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Einzigartige Primzahl In der Unterhaltungsmathematik ist eine einzigartige Primzahl oder einzigartige periodische Primza

Einzigartige Primzahl

In der Unterhaltungsmathematik ist eine einzigartige Primzahl oder einzigartige periodische Primzahl (vom englischen unique prime oder unique period prime) eine Primzahl , für welche gilt:

  • Die Dezimalbruchentwicklung von (also des Kehrwertes von ) hat eine einzigartige Periodenlänge , das heißt, es gibt keine andere Primzahl , für die die gleiche Periodenlänge hat. Man sagt „die Primzahl hat eine Periode der Länge “.

Einzigartige Primzahlen wurden erstmals im Jahr 1980 von Samuel Yates untersucht.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Primzahl hat als Kehrwert den Bruch , dessen Dezimalbruchentwicklung ist. Die Periodenlänge von ist somit . Natürlich gibt es auch andere periodische Dezimalbruchentwicklungen mit einer Periodenlänge , zum Beispiel , aber für ist keine Primzahl. Auch hat die Periodenlänge , aber dieser Bruch hat nicht die Form , sondern . Es gibt keine andere Bruchzahl der Form , welche die Periodenlänge hat. Somit ist eine einzigartige Primzahl.
  • Die Primzahl hat als Kehrwert den Bruch , dessen Dezimalbruchentwicklung ist. Die Periodenlänge von ist somit . Alle anderen Bruchzahlen mit einer Periodenlänge haben die Form , aber diesen Bruch kann man bestenfalls durch , durch , durch , durch oder durch kürzen und erhält die Nenner oder . Der einzige prime Nenner ist somit (denn der Bruch mit hat die Periodenlänge ). Es gibt also keine andere Bruchzahl der Form , welche die Periodenlänge hat. Somit ist eine einzigartige Primzahl.
  • Die Primzahl hat als Kehrwert den Bruch , dessen Dezimalbruchentwicklung ist. Die Periodenlänge von ist somit . Allerdings hat auch die Primzahl als Kehrwert den Bruch mit einer Periodenlänge . Somit ist weder die Primzahl noch die Primzahl eine einzigartige Primzahl.
  • Die kleinsten einzigartigen Primzahlen sind die folgenden:
Die dazugehörigen Periodenlängen sind die folgenden:
  • Die 24. einzigartige Primzahl hat 128 Stellen und der dazugehörige Bruch eine Periodenlänge von 320. Die Primzahl lautet:
Diese Zahl beginnt mit 32 Neunen, gefolgt von 32 Nullen, danach kommen 32 Neunen und 32 Nullen und sie endet mit einer . Man schreibt auch kurz .
  • Zurzeit sind mehr als 50 einzigartige Primzahlen (oder einzigartige PRP-Zahlen, also Zahlen, die sehr wahrscheinlich Primzahlen sind, die aber momentan noch zu groß sind, um sich absolut sicher zu sein) bekannt. Es gibt aber nur 18 einzigartige Primzahlen, welche kleiner als sind und 23 einzigartige Primzahlen, welche kleiner als sind.
  • Die momentan größte wahrscheinliche einzigartige Primzahl (Stand: 23. September 2022) ist die folgende:
Sie hat Stellen, ist eine Repunit und wurde im Mai 2021 von Serge Batalov und Ryan Propper entdeckt. Allerdings ist diese Zahl eine PRP-Zahl, das heißt, es noch nicht gesichert, ob sie wirklich prim ist oder nicht, weil sie so groß ist. Sie erfüllt aber viele Voraussetzungen für eine Primzahl.
  • Die momentan größte bewiesene einzigartige Primzahl (Stand: 23. September 2022) ist die folgende:
Sie ist eine Repunit, besteht aus Einsen, wurde schon im September 1999 von Harvey Dubner als PRP-Zahl erkannt, aber erst 21 Jahre später am 21. März 2022 von Paul Underwood als tatsächliche Primzahl identifiziert.
Die zweitgrößte bewiesene einzigartige Primzahl (Stand: 24. Februar 2023) ist die folgende:
Sie hat Stellen und wurde am 15. Oktober 2022 von Serge Batalov entdeckt. Man kann sie auch als darstellen. Dabei ist das n-te Kreisteilungspolynom.
  • Es folgt eine Tabelle, der man entnehmen kann, welche Periodenlängen zu welchen Bruchzahlen mit gehören. Einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben:
Periodenlängen und die dazugehörigen Bruchzahlen mit
Perioden-
länge 		Primzahl Perioden-
länge 		Primzahl Perioden-
länge 		Primzahl Perioden-
länge 		Primzahl Perioden-
länge 		Primzahl
1 3 21 43, 1933, 10838689 41 83, 1231, 538987, 201763709900322803748657942361 61 733, 4637, 329401, 974293, 1360682471, 106007173861643, 7061709990156159479 81 163, 9397, 2462401, 676421558270641, 130654897808007778425046117
2 11 22 23, 4093, 8779 42 127, 2689, 459691 62 909090909090909090909090909091 82 2670502781396266997, 3404193829806058997303
3 37 23 11111111111111111111111 43 173, 1527791, 1963506722254397, 2140992015395526641 63 10837, 23311, 45613, 45121231, 1921436048294281 83 3367147378267, 9512538508624154373682136329, 346895716385857804544741137394505425384477
4 101 24 99990001 44 89, 1052788969, 1056689261 64 19841, 976193, 6187457, 834427406578561 84 226549, 4458192223320340849
5 41, 271 25 21401, 25601, 182521213001 45 238681, 4185502830133110721 65 162503518711, 5538396997364024056286510640780600481 85 262533041, 8119594779271, 4222100119405530170179331190291488789678081
6 7, 13 26 859, 1058313049 46 47, 139, 2531, 549797184491917 66 599144041, 183411838171 86 57009401, 2182600451, 7306116556571817748755241
7 239, 4649 27 757, 440334654777631 47 35121409, 316362908763458525001406154038726382279 67 493121, 79863595778924342083, 28213380943176667001263153660999177245677 87 4003, 72559, 310170251658029759045157793237339498342763245483
8 73, 137 28 29, 281, 121499449 48 9999999900000001 68 28559389, 1491383821, 2324557465671829 88 617, 16205834846012967584927082656402106953
9 333667 29 3191, 16763, 43037, 62003, 77843839397 49 505885997, 1976730144598190963568023014679333 69 277, 203864078068831, 1595352086329224644348978893 89 497867, 103733951, 104984505733, 5078554966026315671444089, 403513310222809053284932818475878953159
10 9091 30 211, 241, 2161 50 251, 5051, 78875943472201 70 4147571, 265212793249617641 90 29611, 3762091, 8985695684401
11 21649, 513239 31 2791, 6943319, 57336415063790604359 51 613, 210631, 52986961, 13168164561429877 71 241573142393627673576957439049, 45994811347886846310221728895223034301839 91 547, 14197, 17837, 4262077, 43442141653, 316877365766624209, 110742186470530054291318013
12 9901 32 353, 449, 641, 1409, 69857 52 521, 1900381976777332243781 72 3169, 98641, 3199044596370769 92 1289, 18371524594609, 4181003300071669867932658901
13 53, 79, 265371653 33 67, 1344628210313298373 53 107, 1659431, 1325815267337711173, 47198858799491425660200071 73 12171337159, 1855193842151350117, 49207341634646326934001739482502131487446637 93 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
14 909091 34 103, 4013, 21993833369 54 70541929, 14175966169 74 7253, 422650073734453, 296557347313446299 94 6299, 4855067598095567, 297262705009139006771611927
15 31, 2906161 35 71, 123551, 102598800232111471 55 1321, 62921, 83251631, 1300635692678058358830121 75 151, 4201, 15763985553739191709164170940063151 95 191, 59281, 63841, 1289981231950849543985493631, 965194617121640791456070347951751
16 17, 5882353 36 999999000001 56 7841, 127522001020150503761 76 722817036322379041, 1369778187490592461 96 97, 206209, 66554101249, 75118313082913
17 2071723, 5363222357 37 2028119, 247629013, 2212394296770203368013 57 21319, 10749631, 3931123022305129377976519 77 5237, 42043, 29920507, 136614668576002329371496447555915740910181043 97 12004721, 846035731396919233767211537899097169, 109399846855370537540339266842070119107662296580348039
18 19, 52579 38 909090909090909091 58 59, 154083204930662557781201849 78 157, 6397, 216451, 388847808493 98 197, 5076141624365532994918781726395939035533
19 1111111111111111111 39 900900900900990990990991 59 2559647034361, 4340876285657460212144534289928559826755746751 79 317, 6163, 10271, 307627, 49172195536083790769, 3660574762725521461527140564875080461079917 99 199, 397, 34849, 362853724342990469324766235474268869786311886053883
20 3541, 27961 40 1676321, 5964848081 60 61, 4188901, 39526741 80 5070721, 19721061166646717498359681 100 60101, 7019801, 14103673319201, 1680588011350901

