In der Zahlentheorie ist im Dezimalsystem eine frohliche Zahl vom englischen happy number eine naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N die als Ausgangswert fur eine bestimmte Iterationsvorschrift nach endlich vielen Iterationsschritten zu dem Zahlenwert 1 fuhrt ahnlich dem Collatz Problem Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Alternative 1 2 Beispiele fur frohliche Zahlen 1 3 Eigenschaften von frohlichen Zahlen 2 Traurige nichtfrohliche Zahlen 2 1 Beispiele fur traurige nichtfrohliche Zahlen 2 2 Eigenschaften von traurigen Zahlen 3 Frohliche Primzahlen 3 1 Beispiele fur frohliche Primzahlen 3 2 Eigenschaften von frohlichen Primzahlen 4 Frohliche Zahlen in anderen Basen 4 1 Beispiele fur frohliche Zahlen in anderen Basen 4 2 Eigenschaften von frohlichen Zahlen in anderen Basen 5 Traurige Zahlen in anderen Basen 5 1 Eigenschaften von traurigen Zahlen in anderen Basen 6 Verallgemeinerung von frohlichen und nichtfrohlichen Zahlen 6 1 Beispiele fur verallgemeinerte frohliche und nichtfrohliche Zahlen 6 2 Eigenschaften von verallgemeinerten frohlichen und nichtfrohlichen Zahlen 7 Siehe auch 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenBei einer naturlichen Zahl n displaystyle n nbsp mit der Dezimaldarstellung n i 0 m a i 10 i a 0 10 0 a 1 10 1 a m 10 m displaystyle textstyle n sum i 0 m a i cdot 10 i a 0 cdot 10 0 a 1 cdot 10 1 dotsb a m cdot 10 m nbsp wobei 0 a i 9 displaystyle 0 leq a i leq 9 nbsp und a i N 0 displaystyle a i in mathbb N 0 nbsp werden die einzelnen Ziffern a i displaystyle a i nbsp quadriert und addiert d h es wird s i 0 m a i 2 a 0 2 a 1 2 a m 2 displaystyle s sum i 0 m a i 2 a 0 2 a 1 2 dotsb a m 2 nbsp berechnet Die daraus resultierende Zahl wird genauso behandelt Ergibt sich irgendwann als Ergebnis eine 1 dann haben alle folgenden Zahlen ebenfalls diesen Wert und die Zahl wird als frohlich bezeichnet Alternative Bearbeiten Die einzige Alternative ist der Ubergang in den einzigen acht Zahlen umfassenden periodischen Zyklus 4 16 37 58 89 145 42 20 4 displaystyle 4 longrightarrow 16 longrightarrow 37 longrightarrow 58 longrightarrow 89 longrightarrow 145 longrightarrow 42 longrightarrow 20 longrightarrow 4 nbsp Weitere Zyklen existieren nicht Beweis Sei n displaystyle n nbsp eine k displaystyle k nbsp stellige Zahl Dann ist die Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate ihrer einzelnen Ziffern genau dann maximal wenn die Zahl n displaystyle n nbsp ausschliesslich aus 9 displaystyle 9 nbsp er besteht Die Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern ist somit maximal s k 9 2 81 k displaystyle s leq k cdot 9 2 81k nbsp Sei nun n 1000 displaystyle n geq 1000 nbsp eine mindestens 4 displaystyle 4 nbsp stellige Zahl Dann ist 10 k 1 n lt 10 k displaystyle 10 k 1 leq n lt 10 k nbsp mit k 4 displaystyle k geq 4 nbsp Ein einzelner obiger Iterationsschritt fuhrt dann auf eine Zahl s 81 k lt 10 k 1 n displaystyle s leq 81k lt 10 k 1 leq n nbsp die Ungleichung 81 k lt 10 k 1 displaystyle 81k lt 10 k 1 nbsp stimmt fur k 4 displaystyle k geq 4 nbsp Das bedeutet dass jede Zahl n 1000 displaystyle n geq 1000 nbsp durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt jeweils auf eine kleinere Zahl fuhrt die weniger Stellen hat Sei nun n lt 1000 displaystyle n lt 1000 nbsp Die maximale Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate der einzelnen Ziffern erhalt man bei n 999 displaystyle n 999 nbsp und betragt s 3 9 2 3 81 243 displaystyle s 3 cdot 9 2 3 cdot 81 243 nbsp Das bedeutet dass jede Zahl 243 lt n lt 1000 displaystyle 243 lt n lt 1000 nbsp durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl s displaystyle s nbsp fuhrt fur welche s 243 displaystyle s leq 243 nbsp gilt Sei nun 100 n 243 displaystyle 100 leq n leq 243 nbsp Die maximale Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate der einzelnen Ziffern erhalt man bei n 199 displaystyle n 199 nbsp und betragt s 1 1 9 2 9 2 1 81 81 163 displaystyle s 1 1 9 2 9 2 1 81 81 163 nbsp Das bedeutet dass jede Zahl 163 lt n 243 displaystyle 163 lt n leq 243 nbsp durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl s displaystyle s nbsp fuhrt fur welche s 163 displaystyle s leq 163 nbsp gilt Sei nun 100 n 163 displaystyle 100 leq n leq 163 nbsp Die maximale Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate der einzelnen Ziffern erhalt man bei n 159 displaystyle n 159 nbsp und betragt s 1 1 5 2 9 2 1 25 81 