Eine Harshad Zahl oder Niven Zahl ist eine naturliche Zahl die durch ihre Quersumme das heisst die Summe ihrer Ziffern im Dezimalsystem mit Basis 10 teilbar ist Der Begriff Harshad Zahl wurde vom indischen Mathematiker D R Kaprekar eingefuhrt und ist vom Sanskrit Wort harsha Freude abgeleitet wahrend Niven Zahl auf den Mathematiker Ivan M Niven zuruckgeht der diese Zahlen auf einem Kongress im Jahre 1977 beschrieb 1 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 n Harshad Zahlen 3 Eigenschaften 4 Nivenmorphe Zahlen 5 Multiple Harshad Zahlen 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseBeispiele Bearbeiten777 ist durch seine Quersumme 7 7 7 21 displaystyle 7 7 7 21 nbsp teilbar und ist somit eine Harshad Zahl 777 21 37 displaystyle 777 21 cdot 37 nbsp Die ersten Harshad Zahlen im Dezimalsystem sind 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 18 20 21 24 27 30 36 40 42 45 48 50 54 60 63 70 72 80 81 84 90 100 displaystyle 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 18 20 21 24 27 30 36 40 42 45 48 50 54 60 63 70 72 80 81 84 90 100 ldots nbsp Folge A005349 in OEIS Die kleinsten k displaystyle k nbsp sodass k n displaystyle k cdot n nbsp eine Harshad Zahl ist sind die folgenden 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 9 3 2 3 6 1 6 1 1 5 9 1 2 6 1 3 9 1 12 6 4 3 2 1 3 3 3 1 10 1 12 3 displaystyle 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 9 3 2 3 6 1 6 1 1 5 9 1 2 6 1 3 9 1 12 6 4 3 2 1 3 3 3 1 10 1 12 3 ldots nbsp Folge A144261 in OEIS d h 1 1 1 1 2 2 1 10 10 10 11 110 1 12 12 9 13 117 displaystyle underline 1 cdot 1 1 underline 1 cdot 2 2 ldots underline 1 cdot 10 10 underline 10 cdot 11 110 underline 1 cdot 12 12 underline 9 cdot 13 117 ldots nbsp sind Harshad ZahlenDie kleinsten k displaystyle k nbsp sodass k n displaystyle k cdot n nbsp keine Harshad Zahl ist sind die folgenden 11 7 5 4 3 11 2 2 11 13 1 8 1 1 1 1 1 161 1 8 5 1 1 4 1 1 7 1 1 13 1 1 1 1 1 83 1 1 1 4 displaystyle 11 7 5 4 3 11 2 2 11 13 1 8 1 1 1 1 1 161 1 8 5 1 1 4 1 1 7 1 1 13 1 1 1 1 1 83 1 1 1 4 ldots nbsp Folge A144262 in OEIS d h 11 1 11 7 2 14 5 3 15 4 4 16 3 5 15 11 6 66 displaystyle underline 11 cdot 1 11 underline 7 cdot 2 14 underline 5 cdot 3 15 underline 4 cdot 4 16 underline 3 cdot 5 15 underline 11 cdot 6 66 ldots nbsp sind keine Harshad Zahlenn Harshad Zahlen BearbeitenHarshad Zahlen nennt man auch n Harshad Zahlen oder n Niven Zahlen wenn man sie in der Basis n betrachtet Die ersten n Harshad Zahlen in der Basis 12 sind wobei mangels weiterer Ziffern A displaystyle A nbsp fur 10 und B displaystyle B nbsp fur 11 steht 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 1 A 20 29 30 38 40 47 50 56 60 65 70 74 80 83 90 92 A 0 A 1 B 0 100 displaystyle 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 1A 20 29 30 38 40 47 50 56 60 65 70 74 80 83 90 92 A0 A1 B0 100 nbsp 10 A 110 115 119 120 122 128 130 134 137 146 150 153 155 164 172 173 182 191 1 A 0 displaystyle 10A 110 115 119 120 122 128 130 134 137 146 150 153 155 164 172 173 182 191 1A0 ldots nbsp dd Beispiel 172 displaystyle 172 nbsp ist keine n Harshad Zahl fur die Basis 10 N 172 displaystyle N 172 nbsp hat die Quersumme 1 7 2 10 displaystyle 1 7 2 10 nbsp es ist aber 10 displaystyle 10 nbsp kein Teiler