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jede prime Repunit (also Primzahlen der Form mit Einsern) ist eine einzigartige Primzahl.
Dabei sind die letzten fünf Repunits und PRP-Zahlen, es ist also noch nicht gesichert, ob sie wirklich Primzahlen sind.
  • Die folgenden beiden Aussagen sind gleichwertig:
Somit gilt für oberen Satz:
Beispiel:
Normalfall:
Beispiel 1:
Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für die Periodenlänge tatsächlich ist.
Beispiel 2:
Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für die Periodenlänge tatsächlich ist.
Beispiel 3:
Es ist aber keine Primzahl, somit gibt es auch keine einzigartige Primzahl mit Periodenlänge . Stattdessen haben die Dezimalbruchentwicklungen von und die Periodenlänge .

Ungelöste Probleme Bearbeiten

  • Es wird vermutet, dass es unendlich viele einzigartige Primzahlen gibt (dies würde aus einer anderen mathematischen Vermutung folgern, nämlich dass es unendlich viele prime Repunits gibt).

Einzigartige Primzahlen im Dualsystem Bearbeiten

Einzigartige Primzahlen sind von der Basis abhängig, mit der gezählt wird. In den oberen Abschnitten wurden einzigartige Primzahlen zur Basis , also im Dezimalsystem betrachtet. In diesem Abschnitt werden einzigartige Primzahlen im Dualsystem, also mit Basis , behandelt.

Eine Primzahl ist eine einzigartige Primzahl zur Basis b=2, genau dann, wenn gilt:

  • Der Bruch hat zur Basis die Periodenlänge . Es existiert keine weitere Primzahl , für die der Bruch zur Basis ebenfalls die Periodenlänge hat.

