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Chen Primzahl In der Zahlentheorie ist eine eine Primzahl p P displaystyle p in mathbb P für welche gilt p 2 displaystyl

Chen-Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Chen-Primzahl eine Primzahl , für welche gilt:

Diese Primzahlen wurden von Ben Green und Terence Tao als Erinnerung an den chinesischen Mathematiker Chen Jingrun benannt.

Geschichte Bearbeiten

Eines der bekanntesten ungelösten Probleme der Mathematik ist die Goldbachsche Vermutung aus dem Jahr 1742, welche besagt, dass jede gerade Zahl (größer als 2) die Summe zweier Primzahlen ist. Seit hunderten Jahren beißen sich die Mathematiker daran die Zähne aus und David Hilbert hat diese Vermutung im Jahr 1900 zu einem der 23 wichtigsten mathematischen Probleme erklärt. 14 dieser Probleme wurden mittlerweile gelöst, sechs Probleme wurden teilweise gelöst und nur drei Probleme wurden nicht gelöst. Die Goldbachsche Vermutung ist eine von diesen übrig gebliebenen drei Problemen (Hilberts achtes Problem). Der chinesische Mathematiker Chen Jingrun hat im Jahr 1966 den nach ihm benannten Satz von Chen bewiesen (wegen der chinesischen Kulturrevolution aber erst 1973 veröffentlicht), welcher besagt, dass jede hinreichend große gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen oder einer Primzahl und einer Semiprimzahl (also einer Zahl mit zwei Primfaktoren) geschrieben werden kann. Dieser Satz ist die bisher beste Annäherung an die oben erwähnte Goldbachsche Vermutung. Wenn jetzt eine Chen-Primzahl ist, dann erfüllt die gerade Zahl die Voraussetzungen vom Satz von Chen (man kann sie in der Form als Summe einer Primzahl und einer Prim- oder Semiprimzahl darstellen). Mit dem Satz von Chen wurde somit bewiesen, dass es unendlich viele solcher Chen-Primzahlen gibt. Wenn außerdem die mathematische Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, irgendwann einmal bewiesen sein wird (auch an dieser Frage sind schon seit Jahrhunderten viele Mathematiker gescheitert), hätte man einen alternativen Beweis gefunden, dass es unendlich viele Chen-Primzahlen gibt.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Primzahl ist eine Chen-Primzahl, weil auch eine Primzahl ist.
  • Die Primzahl ist eine Chen-Primzahl, weil eine Semiprimzahl ist, also genau zwei Primteiler hat.
  • Die Primzahl ist eine Chen-Primzahl, weil eine Semiprimzahl ist, also genau zwei Primteiler hat.
  • Die Primzahl ist keine Chen-Primzahl, weil keine Semiprimzahl ist, weil sie drei Primteiler hat.
  • Die ersten Chen-Primzahlen sind die folgenden:
Die ersten Primzahlen, die nicht Chen-Primzahlen sind, kann man der folgenden Liste entnehmen:
  • Die ersten Chen-Primzahlen, die nicht der kleinere Teil eines Primzahlzwillings sind (für die also eine Semiprimzahl ist), sind die folgenden:
  • Die bisher größte Chen-Primzahl (Stand: 10. Juli 2018) ist die folgende:
Sie hat 388342 Stellen und wurde am 14. September 2016 von Tom Greer entdeckt. Sie ist der kleinere Teil des bisher größten bekannten Primzahlzwillings .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Es gibt unendlich viele Chen-Primzahlen.
  • Ist eine Chen-Primzahl Teil eines Primzahlzwillings, so ist sie der kleinere Teil des Primzahlzwillings.
  • Es gibt magische Quadrate, die nur aus Chen-Primzahlen bestehen. Das magische Quadrat mit den kleinsten Chen-Primzahlen ist das folgende:
17 89 71
113 59 5
47 29 101
  • Es gibt unendlich viele Chen-Primzahlen in arithmetische Folgen der Länge 3 (die Differenz zweier Folgenglieder ist konstant).
Dabei ist das Produkt aller Primzahlen bis inklusive (Primfakultät).
Diese drei Zahlen haben allesamt je 3074 Stellen. Für alle drei Primzahlen ist eine Semiprimzahl (haben also genau zwei Primfaktoren). Weil diese drei Primzahlen eine arithmetische Folge bilden, ist von gleich weit entfernt wie von (es ist also ).
  • Es gibt unendlich viele Chen-Primzahlen in arithmetischen Folgen beliebiger Länge.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Eine verallgemeinerte Chen-Primzahl ist eine Primzahl , für welche gilt:

Eigenschaften Bearbeiten

  • Es gibt unendlich viele verallgemeinerte Chen-Primzahlen.

