In der Zahlentheorie ist eine pythagoreische Primzahl 1 vom englischen pythagorean prime eine Primzahl p N displaystyle p in mathbb N der Form p 4 n 1 displaystyle p 4n 1 mit n N displaystyle n in mathbb N nicht zu verwechseln mit Pythagoraszahl Ist eine Primzahl keine pythagoreische Primzahl so heisst sie nicht pythagoreische Primzahl Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Das Primrennen zwischen 4n 1 und 4n 3 3 1 Beispiele 4 Zusammenhang mit Gaussschen Primzahlen 5 Quadratische Reste 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenDie kleinsten pythagoreischen Primzahlen sind die folgenden 5 13 17 29 37 41 53 61 73 89 97 101 109 113 137 149 157 173 181 193 197 229 233 241 257 269 277 281 293 313 317 337 349 353 373 389 397 401 409 421 433 449 457 461 509 521 541 557 569 577 593 601 613 617 Folge A002144 in OEIS Eigenschaften BearbeitenJede pythagoreische Primzahl kann als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden Beweis Der Beweis folgt direkt aus Fermatschem Satz uber die Summe von zwei Quadraten Gelegentlich nennt man diesen Satz auch Girard s Theorem 2 dd Beispiel 41 4 2 5 2 displaystyle 41 4 2 5 2 nbsp 101 1 2 10 2 displaystyle 101 1 2 10 2 nbsp dd dd Die Umkehrung der obigen Eigenschaft gilt ebenfalls Ist die Summe von zwei Quadraten eine ungerade Primzahl so ist sie eine pythagoreische Primzahl Beweis Der Beweis folgt ebenfalls direkt aus Fermatschem Satz uber die Summe von zwei Quadraten Fur das Quadrat einer geraden Zahl n 2 k displaystyle n 2k nbsp mit n k Z displaystyle n k in mathbb Z nbsp gilt n 2 2 k 2 4 k 2 0 mod 4 displaystyle n 2 2k 2 4k 2 equiv 0 pmod 4 nbsp Fur das Quadrat einer ungeraden Zahl m 2 k 1 displaystyle m 2k 1 nbsp mit m k Z displaystyle m k in mathbb Z nbsp gilt m 2 2 k 1 2 4 k 2 4 k 1 1 mod 4 displaystyle m 2 2k 1 2 4k 2 4k 1 equiv 1 pmod 4 nbsp Fur ungerade Primzahlen p P displaystyle p in mathbb P nbsp gilt p 1 mod 4 displaystyle p equiv 1 pmod 4 nbsp fur pythagoreische Primzahlen oder p 3 mod 4 displaystyle p equiv 3 pmod 4 nbsp fur nicht pythagoreische Primzahlen Die Summe von zwei Quadratzahlen ist aus obigen Grunden immer 0 mod 4 displaystyle equiv 0 pmod 4 nbsp 1 mod 4 displaystyle equiv 1 pmod 4 nbsp oder 2 mod 4 displaystyle equiv 2 pmod 4 nbsp aber niemals 3 mod 4 displaystyle equiv 3 pmod 4 nbsp Ist sie also eine ungerade Primzahl so bleibt nur 1 mod 4 displaystyle equiv 1 pmod 4 nbsp ubrig und das sind genau die pythagoreischen Primzahlen displaystyle Box nbsp dd dd Fur jede pythagoreische Primzahl p P displaystyle p in mathbb P nbsp gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlange p displaystyle sqrt p nbsp welches ganzzahlige Kathetenlangen hat 3 nbsp Die pythagoreische Primzahl p 5 displaystyle p 5 nbsp und seine Quadratwurzel als Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken und wie man aus dem kleinen Dreieck das grosse berechnen kannBeweis Siehe Satz des Pythagoras dd dd Ist die Primzahl p P displaystyle p in mathbb P nbsp die Hypotenusenlange eines rechtwinkligen Dreiecks so ist p displaystyle p nbsp eine pythagoreische