von 172 displaystyle 172 nbsp 172 12 displaystyle 172 12 nbsp ist aber eine n Harshad Zahl fur die Basis 12 N 172 12 displaystyle N 172 12 nbsp ist im Dezimalsystem die Zahl 1 12 2 7 12 1 2 12 0 230 displaystyle underline 1 cdot 12 2 underline 7 cdot 12 1 underline 2 cdot 12 0 230 nbsp Die Quersumme von N 172 12 displaystyle N 172 12 nbsp ist 1 7 2 A 12 displaystyle 1 7 2 A 12 nbsp im Dezimalsystem also 10 displaystyle 10 nbsp Es ist A 12 displaystyle A 12 nbsp tatsachlich ein Teiler von N 172 12 A 12 1 B 12 displaystyle N 172 12 A 12 cdot 1B 12 nbsp im Dezimalsystem 230 10 23 displaystyle 230 10 cdot 23 nbsp Die kleinsten k displaystyle k nbsp sodass k n displaystyle k cdot n nbsp eine n Harshad Zahl zur Basis 12 ist sind die folgenden im Dezimalsystem geschrieben 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 6 4 3 10 2 11 3 4 1 7 1 12 6 4 3 11 2 11 3 1 5 9 1 12 11 4 3 11 2 11 1 4 4 11 1 16 displaystyle 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 6 4 3 10 2 11 3 4 1 7 1 12 6 4 3 11 2 11 3 1 5 9 1 12 11 4 3 11 2 11 1 4 4 11 1 16 ldots nbsp Die kleinsten k displaystyle k nbsp sodass k n displaystyle k cdot n nbsp keine n Harshad Zahl zur Basis 12 ist sind die folgenden im Dezimalsystem geschrieben 13 7 5 4 3 3 2 2 2 2 13 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 157 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 157 1 1 1 4 displaystyle 13 7 5 4 3 3 2 2 2 2 13 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 157 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 157 1 1 1 4 ldots nbsp Eigenschaften BearbeitenDas oben angegebene Beispiel mit der Zahl 777 lasst sich auf alle 3 stelligen naturlichen Zahlen desselben Typs verallgemeinern Jede naturliche Zahl der Form n n n displaystyle nnn nbsp wobei n displaystyle n nbsp eine beliebige Ziffer von 1 bis 9 darstellen kann ist im Dezimalsystem eine Harshad Zahl lasst sich also durch ihre Quersumme teilen Der Beweis ergibt sich aus folgender Uberlegung n n n n 10 2 n 10 1 n 10 0 n 100 10 1 n 111 n 3 37 n 3 37 displaystyle begin aligned nnn amp n cdot 10 2 n cdot 10 1 n cdot 10 0 amp n cdot 100 10 1 amp n cdot 111 amp n cdot 3 cdot 37 amp n cdot 3 cdot 37 end aligned nbsp Nun ist aber die Quersumme von n n n n n n n 3 displaystyle nnn colon n n n n cdot 3 nbsp Somit ist jede naturliche Zahl der Form n n n displaystyle nnn nbsp das 37 fache ihrer Quersumme also eine Harshad Zahl q e d dd dd Alle ganzen Zahlen zwischen 0 und der Basis n sind n Harshad Zahlen Im Dezimalsystem gibt es keine 21 aufeinander folgende Harshad Zahlen 2 3 Im Dezimalsystem gibt es unendlich viele 20 aufeinander folgende Harshad Zahlen Die kleinste davon ist grosser als 10 44363342786 displaystyle 10 44363342786 nbsp 4 erstes Auftreten von n aufeinander folgenden Harshad Zahlen n erstes Auftreten von n aufeinander folgenden Harshad Zahlen Folge A060159 in OEIS 5 1 displaystyle 1 nbsp 12 displaystyle 12 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 20 displaystyle 20 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 110 displaystyle 110 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 510 displaystyle 510 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 131 052 displaystyle 131 052 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp 12 751 220 displaystyle 12 751 220 nbsp 7 displaystyle 7 nbsp 10 000 095 displaystyle 10 000 095 nbsp 8 displaystyle 8 nbsp 2 162 049 150 displaystyle 2 162 049 150 nbsp 9 displaystyle 9 nbsp 124 324 220 displaystyle 124 324 220 nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 11 displaystyle 11 nbsp 920 067 411 130 599 displaystyle 920 067 411 130 599 nbsp 12 displaystyle 12 nbsp 43 494 229 746 440 272 890 displaystyle 43 494 229 746 440 272 890 nbsp 13 displaystyle 13 nbsp 121 003 242 000 074 550 107 423 034 10 20 10 displaystyle 121 003 242 000 074 550 107 423 034 cdot 10 20 10 nbsp 14 displaystyle 14 nbsp 420 142 032 871 116 091 607 294 10 40 4 displaystyle 420 142 032 871 116 091 607 294 cdot 10 40 4 nbsp 15 displaystyle 15 nbsp unbekannt16 displaystyle 16 nbsp 50 757 686 696 033 684 694 106 416 498 959 861 492 10 280 9 displaystyle 50 757 686 696 033 684 694 106 416 498 959 861 492 cdot 10 280 9 nbsp 17 displaystyle 17 nbsp 14 107 593 985 876 801 556 467 795 907 102 490 773 681 10 280 10 displaystyle 14 107 593 985 876 801 556 467 795 907 102 490 773 681 cdot 10 280 10 nbsp 18 displaystyle 18 nbsp unbekannt19 displaystyle 19 nbsp unbekannt20 displaystyle 20 nbsp unbekannt Mit Basis n gibt es keine 2n 1 aufeinander folgende n Harshad Zahlen Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft 3 6 Mit Basis n gibt es unendlich viele 2n aufeinander folgende Harshad Zahlen Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft 3 6 7 Sei N x displaystyle N x nbsp die Anzahl der Harshad Zahlen x displaystyle leq x nbsp und sei e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp Dann gilt 8 x 1 e N x x log log x log x displaystyle x 1 varepsilon ll N x ll frac x log log x log x nbsp dd Beispiel Es gibt unter 100000 genau 11872 Harshad Zahlen Somit ist x 100000 displaystyle x 100000 nbsp und N x 11872 displaystyle N x 11872 nbsp Und tatsachlich gilt x 1 e 100000 1 e 100000 1 0 185095 N x 11872 21223 7 100000 log log 100000 log 100000 x log log x log x displaystyle x 1 varepsilon 100000 1 varepsilon ll 100000 1 0 185095 approx N x 11872 ll 21223 7 approx frac 100000 cdot log log 100000 log 100000 frac x log log x log x nbsp dd Anzahl N x displaystyle N x nbsp der Harshad Zahlen unter einer Zahl x displaystyle x nbsp 8 x displaystyle x nbsp Harshad Zahlen x displaystyle leq x nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 100 displaystyle 100 nbsp 33 displaystyle 33 nbsp 1000 displaystyle 1000 nbsp 213 displaystyle 213 nbsp x displaystyle x nbsp Harshad Zahlen x displaystyle leq x nbsp 10 4 displaystyle 10 4 nbsp 1538 displaystyle 1538 nbsp 10 5 displaystyle 10 5 nbsp 11872 displaystyle 11872 nbsp 10 6 displaystyle 10 6 nbsp 95428 displaystyle 95428 nbsp x displaystyle x nbsp Harshad Zahlen x displaystyle leq x nbsp 10 7 displaystyle 10 7 nbsp 806095 displaystyle 806095 nbsp 10 8 displaystyle 10 8 nbsp 6954793 displaystyle 6954793 nbsp 10 9 displaystyle 10 9 nbsp 61574510 displaystyle 61574510 nbsp Nivenmorphe Zahlen BearbeitenEine nivenmorphe Zahl oder harshadmorphe Zahl fur eine Basis n ist eine ganze Zahl t so dass eine Harshad Zahl N existiert dessen Quersumme t ist und t geschrieben in dieser Basis n die Zahl N in dieser Basis n beschreibt Beispiel 1 18 displaystyle 