Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine Zahl der Form
mit einer ganzen Zahl . Die ersten Fermat-Zahlen lauten 3, 5 und 17.
Im August 1640 vermutete Fermat fälschlicherweise, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien. Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass schon die sechste Fermatzahl F5 durch 641 teilbar ist. Man kennt außer den ersten fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, und vermutet, dass es außer diesen fünf Zahlen auch keine weitere gibt (siehe Abschnitt weiter unten).
Fermat-Zahlen Bearbeiten
Die ersten Fermat-Zahlen lauten und .
Eine etwas längere Liste bis findet man in der folgenden aufklappbaren Box.
n | Dezimal- stellen von Fn | Fn |
---|---|---|
0 | 1 | 3 |
1 | 1 | 5 |
2 | 2 | 17 |
3 | 3 | 257 |
4 | 5 | 65.537 |
5 | 10 | 4.294.967.297 |
6 | 20 | 18.446.744.073.709.551.617 |
7 | 39 | 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457 |
8 | 78 | 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937 |
9 | 155 | 13.407.807.929.942.597.099.574.024.998.205.846.127.479.365.820.592.393.377.723.561.443.721.764.030.073.546.976.801.874.298.166.903.427.690.031.858.186.486.050.853.753.882.811.946.569.946.433.649.006.084.097 |
10 | 309 | 179.769.313.486.231.590.772.930.519.078.902.473.361.797.697.894.230.657.273.430.081.157.732.675.805.500.963.132.708.477.322.407.536.021.120.113.879.871.393.357.658.789.768.814.416.622.492.847.430.639.474.124.377.767.893.424.865.485.276.302.219.601.246.094.119.453.082.952.085.005.768.838.150.682.342.462.881.473.913.110.540.827.237.163.350.510.684.586.298.239.947.245.938.479.716.304.835.356.329.624.224.137.217 |
11 | 617 | 32.317.006.071.311.007.300.714.876.688.669.951.960.444.102.669.715.484.032.130.345.427.524.655.138.867.890.893.197.201.411.522.913.463.688.717.960.921.898.019.494.119.559.150.490.921.095.088.152.386.448.283.120.630.877.367.300.996.091.750.197.750.389.652.106.796.057.638.384.067.568.276.792.218.642.619.756.161.838.094.338.476.170.470.581.645.852.036.305.042.887.575.891.541.065.808.607.552.399.123.930.385.521.914.333.389.668.342.420.684.974.786.564.569.494.856.176.035.326.322.058.077.805.659.331.026.192.708.460.314.150.258.592.864.177.116.725.943.603.718.461.857.357.598.351.152.301.645.904.403.697.613.233.287.231.227.125.684.710.820.209.725.157.101.726.931.323.469.678.542.580.656.697.935.045.997.268.352.998.638.215.525.166.389.437.335.543.602.135.433.229.604.645.318.478.604.952.148.193.555.853.611.059.596.230.657 |
12 | 1234 | 1.044.388.881.413.152.506.691.752.710.716.624.382.579.964.249.047.383.780.384.233.483.283.953.907.971.557.456.848.826.811.934.997.558.340.890.106.714.439.262.837.987.573.438.185.793.607.263.236.087.851.365.277.945.956.976.543.709.998.340.361.590.134.383.718.314.428.070.011.855.946.226.376.318.839.397.712.745.672.334.684.344.586.617.496.807.908.705.803.704.071.284.048.740.118.609.114.467.977.783.598.029.006.686.938.976.881.787.785.946.905.630.190.260.940.599.579.453.432.823.469.303.026.696.443.059.025.015.972.399.867.714.215.541.693.835.559.885.291.486.318.237.914.434.496.734.087.811.872.639.496.475.100.189.041.349.008.417.061.675.093