107 displaystyle s 1 1 5 2 9 2 1 25 81 107 nbsp Das bedeutet dass jede Zahl 107 lt n 163 displaystyle 107 lt n leq 163 nbsp durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl s displaystyle s nbsp fuhrt fur welche s 107 displaystyle s leq 107 nbsp gilt Sei nun 100 n 107 displaystyle 100 leq n leq 107 nbsp Die maximale Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate der einzelnen Ziffern erhalt man bei n 107 displaystyle n 107 nbsp und betragt s 1 1 0 2 7 2 1 0 49 50 displaystyle s 1 1 0 2 7 2 1 0 49 50 nbsp Das bedeutet dass jede Zahl 100 n 107 displaystyle 100 leq n leq 107 nbsp durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl s displaystyle s nbsp fuhrt fur welche s 50 displaystyle s leq 50 nbsp gilt Zusammenfassend wurde somit gezeigt dass jeder obige Interationsschritt fur jede Zahl n gt 99 displaystyle n gt 99 nbsp auf eine kleinere Zahl s displaystyle s nbsp fuhrt und man letztendlich bei einer Zahl n lt 100 displaystyle n lt 100 nbsp landet Wenn man alle diese wenigen Zahlen 1 n lt 100 displaystyle 1 leq n lt 100 nbsp untersucht kann man feststellen dass sie alle entweder frohlich sind also in s 1 displaystyle s 1 nbsp munden oder in dem erwahnten Zykel enden displaystyle Box nbsp dd dd Beispiele fur frohliche Zahlen Bearbeiten n 19 displaystyle n 19 nbsp ist eine frohliche Zahl 19 1 2 9 2 82 8 2 2 2 68 6 2 8 2 100 1 2 0 2 0 2 1 displaystyle 19 longrightarrow 1 2 9 2 82 longrightarrow 8 2 2 2 68 longrightarrow 6 2 8 2 100 longrightarrow 1 2 0 2 0 2 1 nbsp dd Es gibt 143 frohliche Zahlen die kleiner oder gleich 1000 sind Diese lauten 1 7 10 13 19 23 28 31 32 44 49 68 70 79 82 86 91 94 97 100 103 109 129 130 133 139 167 176 188 190 192 193 203 208 219 226 230 236 239 262 263 280 291 293 301 302 310 313 319 320 326 329 331 338 356 362 365 367 368 376 379 383 386 391 392 397 404 409 440 446 464 469 478 487 490 496 536 556 563 565 566 608 617 622 623 632 635 637 638 644 649 653 655 656 665 671 673 680 683 694 700 709 716 736 739 748 761 763 784 790 793 802 806 818 820 833 836 847 860 863 874 881 888 899 901 904 907 910 912 913 921 923 931 932 937 940 946 964 970 973 989 998 1000 Folge A007770 in OEIS dd Das erste Paar aufeinanderfolgender frohlicher Zahlen ist das Paar n 1 31 displaystyle n 1 31 nbsp und n 2 32 displaystyle n 2 32 nbsp Die folgende Liste gibt Aufschluss uber die kleinsten weiteren Paare aufeinanderfolgender frohlicher Zahlen welche kleiner als 1000 sind wobei immer nur der kleinere der beiden angegeben wird 31 129 192 262 301 319 367 391 565 622 637 655 912 931 Folge A035502 in OEIS dd Das erste Tripel also Dreiertupel aufeinanderfolgender frohlicher Zahlen ist das Tripel n 1 1880 displaystyle n 1 1880 nbsp n 2 1881 displaystyle n 2 1881 nbsp und n 3 1882 displaystyle n 3 1882 nbsp Der folgenden Liste kann man die kleinsten weiteren Tripel aufeinanderfolgender frohlicher Zahlen entnehmen welche kleiner als 10000 sind wobei immer nur der kleinste der drei angegeben wird 1880 4780 4870 7480 7839 7840 8180 8470 8739 8740 8810 Folge A072494 in OEIS dd Die folgende Liste gibt an wie viele frohliche Zahlen es gibt welche kleiner oder gleich 10 k displaystyle 10 k nbsp fur k N displaystyle k in mathbb N nbsp gibt beginnend mit k 1 displaystyle k 1 nbsp 3 20 143 1442 14377 143071 1418854 14255667 145674808 1492609148 15091199357 149121303586 1443278000870 13770853279685 130660965862333 1245219117260664 12024696404768025 118226055080025491 1183229962059381238 12005034444292997294 Folge A068571 in OEIS Beispiel An der 7 Stelle obiger Liste steht die Zahl 1418854 displaystyle 1418854 nbsp Es gibt also insgesamt 1418854 displaystyle 1418854 nbsp verschiedene frohliche Zahlen welche kleiner oder gleich 10 7 displaystyle 10 7 nbsp sind dd Eigenschaften von frohlichen Zahlen Bearbeiten Keine einzige Zahl ausser n 1 displaystyle n 1 nbsp ist die Summe der Quadrate ihrer eigenen Ziffern Beweis Wurde es eine solche Zahl n 1 displaystyle n not 1 nbsp geben die gleichzeitig die Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate ihrer eigenen Ziffern ist also n s displaystyle n s nbsp so wurde diese Zahl wenn man obige Iterationsschritte auf sie anwendet jedes Mal in sich selbst enden und somit weder in n 1 displaystyle n 1 nbsp noch in obigem angegebenen einzig moglichen Zykel munden Weiter oben wurde aber bewiesen dass nur diese beiden Falle auftreten konnen Somit kann es keine Zahl n 1 displaystyle n not 1 nbsp geben welche