18 nbsp ist eine nivenmorphe Zahl fur die Basis 10 N 16218 displaystyle N 16218 nbsp ist eine Harshad Zahl zur Basis n 10 Die Quersumme von 16218 displaystyle 16218 nbsp ist 1 6 2 1 8 18 displaystyle 1 6 2 1 8 18 nbsp Es ist 18 displaystyle 18 nbsp tatsachlich ein Teiler von 16218 18 901 displaystyle 16218 18 cdot 901 nbsp Beispiel 2 18 12 displaystyle 18 12 nbsp ist eine nivenmorphe Zahl fur die Basis 12 N 1 A 0 12 displaystyle N 1A0 12 nbsp ist eine Harshad Zahl zur Basis n 12 und ist im Dezimalsystem die Zahl 1 12 2 10 12 1 0 12 0 264 displaystyle underline 1 cdot 12 2 underline 10 cdot 12 1 underline 0 cdot 12 0 264 nbsp Die Quersumme von N 1 A 0 12 displaystyle N 1A0 12 nbsp ist 1 A 0 B 12 displaystyle 1 A 0 B 12 nbsp im Dezimalsystem also 11 Es ist B 12 displaystyle B 12 nbsp tatsachlich ein Teiler von N 1 A 0 12 B 12 20 12 displaystyle N 1A0 12 B 12 cdot 20 12 nbsp im Dezimalsystem 264 11 24 displaystyle 264 11 cdot 24 nbsp Die nachste Liste gibt die jeweils kleinste Zahl im Dezimalsystem an deren Quersumme n ist und die durch n teilbar ist falls es keine solche Zahl gibt wird 0 angegeben 1 2 3 4 5 6 7 8 9 910 0 912 11713 6314 915 3616 15317 918 17119 9920 18921 9922 82823 19824 9925 46826 18927 18928 displaystyle 1 2 3 4 5 6 7 8 9 910 0 912 11713 6314 915 3616 15317 918 17119 9920 18921 9922 82823 19824 9925 46826 18927 18928 nbsp 78329 99930 585931 388832 1098933 198934 289835 99936 99937 478838 198939 1999840 2988941 2979942 2979943 999944 999945 displaystyle 78329 99930 585931 388832 1098933 198934 289835 99936 99937 478838 198939 1999840 2988941 2979942 2979943 999944 999945 nbsp 4698946 4779947 2998848 2998849 9999950 displaystyle 4698946 4779947 2998848 2998849 9999950 ldots nbsp Folge A187924 in OEIS dd Zum Beispiel hat 289835 displaystyle 289835 nbsp die Quersumme 2 8 9 8 3 5 35 displaystyle 2 8 9 8 3 5 35 nbsp und tatsachlich ist 35 displaystyle 35 nbsp ein Teiler von 289835 35 8281 displaystyle 289835 35 cdot 8281 nbsp Somit ist 35 displaystyle 35 nbsp eine nivenmorphe Zahl zur Basis 10 Eigenschaften Alle positiven ganzen Zahlen mit Basis 10 sind nivenmorphe Zahlen ausser der Zahl 11 9 Alle positiven geraden ganzen Zahlen mit Basis n gt 1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis n ausser n 1 Alle positiven ungeraden ganzen Zahlen mit Basis n gt 1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis n Multiple Harshad Zahlen BearbeitenEine multiple Harshad Zahl ist eine Harshad Zahl welche durch seine Quersumme dividiert wieder eine andere Harshad Zahl ergibt 10 Beispiel 1 6804 displaystyle 6804 nbsp ist eine multiple Harshad Zahl weil 6804 18 378 displaystyle 6804 18 378 nbsp 378 18 21 displaystyle 378 18 21 nbsp 21 3 7 displaystyle 21 3 7 nbsp und 7 7 1 displaystyle 7 7 1 nbsp ebenfalls Harshad Zahlen sind Man bezeichnet diese Zahl 6804 displaystyle 6804 nbsp auch als MHN 4 man kann also vier verschiedene weitere Harshad Zahlen daraus machen Beispiel 2 2016502858579884466176 displaystyle 2016502858579884466176 nbsp ist eine MHN 12 man kann also 12 verschiedene weitere Harshad Zahlen durch Division mit ihren jeweiligen Quersummen die erste Quersumme ist 108 displaystyle 108 nbsp finden Beispiel 3 10080000000000 1008 10 10 displaystyle 10080000000000 1008 cdot 10 10 