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Cullen Zahl Eine ist eine Zahl der Form C n n 2 n 1 displaystyle C n n cdot 2 n 1 Mit diesen Zahlen hat sich Reverend Ja

Cullen-Zahl

Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form . Mit diesen Zahlen hat sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt. Ihm fiel auf, dass außer alle Zahlen dieser Form bis zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5591 fand. Cunningham zeigte, dass alle bis zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für .

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass eine Primzahl ist, und wies nach, dass mit Ausnahme von und alle Cullen-Zahlen von bis zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, dass und ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen mit zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Momentan (Stand: November 2015) sind Cullen-Primzahlen für folgende bekannt:

Die bis dato größte bekannte Cullen-Primzahl ist somit , sie hat 2 010 852 Stellen. Sie wurde am 25. Juli 2009 von einem anonymen japanischen Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid entdeckt.

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Cullen-Zahlen bis gibt. Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt. Es ist noch nicht bekannt, ob und gleichzeitig prim sein darf.

Eigenschaften von Cullen-Zahlen Bearbeiten

Fast alle Cullen-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen. Sie sind teilbar durch Primzahlen der Form , wobei eine Primzahl der Form sein muss. Wegen des kleinen fermatschen Satzes kann man außerdem folgern, dass, wenn eine ungerade Primzahl ist, ein Teiler von sein muss mit für .

Weiters konnte folgendes gezeigt werden:

Die Primzahl teilt die Cullen-Zahl , wenn das Jacobi-Symbol ist.

Die Primzahl teilt die Cullen-Zahl , wenn das Jacobi-Symbol ist.

Verallgemeinerte Cullen-Zahlen Bearbeiten

Zahlen der Form mit bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Ist eine solche Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Cullen-Primzahl.

Die kleinsten , für die prim ist, sind für aufsteigendes = 1, 2, …:

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Cullen-Primzahlen für Basen von zwischen 1 und 30. Diese wurden zumindest bis 100 000 untersucht. Wenn für die Bedingung nicht gilt, aber trotzdem die Zahl prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

b n, sodass n・bn + 1 prim ist untersucht bis OEIS-Folge
1 alle Primzahlen minus 1, d. h.:
1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, … 		alle Primzahlen Folge A006093 in OEIS
2 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … 13705481 Folge A005849 in OEIS
3 2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, … 1200000 Folge A006552 in OEIS
4 (1), 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, … 250000 Folge A007646 in OEIS
5 1242, 18390, … 379575
6 (1, 2), 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, … 200000 Folge A242176 in OEIS
7 34, 1980, 9898, … 255681 Folge A242177 in OEIS
8 (5), 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, …, 749130, … 166666 Folge A242178 in OEIS
9 (2), 12382, 27608, 31330, 117852, … 222431 Folge A265013 in OEIS
10 (1, 3), 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, … 270026 Folge A007647 in OEIS
11 10, … 600000
12 (1, 8), 247, 3610, 4775, 19789, 187895, … 254519 Folge A242196 in OEIS
13 … 1000000
14 (3, 5, 6, 9), 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, … 246922 Folge A242197 in OEIS
15 (8), 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, … 136149 Folge A242198 in OEIS
16 (1, 3), 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, … 125000 Folge A242199 in OEIS
17 19650, 236418, … 281261
18 (1, 3), 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, … 203597 Folge A007648 in OEIS
19 6460, … 305777
20 (3), 6207, 8076, 22356, 151456, … 219976 Folge A338412 in OEIS
21 (2, 8), 26, 67100, … 274099
22 (1, 15), 189, 814, 19909, 72207, … 137649
23 4330, 89350, … 177567
24 (2, 8), 368, … 134188
25 2805222, … 500000
26 117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, … 147626
27 (2), 56, 23454, …, 259738, … 215413
28 (1), 48, 468, 2655, 3741, 49930, … 200618
29 … 500000
30 (1, 2, 3, 7, 14, 17), 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, … 101757