.668.333.850.551.032.972.088.269.550.769.983.616.369.411.933.015.213.796.825.837.188.091.833.656.751.221.318.492.846.368.125.550.225.998.300.412.344.784.862.595.674.492.194.617.023.806.505.913.245.610.825.731.835.380.087.608.622.102.834.270.197.698.202.313.169.017.678.006.675.195.485.079.921.636.419.370.285.375.124.784.014.907.159.135.459.982.790.513.399.611.551.794.271.106.831.134.090.584.272.884.279.791.554.849.782.954.323.534.517.065.223.269.061.394.905.987.693.002.122.963.395.687.782.878.948.440.616.007.412.945.674.919.823.050.571.642.377.154.816.321.380.631.045.902.916.136.926.708.342.856.440.730.447.899.971.901.781.465.763.473.223.850.267.253.059.899.795.996.090.799.469.201.774.624.817.718.449.867.455.659.250.178.329.070.473.119.433.165.550.807.568.221.846.571.746.373.296.884.912.819.520.317.457.002.440.926.616.910.874.148.385.078.411.929.804.522.981.857.338.977.648.103.126.085.903.001.302.413.467.189.726.673.216.491.511.131.602.920.781.738.033.436.090.243.804.708.340.403.154.190.337 |
13 | 2467 | 1.090.748.135.619.415.929.462.984.244.733.782.862.448.264.161.996.232.692.431.832.786.189.721.331.849.119.295.216.264.234.525.201.987.223.957.291.796.157.025.273.109.870.820.177.184.063.610.979.765.077.554.799.078.906.298.842.192.989.538.609.825.228.048.205.159.696.851.613.591.638.196.771.886.542.609.324.560.121.290.553.901.886.301.017.900.252.535.799.917.200.010.079.600.026.535.836.800.905.297.805.880.952.350.501.630.195.475.653.911.005.312.364.560.014.847.426.035.293.551.245.843.928.918.752.768.696.279.344.088.055.617.515.694.349.945.406.677.825.140.814.900.616.105.920.256.438.504.578.013.326.493.565.836.047.242.407.382.442.812.245.131.517.757.519.164.899.226.365.743.722.432.277.368.075.027.627.883.045.206.501.792.761.700.945.699.168.497.257.879.683.851.737.049.996.900.961.120.515.655.050.115.561.271.491.492.515.342.105.748.966.629.547.032.786.321.505.730.828.430.221.664.970.324.396.138.635.251.626.409.516.168.005.427.623.435.996.308.921.691.446.181.187.406.395.310.665.404.885.739.434.832.877.428.167.407.495.370.993.511.868.756.359.970.390.117.021.823.616.749.458.620.969.857.006.263.612.082.706.715.408.157.066.575.137.281.027.022.310.927.564.910.276.759.160.520.878.304.632.411.049.364.568.754.920.967.322.982.459.184.763.427.383.790.272.448.438.018.526.977.764.941.072.715.611.580.434.690.827.459.339.991.961.414.242.741.410.599.117.426.060.556.483.763.756.314.527.611.362.658.628.383.368.621.157.993.638.020.878.537.675.545.336.789.915.694.234.433.955.666.315.070.087.213.535.470.255.670.312.004.130.725.495.834.508.357.439.653.828.936.077.080.978.550.578.912.967.907.352.780.054.935.621.561.090.795.845.172.954.115.972.927.479.877.527.738.560.008.204.118.558.930.004.777.748.727.761.853.813.510.493.840.581.861.598.652.211.605.960.308.356.405.941.821.189.714.037.868.726.219.481.498.727.603.653.616.298.856.174.822.413.033.485.438.785.324.024.751.419.417.183.012.281.078.209.729.303.537.372.804.574.372.095.228.703.622.776.363.945.290.869.806.258.422.355.148.507.571.039.619.387.449.629.866.808.188.769.662.815.778.153.079.393.179.093.143.648.340.761.738.581.819.563.002.994.422.790.754