In der Zahlentheorie ist eine Primzahlzwillings Bi Kette der Lange k 1 displaystyle k 1 eine Primzahlenfolge der Form n 1 n 1 2 n 1 2 n 1 2 k n 1 2 k n 1 displaystyle n 1 n 1 2n 1 2n 1 ldots 2 k cdot n 1 2 k cdot n 1 der Ausdruck kommt vom englischen Bi twin chain bzw Bitwin chain 1 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Verallgemeinerung 3 1 Beispiele 4 Einzelnachweise 5 WeblinksBeispiele BearbeitenDie kleinsten n displaystyle n nbsp welche eine Primzahlzwillings Bi Kette der Lange 2 generieren also auf die beiden Paare n 1 n 1 2 n 1 2 n 1 displaystyle n 1 n 1 2n 1 2n 1 nbsp fuhren sind die folgenden 6 30 660 810 2130 2550 3330 3390 5850 6270 10530 33180 41610 44130 53550 55440 57330 63840 65100 70380 70980 72270 74100 74760 78780 80670 81930 87540 93240 102300 115470 124770 133980 136950 156420 Folge A066388 in OEIS dd Die kleinsten Primzahlzwillings Bi Ketten der Lange k 1 displaystyle k 1 nbsp sind die folgenden dabei ist n 2 3 5 7 n displaystyle n 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 ldots cdot n nbsp das Produkt aller Primzahlen bis n displaystyle n nbsp Primfakultat 2 k 1 displaystyle k 1 nbsp kleinste bekannte Primzahlzwillings Bi Kette der Lange k 1 displaystyle k 1 nbsp Stand 20 Juni 2017 Dezimal stellen Entdeckungs datum Entdecker1 displaystyle 1 nbsp 2 2 1 displaystyle 2 cdot 2 pm 1 nbsp also 3 5 displaystyle 3 5 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 3 2 n 1 displaystyle 3 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 0 1 displaystyle n 0 1 nbsp also 5 7 11 13 displaystyle 5 7 11 13 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp und 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 1005 7 2 n 1 displaystyle 1005 cdot 7 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp September 1998 Henri Lifchitz4 displaystyle 4 nbsp 151 7 2 n 1 displaystyle 151 cdot 7 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 3 4 5 6 displaystyle n 3 4 5 6 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp bis 7 displaystyle 7 nbsp September 1998 Henri Lifchitz5 displaystyle 5 nbsp 1394847 13 2 n 1 displaystyle 1394847 cdot 13 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 0 1 2 3 4 displaystyle n 0 1 2 3 4 nbsp 11 displaystyle 11 nbsp bis 12 displaystyle 12 nbsp Dezember 1998 Jack Brennen6 displaystyle 6 nbsp 1228253271 13 2 n 1 displaystyle 1228253271 cdot 13 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 1 2 3 4 5 6 displaystyle n 1 2 3 4 5 6 nbsp 14 displaystyle 14 nbsp bis 16 displaystyle 16 nbsp Dezember 1998 Jack Brennen7 displaystyle 7 nbsp 11228462199623 13 2 n 1 displaystyle 11228462199623 cdot 13 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 0 1 2 3 4 5 6 displaystyle n 0 1 2 3 4 5 6 nbsp 18 displaystyle 18 nbsp bis 20 displaystyle 20 nbsp Oktober 1999 Paul Jobling8 displaystyle 8 nbsp 21033215071024191 13 2 n 1 displaystyle 21033215071024191 cdot 13 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 0 1 2 3 4 5 6 7 displaystyle n 0 1 2 3 4 5 6 7 nbsp 21 displaystyle 21 nbsp bis 23 displaystyle 23 nbsp Februar 2002 Paul Jobling Phil Carmody9 displaystyle 9 nbsp 1873321386459914635 13 2 n 1 displaystyle 1873321386459914635 cdot 13 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 