die Summe der Quadrate ihrer eigenen Ziffern ist displaystyle Box nbsp dd dd Es gibt unendlich viele frohliche Zahlen Beweis n 1 displaystyle n 1 nbsp ist eine frohliche Zahl Wendet man obige Iterationen auf Zahlen der Form n 10 k displaystyle n 10 k nbsp mit k N displaystyle k in mathbb N nbsp an so erhalt man als Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate ihrer Ziffern schon mit einem einzigen Iterationsschritt den Wert s 1 displaystyle s 1 nbsp Somit sind alle Zahlen der Form n 10 k displaystyle n 10 k nbsp frohlich Weil es unendlich viele Zahlen dieser Form n 10 k displaystyle n 10 k nbsp gibt gibt es auch unendlich viele frohliche Zahlen displaystyle Box nbsp dd dd Sei n displaystyle n nbsp eine beliebige frohliche Zahl Dann erhalt man beliebig viele weitere frohliche Zahlen indem man beliebig viele Nullen einfugt oder rausnimmt da sich an der Summe der Quadrate ihrer Ziffern nichts andert Sei m N displaystyle m in mathbb N nbsp eine beliebige naturliche Zahl Dann existiert mindestens ein m 1 displaystyle m 1 nbsp Tupel von m 1 displaystyle m 1 nbsp aufeinanderfolgender frohlichen Zahlen n n 1 n 2 n m displaystyle n n 1 n 2 ldots n m nbsp Beweis siehe 1 Beispiel Der erste Wert der kleinsten m displaystyle m nbsp Tupel frohlicher Zahlen also m displaystyle m nbsp aufeinanderfolgende frohliche Zahlen fur aufsteigende m 1 2 3 displaystyle m 1 2 3 ldots nbsp sind 1 31 1880 7839 44488 7899999999999959999999996 7899999999999959999999996 Folge A055629 in OEIS dd An der funften Stelle obiger Liste steht die Zahl n 44488 displaystyle n 44488 nbsp Somit sind alle Zahlen des 5 displaystyle 5 nbsp er Tupels 44488 44489 44490 44491 44492 displaystyle 44488 44489 44490 44491 44492 nbsp frohliche Zahlen und es ist das kleinstmogliche 5 displaystyle 5 nbsp er Tupel mit dieser Eigenschaft dd dd Alle Zahlen der Form n 10 k 3 displaystyle n 10 k 3 nbsp oder n 10 k 9 displaystyle n 10 k 9 nbsp mit k N k gt 0 displaystyle k in mathbb N k gt 0 nbsp sind frohliche Zahlen Beweis Sei n 10 k 3 displaystyle n 10 k 3 nbsp mit k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp diese Zahl n displaystyle n nbsp beginnt mit der Ziffer 1 displaystyle 1 nbsp hat danach k 1 displaystyle k 1 nbsp Nullen und endet mit der Ziffer 3 displaystyle 3 nbsp Die Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate der einzelnen Ziffern dieser Zahl n displaystyle n nbsp ist s 1 2 0 2 0 2 0 2 3 2 1 9 10 displaystyle s 1 2 0 2 0 2 dotsb 0 2 3 2 1 9 10 nbsp Diese Zahl 10 displaystyle 10 nbsp ist aber frohlich weil 1 2 0 2 1 displaystyle 1 2 0 2 1 nbsp ist Somit ist n 10 k 3 displaystyle n 10 k 3 nbsp frohlich Sei n 10 k 9 displaystyle n 10 k 9 nbsp mit k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp diese Zahl n displaystyle n nbsp beginnt mit der Ziffer 1 displaystyle 1 nbsp hat danach k 1 displaystyle k 1 nbsp Nullen und endet mit der Ziffer 9 displaystyle 9 nbsp Die Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate der einzelnen Ziffern dieser Zahl n displaystyle n nbsp ist s 1 2 0 2 0 2 0 2 9 2 1 81 82 displaystyle s 1 2 0 2 0 2 dotsb 0 2 9 2 1 81 82 nbsp Wendet man obige Iterationsschritte auf die Zahl 82 displaystyle 82 nbsp an erhalt man 82 8 2 2 2 68 6 2 8 2 100 1 2 0 2 0 2 1 displaystyle 82 longrightarrow 8 2 2 2 68 longrightarrow 6 2 8 2 100 longrightarrow 1 2 0 2 0 2 1 nbsp dd Somit ist auch n 10 k 9 displaystyle n 10 k 9 nbsp frohlich displaystyle Box nbsp dd dd Vertauscht man die Ziffern einer frohlichen Zahl so erhalt man wieder eine frohliche Zahl Beweis Die Vertauschung der Ziffern einer frohlichen Zahl andert nichts an der Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate ihrer nun vertauschten Ziffern Die Summe s displaystyle s nbsp bleibt gleich Fuhrt die Iteration der ursprunglichen Zahl auf die Zahl 1 displaystyle 1 nbsp so fuhrt sie auch jetzt auf die Zahl 1 displaystyle 1 nbsp displaystyle Box nbsp dd dd Traurige nichtfrohliche Zahlen BearbeitenEine naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp die nicht frohlich ist ist eine traurige Zahl oder auch nichtfrohliche Zahl vom englischen unhappy number oder sad number Beispiele fur traurige nichtfrohliche Zahlen Bearbeiten n 4 displaystyle n 4 nbsp ist eine traurige nichtfrohliche Zahl 4 4 2 16 1 2 6 2 37 3 2 7 2 58 5 2 8 2 89 8 2 9 2 145 displaystyle 4 longrightarrow 4 2 16 longrightarrow 1 2 6 2 37 longrightarrow 3 2 7 2 58 longrightarrow 5 2 8 2 89 longrightarrow 8 2 