In der Zahlentheorie ist eine Stern Primzahl vom englischen stern prime eine Primzahl p displaystyle p welche sich nicht als Summe einer kleineren Primzahl und dem Doppelten eines Quadrats einer ganzen Zahl b 0 displaystyle b not 0 darstellen lasst 1 2 3 Mit anderen Worten Gibt es fur eine Primzahl p displaystyle p keine kleinere Primzahl q displaystyle q und keine ganze Zahl b 0 displaystyle b not 0 so dass p q 2 b 2 displaystyle p q 2b 2 gilt dann nennt man p displaystyle p Stern Primzahl Etwas umformuliert erhalt man Eine Primzahl p displaystyle p nennt man Stern Primzahl wenn p 2 b 2 P displaystyle p 2b 2 not in mathbb P keine Primzahl ergibt fur alle ganzzahligen b 0 displaystyle b not 0 Diese Zahlen wurden erstmals am 18 November 1752 von Christian Goldbach in einem Brief an Leonhard Euler erwahnt er vermutete damals dass jede ungerade ganze Zahl die Form q 2 b 2 displaystyle q 2b 2 mit ganzzahligem b displaystyle b und primen q displaystyle q hat und etwa ein Jahrhundert spater im Jahr 1856 vom deutschen Mathematiker Moritz Stern genauer untersucht nach dem diese Zahlen auch benannt wurden 2 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Wissenswertes 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenSei p 137 displaystyle p 137 nbsp Dann kann man von dieser Primzahl p displaystyle p nbsp die ersten doppelten Quadratzahlen 2 b 2 displaystyle 2b 2 nbsp subtrahieren und kontrollieren ob man eine Primzahl q displaystyle q nbsp erhalt 137 2 1 2 135 3 3 5 P displaystyle 137 2 cdot 1 2 135 3 3 cdot 5 not in mathbb P nbsp ist keine Primzahl 137 2 2 2 129 3 43 P displaystyle 137 2 cdot 2 2 129 3 cdot 43 not in mathbb P nbsp ist keine Primzahl 137 2 3 2 119 7 17 P displaystyle 137 2 cdot 3 2 119 7 cdot 17 not in mathbb P nbsp ist keine Primzahl 137 2 4 2 105 3 5 7 P displaystyle 137 2 cdot 4 2 105 3 cdot 5 cdot 7 not in mathbb P nbsp ist keine Primzahl 137 2 5 2 87 3 29 P displaystyle 137 2 cdot 5 2 87 3 cdot 29 not in mathbb P nbsp ist keine Primzahl 137 2 6 2 65 5 13 P displaystyle 137 2 cdot 6 2 65 5 cdot 13 not in mathbb P nbsp ist keine Primzahl 137 2 7 2 39 3 13 P displaystyle 137 2 cdot 7 2 39 3 cdot 13 not in mathbb P nbsp ist keine Primzahl 137 2 8 2 9 3 2 P displaystyle 137 2 cdot 8 2 9 3 2 not in mathbb P nbsp ist keine Primzahl 137 2 9 2 25 lt 0 displaystyle 137 2 cdot 9 2 25 lt 0 nbsp dd Offensichtlich gibt es kein b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp sodass 137 2 b 2 P displaystyle 137 2 cdot b 2 in mathbb P nbsp eine Primzahl ist Somit ist p 137 displaystyle p 137 nbsp eine Stern Primzahl Sei p 97 displaystyle p 97 nbsp Wieder kontrolliert man ob man mit obigem Verfahren eine Primzahl q displaystyle q nbsp erhalt 97 2 1 2 95 5 19 P displaystyle 97 2 cdot 1 2 95 5 cdot 19 not in mathbb P nbsp ist keine Primzahl 97 2 2 2 89 P displaystyle 97 2 cdot 2 2 89 in mathbb P nbsp ist eine Primzahl dd Man kann die Berechnung unterbrechen weil man eine Primzahl q 89 displaystyle q 89 nbsp und ein b 2 0 displaystyle b 2 not 0 nbsp gefunden hat sodass 97 2 b 2 q P displaystyle 97 2 cdot b 2 q in mathbb P nbsp eine Primzahl ist