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Woodall Zahl Eine ist eine natürliche Zahl der Form W n n 2 n 1 displaystyle W n n cdot 2 n 1 für eine natürliche Zahl n

Woodall-Zahl

Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form:

für eine natürliche Zahl . Die ersten Woodall-Zahlen sind:

Geschichte Bearbeiten

Woodall-Zahlen wurden zuerst von Allan J. C. Cunningham und H. J. Woodall im Jahr 1917 beschrieben. Dabei wurden beide inspiriert von James Cullen, der eine ähnliche Zahlenfolge definierte: die Cullen-Zahlen.

Ähnliche Folgen Bearbeiten

Die Cullen-Zahlen sind definiert durch:

Infolge gilt:

Aufgrund dieser Ähnlichkeit werden Woodall-Zahlen auch als Cullen-Zahlen 2. Ordnung bezeichnet.

Woodall-Primzahlen Bearbeiten

Eine Woodall-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, wird als Woodall-Primzahl bezeichnet. Die ersten Exponenten , für die Woodall-Zahlen solche Woodall-Primzahlen darstellen, sind:

Vor allem die größeren Woodall-Primzahlen wurden durch das BOINC-Projekt PrimeGrid gefunden.

Die bisher größte Woodall-Primzahl wurde am 22. März 2018 berechnet und lautet:

Diese Zahl hat 5.122.515 Stellen und wurde vom Italiener Diego Bertolotti, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Woodall-Zahlen bis gibt. Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Eigenschaften von Woodall-Zahlen Bearbeiten

  • Fast alle Woodall-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen (bewiesen von Christopher Hooley im Jahr 1976).
  • Die Primzahl teilt die Woodall-Zahl , wenn das Jacobi-Symbol ist.
  • Die Primzahl teilt die Woodall-Zahl , wenn das Jacobi-Symbol ist.
  • Es gilt:
  • Die einzigen beiden bekannten Primzahlen, die Woodall-Primzahlen und gleichzeitig Mersenne-Primzahlen darstellen, sind (Stand: Mai 2019):

Verallgemeinerte Woodall-Zahlen Bearbeiten

Zahlen der Form mit bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen.

Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Woodall-Primzahl.

Die Bedingung ist notwendig, denn ohne diese Bedingung wäre jede Primzahl eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl, weil wäre.

Die kleinsten , für die prim ist, sind für aufsteigendes = 1, 2, …:

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Woodall-Primzahlen für Basen von zwischen 1 und 30. Diese wurden zumindest bis 200000 untersucht. Wenn für die Bedingung nicht gilt, aber trotzdem die Zahl prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

, sodass prim ist untersucht bis OEIS-Folge
1 3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (alle Primzahlen plus 1) alle Primzahlen Folge A008864 in OEIS
2 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602,… 14508061 Folge A002234 in OEIS
3 (1), 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, … 1058000 Folge A006553 in OEIS
4 (1, 2), 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, … 1000000 Folge A086661 in OEIS
5 8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, … 1000000 Folge A059676 in OEIS
6 (1, 2, 3), 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, … 876000 Folge A059675 in OEIS
7 (2), 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, … 350000 Folge A242200 in OEIS
8 (1, 2), 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, … 513000 Folge A242201 in OEIS
9 10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, … 975000 Folge A242202 in OEIS
10 (2, 3, 8), 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, … 500000 Folge A059671 in OEIS
11 (2, 8), 252, 1184, 1308, … 500000 Folge A299374 in OEIS
12 (1, 6), 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, … 500000 Folge A299375 in OEIS
13 (2, 6), 563528, … 570008 Folge A299376 in OEIS
14 (1, 3, 7), 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, … 500000 Folge A299377 in OEIS
15 (2, 10), 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, … 500000 Folge A299378 in OEIS
16 167, 189, 639, … 500000 Folge A299379 in OEIS
17 (2), 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, … 400000 Folge A299380 in OEIS
18 (1, 2, 6, 8, 10), 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, … 400000 Folge A299381 in OEIS
19 (12), 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, … 400000 Folge A299382 in OEIS
20 (1, 18), 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, … 250000 Folge A299383 in OEIS
21 (2, 18), 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, … 200000
22 (2, 5), 140, 158, 263, 795, 992, 341351, … 200000
23 29028, … 200000
24 (1, 2, 5, 12), 124, 1483, 22075, 29673, 64593, … 200000
25 (2), 68, 104, 450, … 500000
26 (3, 8), 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, … 200000
27 (10, 18, 20), 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, … 450000
28 (2, 5, 6, 12, 20), 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, … 200000
29 26850, 237438, 272970, … 200000
30 (1), 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, … 200000