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Cullen-Primzahl ist . Sie hat 4 705 888 Stellen und wurde am 28. August 2021 von Tom Greer, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. PrimeGrid’s Cullen Prime Search, 6679881 · 2^6679881 + 1. PrimeGrid, abgerufen am 2. November 2016.
  2. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Cullen primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018.
  3. ↑ Weisstein, Eric W.: Cullen Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016.
  4. ↑ Chris K.Caldwell: Cullen Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016.
  5. Generalized Cullen primes n bn+1. Abgerufen am 1. Mai 2016 (Liste der verallgemeinerten Cullen-Primzahlen mit Basis 3 bis 100).
  6. Liste der verallgemeinerten Cullen-Primzahlen mit Basis 101 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016.
  7. Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 2525532· 732525532 + 1. Prime Pages, abgerufen am 4. September 2021.
  8. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Cullen. Prime Pages, abgerufen am 4. September 2021.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine Cullen Zahl ist eine Zahl der Form C n n 2 n 1 displaystyle C n n cdot 2 n 1 Mit diesen Zahlen hat sich Reverend James Cullen 1905 beschaftigt Ihm fiel auf dass ausser C 1 3 displaystyle C 1 3 alle Zahlen dieser Form bis C 99 displaystyle C 99 zusammengesetzte Zahlen also keine Primzahlen sind Seine Unsicherheit bezuglich C 53 displaystyle C 53 konnte von Allan J C Cunningham 1906 ausgeraumt werden indem dieser den Teiler 5591 fand Cunningham zeigte dass alle C n displaystyle C n bis n 200 displaystyle n 200 zusammengesetzt sind mit einer moglichen Ausnahme fur n 141 displaystyle n 141 1958 bestatigte Raphael M Robinson dass C 141 displaystyle C 141 eine Primzahl ist und wies nach dass mit Ausnahme von C 1 displaystyle C 1 und C 141 displaystyle C 141 alle Cullen Zahlen von C 1 displaystyle C 1 bis C 1000 displaystyle C 1000 zusammengesetzte Zahlen sind Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt dass C 4713 C 5795 C 6611 displaystyle C 4713 C 5795 C 6611 und C 18 496 displaystyle C 18 496 ebenfalls Primzahlen sind aber alle anderen C n displaystyle C n mit n 30 000 displaystyle n leq 30 000 zusammengesetzte Cullen Zahlen sind Momentan Stand November 2015 sind Cullen Primzahlen C n displaystyle C n fur folgende n displaystyle n bekannt 1 141 4713 5795 6611 18496 32292 32469 59656 90825 262419 361275 481899 1354828 6328548 6679881 Folge A005849 in OEIS Die bis dato grosste bekannte Cullen Primzahl ist somit C 6 679 881 6 679 881 2 6 679 881 1 displaystyle C 6 679 881 6 679 881 cdot 2 6 679 881 1 sie hat 2 010 852 Stellen Sie wurde am 25 Juli 2009 von einem anonymen japanischen Teilnehmer des Internet Projekts PrimeGrid entdeckt 1 2 Es ist bekannt dass es keine weiteren primen Cullen Zahlen bis n lt 13 705 481 displaystyle n lt 13 705 481 gibt 3 Es wird aber vermutet dass es unendlich viele Cullen Primzahlen gibt Es ist noch nicht bekannt ob n displaystyle n und C n displaystyle C n gleichzeitig prim sein darf 4 Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften von Cullen Zahlen 2 Verallgemeinerte Cullen Zahlen 3 Siehe auch 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseEigenschaften von Cullen Zahlen BearbeitenFast alle Cullen Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen 4 Sie sind teilbar durch Primzahlen der Form p 2 n 1 displaystyle p 2n 1 nbsp wobei p displaystyle p nbsp eine Primzahl der Form p 8 k 3 displaystyle p 8k pm 3 nbsp sein muss 3 Wegen des kleinen fermatschen Satzes kann man ausserdem folgern dass wenn p displaystyle p nbsp eine ungerade Primzahl ist p displaystyle p nbsp ein Teiler von C m k displaystyle C m k nbsp sein muss mit m k 2 k k p 1 k displaystyle m k 2 k k cdot p 1 k nbsp fur k 0 displaystyle k geq 0 nbsp 4 Weiters konnte folgendes gezeigt werden Die Primzahl p displaystyle p nbsp teilt die Cullen Zahl C p 1 2 displaystyle C frac p 1 2 nbsp wenn das Jacobi Symbol 2 p 1 displaystyle left frac 2 p right 1 nbsp