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Goldbachsche Vermutung Die benannt nach dem Mathematiker Christian Goldbach ist eine unbewiesene Aussage aus dem Bereich

Goldbachsche Vermutung

Die Goldbachsche Vermutung, benannt nach dem Mathematiker Christian Goldbach, ist eine unbewiesene Aussage aus dem Bereich der Zahlentheorie. Sie gehört als eines der Hilbertschen Probleme (Nr. 8b) zu den bekanntesten ungelösten Problemen der Mathematik.

Brief von Goldbach an Euler vom 7. Juni 1742 (lateinisch-deutsch)

Goldbach formulierte die Vermutung in einem Brief an Leonhard Euler am 7. Juni 1742. Für Lösungsversuche werden fortgeschrittene Methoden der analytischen Zahlentheorie benutzt. Wie einige andere Probleme der additiven Zahlentheorie, die sowohl die Primzahleigenschaften (multiplikative Zahlentheorie) als auch Addition natürlicher Zahlen in ihrer Formulierung umfassen, gilt sie zwar als einfach zu formulieren, aber als besonders schwierig zu beweisen.

Starke (oder binäre) Goldbachsche Vermutung Bearbeiten

Die starke (oder binäre) Goldbachsche Vermutung lautet wie folgt:

Mit dieser Vermutung befassten sich bis in die heutige Zeit viele Zahlentheoretiker, ohne sie bisher bewiesen oder widerlegt zu haben.

Tomás Oliveira e Silva zeigte mittels eines Volunteer-Computing-Projekts mittlerweile die Gültigkeit der Vermutung für alle Zahlen bis 4·1018. Ein Beweis dafür, dass sie für jede beliebig große gerade Zahl gilt, ist dies nicht.

Nachdem der britische Verlag Faber & Faber im Jahr 2000 ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für den Beweis der Vermutung ausgelobt hatte, wuchs auch das öffentliche Interesse an dieser Frage. Das Preisgeld wurde nicht ausgezahlt, da bis April 2002 kein Beweis eingegangen war.

Schwache (oder ternäre) Goldbachsche Vermutung Bearbeiten

Die schwächere Vermutung

ist als ternäre oder schwache Goldbachsche Vermutung bekannt. Sie ist teilweise gelöst: Denn einerseits gilt sie, wenn die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung richtig ist, und andererseits ist gezeigt, dass sie für alle genügend großen Zahlen gilt (Satz von Winogradow, siehe Verwandte Resultate).

Am 13. Mai 2013 kündigte der peruanische Mathematiker Harald Helfgott einen mutmaßlichen Beweis der ternären Goldbachschen Vermutung für alle Zahlen an, die größer als 1030 sind. Der Beweis wurde 2015 für die Annals of Mathematics Studies in Princeton akzeptiert – einer Buchreihe – und ist bisher noch nicht vollständig erschienen und einem vollständigen Peer-Review unterzogen (Stand 2021). Helfgott beschloss dafür die Kapitel stückweise zunächst auf seiner Homepage zu dem geplanten Buch zu veröffentlichen. Der Beweis benutzt Siebmethoden (Großes Sieb), die Kreismethode von Hardy-Littlewood und Exponentialsummen nach Winogradow, alles Methoden der analytischen Zahlentheorie. Die Gültigkeit für sämtliche Zahlen unterhalb 8,875·1030 ist bereits mit Computerhilfe überprüft worden.

Aus der starken Goldbachschen Vermutung folgt die schwache Goldbachsche Vermutung, denn jede ungerade Zahl kann als Summe geschrieben werden. Der erste Summand ist nach der starken Goldbachschen Vermutung Summe zweier Primzahlen (), womit eine Darstellung von als Summe von drei Primzahlen gefunden ist.