Primzahl und grosster Teil eines pythagoreischen Tripels Es gibt unendlich viele pythagoreische Primzahlen Beweis Siehe Dirichletscher Primzahlsatz dd dd Das Primrennen zwischen 4n 1 und 4n 3 BearbeitenSei x N displaystyle x in mathbb N nbsp Dann gilt Die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen der Form 4 n 1 displaystyle 4n 1 nbsp bis x displaystyle x nbsp ist annahernd gleich wie die Anzahl der nicht pythagoreischen Primzahlen der Form 4 n 3 displaystyle 4n 3 nbsp bis x displaystyle x nbsp Im Speziellen ist die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen bis x displaystyle x nbsp oft etwas kleiner Dieses Phanomen nennt man auf Englisch Chebyshev s bias en und stammt vom Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow 4 5 Beispiele Bearbeiten Bis x 600000 displaystyle x 600000 nbsp gibt es nur zwei Zahlen unter denen mehr pythagoreische Primzahlen der Form 4 n 1 displaystyle 4n 1 nbsp als nicht pythagoreische ungerade Primzahlen der Form 4 n 3 displaystyle 4n 3 nbsp existieren namlich 26861 displaystyle 26861 nbsp und 26862 displaystyle 26862 nbsp Zwischen 26863 displaystyle 26863 nbsp und 26878 displaystyle 26878 nbsp sind es gleich viele und ab 26879 displaystyle 26879 nbsp gibt es wieder mehr nicht pythagoreische ungerade Primzahlen Die folgende Liste zeigt an wann ein Fuhrungswechsel im Rennen pythagoreische Primzahlen gegen nicht pythagoreische ungerade Primzahlen stattfindet auf englisch Where prime race 4n 1 vs 4n 1 changes leader 3 26861 26879 616841 617039 617269 617471 617521 617587 617689 617723 622813 623387 623401 623851 623933 624031 624097 624191 624241 624259 626929 626963 627353 627391 627449 627511 627733 627919 628013 628427 628937 629371 Folge A007350 in OEIS Zusammenhang mit Gaussschen Primzahlen BearbeitenDie Norm einer Gaussschen Zahl der Form x i y displaystyle x mathrm i cdot y nbsp ist x i y x 2 y 2 displaystyle x mathrm i cdot y x 2 y 2 nbsp Es gilt Eine pythagoreische Primzahl inklusive der Primzahl p 2 displaystyle p 2 nbsp kann immer als Norm einer Gaussschen ganzen Zahl dargestellt werden Ungerade nicht pythagoreische Primzahlen konnen das nicht Eine pythagoreische Primzahl ist keine Primzahl in der Menge der Gaussschen Primzahlen Der Realteil x displaystyle x nbsp und der Imaginarteil y displaystyle y nbsp ihrer Primfaktoren in dieser Faktorisierung sind die Kathetenlangen des rechtwinkligen Dreiecks mit gegebener Hypotenusenlange p displaystyle p nbsp Beweis Es kann jede pythagoreische Primzahl p x 2 y 2 displaystyle p x 2 y 2 nbsp zerlegt werden in p x 2 y 2 x i y x i y displaystyle p x 2 y 2 x mathrm i cdot y cdot x mathrm i cdot y nbsp dd dd Vergleiche dazu auch die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis Quadratische Reste BearbeitenSeien p q P displaystyle p q in mathbb P nbsp zwei verschiedene ungerade Primzahlen wobei mindestens eine der beiden eine pythagoreische Primzahl sein soll Dann gilt 6 p displaystyle p nbsp ist quadratischer Rest modulo q displaystyle q nbsp genau dann wenn q displaystyle q nbsp quadratischer Rest modulo p displaystyle