9 2 145 nbsp 1 2 4 2 5 2 42 4 2 2 2 20 2 2 0 2 4 displaystyle longrightarrow 1 2 4 2 5 2 42 longrightarrow 4 2 2 2 20 longrightarrow 2 2 0 2 4 nbsp dd n 99 displaystyle n 99 nbsp ist eine traurige nichtfrohliche Zahl 99 9 2 9 2 162 1 2 6 2 2 2 41 4 2 1 2 17 1 2 7 2 50 5 2 0 2 25 2 2 5 2 29 2 2 9 2 85 8 2 5 2 89 8 2 9 2 145 1 2 4 2 5 2 42 4 2 2 2 20 2 2 0 2 4 displaystyle 99 longrightarrow 9 2 9 2 162 longrightarrow 1 2 6 2 2 2 41 longrightarrow 4 2 1 2 17 longrightarrow 1 2 7 2 50 longrightarrow 5 2 0 2 25 longrightarrow 2 2 5 2 29 longrightarrow 2 2 9 2 85 longrightarrow 8 2 5 2 89 longrightarrow 8 2 9 2 145 longrightarrow 1 2 4 2 5 2 42 longrightarrow 4 2 2 2 20 longrightarrow 2 2 0 2 4 nbsp und man endet somit im einzig moglichen Zykel wie im Beispiel direkt daruber dd Eigenschaften von traurigen Zahlen Bearbeiten Es gibt unendlich viele traurige Zahlen Beweis Sei n 2 10 k displaystyle n 2 cdot 10 k nbsp mit k N displaystyle k in mathbb N nbsp Wendet man obige Iterationen auf Zahlen dieser Form an so erhalt man als Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate ihrer Ziffern schon mit einem einzigen Iterationsschritt den Wert s 2 2 4 displaystyle s 2 2 4 nbsp und befindet sich am Anfang des einzig moglichen Zykels der nicht in der Zahl 1 displaystyle 1 nbsp mundet die Zahl 4 displaystyle 4 nbsp ist wie im Beispiel vorher gezeigt eine traurige Zahl Somit sind alle Zahlen der Form n 2 10 k displaystyle n 2 cdot 10 k nbsp traurig Weil es unendlich viele Zahlen dieser Form n 2 10 k displaystyle n 2 cdot 10 k nbsp gibt gibt es auch unendlich viele traurige Zahlen displaystyle Box nbsp dd dd Frohliche Primzahlen BearbeitenEine Primzahl n P displaystyle n in mathbb P nbsp die frohlich ist nennt man frohliche Primzahl Beispiele fur frohliche Primzahlen Bearbeiten Die kleinsten frohlichen Primzahlen welche kleiner oder gleich 1000 sind sind die folgenden 7 13 19 23 31 79 97 103 109 139 167 193 239 263 293 313 331 367 379 383 397 409 487 563 617 653 673 683 709 739 761 863 881 907 937 Folge A035497 in OEIS dd Die Carmichael Zahl n 1729 displaystyle n 1729 nbsp ist das Produkt der ersten drei frohlichen Primzahlen Die Palindrom Primzahl p 10 150006 7426247 10 75000 1 displaystyle p 10 150006 7426247 cdot 10 75000 1 nbsp ist eine frohliche Primzahl mit 150007 displaystyle 150007 nbsp Stellen weil die Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate ihrer Ziffern gleich s 1 2 0 2 0 2 7 2 4 2 2 2 6 2 2 2 4 2 7 2 0 2 0 2 1 2 176 displaystyle s 1 2 0 2 dotsb 0 2 7 2 4 2 2 2 6 2 2 2 4 2 7 2 0 2 dotsb 0 2 1 2 176 nbsp betragt und 176 displaystyle 176 nbsp eine frohliche Zahl ist Diese Primzahl hat Paul Jobling am 26 Dezember 2005 entdeckt 2 Die momentan Stand 24 Dezember 2018 grosste bekannte frohliche Primzahl ist die 46 Mersenne Primzahl und gleichzeitig sechstgrosste 3 bekannte Primzahl M 42643801 2 42643801 1 displaystyle M 42643801 2 42643801 1 nbsp Wenn man auf sie obige Iteration anwendet erhalt man M 42643801 2 42643801 1 365864395 301 10 1 displaystyle M 42643801 2 42643801 1 longrightarrow 365864395 longrightarrow 301 longrightarrow 10 longrightarrow 1 nbsp dd Sie hat 12837064 Stellen und wurde am 13 Juni 2009 von Odd Magnar Strindmo entdeckt 4 Fur die Berechnung der Iteration benotigt man nur wenige Sekunden mit einem geeigneten Mathematik Programm Eigenschaften von frohlichen Primzahlen Bearbeiten Alle Primzahlen p P displaystyle p in mathbb P nbsp der Form p 10 k 3 displaystyle p 10 k 3 nbsp oder p 10 k 9 displaystyle p 10 k 9 nbsp mit k N k gt 0 displaystyle k in mathbb N k gt 0 nbsp sind frohliche Primzahlen Beweis Diese Eigenschaft resultiert aus der weiter oben schon bewiesenen Eigenschaft fur frohliche Zahlen dass alle Zahlen der Form n 10 k 3 displaystyle n 10 k 3 nbsp oder n 10 k 9 displaystyle n 10 k 9 nbsp mit k N k gt 0 displaystyle k in mathbb N k gt 0 nbsp frohliche Zahlen sind displaystyle Box nbsp dd dd Vertauscht man die Ziffern einer frohlichen Primzahl so erhalt man im Gegensatz zu frohlichen Zahlen nicht wieder unbedingt eine frohliche Primzahl Beweis Es genugt ein Gegenbeispiel Die Zahl p 19 displaystyle p 19 nbsp ist eine frohliche Primzahl siehe obige Liste Vertauscht man ihre Ziffern erhalt man die Zahl n 91 displaystyle n 91 nbsp welche keine Primzahl mehr ist Sie ist zwar frohlich aber eben keine Primzahl mehr Die Zahl n 91 displaystyle n 91 nbsp ist im Speziellen eine frohliche Fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 