ist 4 Die Primzahl p displaystyle p nbsp teilt die Cullen Zahl C 3 p 1 2 displaystyle C frac 3p 1 2 nbsp wenn das Jacobi Symbol 2 p 1 displaystyle left frac 2 p right 1 nbsp ist 4 Verallgemeinerte Cullen Zahlen BearbeitenZahlen der Form n b n 1 displaystyle n cdot b n 1 nbsp mit n 2 gt b displaystyle n 2 gt b nbsp bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen Zahlen Ist eine solche Zahl eine Primzahl so nennt man sie verallgemeinerte Cullen Primzahl 4 Die kleinsten n displaystyle n nbsp fur die n b n 1 displaystyle n cdot b n 1 nbsp prim ist sind fur aufsteigendes b displaystyle b nbsp 1 2 1 1 2 1 1242 1 34 5 2 1 10 1 Folge A240234 in OEIS Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Cullen Primzahlen fur Basen von b displaystyle b nbsp zwischen 1 und 30 5 6 Diese n displaystyle n nbsp wurden zumindest bis 100 000 untersucht Wenn fur n displaystyle n nbsp die Bedingung n 2 gt b displaystyle n 2 gt b nbsp nicht gilt aber trotzdem die Zahl n b n 1 displaystyle n cdot b n 1 nbsp prim ist wird sie in Klammern gesetzt b n sodass n bn 1 prim ist untersucht bis OEIS Folge1 alle Primzahlen minus 1 d h 1 2 4 6 10 12 16 18 22 28 30 36 40 42 46 52 58 60 66 70 72 78 82 88 96 100 102 106 108 112 126 130 136 138 148 150 156 162 166 172 178 180 190 192 196 198 210 222 226 228 232 238 240 250 256 262 268 270 276 280 282 292 alle Primzahlen Folge A006093 in OEIS2 1 141 4713 5795 6611 18496 32292 32469 59656 90825 262419 361275 481899 1354828 6328548 6679881 13705481 Folge A005849 in OEIS3 2 8 32 54 114 414 1400 1850 2848 4874 7268 19290 337590 1183414 1200000 Folge A006552 in OEIS4 1 3 7 33 67 223 663 912 1383 3777 3972 10669 48375 250000 Folge A007646 in OEIS5 1242 18390 3795756 1 2 91 185 387 488 747 800 9901 10115 12043 13118 30981 51496 200000 Folge A242176 in OEIS7 34 1980 9898 255681 Folge A242177 in OEIS8 5 17 23 1911 20855 35945 42816 749130 166666 Folge A242178 in OEIS9 2 12382 27608 31330 117852 222431 Folge A265013 in OEIS10 1 3 9 21 363 2161 4839 49521 105994 207777 270026 Folge A007647 in OEIS11 10 60000012 1 8 247 3610 4775 19789 187895 254519 Folge A242196 in OEIS13 100000014 3 5 6 9 33 45 243 252 1798 2429 5686 12509 42545 246922 Folge A242197 in OEIS15 8 14 44 154 274 694 17426 59430 136149 Folge A242198 in OEIS16 1 3 55 81 223 1227 3012 3301 125000 Folge A242199 in OEIS17 19650 236418 28126118 1 3 21 23 842 1683 3401 16839 49963 60239 150940 155928 203597 Folge A007648 in OEIS19 6460 30577720 3 6207 8076 22356 151456 219976 Folge A338412 in OEIS21 2 8 26 67100 27409922 1 15 189 814 19909 72207 13764923 4330 89350 17756724 2 8 368 13418825 2805222 50000026 117 3143 3886 7763 64020 88900 14762627 2 56 23454 259738 21541328 1 48 468 2655 3741 49930 20061829 50000030 1 2 3 7 14 17 39 79 87 99 128 169 221 252 307 3646 6115 19617 49718 101757Die bisher grosste bekannte verallgemeinerte Cullen Primzahl ist 2 525 532 73 2 525 532 1 displaystyle 2 525 532 cdot 73 2 525 532 1 nbsp Sie hat 4 705 888 Stellen und wurde am 28 August 2021 von Tom Greer einem Teilnehmer des Internet Projekts PrimeGrid entdeckt 7 8 Siehe auch BearbeitenWoodall ZahlLiteratur BearbeitenJ Cullen Question 15897 Educ Times December 1905 534 Weblinks BearbeitenCullen Numbers Woodall NumbersEinzelnachweise Bearbeiten PrimeGrid s Cullen Prime Search 6679881 2 6679881 1 PrimeGrid abgerufen am 2 November 2016 Chris K Caldwell The Top Twenty Cullen primes Prime Pages abgerufen am 26 April 2018 a b Weisstein Eric W Cullen Number MathWorld abgerufen am 1 Mai 2016 a b c d e f Chris K Caldwell Cullen Prime The Prime Glossary abgerufen am 1 Mai 2016 Generalized Cullen primes n bn 1 Abgerufen am 1 Mai 2016 Liste der verallgemeinerten Cullen Primzahlen mit Basis 3 bis 100 Liste der verallgemeinerten Cullen Primzahlen mit Basis 101 bis 10000 Abgerufen am 1 Mai 2016 Chris K Caldwell The Largest Known Primes 2525532 732525532 1 Prime Pages abgerufen am 4 September 2021 Chris K Caldwell The Top Twenty Generalized Cullen Prime Pages abgerufen am 4 September 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cullen Zahl amp oldid 229216172