Wissenswertes Bearbeiten

Es sieht so aus, als ob es mehr Chen-Primzahlen gibt als Nicht-Chen-Primzahlen (siehe obige Primzahllisten). Unter gibt es 20 Chen-Primzahlen, aber nur 5 Nicht-Chen-Primzahlen. Auch unter überwiegt die Anzahl der Chen-Primzahlen (nämlich 115), denn Nicht-Chen-Primzahlen gibt es darunter nur 53. Dieses Verhältnis ändert sich allerdings mit zunehmender Größe der Primzahlen. Unter gibt es 986 Chen-Primzahlen und auch 986 Nicht-Chen-Primzahlen. Danach überwiegen die Nicht-Chen-Primzahlen. Dieser Sachverhalt ist ein erneutes Beispiel dafür, dass man sich nicht von Regelmäßigkeiten, die man bei kleinen Zahlen zu bemerken glaubt, auch für alle anderen, größeren Zahlen stimmen müssen. Bei der oben schon erwähnten Goldbachschen Vermutung (jede gerade Zahl (größer als 2) kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden) wurde die Vermutung mit Computertechnik schon bis zur Größenordnung (also bis eine Trillion) geprüft (Stand: 30. Dezember 2015) und für richtig befunden, deswegen glaubt kaum ein Mathematiker daran, dass sich diese Vermutung als falsch entpuppt (für den Beweis dieser Vermutung wurde sogar ein Preisgeld von einer Million Dollar ausgelobt, doch es konnte diese Vermutung trotzdem niemand beweisen), doch niemand kann ausschließen, dass sich nicht doch irgendwann einmal ein Gegenbeispiel auftut, und sei es in der Größenordnung oder noch höher.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Chen prime. In: PlanetMath. (englisch)
  2. Neil Sloane: Chen primes: primes p such that p + 2 is either a prime or a semiprime – Comments. OEIS, abgerufen am 10. Juli 2018.
  3. ↑ Chen Jingrun: On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. In: Scientia Sinica 16 (2). 1973, S. 157–176, abgerufen am 10. Juli 2018 (englisch).
  4. ↑ Konstantin Fackeldey: Die Goldbachsche Vermutung und ihre bisherigen Lösungsversuche. Freie Universität Berlin, 2002, S. 26, abgerufen am 10. Juli 2018 (deutsch).
  5. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Twin Primes. Prime Pages, abgerufen am 10. Juli 2018.
  6. 2996863034895 • 21290000 - 1 auf Prime Pages
  7. Ben Green, Terence Tao: Restriction theory of the Selberg sieve, with applications. Journal de Théorie des Nombres, 2005, S. 1–36, abgerufen am 10. Juli 2018.
  8. Eric W. Weisstein: Chen Prime. In: MathWorld (englisch).
  9. Binbin Zhou: The Chen primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. Acta Arithmetica 138 (4), 2009, S. 301–315, abgerufen am 10. Juli 2018.
  10. Tomás Oliveira e Silva: Goldbach conjecture verification. 2015, abgerufen am 10. Juli 2018.

Weblinks Bearbeiten

Primzahl­mengen


formelbasiert

Carol ((2n − 1)2 − 2) | Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (22n + 1) | Kubisch (x3 − y3)/(x − y) | Kynea ((2n + 1)2 − 2) | Leyland (xy + yx) | Mersenne (2p − 1) | Mills (A3n) | Pierpont (2u⋅3v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x4 + y4) | Thabit (3⋅2n − 1) | Wagstaff ((2p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅bn − 1) | Woodall (n⋅2n − 1)

Primzahlfolgen

Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin

eigenschaftsbasiert

Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson

basis­abhängig

Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular

basierend auf Tupel

Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)

nach Größe

Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)