Beispiele Bearbeiten

  • Eine einzigartige Primzahl im Dualsystem ist die Zahl :
eine im Dualsystem periodische Zahl mit Periodenlänge . Es gibt keine weitere Primzahl , deren Bruch im Dualsystem eine Periodenlänge von hat. Somit ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem.
  • Für die Zahl ist eine im Dualsystem nicht periodische Zahl (also mit Periodenlänge ). Es gibt zwar keine weitere Primzahl , deren Bruch im Dualsystem eine Periodenlänge von hat, trotzdem ist keine einzigartige Primzahl im Dualsystem, weil sein muss.
  • Die kleinsten einzigartigen Primzahlen im Dualsystem sind die folgenden, jeweils im Dezimalsystem geschrieben:
Die dazugehörigen Periodenlängen sind die folgenden:
Wenn man die einzigartigen Primzahlen im Dualsystem nach ihrer Periodenlänge geordnet haben will, so erhält man die Folge A161509 in OEIS. Die sortierte Liste der dazugehörigen Periodenlängen ist dann die Folge A161508 in OEIS.
  • Die momentan (Stand: 23. Dezember 2018) größte bekannte einzigartige Primzahl im Dualsystem ist die folgende:
Sie hat Stellen und wurde am 21. Dezember 2018 von Patrick Laroche entdeckt. Sie ist auch gleichzeitig die größte bekannte Primzahl und dadurch auch gleichzeitig die größte bekannte Mersenne-Primzahl. Der dazugehörige Bruch hat, im Dualsystem geschrieben, die Periodenlänge und es gibt keine einzige weitere Primzahl , dessen Bruch dieselbe Periodenlänge hat.
  • Die momentan (Stand: 21. Juli 2018) größte bekannte einzigartige (aber noch nicht endgültig bewiesene) Primzahl im Dualsystem, welche nicht gleichzeitig Mersenne-Primzahl ist, ist die folgende:
Sie hat Stellen und wurde im September 2013 von Ryan Propper entdeckt. Sie ist allerdings noch zu groß, als dass man sicher sagen kann, dass es sich um eine Primzahl handelt. Sie erfüllt viele Primzahl-Eigenschaften und ist eine PRP-Zahl. Ist ihre Primalität bewiesen, so ist sie eine Wagstaff-Primzahl. Der dazugehörige Bruch hat, im Dualsystem geschrieben, die Periodenlänge und es gibt keine einzige weitere Primzahl , dessen Bruch dieselbe Periodenlänge hat.
  • Die momentan (Stand: 25. Oktober 2021) größte bekannte einzigartige (und auch bewiesene) Primzahl im Dualsystem, welche nicht gleichzeitig Mersenne-Primzahl ist, ist die folgende:
Sie hat Stellen und wurde am 3. August 2021 von Bill Allombert entdeckt. Sie ist die momentan größte bekannte Wagstaff-Primzahl. Der dazugehörige Bruch hat, im Dualsystem geschrieben, die Periodenlänge .
  • Die momentan (Stand: 21. Juli 2018) größte bekannte einzigartige Primzahl im Dualsystem, welche weder Mersenne-Primzahl noch Wagstaff-Primzahl (aber leider eine PRP-Zahl) ist, ist die folgende:
Sie hat Stellen und wurde im August 2014 von Paul Bourdelais entdeckt.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jede Fermatsche Primzahl ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem. Ihre Periodenlänge ist eine Zweierpotenz mit .
  • Jede Mersenne-Primzahl ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem. Ihre Periodenlänge ist eine Primzahl .
  • Jede Wagstaff-Primzahl ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem. Ihre Periodenlänge ist das Doppelte einer ungeraden Primzahl mit .
  • Sei und eine natürliche Zahl. Dann gilt:
  • Die folgenden beiden Aussagen sind gleichwertig:
In diesen Fällen hat offenbar einen Teiler, welcher auch Teiler von ist.
Alle anderen bekannten einzigartigen Primzahlen zur Basis haben die Form .
Es ist noch keine Primzahl bekannt, für die in obiger Formel ist. Für alle bekannten einzigartigen Primzahlen im Dualsystem gilt .

Ungelöste Probleme Bearbeiten

  • Es wird vermutet, dass es unendlich viele einzigartige Primzahlen zur Basis gibt (dies würde aus einer anderen mathematischen Vermutung folgern, nämlich dass es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt).
  • Es wird vermutet, dass es keine Wieferich-Primzahlen gibt, die gleichzeitig einzigartige Primzahlen im Dualsystem sind.