.955.061.288.818.308.430.079.648.693.232.179.158.765.918.035.565.216.157.115.402.992.120.276.155.607.873.107.937.477.466.841.528.362.987.708.699.450.152.031.231.862.594.203.085.693.838.944.657.061.346.236.704.234.026.821.102.958.954.951.197.087.076.546.186.622.796.294.536.451.620.756.509.351.018.906.023.773.821.539.532.776.208.676.978.589.731.966.330.308.893.304.665.169.436.185.078.350.641.568.336.944.530.051.437.491.311.298.834.367.265.238.595.404.904.273.455.928.723.949.525.227.184.617.404.367.854.754.610.474.377.019.768.025.576.605.881.038.077.270.707.717.942.221.977.090.385.438.585.844.095.492.116.099.852.538.903.974.655.703.943.973.086.090.930.596.963.360.767.529.964.938.414.598.185.705.963.754.561.497.355.827.813.623.833.288.906.309.004.288.017.321.424.808.663.962.671.333.528.009.232.758.350.873.059.614.118.723.781.422.101.460.198.615.747.386.855.096.896.089.189.180.441.339.558.524.822.867.541.113.212.638.793.675.567.650.340.362.970.031.930.023.397.828.465.318.547.238.244.232.028.015.189.689.660.418.822.976.000.815.437.610.652.254.270.163.595.650.875.433.851.147.123.214.227.266.605.403.581.781.469.090.806.576.468.950.587.661.997.186.505.665.475.715.792.897 |
14 | 4933 | 1.189.731.495.357.231.765.085.759.326.628.007.130.763.444.687.096.510.237.472.674.821.233.261.358.180.483.686.904.488.595.472.612.039.915.115.437.484.839.309.258.897.667.381.308.687.426.274.524.698.341.565.006.080.871.634.366.004.897.522.143.251.619.531.446.845.952.345.709.482.135.847.036.647.464.830.984.784.714.280.967.845.614.138.476.044.338.404.886.122.905.286.855.313.236.158.695.999.885.790.106.357.018.120.815.363.320.780.964.323.712.757.164.290.613.406.875.202.417.365.323.950.267.880.089.067.517.372.270.610.835.647.545.755.780.793.431.622.213.451.903.817.859.630.690.311.343.850.657.539.360.649.645.193.283.178.291.767.658.965.405.285.113.556.134.369.793.281.725.888.015.908.414.675.289.832.538.063.419.234.888.599.898.980.623.114.025.121.674.472.051.872.439.321.323.198.402.942.705.341.366.951.274.739.014.593.816.898.288.994.445.173.400.364.617.928.377.138.074.411.345.791.848.573.595.077.170.437.644.191.743.889.644.885.377.684.738.322.240.608.239.079.061.399.475.675.334.739.784.016.491.742.621.485.229.014.847.672.335.977.897.158.397.334.226.349.734.811.441.653.077.758.250.988.926.030.894.789.604.676.153.104.257.260.141.806.823.027.588.003.441.951.455.327.701.598.071.281.589.597.169.413.965.608.439.504.983.171.255.062.282.026.626.200.048.042.149.808.200.002.060.993.433.681.237.623.857.880.627.479.727.072.877.482.838.438.705.048.034.164.633.337.013.385.405.998.040.701.908.662.387.301.605.018.188.262.573.723.766.279.240.798.931.717.708.807.901.740.265.407.930.976.419.648.877.869.604.017.517.691.938.687.988.088.008.944.251.258.826.969.688.364.194.133.945.780.157.844.364.946.052.713.655.454.906.327.187.428.531.895.100.278.695.119.323.496.808.703.630.436.193.927.592.692.344.820.812.834.297.364.478.686.862.064.169.042.458.555.136.532.055.050.508.189.891.866.846.863.799.917.647.547.291.371.573.500.701.015.197.559.097.453.040.033.031.520.683.518.216.494.195.636.696.077.748.110.598.284.901.343.611.469.214.274.121