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Woodall-Primzahl ist . Sie hat 4.125.441 Stellen und wurde am 26. Oktober 2019 von Ryan Propper entdeckt.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. A. J. C Cunningham, H. J. Woodall: Factorisation of and . In: Messenger of Mathematics. 1917, S. 1 von 151.
  2. Eric W. Weisstein: Woodall Number. Abgerufen am 25. Mai 2019 (englisch).
  3. PrimeGrid’s Woodall Prime Search, 17016602·217016602 - 1. (PDF) PrimeGrid, abgerufen am 26. April 2018.
  4. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Woodall Primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018.
  5. Weisstein, Eric W.: Woodall Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016.
  6. ↑ Chris K.Caldwell: Woodall Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016.
  7. Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward: Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. In: RI: American Mathematical Society. 2003, ISBN 0-8218-3387-1, S. 94.
  8. Liste der verallgemeinerten Woodall-Primzahlen mit Basis 3 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016.
  9. Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 2740879·322740879 - 1. Prime Pages, abgerufen am 15. Januar 2020.
  10. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Woodall. Prime Pages, abgerufen am 15. Januar 2020.
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Eine Woodall Zahl ist eine naturliche Zahl der Form W n n 2 n 1 displaystyle W n n cdot 2 n 1 fur eine naturliche Zahl n 1 displaystyle n geq 1 Die ersten Woodall Zahlen sind 1 7 23 63 159 383 895 2047 10239 22527 49151 106495 229375 491519 1048575 2228223 4718591 9961471 20971519 44040191 Folge A003261 in OEIS Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Ahnliche Folgen 3 Woodall Primzahlen 4 Eigenschaften von Woodall Zahlen 5 Verallgemeinerte Woodall Zahlen 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenWoodall Zahlen wurden zuerst von Allan J C Cunningham und H J Woodall im Jahr 1917 beschrieben 1 Dabei wurden beide inspiriert von James Cullen der eine ahnliche Zahlenfolge definierte die Cullen Zahlen Ahnliche Folgen BearbeitenDie Cullen Zahlen sind definiert durch C n n 2 n 1 n N displaystyle C n n cdot 2 n 1 n in mathbb N nbsp Infolge gilt C n W n 2 displaystyle C n W n 2 nbsp Aufgrund dieser Ahnlichkeit werden Woodall Zahlen auch als Cullen Zahlen 2 Ordnung bezeichnet 2 Woodall Primzahlen BearbeitenEine Woodall Zahl die gleichzeitig Primzahl ist wird als Woodall Primzahl bezeichnet Die ersten Exponenten n displaystyle n nbsp fur die Woodall Zahlen solche Woodall Primzahlen darstellen sind n displaystyle n nbsp 2 3 6 30 75 81 115 123 249 362 384 462 512 751 822 5312 7755 9531 12379 15822 18885 22971 23005 98726 143018 151023 667071 1195203 1268979 1467763 2013992 2367906 3752948 17016602 Folge A002234 in OEIS W n displaystyle W n nbsp 7 23 383 32212254719 2833419889721787128217599 Folge A050918 in OEIS Vor allem die grosseren Woodall Primzahlen wurden durch das BOINC Projekt PrimeGrid gefunden Die bisher grosste Woodall Primzahl wurde am 22 Marz 2018 berechnet und lautet W 17016602 17016602 2 17016602 1 8508301 2 17016603 1 displaystyle W 17016602 17016602 cdot 2 17016602 1 8508301 cdot 2 17016603 1 nbsp Diese Zahl hat 5 122 515 Stellen und wurde vom Italiener Diego Bertolotti einem Teilnehmer des Internet Projekts PrimeGrid entdeckt 3 4 Es ist bekannt dass es keine weiteren primen Woodall Zahlen bis n lt 14508061 displaystyle n lt 14508061 nbsp gibt 5 Es wird aber vermutet dass es unendlich viele Woodall Primzahlen gibt Eigenschaften