In der Zahlentheorie ist eine Higgs Primzahl fur die Potenz a eine Primzahl H p n P displaystyle Hp n in mathbb P bei der H p n 1 displaystyle Hp n 1 die a displaystyle a te Potenz des Produkts aller kleineren Higgs Primzahlen teilt Algebraisch bedeutet das bei gegebener Potenz a N displaystyle a in mathbb N dass die Higgs Primzahl H p n displaystyle Hp n folgende Bedingung erfullt f H p n H p n 1 teilt i 1 n 1 H p i a mit H p n gt H p n 1 displaystyle varphi Hp n Hp n 1 mbox teilt prod i 1 n 1 Hp i a mbox mit Hp n gt Hp n 1 wobei f n displaystyle varphi n die Eulersche Phi Funktion ist sie gibt fur jede naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N an wie viele zu n displaystyle n teilerfremde naturliche Zahlen es gibt die nicht grosser als n displaystyle n sind bei Primzahlen p displaystyle p ist f p p 1 displaystyle varphi p p 1 Die Higgs Primzahlen wurden nach dem britischen Mathematiker Denis Higgs benannt Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Ungeloste Probleme 4 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenDie ersten Higgs Primzahlen fur die Potenz a 2 displaystyle a 2 nbsp also fur Quadrate sind die folgenden 2 3 5 7 11 13 19 23 29 31 37 43 47 53 59 61 67 71 79 101 107 127 131 139 149 151 157 173 181 191 197 199 211 223 229 263 269 277 283 311 317 331 347 349 367 373 383 397 419 421 431 461 463 491 509 523 547 557 571 Folge A007459 in OEIS dd Die Zahl H p 8 23 displaystyle Hp 8 23 nbsp ist eine Higgs Primzahl fur die Potenz a 2 displaystyle a 2 nbsp weil das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs Primzahlen also 2 3 5 7 11 13 19 2 325550124900 displaystyle 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 cdot 13 cdot 19 2 325550124900 nbsp die Zahl H p 8 1 23 1 22 displaystyle Hp 8 1 23 1 22 nbsp als Teiler hat es ist 325550124900 22 14797732950 displaystyle 325550124900 22 14797732950 nbsp Die Zahl 17 displaystyle 17 nbsp ist keine Higgs Primzahl fur die Potenz a 2 displaystyle a 2 nbsp das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs Primzahlen also 2 3 5 7 11 13 2 901800900 displaystyle 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 cdot 13 2 901800900 nbsp hat die Zahl 17 1 16 displaystyle 17 1 16 nbsp nicht als Teiler es bleibt 4 displaystyle 4 nbsp Rest Die Zahl 13 displaystyle 13 nbsp ist eine Higgs Primzahl fur die Potenz a 6 displaystyle a 6 nbsp weil die 6 displaystyle 6 nbsp te Potenz des Produkts der kleineren Higgs Primzahlen also 2 3 5 7 11 6 151939915084881000000 displaystyle 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 6 151939915084881000000 nbsp die Zahl 13 1 12 displaystyle 13 1 12 nbsp als Teiler hat es ist 151939915084881000000 12 12661659590406750000 displaystyle 151939915084881000000 12 12661659590406750000 nbsp Bei hoheren Potenzen a displaystyle a nbsp sind immer mehr Primzahlen auch gleichzeitig Higgs Primzahlen sodass es sinnvoll erscheint diejenigen Primzahlen anzugeben welche nicht gleichzeitig Higgs Primzahlen sind Die folgende Tabelle gibt diese Nicht Higgs Primzahlen bei gegebener Potenz a displaystyle a nbsp bis zur 100 Higgs Primzahl zur jeweiligen Potenz a displaystyle a nbsp an Exponent a displaystyle a nbsp 100 Higgs Primzahl keine Higgs Primzahlen fur die Potenz a displaystyle a nbsp bis zur 100 Higgs Primzahl