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Veröffentlichungsdatum:
In der Zahlentheorie ist eine Chen Primzahl eine Primzahl p P displaystyle p in mathbb P fur welche gilt p 2 displaystyle p 2 ist entweder eine Primzahl oder ein Produkt von zwei Primzahlen eine sogenannte Semiprimzahl Diese Primzahlen wurden von Ben Green und Terence Tao als Erinnerung an den chinesischen Mathematiker Chen Jingrun benannt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Verallgemeinerung 4 1 Eigenschaften 5 Wissenswertes 6 Einzelnachweise 7 WeblinksGeschichte BearbeitenEines der bekanntesten ungelosten Probleme der Mathematik ist die Goldbachsche Vermutung aus dem Jahr 1742 welche besagt dass jede gerade Zahl grosser als 2 die Summe zweier Primzahlen ist Seit hunderten Jahren beissen sich die Mathematiker daran die Zahne aus und David Hilbert hat diese Vermutung im Jahr 1900 zu einem der 23 wichtigsten mathematischen Probleme erklart 14 dieser Probleme wurden mittlerweile gelost sechs Probleme wurden teilweise gelost und nur drei Probleme wurden nicht gelost Die Goldbachsche Vermutung ist eine von diesen ubrig gebliebenen drei Problemen Hilberts achtes Problem Der chinesische Mathematiker Chen Jingrun hat im Jahr 1966 den nach ihm benannten Satz von Chen bewiesen wegen der chinesischen Kulturrevolution aber erst 1973 veroffentlicht 2 welcher besagt dass jede hinreichend grosse gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen oder einer Primzahl und einer Semiprimzahl also einer Zahl mit zwei Primfaktoren geschrieben werden kann 3 4 Dieser Satz ist die bisher beste Annaherung an die oben erwahnte Goldbachsche Vermutung Wenn jetzt p displaystyle p nbsp eine Chen Primzahl ist dann erfullt die gerade Zahl 2 p 2 displaystyle 2p 2 nbsp die Voraussetzungen vom Satz von Chen man kann sie in der Form 2 p 2 p p 2 displaystyle 2p 2 p p 2 nbsp als Summe einer Primzahl p displaystyle p nbsp und einer Prim oder Semiprimzahl p 2 displaystyle p 2 nbsp darstellen Mit dem Satz von Chen wurde somit bewiesen dass es unendlich viele solcher Chen Primzahlen gibt Wenn ausserdem die mathematische Vermutung dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt irgendwann einmal bewiesen sein wird auch an dieser Frage sind schon seit Jahrhunderten viele Mathematiker gescheitert hatte man einen alternativen Beweis gefunden dass es unendlich viele Chen Primzahlen gibt Beispiele BearbeitenDie Primzahl p 41 displaystyle p 41 nbsp ist eine Chen Primzahl weil auch p 2 43 displaystyle p 2 43 nbsp eine Primzahl ist Die Primzahl p 83 displaystyle p 83 nbsp ist eine Chen Primzahl weil p 2 85 5 17 displaystyle p 2 85 5 cdot 17 nbsp eine Semiprimzahl ist also genau zwei Primteiler hat Die Primzahl p 47 displaystyle p 47 nbsp ist eine Chen Primzahl weil p 2 49 7 2 displaystyle p 2 49 7 2 nbsp eine Semiprimzahl ist also genau zwei Primteiler hat Die Primzahl p 43 displaystyle p 43 nbsp ist keine Chen Primzahl weil p 2 45 5 3 2 displaystyle p 2 45 5 cdot 3 2 nbsp keine Semiprimzahl ist weil sie drei Primteiler hat Die ersten Chen Primzahlen sind die folgenden 2 3 5 7 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folgende 5 6 p 2996863034895 2 1290000 1 displaystyle p 2996863034895 cdot 2 1290000 1 nbsp dd Sie hat 388342 Stellen und wurde am 14 September 2016 von Tom Greer entdeckt Sie ist der kleinere Teil des bisher grossten bekannten Primzahlzwillings p p 2 displaystyle p p 2 nbsp Eigenschaften BearbeitenEs gibt unendlich viele Chen Primzahlen 3 4 Ist eine Chen Primzahl Teil eines Primzahlzwillings so ist sie der kleinere Teil des Primzahlzwillings Beweis Da bei Chen Primzahlen p displaystyle p nbsp die Zahl p 2 displaystyle p 2 nbsp eine Primzahl oder eine Semiprimzahl sein muss ist beim Primzahlzwilling p p 2 displaystyle p p 2 nbsp die Chen Primzahl p displaystyle p nbsp stets der kleinere Teil displaystyle Box nbsp dd dd Es gibt magische Quadrate die nur aus Chen Primzahlen bestehen Das magische Quadrat mit den kleinsten Chen Primzahlen ist das folgende 17 89 71113 59 547 29 101Es wurde von Rudolf Ondrejka entdeckt 1 Es gibt unendlich viele Chen Primzahlen in arithmetische Folgen der Lange 3 die Differenz zweier Folgenglieder ist konstant 7 Obiger Satz konnte von Ben Green und Terence Tao im Jahr 2005 bewiesen werden Beispiel Die bisher Stand 10 Juli 2018 grosste Primzahlfolge der Lange 3 die