Somit ist p 97 displaystyle p 97 nbsp keine Stern Primzahl Diese so errechnete Primzahl q 89 displaystyle q 89 nbsp ist in diesem Fall nicht die einzige Primzahl die man auf diese Art erhalten kann Ebenso ergibt auch 97 2 3 2 79 P displaystyle 97 2 cdot 3 2 79 in mathbb P nbsp und 97 2 5 2 47 P displaystyle 97 2 cdot 5 2 47 in mathbb P nbsp eine Primzahl Es gibt fur p 97 displaystyle p 97 nbsp also drei Moglichkeiten dass man mit p 2 b 2 displaystyle p 2 cdot b 2 nbsp eine Primzahl erhalten kann Diese Darstellungen nennt man Goldbach Darstellungen von p 97 displaystyle p 97 nbsp Die einzigen bekannten Stern Primzahlen sind die folgenden 2 3 17 137 227 977 1187 1493 Folge A042978 in OEIS dd Es gibt bis 2 10 13 displaystyle 2 cdot 10 13 nbsp keine weiteren Stern Primzahlen Es ist unbekannt ob es grossere gibt 1 Die folgende Liste gibt alle bekannten ungeraden Zahlen n displaystyle n nbsp an nicht notwendigerweise Primzahlen welche keine Goldbach Darstellungen haben welche also nicht von der Form n q 2 b 2 displaystyle n q 2b 2 nbsp mit primen q displaystyle q nbsp sind 1 3 17 137 227 977 1187 1493 5777 5993 Folge A060003 in OEIS dd Diese Zahlen nennt man Stern Zahlen Nur zwei dieser Zahlen sind keine Primzahlen namlich 5777 und 5993 Wie oben schon erwahnt hat eine Zahl Zahl n displaystyle n nbsp oft mehrere Goldbach Darstellungen Die folgende Liste gibt die kleinste Zahl n displaystyle n nbsp an die k displaystyle k nbsp Goldbach Darstellungen hat mit aufsteigendem k 1 2 3 displaystyle k 1 2 3 ldots nbsp wobei auch p 1 displaystyle p 1 nbsp und b 0 displaystyle b 0 nbsp erlaubt ist 1 3 13 19 55 61 139 139 181 181 391 439 559 619 619 829 859 1069 1081 1459 1489 1609 1741 1951 2029 2341 2341 3331 3331 3331 3961 4189 4189 4261 4801 4801 5911 5911 5911 6319 6319 6319 8251 8251 8251 8251 8251 Folge A007697 in OEIS Beispiel An der siebenten und achten Stelle der obigen Liste steht die Zahl n 139 displaystyle n 139 nbsp Tatsachlich gibt es fur diese Zahl in diesem Fall eine Primzahl acht verschiedene und somit auch sieben verschiedene Goldbach Darstellungen so viel wie keine andere kleinere Zahl vorher bis zu dieser Zahl hatte n 61 displaystyle n 61 nbsp den Rekord mit sechs Goldbach Darstellungen 139 139 2 0 2 displaystyle 139 139 2 cdot 0 2 nbsp mit 139 P displaystyle 139 in mathbb P nbsp ist aber genau genommen laut der Definition von Stern Primzahlen nicht erlaubt weil b 0 displaystyle b 0 nbsp 139 137 2 1 2 displaystyle 139 137 2 cdot 1 2 nbsp mit 137 P displaystyle 137 in mathbb P nbsp 139 131 2 2 2 displaystyle 139 131 2 cdot 2 2 nbsp mit 131 P displaystyle 131 in mathbb P nbsp 139 121 2 3 2 displaystyle 139 121 2 cdot 3 2 nbsp mit 121 11 2 P displaystyle 121 11 2 not in mathbb P nbsp also keine Goldbach Darstellung 139 107 2 4 2 displaystyle 139 107 2 cdot 4 2 nbsp mit 107 P displaystyle 107 in mathbb P nbsp 139 89 2 5 2 displaystyle 139 89 2 cdot 5 2 nbsp mit 89 P displaystyle 89 in mathbb P nbsp 139 67 2 6 2 displaystyle 139 67 2 cdot 6 2 nbsp mit 67 P displaystyle 67 in mathbb P nbsp 139 41 2 7 2 displaystyle 139 41 2 cdot 7 2 nbsp mit 41 P displaystyle 41 