Einzigartige Primzahlen in anderen Zahlsystemen Bearbeiten

Eine Primzahl ist eine einzigartige Primzahl zur Basis b, genau dann, wenn gilt:

  • Der Bruch hat zur Basis die Periodenlänge . Es existiert keine weitere Primzahl , für die der Bruch zur Basis ebenfalls die Periodenlänge hat.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die folgenden drei Aussagen sind gleichwertig:
Fall 2: ist ungerade:
Einzigartige Primzahlen im Dezimalsystem bzw. im Dualsystem fallen somit in den Fall 1.
  • Sei die Primzahl ein Teiler der Basis . Dann gilt:
  • Sei . Dann gilt:

Beispiele Bearbeiten

Es folgt eine Auflistung von Primzahlen , für die der Bruch bei gegebener Basis die Periodenlänge besitzt. Einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben:

Primzahlen , für die der Bruch bei gegebener Basis die Periodenlänge hat (einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben)
Periodenlänge n
Basis b 		2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1 es gibt keine 2 3 2 5 2, 3 7 2 3 2, 5 11 2, 3 13 2, 7 3, 5 2 17 2, 3 19 2, 5 3, 7 2, 11 23
2 3 es gibt keine 5 3 7 es gibt keine 3 5 11 3 13 7 3, 5 es gibt keine 17 3 19 5 3, 7 11 23 3 5
3 7 13 7 31 43 19 73 7, 13 37 7, 19 157 61 211 241 7, 13 307 7 127 421 463 13 7, 79 601
4 5 5 17 13 37 5 5, 13 41 101 61 5, 29 5, 17 197 113 257 5, 29 5, 13 181 401 13, 17 5, 97 5, 53 577
5 31 11 11, 31 11, 71 311 2801 31, 151 11, 61 41, 271 3221 22621 30941 11, 3761 11, 4931 11, 31, 41 88741 41, 2711 151, 911 11, 61, 251 40841 245411 292561 346201
6 es gibt keine 7 13 7 31 43 19 73 7, 13 37 7, 19 157 61 211 241 7, 13 307 7 127 421 463 13 7, 79
7 127 1093 43, 127 19531 55987 29, 4733 127, 337 547, 1093 239, 4649 43, 45319 659, 4943 5229043 8108731 1743463 29, 43, 113, 127 25646167 449, 80207 701, 70841 29, 71, 32719 43, 631, 3319 16968421 29, 5336717 29, 239, 28771
8 17 41 257 313 1297 1201 17, 241 17, 193 73, 137 7321 89, 233 14281 41, 937 17, 1489 65537 41761 113, 929 17, 3833 160001 97241 73, 3209 139921 331777
9 73 757 19, 73 19, 829 19, 2467 37, 1063 262657 19, 37, 757 333667 1772893 37, 80749 1609669 397, 18973 541, 21061 19, 37, 73, 109 19, 1270657 991, 34327 523, 29989 64008001 85775383 127, 297613 19, 7792003 19, 2017, 4987
10 11 61 41 521 11, 101 11, 191 11, 331 1181 9091 13421 19141 11, 2411 71, 101 31, 1531 61681 11, 71, 101 11, 9041 11, 2251 152381 185641 224071 31, 41, 211 11, 5791
11 23, 89 23, 3851 23, 89, 683 12207031 23, 3154757 1123, 293459 23, 89, 599479 23, 67, 661, 3851 21649, 513239 15797, 1806113 23, 266981089 23, 419, 859, 18041 67, 4027, 1154539 67, 463, 2333, 8537 23, 89, 397, 683, 2113 2141993519227 23, 199, 16127, 51217 104281, 62060021 10778947368421 17513875027111 67, 353, 1176469537 3937230404603 67, 7349, 134367047
12 13 73 241 601 13, 97 13, 181 37, 109 6481 9901 13, 1117 20593 28393 37, 1033 13, 3877 97, 673 83233 229, 457 13, 769 13, 12277 61, 3181 157, 1489 37, 7549 13, 73, 349
13 8191 797161 2731, 8191 305175781 3433, 760891 16148168401 79, 8191, 121369 398581, 797161 53, 79, 265371653 1093, 3158528101 477517, 20369233 53, 264031, 1803647 157, 29914249171 53, 157483, 16655159 53, 157, 1613, 2731, 8191 212057, 2919196853 79, 521, 29759719289 599, 29251, 133338869 3121, 142559, 9690539 79, 189437, 516094151 79, 2003, 85107437663 47691619, 480393499 53, 6553, 15913, 6895253
14 43 547 29, 113 29, 449 29, 197 113, 911 43, 5419 29, 16493 909091 1623931 211, 13063 29, 22079 7027567 10678711 15790321 22796593 32222107 197, 226871 827, 10529 81867661 29, 43, 86969 71, 673, 2969 183458857