.810.495.077.979.275.556.645.164.983.850.062.051.066.517.084.647.369.464.036.640.569.339.464.837.172.183.352.956.873.912.042.640.003.611.618.789.278.195.710.052.094.562.761.306.703.551.840.330.110.645.101.995.435.167.626.688.669.627.763.820.604.342.480.357.906.415.354.212.732.946.756.073.006.907.088.870.496.125.050.068.156.659.252.761.297.664.065.498.347.492.661.798.824.062.312.210.409.274.584.565.587.264.846.417.650.160.123.175.874.034.726.261.957.289.081.466.197.651.553.830.744.424.709.698.634.753.627.770.356.227.126.145.052.549.125.229.448.040.149.114.795.681.359.875.968.512.808.575.244.271.871.455.454.084.894.986.155.020.794.806.980.939.215.658.055.319.165.641.681.105.966.454.159.951.476.908.583.129.721.503.298.816.585.142.073.061.480.888.021.769.818.338.417.129.396.878.371.459.575.846.052.583.142.928.447.249.703.698.548.125.295.775.920.936.450.022.651.427.249.949.580.708.203.966.082.847.550.921.891.152.133.321.048.011.973.883.636.577.825.533.325.988.852.156.325.439.335.021.315.312.134.081.390.451.021.255.363.707.903.495.916.963.125.924.201.167.877.190.108.935.255.914.539.488.216.897.117.943.269.373.608.639.074.472.792.751.116.715.127.106.396.425.081.353.553.137.213.552.890.539.802.602.978.645.319.795.100.976.432.939.091.924.660.228.878.912.900.654.210.118.287.298.298.707.382.159.717.184.569.540.515.403.029.173.307.292.454.391.789.568.674.219.640.761.451.173.600.617.752.186.991.913.366.837.033.887.201.582.071.625.868.247.133.104.513.315.097.274.713.442.728.340.606.642.890.406.496.636.104.443.217.752.811.227.470.029.162.858.093.727.701.049.646.499.540.220.983.981.932.786.613.204.254.226.464.243.689.610.107.429.923.197.638.681.545.837.561.773.535.568.984.536.053.627.234.424.277.105.760.924.864.023.781.629.665.526.314.910.906.960.488.073.475.217.005.121.136.311.870.439.925.762.508.666.032.566.213.750.416.695.719.919.674.223.210.606.724.721.373.471.234.021.613.540.712.188.239.909.701.971.943.944.347.480.314.217.903.886.317.767.779.921.539.892.177.334.344.368.907.550.318.800.833.546.852.344.370.327.089.284.147.501.640.589.448.482.001.254.237.386.680.074.457.341.910.933.774.891.959.681.016.516.069.106.149.905.572.425.810.895.586.938.833.067.490.204.900.368.624.166.301.968.553.005.687.040.285.095.450.484.840.073.528.643.826.570.403.767.157.286.512.380.255.109.954.518.857.013.476.588.189.300.004.138.849.715.883.139.866.071.547.574.816.476.727.635.116.435.462.804.401.112.711.392.529.180.570.794.193.422.686.818.353.212.799.068.972.247.697.191.474.268.157.912.195.973.794.192.807.298.886.952.361.100.880.264.258.801.320.928.040.011.928.153.970.801.130.741.339.550.003.299.015.924.978.259.936.974.358.726.286.143.980.520.112.454.369.271.114.083.747.919.007.803.406.596.321.353.417.004.068.869.443.405.472.140.675.963.640.997.405.009.225.803.505.672.726.465.095.506.267.339.268.892.424.364.561.897.661.906.898.424.186.770.491.035.344.080.399.248.327.097.911.712.881.140.170.384.182.058.601.614.758.284.200.750.183.500.329.358.499.691.864.066.590.539.660.709.069.537.381.601.887.679.046.657.759.654.588.001.937.117.771.344.698.326.428.792.622.894.338.016.112.445.533.539.447.087.462.049.763.409.