3 was aber mit diesem Problem nichts zu tun hat displaystyle Box nbsp dd dd Frohliche Zahlen in anderen Basen BearbeitenDie obige Definition von frohlichen Zahlen stutzt sich auf das Dezimalsystem also auf die Basis b 10 displaystyle b 10 nbsp Dies kann man verallgemeinern Eine Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp ist eine frohliche Zahl zur Basis b displaystyle b nbsp wenn die Summe der Quadrate ihrer Basis b displaystyle b nbsp Ziffern nach endlich vielen Iterationsschritten in der Zahl 1 b 1 displaystyle 1 b 1 nbsp endet Beispiele fur frohliche Zahlen in anderen Basen Bearbeiten Die Zahl n 111 2 1 2 2 1 2 1 1 2 0 4 2 1 7 displaystyle n 111 2 underline 1 cdot 2 2 underline 1 cdot 2 1 underline 1 cdot 2 0 4 2 1 7 nbsp ist eine frohliche Zahl zur Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp weil fur die Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate ihrer Ziffern gilt s 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 0 11 2 displaystyle s 1 2 1 2 1 2 3 underline 1 cdot 2 1 underline 1 cdot 2 0 11 2 nbsp s 1 2 1 2 2 1 2 1 0 2 0 10 2 displaystyle longrightarrow s 1 2 1 2 2 underline 1 cdot 2 1 underline 0 cdot 2 0 10 2 nbsp s 1 2 0 2 1 1 2 0 1 2 displaystyle longrightarrow s 1 2 0 2 1 underline 1 cdot 2 0 1 2 nbsp dd dd Eigenschaften von frohlichen Zahlen in anderen Basen Bearbeiten Alle Zahlen der Form n 10 b k displaystyle n 10 b k nbsp mit k N 0 displaystyle k in mathbb N 0 nbsp sind frohliche Zahlen zu jeder Basis b displaystyle b nbsp Beweis Sei n 10 b k displaystyle n 10 b k nbsp mit k N 0 displaystyle k in mathbb N 0 nbsp Dann ist die Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate ihrer Ziffern gleich s 1 2 0 2 0 2 1 1 b displaystyle s 1 2 0 2 dotsb 0 2 1 1 b nbsp und somit frohlich displaystyle Box nbsp dd dd Zur Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp sind alle Zahlen frohlich Beweisidee Alle binaren Zahlen welche grosser als n 1000 2 displaystyle n 1000 2 nbsp sind gehen nach mehrmaligen Iterationen in einen Wert s displaystyle s nbsp uber welcher kleiner oder gleich 1000 2 displaystyle 1000 2 nbsp ist Alle binaren Zahlen welche kleiner oder gleich n 1000 2 displaystyle n 1000 2 nbsp sind sind aber frohlich wie die folgende Rechnung zeigt s 1000 2 1 2 displaystyle s 1000 2 longrightarrow 1 2 nbsp s 111 2 11 2 10 2 1 2 displaystyle s 111 2 longrightarrow 11 2 longrightarrow 10 2 longrightarrow 1 2 nbsp siehe obiges Beispiel s 110 2 10 2 1 2 displaystyle s 110 2 longrightarrow 10 2 longrightarrow 1 2 nbsp s 100 2 1 2 displaystyle s 100 2 longrightarrow 1 2 nbsp s 11 2 10 2 1 2 displaystyle s 11 2 longrightarrow 10 2 longrightarrow 1 2 nbsp s 10 2 1 2 displaystyle s 10 2 longrightarrow 1 2 nbsp dd Alle Sequenzen enden in der Zahl s 1 2 displaystyle s 1 2 nbsp daraus folgt dass alle Zahlen im Dualsystem also zur Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp frohlich sind Dies macht die Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp zu einer frohlichen Basis vom englischen happy base displaystyle Box nbsp dd dd Die einzigen bekannten frohlichen Basen sind die Basen b 2 displaystyle b 2 nbsp und b 4 displaystyle b 4 nbsp Es gibt keine weiteren bekannten Basen welche kleiner als 500 000 000 sind Beweis siehe 5 dd Im Duodezimalsystem also mit der Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp gibt es drei Fixpunkte in denen obige Iterationen enden konnen 1 12 1 displaystyle 1 12 1 nbsp 25 12 29 displaystyle 25 12 29 nbsp und A 5 12 125 displaystyle A5 12 125 nbsp die beiden Zahlen 25 12 displaystyle 25 12 nbsp und A 5 12 displaystyle A5 12 nbsp sind Armstrong Zahlen zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp Folge A161949 in OEIS Ausserdem gibt es vier Zykel dabei sei A 12 10 displaystyle A 12 10 nbsp und B 12 11 displaystyle B 12 11 nbsp 5 12 21 12 5 12 displaystyle 5 12 longrightarrow 21 12 longrightarrow 5 12 nbsp im Dezimalsystem 5 25 5 displaystyle 5 longrightarrow 25 longrightarrow 5 nbsp also ein Zykel der Lange 2 displaystyle 2 nbsp 8 12 54 12 35 12 2 A 12 88 12 A 8 12 118 12 56 12 51 12 22 12 8 12 displaystyle 8 12 longrightarrow 54 12 longrightarrow 35 12 longrightarrow 2A 12 longrightarrow 88 12 longrightarrow A8 12 longrightarrow 118 12 longrightarrow 56 12 longrightarrow 51 12 longrightarrow 22 12 longrightarrow 8 12 nbsp ein Zykel der Lange 10 displaystyle 10 nbsp 18 12 55 12 42 12 18 12 displaystyle 18 12 longrightarrow 