von Woodall Zahlen BearbeitenFast alle Woodall Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen bewiesen von Christopher Hooley im Jahr 1976 6 7 Die Primzahl p displaystyle p nbsp teilt die Woodall Zahl W p 1 2 displaystyle W frac p 1 2 nbsp wenn das Jacobi Symbol 2 p 1 displaystyle left frac 2 p right 1 nbsp ist 6 Die Primzahl p displaystyle p nbsp teilt die Woodall Zahl W 3 p 1 2 displaystyle W frac 3p 1 2 nbsp wenn das Jacobi Symbol 2 p 1 displaystyle left frac 2 p right 1 nbsp ist 6 Es gilt W 4 4 2 4 1 63 displaystyle W 4 4 cdot 2 4 1 63 nbsp und W 5 5 2 5 1 159 displaystyle W 5 5 cdot 2 5 1 159 nbsp sind beide durch drei teilbar Jede weitere sechste Woodall Zahl W n displaystyle W n nbsp ist ebenfalls durch 3 displaystyle 3 nbsp teilbar Somit ist W n displaystyle W n nbsp nur dann moglicherweise eine Woodall Primzahl wenn der Index n displaystyle n nbsp nicht ein Vielfaches von 4 oder 5 modulo 6 ist Die einzigen beiden bekannten Primzahlen die Woodall Primzahlen und gleichzeitig Mersenne Primzahlen darstellen sind Stand Mai 2019 W 2 M 3 7 displaystyle W 2 M 3 7 nbsp und W 512 M 521 displaystyle W 512 M 521 nbsp dd Verallgemeinerte Woodall Zahlen BearbeitenZahlen der Form n b n 1 displaystyle n cdot b n 1 nbsp mit n 2 gt b displaystyle n 2 gt b nbsp bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall Zahlen Ist diese Zahl eine Primzahl so nennt man sie verallgemeinerte Woodall Primzahl Die Bedingung n 2 gt b displaystyle n 2 gt b nbsp ist notwendig denn ohne diese Bedingung ware jede Primzahl p displaystyle p nbsp eine verallgemeinerte Woodall Primzahl weil p 1 p 1 1 1 displaystyle p 1 cdot p 1 1 1 nbsp ware 6 Die kleinsten n displaystyle n nbsp fur die n b n 1 displaystyle n cdot b n 1 nbsp prim ist sind fur aufsteigendes b displaystyle b nbsp 1 2 3 2 1 1 8 1 2 1 10 2 2 1 2 1 2 167 2 1 12 1 2 2 29028 1 2 3 10 2 26850 1 8 1 42 2 6 2 24 1 2 3 2 1 2 1 2 2 140 1 2 2 22 2 8 1 2064 2 468 6 2 1 362 1 2 2 6 3 26 1 2 3 20 1 2 1 28 2 38 5 3024 1 2 81 858 1 Folge A240235 in OEIS Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Woodall Primzahlen fur Basen von b displaystyle b nbsp zwischen 1 und 30 8 Diese n displaystyle n nbsp wurden zumindest bis 200000 untersucht Wenn fur n displaystyle n nbsp die Bedingung n 2 gt b displaystyle n 2 gt b nbsp nicht gilt aber trotzdem die Zahl n b n 1 displaystyle n cdot b n 1 nbsp prim ist wird sie in Klammern gesetzt b displaystyle b nbsp n displaystyle n nbsp sodass n b n 1 displaystyle n cdot b n 1 nbsp prim ist untersucht bis OEIS Folge1 3 4 6 8 12 14 18 20 24 30 32 38 42 44 48 54 60 62 68 72 74 80 84 90 98 102 104 108 110 114 128 132 138 140 150 152 158 164 168 174 180 182 192 194 198 200 212 224 228 230 234 240 242 252 258 264 270 272 278 282 284 294 alle Primzahlen plus 1 alle Primzahlen Folge A008864 in OEIS2 2 3 6 30 75 81 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Weisstein Eric W Woodall Number MathWorld abgerufen am 1 Mai 2016 a b c d Chris K Caldwell Woodall Prime The Prime Glossary abgerufen am 1 Mai 2016 Graham Everest Alf van der Poorten Igor Shparlinski Thomas Ward Recurrence sequences Mathematical Surveys and Monographs In RI American Mathematical Society 2003 ISBN 0 8218 3387 1 S 94 Liste der verallgemeinerten Woodall Primzahlen mit Basis 3 bis 10000 Abgerufen am 1 Mai 2016 Chris K Caldwell The Largest Known Primes 2740879 322740879 1 Prime Pages abgerufen am 15 Januar 2020 Chris K Caldwell The Top Twenty Generalized Woodall Prime Pages abgerufen am 15 Januar 2020 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Woodall Zahl amp oldid 213919665 Woodall Primzahlen