147.542.099.248.815.521.395.929.388.007.711.172.017.894.897.793.706.604.273.480.985.161.028.815.458.787.911.160.979.113.422.433.557.549.170.905.442.026.397.275.695.283.207.305.331.845.419.990.749.347.810.524.006.194.197.200.591.652.147.867.193.696.254.337.864.981.603.833.146.354.201.700.628.817.947.177.518.115.217.674.352.016.511.172.347.727.727.075.220.056.177.748.218.928.597.158.346.744.541.337.107.358.427.757.919.660.562.583.883.823.262.178.961.691.787.226.118.865.632.764.934.288.772.405.859.754.877.759.869.235.530.653.929.937.901.193.611.669.007.472.354.746.360.764.601.872.442.031.379.944.139.824.366.828.698.790.212.922.996.174.192.728.625.891.720.057.612.509.349.100.482.545.964.152.046.477.925.114.446.500.732.164.109.099.345.259.799.455.690.095.576.788.686.397.487.061.948.854.749.024.863.607.921.857.834.205.793.797.188.834.779.656.273.479.112.388.585.706.424.836.379.072.355.410.286.787.018.527.401.653.934.219.888.361.061.949.671.961.055.068.686.961.468.019.035.629.749.424.086.587.195.041.004.404.915.266.476.272.761.070.511.568.387.063.401.264.136.517.237.211.409.916.458.796.347.624.949.215.904.533.937.210.937.520.465.798.300.175.408.017.538.862.312.719.042.361.037.129.338.896.586.028.150.046.596.078.872.444.365.564.480.545.689.033.575.955.702.988.396.719.744.528.212.984.142.578.483.954.005.084.264.327.730.840.985.420.021.409.069.485.412.320.805.268.520.094.146.798.876.110.414.583.170.390.473.982.488.899.228.091.818.213.934.288.295.679.717.369.943.152.460.447.027.290.669.964.066.817 |
Wegen hat die Fermatzahl doppelt so viele oder um eine weniger als doppelt so viele Stellen wie ihr Vorgänger .
Fermatsche Primzahlen Bearbeiten
Die Idee hinter Fermatschen Primzahlen ist der Satz, dass nur für und für mit prim sein kann:
Beweis durch Widerspruch: Man führt die Annahme, dass das zu Beweisende falsch sei, zu einem Widerspruch.
Die Umkehrung dieses Satzes, dass also nicht nur (wegen offensichtlich) , sondern auch jede Fermat-Zahl prim sei, ist falsch. bis sind sogar die einzigen bisher bekannten Fermatschen Primzahlen:
Schon Fermat zeigte, dass diese ersten fünf Fermat-Zahlen Primzahlen sind, und vermutete 1640, dass dies auf alle Fermat-Zahlen zutreffe. Diese Vermutung wurde aber schon 1732 von Leonhard Euler einfach widerlegt, indem er mit 641 einen echten Teiler von F5 = 4.294.967.297 fand.
Man vermutet inzwischen, dass außer den ersten fünf keine weiteren Fermatschen Primzahlen existieren. Diese Vermutung beruht auf statistischen Abschätzungen: Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als x sind, näherungsweise gleich x / ln x ist. Die Primzahldichte oder Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fn als ungerade Zahl eine Primzahl ist, beträgt daher näherungsweise 2 / ln Fn ≈ 3/2n. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Fermatzahl Fn oder eine der folgenden Fermatzahlen eine Primzahl ist, ergibt sich durch Summation der geometrische Reihe ungefähr zu 6/2n.
Für verbliebene weder teilweise noch vollständig faktorisierte Fermat-Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit mit etwa 6 · 10−10 mittlerweile aber sehr klein geworden.