55 12 longrightarrow 42 12 longrightarrow 18 12 nbsp ein Zykel der Lange 3 displaystyle 3 nbsp 68 12 84 12 68 12 displaystyle 68 12 longrightarrow 84 12 longrightarrow 68 12 nbsp ein Zykel der Lange 2 displaystyle 2 nbsp dd Im Duodezimalsystem also mit der Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp gibt es keine frohlichen Zahlen zwischen 10 12 12 displaystyle 10 12 12 nbsp und 100 12 144 displaystyle 100 12 144 nbsp Im Hexadezimalsystem also mit der Basis b 16 displaystyle b 16 nbsp gibt es nur einen Fixpunkt in denen obige Iterationen enden konnen 1 16 1 displaystyle 1 16 1 nbsp Ausserdem gibt es auch nur einen Zykel D 16 A 9 16 B 5 16 92 16 55 16 32 16 D 16 displaystyle D 16 longrightarrow A9 16 longrightarrow B5 16 longrightarrow 92 16 longrightarrow 55 16 longrightarrow 32 16 longrightarrow D 16 nbsp ein Zykel der Lange 6 displaystyle 6 nbsp dd Somit ist der Sachverhalt im Hexadezimalsystem ahnlich zu dem im Dezimalsystem Traurige Zahlen in anderen Basen BearbeitenEine traurige Zahl zur Basis b displaystyle b nbsp fuhrt nach obigen Iterationen zu einem Zykel von Zahlen Eigenschaften von traurigen Zahlen in anderen Basen Bearbeiten Eine traurige Zahl zur Basis b displaystyle b nbsp fuhrt nach obigen Iterationen zu einem Zykel von Zahlen welche mit zu oben analogen Argumenten allesamt kleiner als 1000 b displaystyle 1000 b nbsp sind Wenn n lt 1000 b displaystyle n lt 1000 b nbsp ist dann ist die Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate ihrer Basis b displaystyle b nbsp Ziffern kleiner oder gleich 3 b 1 2 displaystyle 3 cdot b 1 2 nbsp was lt b 3 displaystyle lt b 3 nbsp ist fur b 5 displaystyle b geq 5 nbsp Dies zeigt dass wenn eine Iteration eine Zahl kleiner als 1000 b displaystyle 1000 b nbsp erreicht sie fur den Rest der Sequenz immer unter 1000 b displaystyle 1000 b nbsp bleibt und somit entweder in einen Zykel oder in die Zahl 1 b displaystyle 1 b nbsp ubergehen muss im ersten Fall ist sie traurig im zweiten Fall frohlich Verallgemeinerung von frohlichen und nichtfrohlichen Zahlen BearbeitenMan kann die Definition von frohlichen Zahlen erweitern indem man nicht die Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate der einzelnen Ziffern einer Zahl n displaystyle n nbsp betrachtet sondern die m displaystyle m nbsp ten Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl n displaystyle n nbsp Die Basis sei in diesem Abschnitt immer b 10 displaystyle b 10 nbsp also immer das Dezimalsystem Beispiele fur verallgemeinerte frohliche und nichtfrohliche Zahlen Bearbeiten Die Zahl n 1579 displaystyle n 1579 nbsp ist eine verallgemeinerte frohliche Zahl fur m 3 displaystyle m 3 nbsp weil gilt 1 3 5 3 7 3 9 3 1 125 343 729 1198 displaystyle 1 3 5 3 7 3 9 3 1 125 343 729 1198 nbsp 1 3 1 3 9 3 8 3 1 1 729 512 1243 displaystyle 1 3 1 3 9 3 8 3 1 1 729 512 1243 nbsp 1 3 2 3 4 3 3 3 1 8 64 27 100 displaystyle 1 3 2 3 4 3 3 3 1 8 64 27 100 nbsp 1 3 0 3 0 3 1 displaystyle 1 3 0 3 0 3 1 nbsp dd Kurz geschrieben 1579 1198 1243 100 1 displaystyle 1579 longrightarrow 1198 longrightarrow 1243 longrightarrow 100 longrightarrow 1 nbsp Die Zahl n 99 displaystyle n 99 nbsp ist eine verallgemeinerte nichtfrohliche Zahl fur m 3 displaystyle m 3 nbsp weil gilt 9 3 9 3 729 729 1458 displaystyle 9 3 9 3 729 729 1458 nbsp 1 3 4 3 5 3 8 3 1 64 125 512 702 displaystyle 1 3 4 3 5 3 8 3 1 64 125 512 702 nbsp 7 3 0 3 2 3 343 0 8 351 displaystyle 7 3 0 3 2 3 343 0 8 351 nbsp 3 3 5 3 1 3 27 125 1 153 displaystyle 3 3 5 3 1 3 27 125 1 153 nbsp 1 3 5 3 3 3 1 125 27 153 displaystyle 1 3 5 3 3 3 1 125 27 153 nbsp dd Kurz geschrieben 99 1458 702 351 153 153 displaystyle 99 longrightarrow 1458 longrightarrow 702 longrightarrow 351 longrightarrow 153 longrightarrow 153 nbsp Somit bleibt die Zahl n 99 displaystyle n 99 nbsp schon nach drei Iterationen stecken und verweilt dann quasi als Konstante bei der Zahl 153 displaystyle 153 nbsp Weil sie somit nicht in der 1 displaystyle 1 nbsp mundet ist sie keine verallgemeinerte frohliche sondern eine verallgemeinerte nichtfrohliche Zahl Eigenschaften von verallgemeinerten frohlichen und nichtfrohlichen Zahlen Bearbeiten Sei m 3 displaystyle m 3 nbsp man betrachte also die Summe der 3 Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl n displaystyle n nbsp Kubiert man die einzelnen Ziffern einer Zahl n gt 2916 displaystyle n gt 2916 nbsp und summiert man diese auf so erhalt man die Summe s displaystyle s nbsp