dieser Potenz2 1117 17 41 73 83 89 97 103 109 113 137 163 167 179 193 227 233 239 241 251 257 271 281 293 307 313 337 353 359 379 389 401 409 433 439 443 449 457 467 479 487 499 503 521 541 563 569 577 587 593 601 613 617 619 641 647 653 673 719 739 751 757 761 769 773 809 811 821 823 857 877 881 887 919 929 937 953 971 977 997 1009 1021 1031 1033 1049 1069 1091 1097 insgesamt 87 Primzahlen 3 733 17 97 103 113 137 163 193 227 239 241 257 307 337 353 389 401 409 433 443 449 479 487 577 593 613 619 641 647 653 673 insgesamt 30 Primzahlen 4 593 97 193 257 353 389 449 487 577 insgesamt 8 Primzahlen 5 563 193 257 4496 547 2577 547 2578 541 Eigenschaften BearbeitenFur die Potenz a 1 displaystyle a 1 nbsp gibt es nur vier Higgs Primzahlen 2 3 7 43 Beweis Angenommen es gibt eine Primzahl p gt 2 3 7 43 1806 displaystyle p gt 2 cdot 3 cdot 7 cdot 43 1806 nbsp die nachste ist p 1811 displaystyle p 1811 nbsp welche eine Higgs Primzahl fur die Potenz a 1 displaystyle a 1 nbsp ist Dann muss p 1 1810 displaystyle p 1 geq 1810 nbsp ein Teiler aller vorherigen Higgs Primzahlen fur die Potenz a 1 displaystyle a 1 nbsp also von 2 3 7 43 1 1806 displaystyle 2 cdot 3 cdot 7 cdot 43 1 1806 nbsp sein Dies kann aber nicht der Fall sein weil p 1 1810 displaystyle p 1 geq 1810 nbsp kein Teiler der kleineren Zahl 1806 displaystyle 1806 nbsp sein kann Somit scheiden alle Primzahlen p 1811 displaystyle p geq 1811 nbsp aus Alle Primzahlen 1811 gt p gt 43 displaystyle 1811 gt p gt 43 nbsp scheiden durch einfache Computer Berechnungen aus displaystyle Box nbsp dd dd Alle bekannten Fermatschen Primzahlen 2 2 n 1 displaystyle 2 2 n 1 nbsp sind keine Higgs Primzahlen fur die a displaystyle a nbsp ten Potenzen mit a lt 2 n displaystyle a lt 2 n nbsp Beweis Man kann mittels Computer Einsatz relativ schnell berechnen dass die erste Fermatsche Primzahl 2 2 0 1 2 1 1 3 displaystyle 2 2 0 1 2 1 1 3 nbsp keine Higgs Primzahl fur a lt 2 0 1 displaystyle a lt 2 0 1 nbsp ist die zweite Fermatsche Primzahl 2 2 1 1 2 2 1 5 displaystyle 2 2 1 1 2 2 1 5 nbsp keine Higgs Primzahl fur a lt 2 1 2 displaystyle a lt 2 1 2 nbsp ist die dritte Fermatsche Primzahl 2 2 2 1 2 4 1 17 displaystyle 2 2 2 1 2 4 1 17 nbsp keine Higgs Primzahl fur a lt 2 2 4 displaystyle a lt 2 2 4 nbsp ist die vierte Fermatsche Primzahl 2 2 3 1 2 8 1 257 displaystyle 2 2 3 1 2 8 1 257 nbsp keine Higgs Primzahl fur a lt 2 3 8 displaystyle a lt 2 3 8 nbsp ist die funfte und letzte bekannte Fermatsche Primzahl 2 2 4 1 2 1 6 1 65537 displaystyle 2 2 4 1 2 1 6 1 65537 nbsp keine Higgs Primzahl fur a lt 2 4 16 displaystyle a lt 2 4 16 nbsp ist displaystyle Box nbsp dd dd Etwa ein Funftel der Primzahlen unter einer Million sind Higgs Primzahlen 1 Die Entdecker dieser Eigenschaft folgerten daraus dass selbst wenn die Anzahl der Higgs Primzahlen fur die Potenz a 2 displaystyle a 2 nbsp endlich ist eine Computerzahlung nicht moglich ist Ungeloste Probleme BearbeitenEs ist nicht bekannt ob unendlich viele Higgs Primzahlen fur Exponenten a 2 displaystyle a geq 2 nbsp existieren Einzelnachweise Bearbeiten Stanley Burris Simon Lee Tarski s high school identities American Mathematical Monthly 100 3 1993 S 231 236 abgerufen am 2 Juli 2018 V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Higgs Primzahl amp oldid 180052306