Faktorisierungsergebnisse von Fermat-Zahlen Bearbeiten
Die Zahlen F0 bis F4 sind, wie schon Fermat erkannt hat, Primzahlen:
n | Fermat-Primzahl Fn |
---|---|
0 | 3 |
1 | 5 |
2 | 17 |
3 | 257 |
4 | 65537 |
Die Zahlen F5 bis F11 sind entgegen der Vermutung Fermats zusammengesetzt. Sie sind bereits vollständig faktorisiert:
n | Entdecker der Faktoren | Primfaktorenzerlegung von Fn |
---|---|---|
5 | Leonhard Euler (1732) | 4.294.967.297 (10 Stellen) = 641 (3 Stellen) × 6.700.417 (7 Stellen) |
6 | Clausen (1855), Landry & Le Lasseur (1880) | 18.446.744.073.709.551.617 (20 Stellen) = 274.177 (6 Stellen) × 67.280.421.310.721 (14 Stellen) |
7 | Morrison & Brillhart (1970) | 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457 (39 Stellen) = 59.649.589.127.497.217 (17 Stellen) × 5.704.689.200.685.129.054.721 (22 Stellen) |
8 | Brent & Pollard (1980) | 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937 (78 Stellen) = 1.238.926.361.552.897 (16 Stellen) × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321 (62 Stellen) |
9 | Western (1903), Lenstra & Manasse (1990) | 13.407.807.929.942.597.099.574.024.998.205.846.127.479.365.820.592.393.377.723.561.443.721.764.030.073.546.976.801.874.298.166.903.427.690.031. 858.186.486.050.853.753.882.811.946.569.946.433.649.006.084.097 (155 Stellen) = 2.424.833 (7 Stellen) × 7.455.602.825.647.884.208.337.395.736.200.454.918.783.366.342.657 (49 Stellen) × 741.640.062.627.530.801.524.787.141.901.937.474.059.940.781.097.519.023.905.821.316.144.415.759.504.705.008.092.818.711.693.940.737 (99 Stellen) |
10 | Selfridge (1953), Brillhart (1962), Brent (1995) | 179.769.313.486.231.590.772.930 … 304.835.356.329.624.224.137.217 (309 Stellen) = 45.592.577 (8 Stellen) × 6.487.031.809 (10 Stellen) × 4.659.775.785.220.018.543.264.560.743.076.778.192.897 (40 Stellen) × 130.439.874.405.488.189.727.484 … 806.217.820.753.127.014.424.577 (252 Stellen) |
11 | Cunningham (1899), Brent & Morain (1988) | 32.317.006.071.311.007.300.714.8 … 193.555.853.611.059.596.230.657 (617 Stellen) = 319.489 (6 Stellen) × 974.849 (6 Stellen) × 167.988.556.341.760.475.137 (21 Stellen) × 3.560.841.906.445.833.920.513 (22 Stellen) × 173.462.447.179.147.555.430.258 … 491.382.441.723.306.598.834.177 (564 Stellen) |
Ab F12 ist keine Fermat-Zahl mehr vollständig faktorisiert. Die ersten acht lauten:
n | Entdecker der Faktoren | Primfaktorenzerlegung von Fn |
---|---|---|
12 | Lucas & Perwuschin (1877), Western (1903), Hallyburton & Brillhart (1974), Baillie (1986), Vang, Zimmermann & Kruppa (2010) | 1.044.388.881.413.152.506.691.752.710.716 … 340.403.154.190.337 (1234 Stellen) = 114.689 (6 Stellen) × 26.017.793 (8 Stellen) × 63.766.529 (8 Stellen) × 190.274.191.361 (12 Stellen) × 1.256.132.134.125.569 (16 Stellen) |
13 | Hallyburton & Brillhart (1974), Crandall (1991), Brent (1995) | 1.090.748.135.619.415.929.462.984.244.733 … 665.475.715.792.897 (2467 Stellen) = 2.710.954.639.361 (13 Stellen) × 2.663.848.877.152.141.313 (19 Stellen) |
14 | Rajala & Woltman (2010) | 1.189.731.495.357.231.765.085.759.326.628 … 290.669.964.066.817 (4933 Stellen) = 116.928.085.873.074.369.829.035.993.834.596.371.340.386.703.423.373.313 (54 Stellen) × zusammengesetzte Zahl (4880 Stellen) |
15 | Kraitchik (1925), Gostin (1987), Crandall & van Halewyn (1997) | 1.415.461.031.044.954.789.001.553.027.744 … 104.633.712.377.857 (9865 Stellen) = 1.214.251.009 (10 Stellen) × 2.327.042.503.868.417 (16 Stellen) × 168.768.817.029.516.972.383.024.127.016.961 (33 Stellen) |
16 | Selfridge (1953), Crandall & Dilcher (1996) | 2.003.529.930.406.846.464.979.072.351.560 … 895.905.719.156.737 (19729 Stellen) = 825.753.601 (9 Stellen) × 188.981.757.975.021.318.420.037.633 (27 Stellen) |
17 | Gostin (1978), Bessell & Woltman (2011) | 4.014.132.182.036.063.039.166.060.606.038 … 318.570.934.173.697 (39457 Stellen) = 31.065.037.602.817 (14 Stellen) × 7.751.061.099.802.522.589.358.967.058.392.886.922.693.580.423.169 (49 Stellen) |
18 | Western (1903), Crandall, McIntosh & Tardif (1999) | 16.113.257.174.857.604.736.195.721.184.520 … 349.934.298.300.417 (78914 Stellen) = 13.631.489 (8 Stellen) × 81.274.690.703.860.512.587.777 (23 Stellen) |
19 | Riesel (1962), Wrathall (1963), Bessell & Woltman (2009) | 259.637.056.783.100.077.612.659.649.572.688 … 528.226.185.773.057 (157827 Stellen) = 70.525.124.609 (11 Stellen) × 646.730.219.521 (12 Stellen) × 37.590.055.514.133.754.286.524.446.080.499.713 (35 Stellen) |
Von F12 bis F32 und von einigen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind – hauptsächlich, weil ein oder mehrere Faktoren gefunden wurden. Von zwei Fermat-Zahlen (F20 und F24) kennt man zwar keinen Faktor, hat aber auf andere Art gezeigt, dass sie zusammengesetzt sind.