fur welche gilt s lt n displaystyle s lt n nbsp Wenn man die Ziffern nicht kubiert sondern wie ursprunglich nur quadriert so gilt diese Aussage fur n gt 243 displaystyle n gt 243 nbsp und wurde zu Beginn dieses Artikels behandelt Beweis Sei n displaystyle n nbsp eine k displaystyle k nbsp stellige Zahl Dann ist die Summe s displaystyle s nbsp der 3 Potenzen ihrer einzelnen Ziffern genau dann maximal wenn die Zahl n displaystyle n nbsp ausschliesslich aus 9 displaystyle 9 nbsp er besteht Die Summe der 3 Potenzen der einzelnen Ziffern ist somit maximal s k 9 3 729 k displaystyle s leq k cdot 9 3 729k nbsp Sei nun n 10000 displaystyle n geq 10000 nbsp eine mindestens 5 displaystyle 5 nbsp stellige Zahl Dann ist 10 k 1 n lt 10 k displaystyle 10 k 1 leq n lt 10 k nbsp mit k 5 displaystyle k geq 5 nbsp Ein einzelner obiger Iterationsschritt fuhrt dann auf eine Zahl s 729 k lt 10 k 1 n displaystyle s leq 729k lt 10 k 1 leq n nbsp die Ungleichung 729 k lt 10 k 1 displaystyle 729k lt 10 k 1 nbsp stimmt fur k 5 displaystyle k geq 5 nbsp Das bedeutet dass jede Zahl n 10000 displaystyle n geq 10000 nbsp durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt jeweils auf eine kleinere Zahl fuhrt die weniger Stellen hat Sei nun n lt 10000 displaystyle n lt 10000 nbsp Die maximale Summe s displaystyle s nbsp der Quadrate der einzelnen Ziffern erhalt man bei n 9999 displaystyle n 9999 nbsp und betragt s 4 9 3 4 729 2916 displaystyle s 4 cdot 9 3 4 cdot 729 2916 nbsp Das bedeutet dass jede Zahl 2916 lt n lt 10000 displaystyle 2916 lt n lt 10000 nbsp durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl s displaystyle s nbsp fuhrt fur welche s 2916 displaystyle s leq 2916 nbsp gilt displaystyle Box nbsp dd dd Sei m 3 displaystyle m 3 nbsp man betrachte also die Summe der 3 Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl n displaystyle n nbsp Dann munden verallgemeinerte nichtgluckliche Zahlen entweder in eine der folgenden Konstanten 153 displaystyle 153 nbsp oder 370 displaystyle 370 nbsp oder 371 displaystyle 371 nbsp oder 407 displaystyle 407 nbsp dd oder in einen der folgenden vier Zykeln 133 55 250 133 displaystyle 133 longrightarrow 55 longrightarrow 250 longrightarrow 133 nbsp Zykel der Lange 3 displaystyle 3 nbsp 217 352 160 217 displaystyle 217 longrightarrow 352 longrightarrow 160 longrightarrow 217 nbsp Zykel der Lange 3 displaystyle 3 nbsp 1459 919 displaystyle 1459 longrightarrow 919 nbsp Zykel der Lange 2 displaystyle 2 nbsp 136 244 displaystyle 136 longrightarrow 244 nbsp Zykel der Lange 2 displaystyle 2 nbsp dd Beweis Wegen voriger Eigenschaft muss man nur alle Zahlen bis n 2916 displaystyle n leq 2916 nbsp kontrollieren wozu ein nicht besonders schneller Rechner ausreicht Man erkennt dass verallgemeinerte nichtfrohliche Zahlen in eine der obigen acht Moglichkeiten munden Fur die ersten vier Konstanten gilt 153 1 3 5 3 3 3 1 125 27 153 displaystyle 153 longrightarrow 1 3 5 3 3 3 1 125 27 153 nbsp ergibt tatsachlich eine Konstante die bei der Iteration in sich ubergeht 370 3 3 7 3 0 3 27 343 0 370 displaystyle 370 longrightarrow 3 3 7 3 0 3 27 343 0 370 nbsp ergibt ebenfalls tatsachlich eine Konstante die bei der Iteration in sich ubergeht 371 3 3 7 3 1 3 27 343 1 371 displaystyle 371 longrightarrow 3 3 7 3 1 3 27 343 1 371 nbsp ergibt ebenfalls tatsachlich eine Konstante die bei der Iteration in sich ubergeht 407 4 3 0 3 7 3 64 0 343 407 displaystyle 407 longrightarrow 4 3 0 3 7 3 64 0 343 407 nbsp ergibt ebenfalls tatsachlich eine Konstante die bei der Iteration in sich ubergeht dd Fur die weiteren vier Zykel gilt 133 1 3 3 3 3 3 1 27 27 55 5 3 5 3 125 125 250 2 3 5 3 0 3 8 125 133 displaystyle 133 longrightarrow 1 3 3 3 3 3 1 27 27 55 longrightarrow 5 3 5 3 125 125 250 longrightarrow 2 3 5 3 0 3 8 125 133 nbsp ergibt einen Zykel der Lange 3 displaystyle 3 nbsp 217 2 3 1 3 7 3 8 1 343 352 3 3 5 3 2 3 27 125 8 160 1 3 6 3 0 3 1 216 0 217 displaystyle 217 longrightarrow 2 3 1 3 7 3 8 1 343 352 longrightarrow 3 3 5 3 2 3 27 125 8 160 longrightarrow 1 3 6 3 0 3 1 216 0 217 nbsp ergibt ebenfalls einen Zykel der Lange 3 displaystyle 3 nbsp 1459 1 3 4 3 5 3 9 3 1 64 125 729 919 9 3 1 3 9 3 729 1 729 1459 displaystyle 1459 longrightarrow 1 3 4 3 5 3 9 3 1 64 125 729 919 longrightarrow 9 3 1 3 9 3 729 1 729 1459 nbsp ergibt einen Zykel der Lange 2 displaystyle 2 nbsp 136 1 3 3 3 6 3 1 27 216 244 2 3 4 3 4 3 8 64 64 136 displaystyle 136 longrightarrow 