15 151 4561 151, 331 181, 1741 1171, 1201 31, 159871 631, 23311 31, 271, 4561 31, 2906161 195019441 61, 661, 9781 4651, 161971 31, 2851, 15511 61, 39225301 61, 151, 331, 1321 6566760001 31, 601, 558721 31, 211, 2460181 31, 3001, 261451 211, 9391, 18181 61, 858794191 74912328481 241, 17881, 24481
16 257 17, 193 65537 17, 11489 17, 98801 17, 169553 97, 257, 673 21523361 17, 5882353 17, 6304673 17, 97, 260753 407865361 17, 5393, 16097 7121, 179953 641, 6700417 18913, 184417 97, 113607841 15073, 563377 17, 1505882353 62897, 300673 17, 3227992561 17, 3697, 623009 17, 2801, 2311681
17 131071 1871, 34511 43691, 131071 409, 466344409 239, 409, 1123, 30839 14009, 2767631689 103, 2143, 11119, 131071 103, 307, 1021, 1871, 34511 2071723, 5363222357 50544702849929377 2693651, 74876782031 103, 443, 15798461357509 103, 22771730193675277 1045002649, 6734509609 137, 953, 26317, 43691, 131071 10949, 1749233, 2699538733 7563707819165039903 3044803, 99995282631947 689852631578947368421 1502097124754084594737 239, 74729519, 176634767651 103, 62246266355102810647 307, 120574031, 341563234253
18 19 19, 37 37, 109 5167 46441 117307 87211 530713 19, 52579 590077 1657, 1801 19, 271, 937 19, 132049 19, 739, 811 433, 38737 1423, 5653 73, 465841 199, 236377 307, 69481 19, 37, 199, 613 19, 5966803 163, 271, 1117 127, 199, 7561
19 524287 1597, 363889 174763, 524287 191, 6271, 3981071 191, 638073026189 419, 4534166740403 32377, 524287, 1212847 1597, 2851, 101917, 363889 1111111111111111111 6115909044841454629 29043636306420266077 12865927, 9468940004449 459715689149916492091 4272113, 370649274902657 229, 457, 174763, 524287, 525313 229, 1103, 202607147, 291973723 6841, 6089884909802812423 109912203092239643840221 75368484119, 192696104561 12061389013, 54921106624003 45943, 341203, 97404596002423 2129, 63877469, 24939218613613 7282588256957615350925401
20 41 1181 61681 41, 9161 241, 6781 281, 4021 41, 61, 1321 42521761 3541, 27961 212601841 85403261 421, 601, 641 1061, 1383881 19421, 131381 4278255361 21881, 63541 15101, 145501 16936647121 41, 2801, 222361 41, 920421641 181, 401, 150901 61, 941, 272341 61, 1801385941
21 337 368089 337, 5419 379, 519499 1822428931 11898664849 92737, 649657 43, 2269, 368089 43, 1933, 10838689 1723, 8527, 27763 8177824843189 43, 337, 547, 2714377 43, 547, 2239000891 43, 2817034275427 337, 1429, 5419, 14449 43, 13567, 940143709 156107192084257 30640261, 68443621 460951, 8442733531 4789, 6427, 227633407 12271836836138419 43, 170689, 408030421 43, 10426753, 78066619
22 683 67, 661 397, 2113 23, 67, 5281 51828151 23, 10746341 67, 683, 20857 5501, 570461 23, 4093, 8779 23, 89, 199, 58367 57154490053 128011456717 23, 11737870057 23, 23504771357 353, 2931542417 23, 947, 87415373 536801, 6301307 23, 253239693257 23, 424016563147 23, 6073, 10362529 89, 285451051007 39700406579747 60867245726761
23 47, 178481 47, 1001523179 47, 178481, 2796203 8971, 332207361361 47, 139, 3221, 7505944891 47, 3083, 31479823396757 47, 178481, 10052678938039 47, 1001523179, 23535794707 11111111111111111111111 829, 28878847, 3740221981231 47, 39891250417, 321218438243 1381, 2519545342349331183143 47, 461, 2347, 10627, 2249861, 14525237 829, 31741, 3046462151831565769 47, 277, 1013, 1657, 30269, 178481, 2796203 47, 26552618219228090162977481 47, 599, 7468009, 20801237997245359 277, 2347, 16497763013, 1335495402823 691, 1381, 46266279097921483078651 47, 19597, 139870566115103282847737 4463, 1323064018651, 60575166785239 461, 1289, 831603031789, 1920647391913 47, 124799, 304751, 58769065453824529
24 241 6481 97, 673 390001 1678321 73, 193, 409 433, 38737 97, 577, 769 99990001 10657, 20113 193, 2227777 815702161 1475750641 2562840001 193, 22253377 73, 1321, 72337 11019855601 4297, 3952393 31177, 821113 73, 518118697 191353, 286777 937, 83575993 97, 1134793633