displaystyle n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 nbsp 24 displaystyle 24 nbsp bis 26 displaystyle 26 nbsp Dezember 2008 Jaroslaw WroblewskiDie grossten Primzahlzwillings Bi Ketten der Lange k 1 displaystyle k 1 nbsp sind die folgenden 2 k 1 displaystyle k 1 nbsp grosste bekannte Primzahlzwillings Bi Kette der Lange k 1 displaystyle k 1 nbsp Stand 20 Juni 2017 Dezimal stellen Entdeckungs datum Entdecker Quelle1 displaystyle 1 nbsp 2996863034895 2 1290000 1 displaystyle 2996863034895 cdot 2 1290000 pm 1 nbsp 388342 displaystyle 388342 nbsp September 2016 Tom Greer 3 4 5 2 displaystyle 2 nbsp 117864619517 6907 2 n 1 displaystyle 117864619517 cdot 6907 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 1 2 displaystyle n 1 2 nbsp 2971 displaystyle 2971 nbsp und 2972 displaystyle 2972 nbsp Juni 2017 Oscar Ostlin3 displaystyle 3 nbsp 204035674219 1609 2 n 1 displaystyle 204035674219 cdot 1609 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 nbsp 695 695 displaystyle 695 695 nbsp und 695 displaystyle 695 nbsp Juli 2016 Didier Boivin4 displaystyle 4 nbsp 9185178409925 487 2 n 1 displaystyle 9185178409925 cdot 487 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 0 1 2 3 displaystyle n 0 1 2 3 nbsp 214 214 215 displaystyle 214 214 215 nbsp und 215 displaystyle 215 nbsp Februar 2017 Didier Boivin5 displaystyle 5 nbsp 4423253751167971164005 307 2 n 1 displaystyle 4423253751167971164005 cdot 307 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 15 16 17 18 19 displaystyle n 15 16 17 18 19 nbsp 149 150 150 150 displaystyle 149 150 150 150 nbsp und 151 displaystyle 151 nbsp April 2015 Andrey Balyakin6 displaystyle 6 nbsp 386727562407905441323542867468313504832835283009085268004408453725770596763660073 61 2 n 1 displaystyle 386727562407905441323542867468313504832835283009085268004408453725770596763660073 cdot 61 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 45 46 47 48 49 50 displaystyle n 45 46 47 48 49 50 nbsp 118 118 118 119 displaystyle 118 118 118 119 nbsp 119 displaystyle 119 nbsp und 119 displaystyle 119 nbsp April 2014 Primecoin7 displaystyle 7 nbsp 1165654412459516061933 73 2 n 1 displaystyle 1165654412459516061933 cdot 73 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 7 8 9 10 11 12 13 displaystyle n 7 8 9 10 11 12 13 nbsp 52 53 53 53 displaystyle 52 53 53 53 nbsp 53 54 displaystyle 53 54 nbsp und 54 displaystyle 54 nbsp April 2015 Andrey Balyakin8 displaystyle 8 nbsp 10739718035045524715 13 2 n 1 displaystyle 10739718035045524715 cdot 13 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 0 1 2 3 4 5 6 7 displaystyle n 0 1 2 3 4 5 6 7 nbsp 24 24 25 25 25 displaystyle 24 24 25 25 25 nbsp 26 26 displaystyle 26 26 nbsp und 26 displaystyle 26 nbsp Dezember 2008 Jaroslaw Wroblewski9 displaystyle 9 nbsp 1873321386459914635 13 2 n 1 displaystyle 1873321386459914635 cdot 13 cdot 2 n pm 1 nbsp mit n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 displaystyle n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 nbsp 24 24 24 24 25 displaystyle 24 24 24 24 25 nbsp 25 25 26 displaystyle 25 25 26 nbsp und 26 displaystyle 26 nbsp Dezember 2008 Jaroslaw WroblewskiDie Primzahlzwillings Bi Kette der Lange 9 ist momentan