Goldbach-Zerlegungen Bearbeiten

Anzahl der Möglichkeiten, die geraden Zahlen bis 200.000 als Summe zweier Primzahlen darzustellen

Als Goldbach-Zerlegung wird die Darstellung einer geraden Zahl als Summe zweier Primzahlen bezeichnet, beispielsweise ist eine Goldbach-Zerlegung der 8. Die Zerlegungen sind nicht eindeutig, wie man an ersehen kann. Für größere gerade Zahlen gibt es eine tendenziell wachsende Anzahl von Goldbach-Zerlegungen („mehrfache Goldbachzahlen“). Die Anzahl der Goldbach-Zerlegungen lässt sich mit Computerunterstützung leicht berechnen, siehe Abbildung.

Um die starke Goldbachsche Vermutung zu verletzen, müsste ein Datenpunkt irgendwann auf die Nulllinie fallen.

Die Forderung an eine gerade Zahl , dass für jede Primzahl mit auch eine Primzahl und somit eine Goldbach-Zerlegung ist (die Zahl also die maximale Anzahl an Goldbach-Zerlegungen besitzt), erfüllen genau die vier Zahlen 10, 16, 36 und 210. Auch die schwächere Forderung, dass für jede Primzahl mit auch eine Primzahl ist, erfüllt keine Zahl .