Die Primzahlen für die Basis kann man mit aufsteigender Periodenlänge auch der Folge A108974 in OEIS entnehmen.

Es folgt eine Auflistung der Periodenlängen von Bruchzahlen der Form mit den ersten 34 Primzahlen zu verschiedensten Basen . Wenn die Primzahl ein Teiler der Basis ist, endet die Dezimalbruchentwicklung, die Periodenlänge beträgt somit . Ist die Primzahl eine einzigartige Primzahl zur Basis , so wird die Periodenlänge in einer gelben Zelle geschrieben:

Periodenlängen von (mit ) bei gegebener Basis (dabei bedeutet , dass die Primzahl Teiler der Basis ist)
Primzahl
Basis 		2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
5 4 4 2 1 4 4 2 1 4 4 2 1 4 4 2 1 4 4 2
7 3 6 3 6 2 1 3 6 3 6 2 1 3 6 3 6 2 1 3 6
11 10 5 5 5 10 10 10 5 2 1 10 5 5 5 10 10 10 5 2 1 10
13 12 3 6 4 12 12 4 3 6 12 2 1 12 3 6 4 12 12 4 3 6 12
17 8 16 4 16 16 16 8 8 16 16 16 4 16 8 2 1 8 16 4 16 16 16
19 18 18 9 9 9 3 6 9 18 3 6 18 18 18 9 9 2 1 18 18 9 9
23 11 11 11 22 11 22 11 11 22 22 11 11 22 22 11 22 11 22 22 22 2 1
29 28 28 14 14 14 7 28 14 28 28 4 14 28 28 7 4 28 28 7 28 14 7 7
31 5 30 5 3 6 15 5 15 15 30 30 30 15 10 5 30 15 15 15 30 30 10 30
37 36 18 18 36 4 9 12 9 3 6 9 36 12 36 9 36 36 36 36 18 36 12 36
41 20 8 10 20 40 40 20 4 5 40 40 40 8 40 5 40 5 40 20 20 40 10 40
43 14 42 7 42 3 6 14 21 21 7 42 21 21 21 7 21 42 42 42 7 14 21 21
47 23 23 23 46 23 23 23 23 46 46 23 46 23 46 23 23 23 46 46 23 46 46 23
53 52 52 26 52 26 26 52 26 13 26 52 13 52 13 13 26 52 52 52 52 52 4 13
59 58 29 29 29 58 29 58 29 58 58 29 58 58 29 29 29 58 29 29 29 29 58 58
61 60 10 30 30 60 60 20 5 60 4 15 3 6 15 15 60 60 30 5 12 15 20 20
67 66 22 33 22 33 66 22 11 33 66 66 66 11 11 33 33 66 33 66 33 11 33 11
71 35 35 35 5 35 70 35 35 35 70 35 70 10 35 35 10 35 35 7 70 70 14 35
73 9 12 9 72 36 24 3 6 8 72 36 72 72 72 9 24 18 36 72 24 8 36 12
79 39 78 39 39 78 78 13 39 13 39 26 39 26 26 39 26 13 39 39 13 13 3 6
83 82 41 41 82 82 41 82 41 41 41 41 82 82 82 41 41 82 82 82 41 82 41 82
89 11 88 11 44 88 88 11 44 44 22 8 88 88 88 11 44 44 88 44 44 22 88 88
97 48 48 24 96 12 96 16 24 96 48 16 96 96 96 12 96 16 32 32 96 4 96 24
101 100 100 50 25 10 100 100 50 4 100 100 50 10 100 25 10 100 25 50 50 50 50 25
103 51 34 51 102 102 51 17 17 34 102 102 17 17 51 51 51 51 51 102 102 34 17 34
107 106 53 53 106 106 106 106 53 53 53 53 53 53 106 53 106 106 53 106 106 106 53 106
109 36 27 18 27 108 27 12 27 108 108 54 108 108 27 9 36 108 36 54 27 27 36 108
113 28 112 14 112 112 14 28 56 112 56 112 56 28 4 7 112 8 112 112 112 56 112 112
127 7 126 7 42 126 126 7 63 42 63 126 63 126 63 7 63 63 3 6 63 9 126 18
131 130 65 65 65 130 65 130 65 130 65 65 65 130 65 65 130 26 26 65 65 130 130 26
137 68 136 34 136 136 68 68 68 8 68 136 136 34 34 17 68 34 68 136 136 34 136 136
139 138 138 69 69 23 69 46 69 46 69 138 69 46 138 69 138 138 138 69 138 138 46 69

Nun folgt eine Tabelle, der man die kleinsten Periodenlängen (bis inklusive ) entnehmen kann, für die der Bruch mit eine einzigartige Länge hat. Es gibt somit keine andere Primzahl zur gegebenen Basis mit der gleichen Periodenlänge. Außerdem wird jeweils auch die dazugehörige einzigartige Primzahl angegeben, deren Bruch diese Periodenlänge hat.

