In der Zahlentheorie ist eine quartische Primzahl vom englischen quartan prime eine Primzahl der Form p x 4 y 4 displaystyle p x 4 y 4 mit ganzzahligen x gt 0 displaystyle x gt 0 und y gt 0 displaystyle y gt 0 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Siehe auch 4 Einzelnachweise 5 Weblinks 6 QuellenBeispiele BearbeitenDie Zahl 2 1 1 1 4 1 4 displaystyle 2 1 1 1 4 1 4 nbsp ist eine quartische Primzahl Die Zahl 97 16 81 2 4 3 4 displaystyle 97 16 81 2 4 3 4 nbsp ist eine quartische Primzahl Die kleinsten quartischen Primzahlen lauten 2 17 97 257 337 641 881 1297 2417 2657 3697 4177 4721 6577 10657 12401 14657 14897 15937 16561 28817 38561 39041 49297 54721 65537 65617 66161 66977 80177 83537 83777 89041 105601 107377 119617 121937 Folge A002645 in OEIS dd Die momentan grosste bekannte quartische Primzahl Stand 17 Juni 2018 ist gleichzeitig die grosste bekannte verallgemeinerte Fermatsche Primzahl namlichp 919444 1048576 1 919444 262144 4 1 4 displaystyle p 919444 1048576 1 919444 262144 4 1 4 nbsp dd Sie hat 6 253 210 displaystyle 6 253 210 nbsp Stellen und wurde am 29 August 2017 von Sylvanus A Zimmerman USA entdeckt 1 2 Eigenschaften BearbeitenSei p P displaystyle p in mathbb P nbsp mit p gt 2 displaystyle p gt 2 nbsp eine ungerade quartische Primzahl Dann gilt 3 p 16 n 1 displaystyle p 16n 1 nbsp mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp dd Mit anderen Worten p 1 mod 16 displaystyle p equiv 1 pmod 16 nbsp dd Sei p x 4 y 4 P displaystyle p x 4 y 4 in mathbb P nbsp mit p gt 2 displaystyle p gt 2 nbsp eine ungerade quartische Primzahl Dann gilt Wenn x displaystyle x nbsp ungerade ist muss y displaystyle y nbsp gerade sein oder umgekehrt Beweis Angenommen sowohl x displaystyle x nbsp als auch y displaystyle y nbsp sind gerade Dann ware auch x 4 displaystyle x 4 nbsp und y 4 displaystyle y 4 nbsp gerade und somit ware auch p x 4 y 4 displaystyle p x 4 y 4 nbsp als Summe von zwei geraden Zahlen eine gerade Primzahl Wegen p gt 2 displaystyle p gt 2 nbsp kann dies aber nicht sein Angenommen sowohl x displaystyle x nbsp als auch y displaystyle y nbsp sind ungerade Dann ware auch x 4 displaystyle x 4 nbsp und y 4 displaystyle y 4 nbsp ungerade und somit ware p x 4 y 4 displaystyle p x 4 y 4 nbsp als Summe von zwei ungeraden Zahlen eine gerade Primzahl Wegen p gt 2 displaystyle p gt 2 nbsp kann dies aber nicht sein Somit bleibt nur ubrig dass entweder x displaystyle x nbsp oder y displaystyle y nbsp ungerade und die jeweils andere gerade ist displaystyle Box nbsp dd Weil jede gerade Zahl hoch 4 durch 16 teilbar ist und jede ungerade Zahl hoch 4 bei der Division durch 16 den Rest 1 hat gilt p g 4 u 4 0 1 1 mod 16 displaystyle p g 4 u 4 equiv 0 1 1 pmod 16 nbsp dd Ausser der 2 enden alle quartischen Primzahlen im Dezimalsystem mit der Endziffer 1 oder 7 Alle Biquadrate von geraden Zahlen endet mit der Ziffer 0 falls diese durch 10 teilbar sind z displaystyle z nbsp andernfalls mit der Endziffer 6 g displaystyle g nbsp Alle Biquadrate von ungeraden Zahlen endet mit der Ziffer 5 falls diese durch 5 teilbar sind f displaystyle f nbsp andernfalls mit der Endziffer 1 u displaystyle u nbsp z 4 u 4 0 1 1 mod 10 displaystyle z 4 u 4 equiv 0 1 equiv 1 pmod 10 nbsp z 4 f 4 0 5 5 mod 10 displaystyle z 4 f 4 equiv 0 5 equiv 5 pmod 10 nbsp keine Primzahlen weil durch 5 teilbar g 4 u 4 6 1 7 mod 10 displaystyle g 4 u 4 equiv 6 1 equiv 7 pmod 10 nbsp g 4 f 4 6 5 1 mod 10 displaystyle g 4 f 4 equiv 6 5 equiv 1 pmod 10 nbsp dd dd Siehe auch BearbeitenBiquadratEinzelnachweise Bearbeiten 9194441048576 1 auf Prime Pages 9194441048576 1 auf primegrid com PDF A J C Cunningham High quartan factorisations and primes Messenger of Mathematics 36 1907 S 145 174 abgerufen am 7 Juli 2018 englisch Weblinks BearbeitenNeil Sloane A Handbook of Integer Sequences Abgerufen am 27 Mai 2018 englisch Quellen BearbeitenNeil Sloane A Handbook of Integer Sequences Academic Press Inc New York 1973 ISBN 1 4832 4665 5 S 205 V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quartische Primzahl amp oldid 239351957