Stand 20 Juni 2017 die langste bekannte Kette Es ist auch gleichzeitig die einzige bekannte Kette dieser Lange Eigenschaften BearbeitenEine Primzahlzwillings Bi Kette der Lange 1 hat die Form n 1 n 1 displaystyle n 1 n 1 nbsp Man nennt sie Primzahlzwilling Jedes der Paare 2 i n 1 2 i n 1 displaystyle 2 i cdot n 1 2 i cdot n 1 nbsp mit 0 i k displaystyle 0 leq i leq k nbsp ist ein Primzahlzwilling Die Zahlen n 1 2 n 1 2 k n 1 displaystyle n 1 2n 1 ldots 2 k n 1 nbsp bilden eine Cunningham Kette der ersten Art mit k 1 displaystyle k 1 nbsp Gliedern Die Zahlen n 1 2 n 1 2 k n 1 displaystyle n 1 2n 1 ldots 2 k n 1 nbsp bilden eine Cunningham Kette der zweiten Art mit k 1 displaystyle k 1 nbsp Gliedern Jede Primzahl der Form 2 i n 1 displaystyle 2 i cdot n 1 nbsp mit 0 i k 1 displaystyle 0 leq i leq k 1 nbsp ist eine Sophie Germain Primzahl Jede Primzahl der Form 2 i n 1 displaystyle 2 i cdot n 1 nbsp mit 1 i k displaystyle 1 leq i leq k nbsp ist eine sichere Primzahl Sei n N displaystyle n in mathbb N nbsp mit n gt 6 displaystyle n gt 6 nbsp sodass n 1 n 1 2 n 1 2 n 1 displaystyle n 1 n 1 2n 1 2n 1 nbsp mindestens eine Primzahlzwillings Bi Kette der Lange 2 ist Dann gilt 6 n 30 k displaystyle n 30k nbsp mit k N displaystyle k in mathbb N nbsp dd Verallgemeinerung BearbeitenEine verallgemeinerte Primzahlzwillings Bi Kette der Lange k 1 displaystyle k 1 nbsp ist eine Primzahlenfolge der Form n 1 n 1 b n 1 b n 1 b k n 1 b k n 1 displaystyle n 1 n 1 b cdot n 1 b cdot n 1 ldots b k cdot n 1 b k cdot n 1 nbsp mit b N displaystyle b in mathbb N nbsp Beispiele Bearbeiten Die grossten verallgemeinerten Primzahlzwillings Bi Ketten der Lange k 1 displaystyle k 1 nbsp sind die folgenden 2 k 1 displaystyle k 1 nbsp grosste bekannte verallgemeinerte Primzahlzwillings Bi Kette der Lange k 1 displaystyle k 1 nbsp Stand 20 Juni 2017 Dezimal stellen Entdeckungs datum Entdecker1 displaystyle 1 nbsp 570323880 16500 673949 b n 1 displaystyle 570323880 cdot frac 16500 673949 cdot b n pm 1 nbsp mit b 8087388 displaystyle b 8087388 nbsp und n 1 2 displaystyle n 1 2 nbsp 7120 displaystyle 7120 nbsp und 7127 displaystyle 7127 nbsp September 2004 Phil Carmody Jens K Andersen2 displaystyle 2 nbsp 2203 2 161 3 66 5 69 7 73 11 23 13 23 17 26 19 23 23 22 29 22 31 22 37 25 41 23 43 25 47 25 53 26 59 25 61 23 b n 1 displaystyle 2203 cdot 2 161 cdot 3 66 cdot 5 69 cdot 7 73 cdot 11 23 cdot 13 23 cdot 17 26 cdot 19 23 cdot 23 22 cdot 29 22 cdot 31 22 cdot 37 25 cdot 41 23 cdot 43 25 cdot 47 25 cdot 53 26 cdot 59 25 cdot 61 23 cdot b n pm 1 nbsp mit b 2 21 3 12 5 11 7 9 11 3 13 3 17 2 19 3 23 4 29 4 31 4 37 3 41 3 43 3 47 3 53 2 59 3 61 3 displaystyle b 2 21 cdot 3 12 cdot 5 11 cdot 7 9 cdot 11 3 cdot 13 3 cdot 17 2 cdot 19 3 cdot 23 4 cdot 29 4 cdot 31 4 cdot 37 3 cdot 41 3 cdot 43 3 cdot 47 3 cdot 53 2 cdot 59 3 cdot 61 3 nbsp und n 1 2 3 displaystyle n 1 2 3 nbsp 1702 1793 displaystyle 1702 1793 nbsp und 1884 displaystyle 1884 nbsp Oktober 2004 Ralph Twain3 displaystyle 3 nbsp 66 630 5 22218733 2 19 317 561857 b n 1 displaystyle frac 66 cdot 630 5 cdot 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Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Primzahlzwillings Bi Kette amp oldid 178918451
