In der Unterhaltungsmathematik ist eine Keith Zahl englisch Keith number aber auch repfigit number kurz fur repetitive Fibonacci like digit eine naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N die durch ihre Ziffern eine spezielle mathematische Folge definiert und in ihr enthalten ist Sei n N displaystyle n in mathbb N eine naturliche Zahl mit k displaystyle k Ziffern d k 1 d k 2 d 1 d 0 displaystyle d k 1 d k 2 ldots d 1 d 0 also n i 0 k 1 10 i d i displaystyle n sum i 0 k 1 10 i d i Sei S n displaystyle S n eine mathematische Folge die mit den Werten d k 1 d k 2 d 1 d 0 displaystyle d k 1 d k 2 ldots d 1 d 0 beginnt Jedes weitere Folgenglied ist die Summe der vorhergehenden k displaystyle k Folgenglieder Wenn die Zahl n displaystyle n in dieser Folge S n displaystyle S n enthalten ist dann ist n displaystyle n eine Keith Zahl Weil einstellige Zahlen diese Eigenschaft trivialerweise erfullen werden diese ublicherweise nicht als Keith Zahlen akzeptiert Es muss also n 10 displaystyle n geq 10 sein Der Mathematiker Mike Keith en hat sich im Jahr 1997 als Erster mit diesen Zahlen beschaftigt 1 2 Es sind keine schnellen Techniken zur Berechnung von Keith Zahlen bekannt mit Ausnahme der oben genannten Methode Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Vermutungen 4 Keith Primzahlen 4 1 Beispiele 5 Verallgemeinerungen 5 1 Beispiele 6 Umgekehrte Keith Zahlen 6 1 Beispiele 7 Einzelnachweise 8 WeblinksBeispiele BearbeitenSei n displaystyle n nbsp die 3 displaystyle 3 nbsp stellige Zahl n 742 displaystyle n 742 nbsp Dann lauten die ersten Folgenglieder s n displaystyle s n nbsp der Folge S n displaystyle S n nbsp wie folgt 7 4 2 13 19 34 66 119 219 404 742 1365 2511 4618 8494 15623 28735 52852 dd Dabei ist das Folgenglied s i displaystyle s i nbsp die Summe der drei vorhergehenden Glieder s i 3 s i 2 displaystyle s i 3 s i 2 nbsp und s i 1 displaystyle s i 1 nbsp Es ist also s i s i 3 s i 2 s i 1 displaystyle s i s i 3 s i 2 s i 1 nbsp Zum Beispiel ist 742 119 219 404 displaystyle 742 119 219 404 nbsp Weil die 3 displaystyle 3 nbsp stellige Zahl n 742 displaystyle n 742 nbsp in dieser Folge enthalten ist ist n 742 displaystyle n 742 nbsp eine Keith Zahl Sei n displaystyle n nbsp die 5 displaystyle 5 nbsp stellige Zahl n 34285 displaystyle n 34285 nbsp Dann lauten die ersten Folgenglieder s n displaystyle s n nbsp der Folge S n displaystyle S n nbsp wie folgt 3 4 2 8 5 22 41 78 154 300 595 1168 2295 4512 8870 17440 34285 67402 132509 260506 512142 1006844 dd Dabei ist das Folgenglied s i displaystyle s i nbsp die Summe der funf vorhergehenden Glieder s i 5 s i 4 s i 3 s i 2 displaystyle s i 5 s i 4 s i 3 s i 2 nbsp und s i 1 displaystyle s i 1 nbsp Es ist also s i s i 5 s i 4 s i 3 s i 2 s i 1 displaystyle s i s i 5 s i 4 s i 3 s i 2 s i 1 nbsp Zum Beispiel ist 4512 154 300 595 1168 2295 displaystyle 4512 154 300 595 1168 2295 nbsp Weil die 5 displaystyle 5 nbsp stellige Zahl n 34285 displaystyle n 34285 nbsp in dieser Folge enthalten ist ist n 34285 displaystyle n 34285 nbsp eine Keith Zahl Die ersten Keith Zahlen lauten 14 19 28 47 61 75 197 742 1104 1537 2208 2580 3684 4788 7385 7647 7909 31331 34285 34348 55604 62662 86935 93993 120284 129106 147640 156146 174680 183186 298320 355419 694280 925993 1084051 7913837 11436171 33445755 44121607 Folge A007629 in OEIS dd Nimmt man die einstelligen trivialen Keith Zahlen dazu erhalt man die Folge A130010 in OEIS Die Anzahl der Keith Zahlen mit k 1 2 3 displaystyle k 1 2 3 ldots nbsp Stellen kann man der folgenden Liste entnehmen die Null zu Beginn gilt nur wenn man die einstelligen trivialen Keith Zahlen nicht dazunimmt 0 6 2 9 7 10 2 3 2 0 2 4 2 3 3 3 5 3 5 3 1 1 