Verwandte Resultate Bearbeiten

  • 1920 bewies Viggo Brun, dass jede genügend große gerade Zahl als Summe zweier Zahlen mit maximal neun Primfaktoren darstellbar ist.
  • 1930 bewies Lew Genrichowitsch Schnirelman, dass jede natürliche Zahl die Summe von weniger als C Primzahlen ist, wobei C eine Konstante ist, die bei Schnirelman ursprünglich bei 800.000 lag und später auf 20 gedrückt werden konnte.
  • 1937 bewies Iwan Matwejewitsch Winogradow, dass jede ungerade Zahl, die größer als eine bestimmte Konstante ist, Summe dreier Primzahlen ist (Satz von Winogradow; schwache Goldbachsche Vermutung für den Fall genügend großer Zahlen). Einen anderen Beweis dafür gab 1946 Juri Linnik.
  • 1937 bewies Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow, dass „fast alle“ geraden Zahlen Summe zweier Primzahlen sind, das heißt, dass die asymptotische Dichte der so darstellbaren Zahlen in den geraden Zahlen 1 ist.
  • 1947 bewies Alfréd Rényi, dass eine Konstante K derart existiert, dass jede gerade Zahl Summe einer Primzahl und einer Zahl mit maximal K Primfaktoren ist.
  • 1966 bewies Chen Jingrun, dass jede hinreichend große gerade Zahl Summe einer Primzahl und eines Produkts höchstens zweier Primzahlen ist (Satz von Chen).
  • 1995 bewies Olivier Ramaré, dass jede gerade Zahl Summe von höchstens sechs Primzahlen ist.
  • 2012 bewies Terence Tao, dass jede ungerade Zahl größer als 1 Summe von höchstens fünf Primzahlen ist, und verbesserte damit das Resultat von Ramaré.
  • 2022 bewiesen Will Sawin und Mark Shusterman die Goldbach-Vermutung für Funktionenkörper.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. In Druckschrift in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125–129.
  2. Jean-Marc Deshouillers, Gove Effinger, Herman te Riele, Dmitrii Zinoviev: A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electronic Research Announcements of the AMS 3, 1997, S. 99–104 (englisch).
  3. Harald Andrés Helfgott: Minor Arcs for Goldbach’s Problem. (PDF; 715 kB) und Major Arcs for Goldbach’s Problem. (Preprint auf arXiv.org; PDF; 1,1 MB)
  4. Helfgott, Major arcs for the Goldbach problem, Arxiv, 2013
  5. Helfgott, The ternary Goldbach conjecture is true, Arxiv, 2013, letzte Revision 2014
  6. Vgl. Holger Dambeck: Schwache Goldbach-Vermutung: Lösung für legendäres Zahlenrätsel vorgelegt. Auf: SPIEGEL Online Wissenschaft. 23. Mai 2013.
  7. Helfgott, The ternary Goldbach problem, Arxiv, Version von 2015
  8. Webseite zu seinem Buch auf seiner Homepage mit den fertigen Kapiteln, abgerufen am 23. Juli 2022
  9. Harald Andrés Helfgott, David J. Platt: Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875·1030. (Preprint auf arXiv.org; PDF; 104 kB).
  10. Jean-Marc Deshouillers, Andrew Granville, Władysław Narkiewicz, Carl Pomerance: An upper bound in Goldbach’s problem. Mathematics of Computation 61, Nr. 203, Juli 1993, S. 209–213 (englisch).
  11. Juri Linnik: Zum achten Hilbertschen Problem. In: Pavel S. Alexandrov (Hrsg.): Die Hilbertschen Probleme. Harri Deutsch, 1998.
  12. Chen Jingrun: On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Kexue Tongbao 17, 1966, S. 385–386 (chinesisch); Scientia Sinica 16, 1973, S. 157–176 (englisch; Zentralblatt-Rezension); Scientia Sinica 21, 1978, S. 421–430 (englisch; Zentralblatt-Rezension).
  13. Olivier Ramaré: On Šnirel’man’s constant. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 22, 1995, S. 645–706 (englisch).
  14. Terence Tao: Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes. Mathematics of Computation (englisch; arxiv:1201.6656).
  15. M.Shusterman, W. Sawin: On the Chowla and twin primes conjectures over , Annals of Mathematics, Band 196, 2022, S. 457–506, Arxiv
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Veröffentlichungsdatum:
