In der Zahlentheorie ist eine Carol Zahl eine ganze Zahl der Form 2 n 1 2 2 displaystyle 2 n 1 2 2 oder gleichbedeutend eine Zahl der Form 4 n 2 n 1 1 displaystyle 4 n 2 n 1 1 mit n 1 displaystyle n geq 1 Zahlen dieser Form wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel der sie nach einer Freundin Carol G Kimon benannt hat 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Verallgemeinerungen 3 1 Eigenschaften 4 Weitere Verallgemeinerungen 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenDie ersten Carol Zahlen sind die folgenden 1 7 47 223 959 3967 16127 65023 261119 1046527 4190207 16769023 67092479 268402687 1073676287 4294836223 17179607039 68718952447 274876858367 1099509530623 4398042316799 17592177655807 70368727400447 281474943156223 1125899839733759 Folge A093112 in OEIS dd Die ersten primen Carol Zahlen sind die folgenden 7 47 223 3967 16127 1046527 16769023 1073676287 68718952447 274876858367 4398042316799 1125899839733759 18014398241046527 1298074214633706835075030044377087 Folge A091516 in OEIS dd Man nennt sie Carol Primzahlen Die siebente Carol Zahl 16127 displaystyle 16127 nbsp ist gleichzeitig die funfte Carol Primzahl und ist auch eine Primzahl wenn man ihre Stellen umdreht also 72161 displaystyle 72161 nbsp Solche Zahlen nennt man Carol Mirpzahlen Man kennt momentan nur zwei Carol Mirpzahlen 16127 16769023 dd Die grosste bekannte Carol Primzahl ist 2 695631 1 2 2 displaystyle 2 695631 1 2 2 nbsp und hat 418812 displaystyle 418812 nbsp Stellen 3 Sie wurde von Mark Rodenkirch am 16 Juli 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden Es ist die 44 Carol Primzahl 4 Eigenschaften BearbeitenJede Carol Zahl der Form 2 n 1 2 2 displaystyle 2 n 1 2 2 nbsp mit n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp hat eine binare Darstellung welche 2 n displaystyle 2n nbsp Stellen lang ist mit n 2 displaystyle n 2 nbsp Einsern beginnt eine einzelne Null in der Mitte hat und mit weiteren n 1 displaystyle n 1 nbsp Einsern endet Mit anderen Worten 2 n 1 2 2 i 1 i n 2 2 n 2 i 1 displaystyle 2 n 1 2 2 sum i 1 atop i not n 2 2n 2 i 1 nbsp Beispiel 223 2 4 1 2 2 1 2 7 1 2 6 0 2 5 1 2 4 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 2 0 11011111 2 displaystyle 223 2 4 1 2 2 underline 1 cdot 2 7 underline 1 cdot 2 6 underline 0 cdot 2 5 underline 1 cdot 2 4 underline 1 cdot 2 3 underline 1 cdot 2 2 underline 1 cdot 2 1 underline 1 cdot 2 0 11011111 2 nbsp dd dd Die Differenz zwischen der 2 n displaystyle 2n nbsp ten Mersenne Zahl also 2 2 n 1 displaystyle 2 2n 1 nbsp und der n displaystyle n nbsp ten Carol Zahl betragt 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp Somit konnte man die Carol Zahlen anders definieren namlich als 2 2 n 1 2 n 1 displaystyle 2 2n 1 2 n 1 nbsp dd Die Differenz zwischen der n displaystyle n nbsp ten Kynea Zahl 2 n 1 2 2 displaystyle 2 n 1 2 2 nbsp und der n displaystyle n nbsp ten Carol Zahl betragt 2 n 2 displaystyle 2 n 2 nbsp Wenn man mit der Carol Zahl 7 zahlen beginnt ist jede dritte Carol Zahl ein Vielfaches von 7 displaystyle 7 nbsp Beispiel 65023 2 8 1 2 2 displaystyle 65023 2 8 1 2 2 nbsp ist die sechste Carol Zahl nach 7 displaystyle 7 nbsp und tatsachlich ist 65023 9289 7 displaystyle 65023 9289 cdot 7 nbsp ein Vielfaches von 7 displaystyle 7 