3 1 1 3 7 1 2 5 2 4 6 3 Folge A050235 in OEIS Beispiel Der obigen Liste kann man an der 17 Stelle die Zahl 5 displaystyle 5 nbsp entnehmen Das heisst es gibt genau 5 displaystyle 5 nbsp Keith Zahlen welche 17 Stellen haben fur die also 10 17 n lt 10 18 displaystyle 10 17 leq n lt 10 18 nbsp gilt dd dd dd Es gibt nur 99 Keith Zahlen welche 30 oder weniger Stellen besitzen Die 99 Keith Zahl hat 30 Stellen und ist n 534139807526361917710268232010 displaystyle n 534139807526361917710268232010 nbsp 3 Die momentan Stand 30 Dezember 2018 grosste bekannte Keith Zahl ist die folgende 4 3 n 5752090994058710841670361653731519 displaystyle n 5752090994058710841670361653731519 nbsp dd Diese Zahl n displaystyle n nbsp hat 34 Stellen und wurde von Daniel Lichtblau am 26 August 2009 entdeckt Eigenschaften BearbeitenEs gibt keine Keith Zahlen die gleichzeitig Repdigits sind also nur aus denselben Ziffern bestehen 4 Vermutungen BearbeitenEs wird vermutet dass es unendlich viele Keith Zahlen gibt 3 Keith behauptet aufgrund von Erfahrungswerten dass es 9 10 log 2 10 2 99 displaystyle textstyle frac 9 10 log 2 10 approx 2 99 nbsp Keith Zahlen zwischen 10 k displaystyle 10 k nbsp und 10 k 1 displaystyle 10 k 1 nbsp fur k N displaystyle k in mathbb N nbsp gibt 2 Es gibt keine 10 displaystyle 10 nbsp stelligen Keith Zahlen Es wird vermutet dass es noch weitere k displaystyle k nbsp gibt fur welche es keine k displaystyle k nbsp stelligen Keith Zahlen gibt 2 Man definiere einen Keith Cluster als eine Menge von zwei oder mehr Keith Zahlen mit exakt gleich vielen Stellen bei der alle Keith Zahlen ganzzahlige Vielfache der ersten Keith Zahl in diesem Cluster sind Es sind nur drei solche Cluster bekannt 14 28 1104 2208 displaystyle 14 28 1104 2208 nbsp und 31331 62662 93993 displaystyle 31331 62662 93993 nbsp dd Keith vermutet dass diese drei Cluster die einzigen sind Er gibt aber zu keine Ahnung zu haben wie man das beweisen konnte 2 Keith Primzahlen BearbeitenEine Keith Zahl die prim ist nennt man Keith Primzahl Beispiele Bearbeiten Die kleinsten Keith Primzahlen sind die folgenden 19 47 61 197 1084051 74596893730427 Folge A048970 in OEIS dd Verallgemeinerungen BearbeitenBisher wurden nur Keith Zahlen im Dezimalsystem also zur Basis b 10 displaystyle b 10 nbsp behandelt Die Keith Zahl n 47 displaystyle n 47 nbsp ware zum Beispiel zur Basis b 8 displaystyle b 8 nbsp die Zahl n 47 5 8 1 7 8 0 57 8 displaystyle n 47 underline 5 cdot 8 1 underline 7 cdot 8 0 57 8 nbsp und mit dieser Basis b 8 displaystyle b 8 nbsp hatte man keine Keith Zahl die dazugehorige Folge ware 5 8 7 8 14 8 23 8 37 8 62 8 displaystyle 5 8 7 8 14 8 23 8 37 8 62 8 ldots nbsp und man kann erkennen dass n 57 8 displaystyle n 57 8 nbsp keine Keith Zahl ist weil sie in der Folge nicht vorkommt Daher spielt die jeweilige Basis eine grosse Rolle bei Keith Zahlen Eine Keith Zahl zur Basis b displaystyle b nbsp ist eine naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp die durch ihre Ziffern zur Basis b displaystyle b nbsp eine spezielle mathematische Folge definiert und in ihr enthalten ist Beispiele Bearbeiten Sei n 49 12 displaystyle n 49 12 nbsp eine Zahl im Duodezimalsystem also zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp Dann erhalt man folgende Folge dabei ist aus Ermangelung an weiteren Ziffern A 10 displaystyle A 10 nbsp und B 11 displaystyle B 11 nbsp n 4 12 9 12 11 12 1 A 12 2 B 12 49 12 78 12 displaystyle n 4 12 9 12 11 12 1A 12 2B 12 49 12 78 12 ldots nbsp dd Man kann erkennen dass die Zahl n 49 12 displaystyle n 49 12 nbsp tatsachlich in der Folge vorkommt Somit ist n 49 12 displaystyle n 49 12 nbsp eine Keith Zahl zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp Die folgenden Zahlen sind die kleinsten Keith Zahlen zur Basis b 12 displaystyle b 12 nbsp also im Duodezimalsystem 11 15 1B 22 2A 31 33 44 49 55 62 66 77 88 93 99 AA BB 125 215 24A 405 42A 654 80A 8A3 A59 1022 1662 2044 3066 4088 4A1A 4AB1 50AA 8538 B18B 17256 18671 24A78 4718B 517BA 157617 1A265A 5A4074 5AB140 6B1449 6B8515 dd Umgekehrte Keith Zahlen BearbeitenSei n N displaystyle n in mathbb N nbsp eine naturliche Zahl mit k N displaystyle k in mathbb N nbsp Ziffern d k 1 d k 2 d 1 d 0 displaystyle d k 1 d k 2 ldots d 1 d 0 nbsp also n i 0 k 1 10 i d i displaystyle n sum i 0 k 1 10 i d i nbsp Sei S n displaystyle S n nbsp eine mathematische Folge die mit den Werten d k 1 d k 2 d 1 d 0 displaystyle d k 1 d k 2 ldots d 1 d 0 nbsp beginnt Jedes weitere Folgenglied ist die Summe der vorhergehenden k displaystyle k nbsp Folgenglieder Wenn die Zahl n displaystyle n nbsp in dieser Folge S n displaystyle S n nbsp in umgekehrter Reihenfolge also mit vertauschten Ziffern enthalten ist dann ist n displaystyle n nbsp eine umgekehrte Keith Zahl englisch reverse Keith number aber auch revrepfigit number kurz fur reverse replicating Fibonacci like digit Weil einstellige Zahlen diese Eigenschaft trivialerweise erfullen werden diese ublicherweise nicht als umgekehrte Keith Zahlen akzeptiert Es muss also n 10 displaystyle n geq 10 nbsp sein 3 Es ist nicht bekannt ob es unendlich viele umgekehrte Keith Zahlen gibt 3 Beispiele Bearbeiten Sei n displaystyle n nbsp die 3 displaystyle 3 nbsp stellige Zahl n 341 displaystyle n 341 nbsp Dann lauten die ersten Folgenglieder s n displaystyle s n nbsp der Folge S n displaystyle S n nbsp wie folgt 3 4 1 8 13 22 43 78 143 264 485 892 1641 3018 5551 dd Dabei ist das Folgenglied s i displaystyle s i nbsp die Summe der drei vorhergehenden Glieder s i 3 s i 2 displaystyle s i 3 s i 2 nbsp und s i 1 displaystyle s i 1 nbsp Es ist also s i s i 3 s i 2 s i 1 displaystyle s i s i 3 s i 2 s i 1 nbsp Zum Beispiel ist 485 78 143 264 displaystyle 485 78 143 264 nbsp Weil die 3 displaystyle 3 nbsp stellige Zahl m 143 displaystyle m 143 nbsp in dieser Folge enthalten ist und m 143 displaystyle m 143 nbsp genau die umgekehrte Ziffernfolge von n 341 displaystyle n 341 nbsp ist ist n 341 displaystyle n 341 nbsp eine umgekehrte Keith Zahl Die folgenden Zahlen sind die kleinsten umgekehrten Keith Zahlen 3 12 24 36 48 52 71 341 682 1285 5532 8166 17593 28421 74733 90711 759664 901921 1593583 4808691 6615651 6738984 8366363 8422611 26435142 54734431 57133931 79112422 89681171 351247542 428899438 489044741 578989902 Folge A097060 in OEIS dd Man beachte dass es keine umgekehrten Keith Zahlen gibt die mit einer Null enden Diese sind nicht erlaubt zumal diese Nullen wenn man die Ziffern der Zahl umdreht zu Beginn waren und eine Null zu Beginn nicht erlaubt ist Die folgenden Zahlen sind die kleinsten umgekehrten Keith Primzahlen 3 71 1593583 54734431 dd Einzelnachweise Bearbeiten Mike Keith Repfigit Numbers Hrsg J Recr Math Band 19 Nr 2 1987 S 41 42 a b c d Mike Keith Keith Numbers Abgerufen am 30 Dezember 2018 englisch a b c d e f g Eric W Weisstein Keith Number In MathWorld englisch a b Jhon J Bravo Sergio Guzman Florian Luca Repdigit Keith numbers Lithuanian Mathematical Journal 53 2 2013 S 143 148 abgerufen am 30 Dezember 2018 englisch Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Keith Number In MathWorld englisch Eric W Weisstein Repfigit Number In MathWorld englisch Martin Klazar Florian Luca Counting Keith numbers Journal of Integer Sequences 10 2 2007 S 1 10 abgerufen am 30 Dezember 2018 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Keith Zahl amp oldid 225186334 Keith Primzahlen