Für F14 wurde am 3. Februar 2010 ein Faktor veröffentlicht, für F22 am 25. März 2010.
Die kleinste Fermat-Zahl, von der bislang nicht bekannt ist, ob sie prim oder zusammengesetzt ist, ist F33. Diese Zahl hat 2.585.827.973 Stellen. Insgesamt weiß man von den ersten 50 Fermat-Zahlen nur von 10 nicht, ob sie zusammengesetzt sind oder nicht.
F18.233.954 ist die größte Fermat-Zahl, von der ein Faktor bekannt ist, nämlich die Primzahl 7 · 218.233.956 + 1. Dieser Faktor wurde am 5. Oktober 2020 von Ryan Propper mit Computer-Programmen von Geoffrey Reynolds, Jean Penné und Jim Fougeron entdeckt und hat 5.488.969 Stellen. Die Fermat-Zahl F18.233.954 selbst hat allerdings mehr als 105.488.966 Stellen.
Es gibt keine sinnvolle Methode, sich die Menge an Papier, die man benötigt sie aufzuschreiben – oder gar die Zahl selber – vorzustellen: Selbst mit den hypothetisch kleinsten Teilchen aufgeschrieben, ist das Universum spätestens mit F615 vollgeschrieben und für jeden weiteren Schritt bis F18233954 würde sich der Platz zum Aufschreiben jeweils verdoppeln. Nur hat man mit F615 ja quasi damit noch nicht mal richtig angefangen! Ein wissenschaftlicher Taschenrechner würde eine etwa 27 Kilometer lange Zeile oder alternativ eine 27 Meter mal 10 Meter große Tafel allein für das Anschreiben der Anzahl der Stellen, also von 105488966, als Dezimalzahl benötigen.
Insgesamt weiß man von 324 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind. 368 Primfaktoren sind bisher bekannt (Stand: 30. Juli 2023).
Der folgenden Tabelle kann man entnehmen, in welchem Intervall wie viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen bekannt sind (Stand: 30. Juli 2023):
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Die kleinsten 25 Fermat-Primfaktoren sind die folgenden:
Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pépin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahlen zugeschnitten und sehr schnell sind.
Die folgenden 16 Primfaktoren von Fermat-Zahlen wurden vor 1950 entdeckt.