Die Goldbachsche Vermutung benannt nach dem Mathematiker Christian Goldbach ist eine unbewiesene Aussage aus dem Bereich der Zahlentheorie Sie gehort als eines der Hilbertschen Probleme Nr 8b zu den bekanntesten ungelosten Problemen der Mathematik Brief von Goldbach an Euler vom 7 Juni 1742 lateinisch deutsch 1 Goldbach formulierte die Vermutung in einem Brief an Leonhard Euler am 7 Juni 1742 Fur Losungsversuche werden fortgeschrittene Methoden der analytischen Zahlentheorie benutzt Wie einige andere Probleme der additiven Zahlentheorie die sowohl die Primzahleigenschaften multiplikative Zahlentheorie als auch Addition naturlicher Zahlen in ihrer Formulierung umfassen gilt sie zwar als einfach zu formulieren aber als besonders schwierig zu beweisen Inhaltsverzeichnis 1 Starke oder binare Goldbachsche Vermutung 2 Schwache oder ternare Goldbachsche Vermutung 3 Goldbach Zerlegungen 4 Verwandte Resultate 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseStarke oder binare Goldbachsche Vermutung BearbeitenDie starke oder binare Goldbachsche Vermutung lautet wie folgt Jede gerade Zahl die grosser als 2 ist ist Summe zweier Primzahlen Mit dieser Vermutung befassten sich bis in die heutige Zeit viele Zahlentheoretiker ohne sie bisher bewiesen oder widerlegt zu haben Tomas Oliveira e Silva zeigte mittels eines Volunteer Computing Projekts mittlerweile die Gultigkeit der Vermutung fur alle Zahlen bis 4 1018 Ein Beweis dafur dass sie fur jede beliebig grosse gerade Zahl gilt ist dies nicht Nachdem der britische Verlag Faber amp Faber im Jahr 2000 ein Preisgeld von einer Million US Dollar fur den Beweis der Vermutung ausgelobt hatte wuchs auch das offentliche Interesse an dieser Frage Das Preisgeld wurde nicht ausgezahlt da bis April 2002 kein Beweis eingegangen war Schwache oder ternare Goldbachsche Vermutung BearbeitenDie schwachere Vermutung Jede ungerade Zahl die grosser als 5 ist ist Summe dreier Primzahlen ist als ternare oder schwache Goldbachsche Vermutung bekannt Sie ist teilweise gelost Denn einerseits gilt sie wenn die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung richtig ist 2 und andererseits ist gezeigt dass sie fur alle genugend grossen Zahlen gilt Satz von Winogradow siehe Verwandte Resultate Am 13 Mai 2013 kundigte der peruanische Mathematiker Harald Helfgott einen mutmasslichen Beweis der ternaren Goldbachschen Vermutung fur alle Zahlen an die grosser als 1030 sind 3 4 5 6 Der Beweis wurde 2015 fur die Annals of Mathematics Studies in Princeton akzeptiert einer Buchreihe und ist bisher noch nicht vollstandig erschienen und einem vollstandigen Peer Review unterzogen Stand 2021 7 8 Helfgott beschloss dafur die Kapitel stuckweise zunachst auf seiner Homepage zu dem geplanten Buch zu veroffentlichen Der Beweis benutzt Siebmethoden Grosses Sieb die Kreismethode von Hardy Littlewood und Exponentialsummen nach Winogradow alles Methoden der analytischen Zahlentheorie Die Gultigkeit fur samtliche Zahlen unterhalb 8 875 1030 ist bereits mit Computerhilfe uberpruft worden 9 Aus der starken Goldbachschen Vermutung folgt die schwache Goldbachsche Vermutung denn jede ungerade Zahl u displaystyle u nbsp kann als Summe u u 3 3 displaystyle u u 3 3 nbsp geschrieben werden Der erste Summand u 3 displaystyle u 3 nbsp ist nach der starken Goldbachschen Vermutung Summe zweier Primzahlen u 3 a b displaystyle u 3 a b nbsp womit eine Darstellung u a b 3 displaystyle u a b 3 nbsp von u displaystyle u nbsp als Summe von drei Primzahlen gefunden ist Goldbach Zerlegungen Bearbeiten nbsp Anzahl der Moglichkeiten die geraden Zahlen bis 200 000 als Summe zweier Primzahlen darzustellenAls Goldbach Zerlegung wird die Darstellung einer geraden Zahl als Summe zweier Primzahlen bezeichnet beispielsweise ist 3 5 displaystyle 3 5 nbsp eine Goldbach Zerlegung der 8 Die Zerlegungen sind nicht eindeutig wie man an 18 7 11 5 13 displaystyle 18 7 11 5 13 nbsp ersehen kann Fur grossere gerade Zahlen gibt es eine tendenziell wachsende Anzahl von Goldbach Zerlegungen 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maximal neun Primfaktoren darstellbar ist 1930 bewies Lew Genrichowitsch Schnirelman dass jede naturliche Zahl die Summe von weniger als C Primzahlen ist wobei C eine Konstante ist die bei Schnirelman ursprunglich bei 800 000 lag und spater auf 20 gedruckt werden konnte 11 1937 bewies Iwan Matwejewitsch Winogradow dass jede ungerade Zahl die grosser als eine bestimmte Konstante ist Summe dreier Primzahlen ist Satz von Winogradow schwache Goldbachsche Vermutung fur den Fall genugend grosser Zahlen Einen anderen Beweis