die kleinsten Periodenlängen für den Bruch von einzigartigen Primzahlen zur Basis und die dazugehörigen Primzahlen
Basis die kleinsten Periodenlängen von einzigartigen Primzahlen zur Basis OEIS-Folge
die dazugehörigen einzigartigen Primzahlen mit diesen Periodenlängen OEIS-Folge
2 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 38, 40, 42, 46, 49, 54, 56, 61, 62, 65, 69, 77, 78, 80, 85, 86, 89, 90, 93, 98, 107, 120, 122, 126, 127, 129, 133, 145, 147, 150, 158, 165, 170, 174, 184, 192, 195, 202, 208, 234, 254, 261, 280, 296, 312, 322, 334, 342, 345, 366, 374, 382, 398, 410, 414, 425, 447, 471, 507, 521, 550, 567, 579, 590, 600, … Folge A161508 in OEIS
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2, 13, 5, 11, 7, 1093, 41, 757, 61, 73, 797161, 547, 4561, 1181, 368089, 6481, 398581, 21523361, 2413941289, 530713, 42521761, 23535794707, 47763361, 144542918285300809, 926510094425921, 374857981681, 3754733257489862401973357979128773, 282429005041, 82064241848634269407, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, …
4 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 28, 40, 60, 92, 96, 104, 140, 148, 156, 300, 356, 408, 596, …
3, 5, 7, 17, 13, 257, 41, 241, 65537, 61681, 15790321, 4278255361, 4562284561, 291280009243618888211558641, 18446744069414584321, 78919881726271091143763623681, 84179842077657862011867889681, 20988936657440586486151264256610222593863921, 84159375948762099254554456081, 1461503031127477825099979369543473122548042956801, …
5 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 18, 24, 28, 47, 48, 49, 56, 57, 88, 90, 92, 108, 110, 116, 120, 127, 134, 141, 149, 161, 171, 181, 198, 202, 206, 236, 248, 288, 357, 384, 420, 458, 500, 530, 536, …
2, 3, 31, 13, 7, 19531, 313, 521, 12207031, 601, 305175781, 5167, 390001, 234750601, 177635683940025046467781066894531, 152587500001, 227376585863531112677002031251, 59509429687890001, 11735415506748076408140121, 9080418348371887359375390001, 60081451169922001, 5465713352000770660547109750601, 14551915228363037109375001, …
6 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 21, 22, 24, 29, 30, 42, 50, 62, 71, 86, 90, 94, 118, 124, 127, 129, 144, 154, 186, 192, 214, 271, 354, 360, 411, 480, 509, 558, 575, …
5, 7, 43, 37, 311, 31, 55987, 1297, 46441, 1822428931, 51828151, 1678321, 7369130657357778596659, 1950271, 2527867231, 3655688315536801, 189491931189200021056951, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, 412482688627178079807598675848631, 4760317816590150361, …
7 3, 4, 5, 6, 8, 13, 18, 21, 28, 30, 34, 36, 46, 48, 50, 54, 55, 58, 63, 76, 84, 94, 105, 122, 131, 148, 149, 224, 280, 288, 296, 332, 352, 456, 528, 531, 581, …
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8 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 42, 78, 87, 114, 138, 189, 303, 318, 330, 408, 462, 504, 561, …
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9 1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 20, 30, 32, 36, 54, 64, 66, 118, 138, 152, 182, 232, 264, 336, 340, 380, 414, 446, 492, 540, …
2, 5, 41, 73, 1181, 6481, 21523361, 530713, 42521761, 47763361, 926510094425921, 282429005041, 150094634909578633, 1716841910146256242328924544641, 13490012358249728401, 19966781110160346782368664772328944885905284750420567849, 1076050302914923449767311155851656076154481, …
10 1, 2, 3, 4, 9, 10, 12, 14, 19, 23, 24, 36, 38, 39, 48, 62, 93, 106, 120, 134, 150, 196, 294, 317, 320, 385, 586, 597, … Folge A007498 in OEIS
3, 11, 37, 101, 333667, 9091, 9901, 909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 99990001, 999999000001, 909090909090909091, 900900900900990990990991, 9999999900000001, 909090909090909090909090909091, 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991, 9090909090909090909090909090909090909090909090909091, 100009999999899989999000000010001, 909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091, 10000099999999989999899999000000000100001, 999999999999990000000000000099999999999999000000000000009999999999999900000000000001, 142857157142857142856999999985714285714285857142857142855714285571428571428572857143, … Folge A007615 in OEIS
11 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 27, 36, 42, 45, 52, 60, 73, 91, 104, 139, 205, 234, 246, 318, 358, 388, 403, 458, 552, …
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12 1, 2, 3, 5, 10, 12, 19, 20, 21, 22, 56, 60, 63, 70, 80, 84, 92, 97, 109, 111, 123, 164, 189, 218, 276, 317, 353, 364, 386, 405, 456, 511, …
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2, 3, 307, 88741, 25646167, 41761, 2141993519227, 83233, 22796593, 6566760001, 45957792327018709121, 88109799136087, 1109309383381084655697725873, 423622795798733187216959754496018087627393990881167960767, 48661191868691111041, 4064228544226537005066401, 143798195172461138521036839345269251740737334259640879028155379795667047030720519999127, …
18 1, 2, 3, 6, 14, 17, 21, 24, 30, 33, 38, 45, 46, 72, 78, 114, 146, 168, 288, 414, 440, 448, …
17, 19, 7, 307, 32222107, 7563707819165039903, 156107192084257, 11019855601, 11630180251, 12042065697120681040605799, 1961870762757168078553, 1338029376807245057016053427001, 3913037558632733048069409307, 1338258845052393545608356556801, 1412364383703504438982118048251, 1633867441076854816741224240423374163767714299, …
19 2, 3, 4, 6, 19, 20, 31, 34, 47, 56, 59, 61, 70, 74, 91, 92, 96, 98, 107, 120, 145, 156, 168, 242, 276, 314, 326, 337, 387, 565, …
5, 127, 181, 7, 109912203092239643840221, 16936647121, 243270318891483838103593381595151809701, 274019342889240109297, 70169234660105574400577005075855017842743056666917902427141, 4898725341275828472027787456561, 155306613932666028670208812450645212905178047040045530562317564121001023821, …
20 1, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 17, 30, 98, 100, 110, 126, 154, 158, 160, 168, 178, 182, 228, 266, 270, 280, 340, 416, 480, 574, …
19, 421, 401, 127, 160001, 64008001, 152381, 10778947368421, 689852631578947368421, 26876632021, 628292358238289452269193508271835428805485714102857143, 10995116277758926258176000104857599999989760000000001, 11544868483876542417134734645670674427914239932800021, 68728066670457765494784262143995903488000008001, …
21 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 14, 17, 26, 43, 64, 74, 81, 104, 192, 271, 321, 335, 348, 404, 437, 445, 516, …
11, 463, 40841, 421, 97241, 85775383, 185641, 17513875027111, 81867661, 1502097124754084594737, 7021471715414521, 35842614220783025524408588074144786493150233831596714503, 1023263388750334684164671319051311082339521, 379919184478057330357419845346252603881265273961, …
22 2, 3, 5, 6, 7, 10, 21, 25, 26, 69, 79, 86, 93, 100, 101, 154, 158, 161, 171, 202, 214, 294, 354, 359, 424, 454, …
23, 13, 245411, 463, 16968421, 224071, 12271836836138419, 705429635566498619547944801, 12296089473177511, 111284674149221479321933039375712865638979268198676574953779, 536009503964613991286957683005287140685493324523698332668846831791767500295593367113600925667991227216067, …
23 2, 5, 6, 8, 11, 15, 22, 26, 39, 42, 45, 54, 56, 132, 134, 145, 147, 196, 212, 218, 252, 343, 580, …
3, 292561, 13, 139921, 3937230404603, 74912328481, 39700406579747, 21001515080686141, 459408054528299360264076035007841, 22865554874031409, 480211292412647894626919619228001, 1081383636631149044212969, 480249047846803230704957710381921, 2950758285992728866481208896744379674128936788494711201, …
24 1, 2, 3, 4, 5, 8, 14, 19, 22, 38, 45, 53, 54, 70, 71, 117, 140, 144, 169, 186, 192, 195, 196, 430, …
23, 5, 601, 577, 346201, 331777, 183458857, 7282588256957615350925401, 60867245726761, 6699981196401006122851369, 1333639297121560770726162830707201, 615840114784814774501200690134862345946783236130283731411280186824640601, 6979147079581739570429953, 1389307926104143220565076487602201, …