Jahr | Entdecker | Fermat- Zahl | Dezimal- stellen von Fn | Faktor | Dezimal- stellen dieses Faktors | Faktor ausgeschrieben |
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1732 | Leonhard Euler | F5 (a) | 10 | 5 · 27 + 1 | 3 | 641 |
1732 | Leonhard Euler | F5 (a) | 10 | 52347 · 27 + 1 | 7 | 6.700.417 |
1855 | Thomas Clausen | F6 (a) | 20 | 1071 · 28 + 1 | 6 | 274.177 |
1855 | Thomas Clausen | F6 (a) | 20 | 262814145745 · 28 + 1 | 14 | 67.280.421.310.721 |
1877 | Iwan Perwuschin | F12 | 1.234 | 7 · 214 + 1 | 6 | 114.689 |
1878 | Iwan Perwuschin | F23 | 2.525.223 | 5 · 225 + 1 | 9 | 167.772.161 |
1886 | Paul Peter Heinrich Seelhoff | F36 | 20.686.623.784 | 5 · 239 + 1 | 13 | 2.748.779.069.441 |
1899 | Allan Joseph Champneys Cunningham | F11 | 617 | 39 · 213 + 1 | 6 | 319.489 |
1899 | Allan Joseph Champneys Cunningham | F11 | 617 | 119 · 213 + 1 | 6 | 974.849 |
1903 | Alfred Edward Western | F9 | 155 | 37 · 216 + 1 | 7 | 2.424.833 |
1903 | Alfred Edward Western | F12 | 1.234 | 397 · 216 + 1 | 8 | 26.017.793 |
1903 | Alfred Edward Western | F12 | 1.234 | 973 · 216 + 1 | 8 | 63.766.529 |
1903 | Alfred Edward Western | F18 | 78.914 | 13 · 220 + 1 | 8 | 13.631.489 |
1903 | James Cullen | F38 | 82.746.495.136 | 3 · 241 + 1 | 13 | 6.597.069.766.657 |
1906 | James Caddall Morehead | F73 | 2.843.147.923.723.958.896.933 | 5 · 275 + 1 | 24 | 188.894.659.314.785.808.547.841 |
1925 | Maurice Borissowitsch Kraitchik | F15 | 9.865 | 579 · 221 + 1 | 10 | 1.214.251.009 |
Seit 1950 wurden alle weiteren Faktoren durch Einsatz von Computern gefunden.
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Es wurden somit bisher 352 Primfaktoren von Fermat-Zahlen mit Computern gefunden (Stand: 30. Juli 2023).
Eigenschaften Bearbeiten
- Für hat jeder Teiler von die Form (bewiesen von Euler und Lucas, siehe auch Artikel Quadratisches Reziprozitätsgesetz, Unterabschnitt Teiler von Fermat- und Mersenne-Zahlen).
- Fermat-Zahlen lassen sich auf folgende Arten rekursiv berechnen:
Zwei der vier Beweise funktionieren mittels vollständiger Induktion. Man zeigt, dass die Behauptungen für den Anfang gelten (Induktionsanfang), nimmt an, dass die Behauptung für gilt (Induktionsvoraussetzung) und beweist, dass die Behauptung dadurch auch für gelten muss (Induktionsschluss).
Beweis der ersten Behauptung: für
Beweis der zweiten Behauptung: für
Beweis der dritten Behauptung: für
Beweis der vierten Behauptung: für
- Es gelten folgende Darstellungen von :
Beweis der ersten Behauptung:
Beweis der zweiten Behauptung:
Beweis der dritten Behauptung:
Beweis der vierten Behauptung:
- Sei die -te Fermat-Zahl. Dann gilt:
- kann niemals als Differenz von zwei p-ten Potenzen geschrieben werden, wenn und p ungerade Primzahlen sind:
Beweis der ersten Behauptung:
Beweis der zweiten Behauptung:
Beweis der dritten Behauptung:
Beweis der vierten Behauptung:
- Sei die -te Fermat-Zahl und sei die Anzahl der Stellen von . Dann gilt:
- Sei die -te Fermat-Zahl mit . Dann gilt:
Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit dem linken Teil der Aussage und zeigt, dass daraus die rechte folgert. Danach startet man mit dem rechten Teil der Aussage und zeigt, dass daraus die linke Seite folgert.
Beweis:
- Für gilt:
- Sei , und prim. Dann gilt:
Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist mittels Umformungen und Modulo-Rechnungen das Gewünschte.
Beweis der ersten Behauptung:
- Somit gilt:
- Für erhält man:
- Setzt man nun in obiges Ergebnis ein, dann erhält man:
- Die Zahl ist als Potenz von 2 durch jede kleinere Potenz von 2 teilbar, somit für auch durch . Es existiert also eine positive ganze Zahl mit . Wenn man dies in obiges Ergebnis einsetzt, erhält man: