Dihedrale Primzahl

In der Unterhaltungsmathematik ist eine dihedrale Primzahl (vom englischen dihedral prime, auch dihedral calculator prime) eine Primzahl mit der folgenden Eigenschaft: wenn man sie wie bei einem Taschenrechner in einem 7-Segment-Display betrachtet, müssen die folgenden vier Zahlen:

• um 180° gedreht
• horizontal gespiegelt
• horizontal gespiegelt und danach um 180° gedreht

Bei einem 7-Segment-Display sind die Ziffern 2 und 5 dihedrale Primzahlen

alles Primzahlen sein.

Wie schon bei den strobogrammatischen Zahlen sind dihedrale Primzahlen von ihrer Basis abhängig. Üblicherweise wird die Basis betrachtet, also das Dezimalsystem.

Spiegelung und Drehung der Ziffern

Auf 7-Segment-Displays kann man die Ziffern 0 bis 9 und die im Hexadezimalsystem üblichen weiteren Ziffern A bis F darstellen (in der Form AbCdEF, die beiden Ziffern b und d allerdings nur in Kleinbuchstaben).

Die einzigen Ziffern, die für eine dihedrale Primzahl in Frage kommen, sind im Dezimalsystem die Ziffern 0, 1, 2, 5 und 8. Im Hexadezimalsystem kommen noch die Ziffern 3 und E dazu.

Es folgt eine Aufzählung der Eigenschaften der Ziffern 0 bis 9 und der im Hexadezimalsystem üblichen weiteren Ziffern A bis F.

• Die Ziffern 0, 1 und 8 bleiben nach Drehung und Spiegelung gleich. Die 1 wird zwar nach der einer Drehung bzw. einer Spiegelung vom rechten zum linken Rand des 7-Segment-Displays verschoben, letztendlich bleibt es aber noch immer eine 1.
• Die Ziffern 2 und 5 bleiben nach der Drehung gleich, bei der Spiegelung geht die 2 in die 5 über und umgekehrt geht die 5 in die 2 über.
• Die Ziffer 3 wird sowohl nach der Spiegelung als auch nach der Drehung zum E. Umgekehrt wird aus E sowohl nach der Spiegelung als auch nach der Drehung zur 3 und ist für dihedrale Primzahlen im Hexadezimalsystem geeignet.
• Aus der Ziffer 6 wird nach der Drehung eine 9 und umgekehrt wird aus der 9 nach der Drehung eine 6. Allerdings ergeben diese beiden Ziffern nach der Spiegelung keine gültigen Ziffern, somit sind diese beiden Ziffern für dihedrale Primzahlen ungeeignet.
• Die im Hexadezimalsystem verwendete Ziffer A bleibt nach der Spiegelung gleich, gedreht ergibt sie aber keine gültige Ziffer, was sie für dihedrale Primzahlen ungeeignet macht.
• Aus der Hexadezimalziffer b wird nach der Spiegelung ein d und umgekehrt wird aus d nach der Spiegelung ein b. Allerdings ergeben auch diese beiden Ziffern nach der Drehung keine gültigen Ziffern und sind somit ungeeignet.
• Die Ziffern 4, 7, C und F ergeben weder bei der Drehung noch bei der Spiegelung gültige Ziffern und sind somit ungeeignet.

Beispiele

Die kleinste dihedrale Primzahl, die bei jeder Drehung bzw. Spiegelung eine andere Primzahl ergibt

• Die kleinsten dihedralen Primzahlen sind die folgenden:

• Die kleinste dihedrale Primzahl, die bei jeder Drehung bzw. Spiegelung eine andere Primzahl ergibt, ist die Zahl , welche um 180° gedreht die Primzahl , gespiegelt die Primzahl und gespiegelt und um 180° gedreht die Primzahl ergibt.
• Die kleinste dihedrale Primzahl mit allen gültigen Ziffern ist . Es gibt noch 2958 weitere solche Zahlen bis . Die größte dihedrale Primzahl bis mit allen gültigen Ziffern ist .
• Die größte bekannte dihedrale Primzahl ist die folgende (Stand: 5. Februar 2020):

Sie wurde im Jahr 2009 von Darren Bedwell entdeckt und hat 180.055 Stellen.

Wissenswertes

• Strobogrammatische Primzahlen, in welchen keine 6 und keine 9 vorkommen, sind dihedrale Primzahlen.
• Primzahlen, die Repunits sind, sind dihedrale Primzahlen.
• Primzahlpalindrome, in denen nur die Ziffern 0, 1 und 8 vorkommen, sind dihedrale Primzahlen.

Dihedrale Primzahlen in anderen Zahlensystemen

• Im Dualsystem, also im Zahlensystem mit Basis , sind alle Primzahlpalindrome dihedrale Primzahlen.

• Im Hexadezimalsystem, also im Zahlensystem mit Basis , gibt es keine dihedralen Primzahlen, die mit 3 beginnen.

Siehe auch

• Strobogrammatische Zahl
• Tetradische Zahl

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dihedral Prime. In: MathWorld (englisch).
• Chris K. Caldwell: dihedral prime. Prime Pages, abgerufen am 7. Februar 2020 (englisch). 
• dihedral prime. PlanetMath, abgerufen am 7. Februar 2020 (englisch). 
• Check whether N is a Dihedral Prime Number or not. Programme zur Berechnung von Dihedralen Primzahlen. GeeksforGeeks - A computer science portal for geeks, abgerufen am 7. Februar 2020 (englisch). 
• Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Palindrome. Prime Pages, abgerufen am 5. Februar 2020. 

Einzelnachweise

1. Mike Keith: Puzzle 39.- The Mirrorable Numbers. The prime puzzles & problems connection, abgerufen am 5. Februar 2020 (englisch). 
2. Example zu OEIS
3. Comment zu OEIS
4. Patrick De Geest: Palindromic Primes, Page 2. September, 2007. World!Of Numbers, abgerufen am 8. Februar 2020. 

V – D

Primzahl­mengen

formelbasiert	Carol ((2^n − 1)^2 − 2) | Doppelte Mersenne (2^2p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (2^2n + 1) | Kubisch (x^3 − y^3)/(x − y) | Kynea ((2^n + 1)^2 − 2) | Leyland (x^y + y^x) | Mersenne (2^p − 1) | Mills (A^3n) | Pierpont (2^u⋅3^v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2^n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x^4 + y^4) | Thabit (3⋅2^n − 1) | Wagstaff ((2^p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅b^n − 1) | Woodall (n⋅2^n − 1)
Primzahlfolgen	Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin
eigenschaftsbasiert	Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson
basis­abhängig	Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10^n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular
basierend auf Tupel	Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe	Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)