nbsp ist eine weitere kleinere MHN 12 Beispiel 4 1008 10 n displaystyle 1008 cdot 10 n nbsp ist eine MHN n 2 Siehe auch BearbeitenFrohliche Zahl Gluckliche Zahl Selbstbeschreibende ZahlLiteratur BearbeitenCurtis Cooper Robert E Kennedy On consecutive Niven numbers In Fibonacci Quarterly 31 2 1993 S 146 151 Helen G Grundmann Sequences of consecutive Niven numbers In Fibonacci Quarterly 32 2 1994 174 175 Brad Wilson Construction of 2n consecutive n Niven numbers In Fibonacci Quarterly 35 1997 S 122 128 Jean Marie DeKoninck Nicolas Doyon On the number of Niven numbers up to x In Fibonacci Quarterly 41 5 November 2003 S 431 440 Jean Marie DeKoninck Nicolas Doyon I Katai On the counting function for the Niven numbers In Acta Arithmetica 106 2003 S 265 275 Sandro Boscaro Nivenmorphic Integers In Journal of Recreational Mathematics 28 3 1996 1997 S 201 205 E Bloem Harshad numbers In Journal of Recreational Mathematics 34 2 2005 S 128Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Harshad Number In MathWorld englisch Jozsef Sandor Borislav Crstici Handbook of Number Theory II PDF Springer Verlag S 381 383 abgerufen am 27 Mai 2018 englisch Curtis Cooper Robert E Kennedy On consecutive Niven numbers PDF Fibonacci Quarterly S 146 151 abgerufen am 28 Mai 2018 englisch Helen G Grundman Sequences of consecutive n Niven numbers PDF Fibonacci Quarterly S 174 175 abgerufen am 28 Mai 2018 englisch Brad Wilson Construction of 2n consecutive n Niven numbers PDF Fibonacci Quarterly S 122 128 abgerufen am 28 Mai 2018 englisch Jean Marie DeKoninck Nicolas Doyon On the number of Niven numbers up to x PDF Fibonacci Quarterly S 431 440 abgerufen am 30 Mai 2018 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Jozsef Sandor Borislav Crstici Handbook of Number Theory II PDF Nicht mehr online verfugbar Springer Verlag S 381 und 451 ehemals im Original abgerufen am 27 Mai 2018 englisch 1 2 Vorlage Toter Link nozdr ru Seite nicht mehr abrufbar Suche in Webarchiven Curtis Cooper Robert E Kennedy On consecutive Niven numbers PDF In Fibonacci Quarterly S 146 151 abgerufen am 28 Mai 2018 englisch a b c Jozsef Sandor Borislav Crstici Handbook of Number Theory II PDF Nicht mehr online verfugbar Springer Verlag S 382 ehemals im Original abgerufen am 28 Mai 2018 englisch 1 2 Vorlage Toter Link nozdr ru Seite nicht mehr abrufbar Suche in Webarchiven Curtis Cooper Robert E Kennedy On consecutive Niven numbers PDF In Fibonacci Quarterly S 148 abgerufen am 28 Mai 2018 englisch primepuzzles net Problems amp Puzzles Puzzle 129 Abgerufen am 30 Mai 2018 englisch a b Helen G Grundman Sequences of consecutive n Niven numbers PDF In Fibonacci Quarterly S 174 175 abgerufen am 28 Mai 2018 englisch Brad Wilson Construction of 2n consecutive n Niven numbers PDF In Fibonacci Quarterly S 122 128 abgerufen am 28 Mai 2018 englisch a b Jean Marie DeKoninck Nicolas Doyon On the number of Niven numbers up to x PDF In Fibonacci Quarterly S 431 440 abgerufen am 30 Mai 2018 englisch Sandro Boscaro Nivenmorphic integers In Journal of Recreational Mathematics Band 28 Nr 3 1996 S 201 205 E Bloem Harshad numbers In Journal of Recreational Mathematics Band 34 Nr 2 2005 S 128 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Harshad Zahl amp oldid 234079639