ausschliesslich aus Chen Primzahlen besteht ist die folgende 8 p n 3850324118 892819689 n 2411 1 4787 1 2 displaystyle p n 3850324118 892819689 cdot n cdot 2411 1 cdot 4787 1 2 nbsp mit n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 nbsp dd Dabei ist p 2 3 5 7 p displaystyle p 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot ldots cdot p nbsp das Produkt aller Primzahlen bis inklusive p displaystyle p nbsp Primfakultat Diese drei Zahlen p n displaystyle p n nbsp haben allesamt je 3074 Stellen Fur alle drei Primzahlen ist p n 2 displaystyle p n 2 nbsp eine Semiprimzahl haben also genau zwei Primfaktoren Weil diese drei Primzahlen eine arithmetische Folge bilden ist p 0 displaystyle p 0 nbsp von p 1 displaystyle p 1 nbsp gleich weit entfernt wie p 1 displaystyle p 1 nbsp von p 2 displaystyle p 2 nbsp es ist also p 2 p 1 p 1 p 0 displaystyle p 2 p 1 p 1 p 0 nbsp dd dd Es gibt unendlich viele Chen Primzahlen in arithmetischen Folgen beliebiger Lange 9 Dieser Satz wurde von Binbin Zhou im Jahr 2009 bewiesen und stellt eine Verbesserung des vorherigen Satzes dar dd Verallgemeinerung BearbeitenEine verallgemeinerte Chen Primzahl ist eine Primzahl p P displaystyle p in mathbb P nbsp fur welche gilt p k displaystyle p k nbsp mit einer naturlichen Zahl k N displaystyle k in mathbb N nbsp ist entweder eine Primzahl oder ein Produkt von zwei Primzahlen eine sogenannte Semiprimzahl Eigenschaften Bearbeiten Es gibt unendlich viele verallgemeinerte Chen Primzahlen 3 Wissenswertes BearbeitenEs sieht so aus als ob es mehr Chen Primzahlen gibt als Nicht Chen Primzahlen siehe obige Primzahllisten Unter n 100 displaystyle n 100 nbsp gibt es 20 Chen Primzahlen aber nur 5 Nicht Chen Primzahlen Auch unter n 1000 displaystyle n 1000 nbsp uberwiegt die Anzahl der Chen Primzahlen namlich 115 denn Nicht Chen Primzahlen gibt es darunter nur 53 Dieses Verhaltnis andert sich allerdings mit zunehmender Grosse der Primzahlen Unter n 17107 displaystyle n 17107 nbsp gibt es 986 Chen Primzahlen und auch 986 Nicht Chen Primzahlen Danach uberwiegen die Nicht Chen Primzahlen Dieser Sachverhalt ist ein erneutes Beispiel dafur dass man sich nicht von Regelmassigkeiten die man bei kleinen Zahlen zu bemerken glaubt auch fur alle anderen grosseren Zahlen stimmen mussen Bei der oben schon erwahnten Goldbachschen Vermutung jede gerade Zahl grosser als 2 kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden wurde die Vermutung mit Computertechnik schon bis zur Grossenordnung n 10 18 displaystyle n 10 18 nbsp also bis eine Trillion gepruft Stand 30 Dezember 2015 10 und fur richtig befunden deswegen glaubt kaum ein Mathematiker daran dass sich diese Vermutung als falsch entpuppt fur den Beweis dieser Vermutung wurde sogar ein Preisgeld von einer Million Dollar ausgelobt doch es konnte diese Vermutung trotzdem niemand beweisen doch niemand kann ausschliessen dass sich nicht doch irgendwann einmal ein Gegenbeispiel auftut und sei es in der Grossenordnung n 10 100000 displaystyle n 10 100000 nbsp oder noch hoher Einzelnachweise Bearbeiten a b Chen prime In PlanetMath englisch Neil Sloane Chen primes primes p such that p 2 is either a prime or a semiprime Comments OEIS abgerufen am 10 Juli 2018 a b c Chen Jingrun On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes In Scientia Sinica 16 2 1973 S 157 176 abgerufen am 10 Juli 2018 englisch a b Konstantin Fackeldey Die Goldbachsche Vermutung und ihre bisherigen Losungsversuche Freie Universitat Berlin 2002 S 26 abgerufen am 10 Juli 2018 deutsch Chris K Caldwell The Top Twenty Twin Primes Prime Pages abgerufen am 10 Juli 2018 2996863034895 21290000 1 auf Prime Pages Ben Green Terence Tao Restriction theory of the Selberg sieve with applications Journal de Theorie des Nombres 2005 S 1 36 abgerufen am 10 Juli 2018 Eric W Weisstein Chen Prime In MathWorld englisch Binbin Zhou The Chen primes contain arbitrarily long arithmetic progressions Acta Arithmetica 138 4 2009 S 301 315 abgerufen am 10 Juli 2018 Tomas Oliveira e Silva Goldbach conjecture verification 2015 abgerufen am 10 Juli 2018 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Chen Prime In MathWorld englisch Chen prime In PlanetMath englisch Chris K Caldwell Chen Prime Prime Pages abgerufen am 10 Juli 2018 englisch V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Chen Primzahl amp oldid 195329925