle 2 nbsp noch durch 3 5 7 11 displaystyle 3 5 7 11 nbsp oder 13 displaystyle 13 nbsp teilbar Es gilt aber 30031 59 509 displaystyle 30031 59 cdot 509 nbsp und somit ist m 1 30031 displaystyle m 1 30031 nbsp keine Primzahl In den seltensten Fallen ergibt sich auf diese Art und Weise eine Primzahl wie man ebenfalls obigen Beispielen entnehmen kann dd Siehe auch BearbeitenEuklidische Zahl Fakultatsprimzahl PrimorialWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Primorial Prime In MathWorld englisch Chris K Caldwell primorial prime Prime Pages abgerufen am 12 Februar 2020 englisch Harvey Dubner Factorial and primorial primes Journal of Recreational Mathematics 19 3 1987 abgerufen am 12 Februar 2020 PrimeFan table of the first 100 primorials 2013 abgerufen am 12 Februar 2020 Einzelnachweise Bearbeiten a b Comments zu OEIS A228486 392113 1 auf Prime Pages a b Chris K Caldwell The Top Twenty Primorial Prime Pages abgerufen am 12 Februar 2020 3267113 1 auf Prime Pages 3267113 1 auf primegrid com PDF Michael Hardy Catherine Woodgold Prime Simplicity The Mathematical Intelligencer 31 4 18 September 2009 abgerufen am 12 Februar 2020 V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Primorial Primzahl amp oldid 219211894