nbsp dd dd Eine Carol Zahl 2 n 1 2 2 displaystyle 2 n 1 2 2 nbsp mit n 3 k 2 displaystyle n 3k 2 nbsp fur k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp kann keine Primzahl sein folgt aus der Eigenschaft direkt daruber Verallgemeinerungen BearbeitenEine verallgemeinerte Carol Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form b n 1 2 2 displaystyle b n 1 2 2 nbsp mit n 1 displaystyle n geq 1 nbsp und einer Basis b 2 displaystyle b geq 2 nbsp Eigenschaften Bearbeiten Eine verallgemeinerte Carol Zahl mit Basis b 4 displaystyle b geq 4 nbsp kann nur dann eine Primzahl sein wenn b displaystyle b nbsp eine gerade Zahl ist Wenn b displaystyle b nbsp eine ungerade Zahl ware ware auch jede Potenz b n displaystyle b n nbsp ungerade Zieht man 1 displaystyle 1 nbsp ab ist die Zahl gerade Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man 2 displaystyle 2 nbsp ab ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim fur b 4 displaystyle b geq 4 nbsp Damit ist diese und die nachste Eigenschaft bewiesen dd Eine verallgemeinerte Carol Zahl mit einer ungeraden Basis b displaystyle b nbsp ist immer eine gerade Zahl Eine verallgemeinerte Carol Zahl mit Basis b n displaystyle b n nbsp ist auch eine verallgemeinerte Carol Zahl mit Basis b displaystyle b nbsp Die kleinsten n 1 displaystyle n geq 1 nbsp sodass 2 k n 1 2 2 displaystyle 2k n 1 2 2 nbsp prim ist Basis b 2 k displaystyle b 2k nbsp sind die folgenden fur k 1 2 3 4 100 displaystyle k 1 2 3 4 ldots 100 nbsp 2 1 1 1 1 3 1 1 2 1 1 2 159 1 1 2 1 1 1 4 3 1 12 1 1 2 9 1 88 2 1 1 12 4 1 1 183 1 1 320 24 4 3 2 1 3 1 5 2 4 2 1 2 1 705 2 3 29 1 1 1 4836 20 1 135 1 4 1 6 1 15 3912 1 2 8 3 24 1 14 4 1 2 321 11 1 174 1 6 1 42 310 1 2 27 2 1 29 3 103 20 Beispiel Fur n 6 displaystyle n 6 nbsp kann man der obigen Liste an der 6 Stelle die Zahl n 3 displaystyle n 3 nbsp entnehmen Tatsachlich ist 2 3 6 1 2 2 2176689023 P displaystyle 2 cdot 3 6 1 2 2 2176689023 in mathbb P nbsp eine Primzahl dd dd Es folgt eine Tabelle der man die kleinsten verallgemeinerten Carol Primzahlen mit Basis b displaystyle b nbsp entnehmen kann 5 b displaystyle b nbsp Form Potenzen n 1 displaystyle n geq 1 nbsp sodass verallgemeinerte Carol Zahlen mit Basis b displaystyle b nbsp also der Form b n 1 2 2 displaystyle b n 1 2 2 nbsp prim sind OEIS Folge2 displaystyle 2 nbsp 2 n 1 2 2 displaystyle 2 n 1 2 2 nbsp 2 3 4 6 7 10 12 15 18 19 21 25 27 55 129 132 159 171 175 315 324 358 393 435 786 1459 1707 2923 6462 14289 39012 51637 100224 108127 110953 175749 185580 226749 248949 253987 520363 653490 688042 695631 Folge A091515 in OEIS 3 displaystyle 3 nbsp 3 n 1 2 2 displaystyle 3 n 1 2 2 nbsp 1 fuhrt zur geraden Primzahl p 2 displaystyle p 2 nbsp mehr Potenzen n displaystyle n nbsp existieren nicht 4 displaystyle 4 nbsp 4 n 1 2 2 displaystyle 4 n 1 2 2 nbsp 1 2 3 5 6 9 66 162 179 393 3231 19506 50112 92790 326745 344021 6 displaystyle 6 nbsp 6 n 1 2 2 displaystyle 6 n 1 2 2 nbsp 1 2 6 7 20 47 255 274 279 308 1162 2128 3791 9028 9629 10029 13202 38660 46631 48257 117991 Folge A100901 in OEIS 8 displaystyle 8 nbsp 8 n 1 2 2 displaystyle 8 n 1 2 2 nbsp 1 2 4 5 6 7 9 43 44 53 57 105 108 131 145 262 569 2154 4763 13004 33408 58583 61860 75583 82983 217830 231877 10 displaystyle 10 nbsp 10 n 1 2 2 displaystyle 10 n 1 2 