dafur gab 1946 Juri Linnik 1937 bewies Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow dass fast alle geraden Zahlen Summe zweier Primzahlen sind das heisst dass die asymptotische Dichte der so darstellbaren Zahlen in den geraden Zahlen 1 ist 1947 bewies Alfred Renyi dass eine Konstante K derart existiert dass jede gerade Zahl Summe einer Primzahl und einer Zahl mit maximal K Primfaktoren ist 1966 bewies Chen Jingrun dass jede hinreichend grosse gerade Zahl Summe einer Primzahl und eines Produkts hochstens zweier Primzahlen ist Satz von Chen 12 1995 bewies Olivier Ramare dass jede gerade Zahl Summe von hochstens sechs Primzahlen ist 13 2012 bewies Terence Tao dass jede ungerade Zahl grosser als 1 Summe von hochstens funf Primzahlen ist 14 und verbesserte damit das Resultat von Ramare 2022 bewiesen Will Sawin und Mark Shusterman die Goldbach Vermutung fur Funktionenkorper 15 Literatur BearbeitenWolfgang Blum Goldbach und die Zwillinge In Spektrum der Wissenschaft Dossier 6 2009 Die grossten Ratsel der Mathematik ISBN 978 3 941205 34 5 S 34 39 Apostolos Doxiadis Onkel Petros und die Goldbach sche Vermutung Lubbe 2000 ISBN 3 7857 0951 X Belletristik Andrew Granville Refinements of Goldbach s conjecture and the generalized Riemann hypothesis In Functiones et Approximatio 37 2007 S 7 21 englisch PDF 180 kB Melvyn B Nathanson Additive Number Theory The Classical Bases Springer Verlag New York 1996 englisch Jorg Richstein Verifying the Goldbach conjecture up to 4 1014 In Mathematics of Computation 70 2001 S 1745 1749 englisch Konstantin Fackeldey Die Goldbachsche Vermutung und ihre bisherigen Losungsversuche Freie Universitat Berlin 2002 PDF 278 kB Harald Helfgott The ternary Goldbach problem Oberwolfach Mathematical Snapshots 2014 Yuan Wang The Goldbach conjecture 2 Auflage World Scientific 2003Weblinks BearbeitenGoldbach conjecture verification project Von Tomas Oliveira e Silva Goldbach s Conjecture Beschreibung in The Prime Glossary Goldbach Rechenprogramm das eine beliebige gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellt Einzelnachweise Bearbeiten In Druckschrift in Paul Heinrich Fuss Hrsg Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du XVIIIeme siecle Band 1 St Petersbourg 1843 S 125 129 Jean Marc Deshouillers Gove Effinger Herman te Riele Dmitrii Zinoviev A complete Vinogradov 3 primes theorem under the Riemann hypothesis Electronic Research Announcements of the AMS 3 1997 S 99 104 englisch Harald Andres Helfgott Minor Arcs for Goldbach s Problem PDF 715 kB und Major Arcs for Goldbach s Problem Preprint auf arXiv org PDF 1 1 MB Helfgott Major arcs for the Goldbach problem Arxiv 2013 Helfgott The ternary Goldbach conjecture is true Arxiv 2013 letzte Revision 2014 Vgl Holger Dambeck Schwache Goldbach Vermutung Losung fur legendares Zahlenratsel vorgelegt Auf SPIEGEL Online Wissenschaft 23 Mai 2013 Helfgott The ternary Goldbach problem Arxiv Version von 2015 Webseite zu seinem Buch auf seiner Homepage mit den fertigen Kapiteln abgerufen am 23 Juli 2022 Harald Andres Helfgott David J Platt Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8 875 1030 Preprint auf arXiv org PDF 104 kB Jean Marc Deshouillers Andrew Granville Wladyslaw Narkiewicz Carl Pomerance An upper bound in Goldbach s problem Mathematics of Computation 61 Nr 203 Juli 1993 S 209 213 englisch Juri Linnik Zum achten Hilbertschen Problem In Pavel S Alexandrov Hrsg Die Hilbertschen Probleme Harri Deutsch 1998 Chen Jingrun On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes Kexue Tongbao 17 1966 S 385 386 chinesisch Scientia Sinica 16 1973 S 157 176 englisch Zentralblatt Rezension Scientia Sinica 21 1978 S 421 430 englisch Zentralblatt Rezension Olivier Ramare On Snirel man s constant Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 22 1995 S 645 706 englisch Terence Tao Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes Mathematics of Computation englisch arxiv 1201 6656 M Shusterman W Sawin On the Chowla and twin primes conjectures over F q t displaystyle F q t nbsp Annals of Mathematics Band 196 2022 S 457 506 Arxiv Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Goldbachsche Vermutung amp oldid 235715260