p nbsp ist dd Mit anderen Worten Seien p q P displaystyle p q in mathbb P nbsp mit p gt 2 q gt 2 p q displaystyle p gt 2 q gt 2 p not q nbsp und p 1 mod 4 displaystyle p equiv 1 pmod 4 nbsp Dann gilt mit dem Legendre Symbol p q 1 q p 1 displaystyle left frac p q right 1 Longleftrightarrow left frac q p right 1 nbsp dd Beispiel Sei p 37 1 mod 4 displaystyle p 37 equiv 1 pmod 4 nbsp und q 47 3 mod 4 displaystyle q 47 equiv 3 pmod 4 nbsp Dann ist 15 2 225 37 mod 47 displaystyle 15 2 225 equiv 37 pmod 47 nbsp und somit ist 37 displaystyle 37 nbsp quadratischer Rest modulo 47 displaystyle 47 nbsp Umgekehrt ist 11 2 121 84 47 10 mod 37 displaystyle 11 2 121 equiv 84 equiv 47 equiv 10 pmod 37 nbsp und somit ist 47 displaystyle 47 nbsp quadratischer Rest modulo 37 displaystyle 37 nbsp dd Seien p q P displaystyle p q in mathbb P nbsp zwei verschiedene ungerade Primzahlen wobei beide nicht pythagoreische Primzahlen sein sollen Dann gilt 6 p displaystyle p nbsp ist quadratischer Rest modulo q displaystyle q nbsp genau dann wenn q displaystyle q nbsp kein quadratischer Rest modulo p displaystyle p nbsp ist dd Mit anderen Worten Seien p q P displaystyle p q in mathbb P nbsp mit p gt 2 q gt 2 p q displaystyle p gt 2 q gt 2 p not q nbsp und p q 3 mod 4 displaystyle p q equiv 3 pmod 4 nbsp Dann gilt p q 1 q p 1 displaystyle left frac p q right 1 Longleftrightarrow left frac q p right 1 nbsp dd Beispiel Sei p 47 3 mod 4 displaystyle p 47 equiv 3 pmod 4 nbsp und q 43 3 mod 4 displaystyle q 43 equiv 3 pmod 4 nbsp Dann ist 41 2 1681 47 4 mod 43 displaystyle 41 2 1681 equiv 47 equiv 4 pmod 43 nbsp und somit ist 47 displaystyle 47 nbsp quadratischer Rest modulo 43 displaystyle 43 nbsp Umgekehrt gibt es aber kein x displaystyle x nbsp mit x 2 43 mod 47 displaystyle x 2 equiv 43 pmod 47 nbsp und somit ist 43 displaystyle 43 nbsp kein quadratischer Rest modulo 47 displaystyle 47 nbsp dd Siehe auch BearbeitenQuadratisches ReziprozitatsgesetzWeblinks BearbeitenLaurence Eaves 5 13 and 137 are Pythagorean Primes Numberphile abgerufen am 27 Juni 2018 Pythagorean Prime In PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten Zur Schreibweise Im aktuellen Duden Das grosse Worterbuch der deutschen Sprache in zehn Banden ISBN 3 411 70360 1 wird das Adjektiv pythagoreisch in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise pythagoraisch als osterreichische Sonderform bezeichnet Leonard Eugene Dickson History of the Theory of Numbers Volume II Diophantine Analysis Chapter VI Carnegie Institution of Washington Publication No 256 Vol II S 228 englisch Textarchiv Internet Archive John Stillwell Elements of Number Theory Undergraduate Texts in Mathematics 2003 S 112 abgerufen am 28 Juni 2018 englisch Eric W Weisstein Chebyshev Bias In MathWorld englisch Michael Rubinstein Peter Sarnak Chebyshev s bias In Experimental Mathematics 1994 3 3 S 173 197 projecteuclid org PDF abgerufen am 28 Juni 2018 a b math uni bielefeld de PDF 117 kB Universitat BielefeldV DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pythagoreische Primzahl amp oldid 217072307