in mathbb P nbsp 139 11 2 8 2 displaystyle 139 11 2 cdot 8 2 nbsp mit 11 P displaystyle 11 in mathbb P nbsp dd dd dd dd Wissenswertes BearbeitenBei Primzahlzwillingen p p 2 displaystyle p p 2 nbsp hat die grossere der beiden Primzahlen die Goldbach Darstellung p 2 p 2 1 2 displaystyle p 2 p 2 cdot 1 2 nbsp Bei Primzahlvierlingen p p 2 p 6 p 8 displaystyle p p 2 p 6 p 8 nbsp hat die grosste dieser vier Primzahlen die Goldbach Darstellung p 8 p 2 2 2 displaystyle p 8 p 2 cdot 2 2 nbsp Schon Leonhard Euler vermutete dass je grosser eine Primzahl p displaystyle p nbsp ist desto mehr Goldbach Darstellungen der Form p q 2 b 2 displaystyle p q 2b 2 nbsp gibt es fur diese Zahl Deswegen war schon er der Meinung dass die obige kurze Liste der 8 Stern Primzahlen alle Stern Primzahlen sind die existieren Goldbach vermutete in seinem Brief an Leonhard Euler dass jede ungerade ganze Zahl n displaystyle n nbsp in der Form n q 2 b 2 displaystyle n q 2b 2 nbsp mit primen q P displaystyle q in mathbb P nbsp oder q 1 displaystyle q 1 nbsp und a 0 displaystyle a geq 0 nbsp geschrieben werden kann und fuhrte als Beispiel unter anderem auch fur die Stern Primzahl p 17 displaystyle p 17 nbsp eine Darstellung der Form 17 17 2 0 2 displaystyle 17 17 2 cdot 0 2 nbsp an 2 Damit hat er auch fur alle anderen Primzahlen Darstellungen der Form p p 2 0 2 displaystyle p p 2 cdot 0 2 nbsp gefunden die allerdings nicht der heutigen Definition von Stern Primzahlen entsprechen weil mittlerweile b 0 displaystyle b not 0 nbsp verlangt wird Insofern behauptete er dass alle Stern Zahlen mit der heutigen Definition Primzahlen sind Mittlerweile sind aber zwei ungerade Stern Zahlen bekannt die keine Primzahlen sind namlich 5777 53 109 displaystyle 5777 53 cdot 109 nbsp und 5993 13 461 displaystyle 5993 13 cdot 461 nbsp welche definitiv keine Darstellung der Form q 2 b 2 displaystyle q 2b 2 nbsp besitzen Somit irrte sich Goldbach Moritz Stern untersuchte ab 1856 mit seinen Studenten alle ungeraden Zahlen bis 9000 displaystyle 9000 nbsp und fand auch die beiden Stern Zahlen 5777 displaystyle 5777 nbsp und 5993 displaystyle 5993 nbsp welche keine Primzahlen sind Allerdings fuhrte er die Primzahl p 17 displaystyle p 17 nbsp als kleinste Stern Primzahl an und nicht die tatsachlich kleinste ungerade Stern Primzahl p 3 displaystyle p 3 nbsp Der Grund dafur ist der dass damals viele Mathematiker die Zahl 1 displaystyle 1 nbsp noch als Primzahl betrachteten 4 weswegen p 3 displaystyle p 3 nbsp nicht als Stern Primzahl gegolten hat weil diese Zahl die Darstellung 3 1 2 1 2 displaystyle 3 1 2 cdot 1 2 nbsp hat 2 Weblinks BearbeitenStern prime In PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b Comments und Links zu OEIS A042978 a b c d Laurent Hodges A lesser known Goldbach conjecture Toying with a lesser known Goldbach Conjecture Chris K Caldwell Angela Reddick Yeng Xiong The History of the Primality of One A Selection of Sources Journal of Integer Sequences 15 Article 12 9 8 2012 S 1 40 abgerufen am 10 Februar 2020 V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stern Primzahl amp oldid 196795261