2 nbsp 1 8 21 123 4299 6128 11760 18884 40293 Folge A0100903 in OEIS 12 displaystyle 12 nbsp 12 n 1 2 2 displaystyle 12 n 1 2 2 nbsp 3 29 51 7824 15456 22614 28312 47014 68835 14 displaystyle 14 nbsp 14 n 1 2 2 displaystyle 14 n 1 2 2 nbsp 1 6 13 45 74 240 553 12348 13659 50603 Folge A0100905 in OEIS 16 displaystyle 16 nbsp 16 n 1 2 2 displaystyle 16 n 1 2 2 nbsp 1 3 33 81 9753 25056 46395 18 displaystyle 18 nbsp 18 n 1 2 2 displaystyle 18 n 1 2 2 nbsp 2 8 30 98 110 185 912 2514 4074 10208 15123 19395 69354 20 displaystyle 20 nbsp 20 n 1 2 2 displaystyle 20 n 1 2 2 nbsp 1 2 53 183 1281 1300 8041 29936 72820 22 displaystyle 22 nbsp 22 n 1 2 2 displaystyle 22 n 1 2 2 nbsp 1 8 35 88 503 8643 8743 14475 92539 Folge A0100907 in OEIS 24 displaystyle 24 nbsp 24 n 1 2 2 displaystyle 24 n 1 2 2 nbsp 2 27 92 4950 20047 46309 55716 26 displaystyle 26 nbsp 26 n 1 2 2 displaystyle 26 n 1 2 2 nbsp 159 879 4744 5602 74387 28 displaystyle 28 nbsp 28 n 1 2 2 displaystyle 28 n 1 2 2 nbsp 1 22 127 165 2520 6492 6577 22960 25528 30 displaystyle 30 nbsp 30 n 1 2 2 displaystyle 30 n 1 2 2 nbsp 1 6 19 30 166 495 769 826 1648 3993 32 displaystyle 32 nbsp 32 n 1 2 2 displaystyle 32 n 1 2 2 nbsp 2 3 5 11 35 63 87 37116 130698 34 displaystyle 34 nbsp 34 n 1 2 2 displaystyle 34 n 1 2 2 nbsp 1 4 258 36 displaystyle 36 nbsp 36 n 1 2 2 displaystyle 36 n 1 2 2 nbsp 1 3 10 137 154 581 1064 4514 6601 19330 38 displaystyle 38 nbsp 38 n 1 2 2 displaystyle 38 n 1 2 2 nbsp 1 2 13 560 28933 40 displaystyle 40 nbsp 40 n 1 2 2 displaystyle 40 n 1 2 2 nbsp 4 15 39 138 2153 4084 5639 42 displaystyle 42 nbsp 42 n 1 2 2 displaystyle 42 n 1 2 2 nbsp 3 6 14 15 29 78 195 255 272 713 2526 4852 10573 44 displaystyle 44 nbsp 44 n 1 2 2 displaystyle 44 n 1 2 2 nbsp 1 7 30 90 1288 1947 12909 25786 46 displaystyle 46 nbsp 46 n 1 2 2 displaystyle 46 n 1 2 2 nbsp 12 269 1304 5172 48 displaystyle 48 nbsp 48 n 1 2 2 displaystyle 48 n 1 2 2 nbsp 1 2 4 6 12 13 3882 6123 15067 15085 50 displaystyle 50 nbsp 50 n 1 2 2 displaystyle 50 n 1 2 2 nbsp 1 3 4 9 31 66 115 430 1233 2546 2674 6360 53351 69033 69157 Die grosste bekannte verallgemeinerte Carol Primzahl ist 290 124116 1 2 2 displaystyle 290 124116 1 2 2 nbsp und hat 611246 displaystyle 611246 nbsp Stellen 6 Sie wurde von Karsten Bonath am 1 Marz 2019 gefunden Es ist die dritte Kynea Primzahl mit dieser Basis 4 Weitere Verallgemeinerungen BearbeitenEine positive ganze Zahl der Form 2 n 1 3 2 displaystyle 2 n 1 3 2 nbsp nennt man Noddy Zahl Noddy number 7 Die kleinsten primen Noddy Zahlen sind die folgenden 7 0 1 2 6 10 16 48 70 1196 3958 57096 59556 62440 70362 Folge A0100899 in OEIS Siehe auch BearbeitenKynea ZahlWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Near Square Prime In MathWorld englisch Mark Rodenkirch Gary Barnes Karsten Bonath Carol and Kynea Prime Search Carol und Kynea PrimzahlenEinzelnachweise Bearbeiten Cletus Emmanuel auf Prime Pages Message to Yahoo primenumbers group von Cletus Emmanuel 2695631 1 2 2 auf The Lagest Known Primes a b Carol and Kynea Prime Search von Mark Rodenkirch Gary Barnes und Karsten Bonath Prime Wiki Carol Kynea table 290124116 1 2 2 auf The Lagest Known Primes a b Carol und Kynea PrimzahlenV DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Carol Zahl amp oldid 236363333 Beispiele