1 3 3 3 6 3 1 27 216 244 longrightarrow 2 3 4 3 4 3 8 64 64 136 nbsp ergibt einen Zykel der Lange 2 displaystyle 2 nbsp displaystyle Box nbsp dd dd dd Die einzigen Zahlen die gleich der Summe der 3 Potenzen ihrer Ziffern sind sind die folgenden Zahlen 0 1 153 370 371 407 Folge A046197 in OEIS dd Beweis Gabe es noch weitere Zahlen mit dieser Eigenschaft so wurde es bei der vorigen Eigenschaft noch weitere Varianten geben dass verallgemeinerte nichtfrohliche Zahlen in speziellen Konstanten munden Die vorige Eigenschaft gibt aber nur die Konstanten 153 370 371 displaystyle 153 370 371 nbsp und 407 displaystyle 407 nbsp an Die beiden Zahlen 0 displaystyle 0 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp haben trivialerweise diese Eigenschaft displaystyle Box nbsp dd dd Sei m 4 displaystyle m 4 nbsp man betrachte also die Summe der 4 Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl n displaystyle n nbsp Dann munden verallgemeinerte nichtgluckliche Zahlen 1 n 100 displaystyle 1 leq n leq 100 nbsp entweder in eine der folgenden Konstanten 1634 displaystyle 1634 nbsp oder 8208 displaystyle 8208 nbsp oder 9474 displaystyle 9474 nbsp dd oder in einem der beiden folgenden Zykel 13139 6725 4338 4514 1138 4179 9219 13139 displaystyle 13139 longrightarrow 6725 longrightarrow 4338 longrightarrow 4514 longrightarrow 1138 longrightarrow 4179 longrightarrow 9219 longrightarrow 13139 nbsp Zykel der Lange 7 displaystyle 7 nbsp 6514 2178 6514 displaystyle 6514 longrightarrow 2178 longrightarrow 6514 nbsp Zykel der Lange 2 displaystyle 2 nbsp dd Beweis Die Zahlen zwischen 1 und 100 kann man mit einem Computer schnell kontrollieren und stellt tatsachlich fest dass sie in den folgenden Zahlen bzw Zykel munden 1634 1 4 6 4 3 4 4 4 1 1296 81 256 1634 displaystyle 1634 longrightarrow 1 4 6 4 3 4 4 4 1 1296 81 256 1634 nbsp ergibt tatsachlich eine Konstante die bei der Iteration in sich ubergeht 8208 8 4 2 4 0 4 8 4 4096 16 0 4096 8208 displaystyle 8208 longrightarrow 8 4 2 4 0 4 8 4 4096 16 0 4096 8208 nbsp ergibt ebenfalls eine Konstante die bei der Iteration in sich ubergeht 9474 9 4 4 4 7 4 4 4 6561 256 2401 256 9474 displaystyle 9474 longrightarrow 9 4 4 4 7 4 4 4 6561 256 2401 256 9474 nbsp ergibt ebenfalls eine Konstante die bei der Iteration in sich ubergeht 13139 1 4 3 4 1 4 3 4 9 4 1 81 1 81 6561 6725 6 4 7 4 2 4 5 4 1296 2401 16 625 4338 4 4 3 4 3 4 8 4 256 81 81 4096 4514 displaystyle 13139 longrightarrow 1 4 3 4 1 4 3 4 9 4 1 81 1 81 6561 6725 longrightarrow 6 4 7 4 2 4 5 4 1296 2401 16 625 4338 longrightarrow 4 4 3 4 3 4 8 4 256 81 81 4096 4514 longrightarrow nbsp 4 4 5 4 1 4 4 4 256 625 1 256 1138 1 4 1 4 3 4 8 4 1 1 81 4096 4197 4 4 1 4 9 4 7 4 256 1 6561 2401 9219 9 4 2 4 1 4 9 4 6561 256 1 6561 13379 displaystyle longrightarrow 4 4 5 4 1 4 4 4 256 625 1 256 1138 longrightarrow 1 4 1 4 3 4 8 4 1 1 81 4096 4197 longrightarrow 4 4 1 4 9 4 7 4 256 1 6561 2401 9219 longrightarrow 9 4 2 4 1 4 9 4 6561 256 1 6561 13379 nbsp ergibt einen Zykel der Lange 7 displaystyle 7 nbsp dd 6514 6 4 5 4 1 4 4 4 1296 625 1 256 2178 2 4 1 4 7 4 8 4 16 1 2401 4096 6514 displaystyle 6514 longrightarrow 6 4 5 4 1 4 4 4 1296 625 1 256 2178 longrightarrow 2 4 1 4 7 4 8 4 16 1 2401 4096 6514 nbsp ergibt einen Zykel der Lange 2 displaystyle 2 nbsp displaystyle Box nbsp dd dd dd Siehe auch BearbeitenHarshad Zahl Gluckliche Zahl Narzisstische Zahl Munchhausen ZahlWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Happy Number In MathWorld englisch Eric W Weisstein Sad Number In MathWorld englisch Eric W Weisstein Unhappy Number In MathWorld englisch Walter Schneider Happy Numbers Memento vom 27 Juni 2004 im Internet Archive Mathews Happy numbers rosettacode org abgerufen am 9 Dezember 2018 wie man sie in den verschiedensten Computersprachen berechnen kann Einzelnachweise Bearbeiten Hao Pan On consecutive happy numbers PDF Cornell University 2006 S 1 8 abgerufen am 9 Dezember 2018 Chris K Caldwell 10150006 7426247 1075000 1 The Largest Known Primes abgerufen am 9 Dezember 2018 Liste der grossten bekannten Primzahlen englisch Abgerufen am 24 Dezember 2018 Chris K Caldwell 242643801 1 The Largest Known Primes abgerufen am 14 Dezember 2018 N J A Sloane Smallest unhappy number in base n or 0 if no unhappy numbers in the base Comments OEIS abgerufen am 9 Dezember 2018 V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Frohliche Zahl amp oldid 238896291 Frohliche Primzahl