Bi-Einzigartige Primzahlen Bearbeiten

Die beiden Primzahlen und nennt man bi-einzigartige Primzahlen (vom englischen bi-unique prime), wenn gilt:

  • Die beiden Bruchzahlen und haben die gleiche Periodenlänge
  • Es gibt keine andere Primzahl , sodass diese Periodenlänge besitzt

Beispiele Bearbeiten

  • Sei die Basis und die Periodenlänge . Dann gilt für das Kreisteilungspolynom und für :
Veröffentlichungsdatum:
In der Unterhaltungsmathematik ist eine einzigartige Primzahl oder einzigartige periodische Primzahl vom englischen unique prime oder unique period prime eine Primzahl p P displaystyle p in mathbb P fur welche gilt Die Dezimalbruchentwicklung von 1 p displaystyle frac 1 p also des Kehrwertes von p displaystyle p hat eine einzigartige Periodenlange n 1 displaystyle n geq 1 das heisst es gibt keine andere Primzahl q P displaystyle q in mathbb P fur die 1 q displaystyle frac 1 q die gleiche Periodenlange hat Man sagt die Primzahl p displaystyle p hat eine Periode der Lange n displaystyle n Einzigartige Primzahlen wurden erstmals im Jahr 1980 von Samuel Yates untersucht 1 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Ungeloste Probleme 4 Einzigartige Primzahlen im Dualsystem 4 1 Beispiele 4 2 Eigenschaften 4 3 Ungeloste Probleme 5 Einzigartige Primzahlen in anderen Zahlsystemen 5 1 Eigenschaften 5 2 Beispiele 6 Bi Einzigartige Primzahlen 6 1 Beispiele 7 Tri Einzigartige Primzahlen 7 1 Beispiele 8 Verallgemeinerung n Einzigartige Primzahlen 8 1 Beispiele 9 Einzelnachweise 10 WeblinksBeispiele BearbeitenDie Primzahl p 3 displaystyle p 3 nbsp hat als Kehrwert den Bruch 1 3 displaystyle frac 1 3 nbsp dessen Dezimalbruchentwicklung 1 3 0 333 3333 0 3 displaystyle frac 1 3 0 3333333 ldots 0 overline 3 nbsp ist Die Periodenlange von 1 3 displaystyle frac 1 3 nbsp ist somit 1 displaystyle 1 nbsp Naturlich gibt es auch andere periodische Dezimalbruchentwicklungen mit einer Periodenlange n 1 displaystyle n 1 nbsp zum Beispiel 0 1 0 111 1111 1 9 displaystyle 0 overline 1 0 1111111 ldots frac 1 9 nbsp aber fur 1 9 1 k displaystyle frac 1 9 frac 1 k nbsp ist k 9 P displaystyle k 9 not in mathbb P nbsp keine Primzahl Auch 0 6 0 666 666 2 3 displaystyle 0 overline 6 0 666666 ldots frac 2 3 nbsp hat die Periodenlange n 1 displaystyle n 1 nbsp aber dieser Bruch hat nicht die Form 1 p displaystyle frac 1 p nbsp sondern 2 p displaystyle frac 2 p nbsp Es gibt keine andere Bruchzahl der Form 1 p displaystyle frac 1 p nbsp welche die Periodenlange 1 displaystyle 1 nbsp hat Somit ist p 3 displaystyle p 3 nbsp eine einzigartige Primzahl Die Primzahl p 11 displaystyle p 11 nbsp hat als Kehrwert den Bruch 1 11 displaystyle frac 1 11 nbsp dessen Dezimalbruchentwicklung 1 11 0 090 909 0 09 displaystyle frac 1 11 0 090909 ldots 0 overline 09 nbsp ist Die Periodenlange von 1 11 displaystyle frac 1 11 nbsp ist somit 2 displaystyle 2 nbsp Alle anderen Bruchzahlen mit einer Periodenlange 2 displaystyle 2 nbsp haben die Form 0 x y 0 x y x y x y x y x y 99 displaystyle 0 overline xy 0 xyxyxyxy ldots frac xy 99 nbsp aber diesen Bruch kann man bestenfalls durch 3 displaystyle 3 nbsp durch 9 displaystyle 9 nbsp durch 11 displaystyle 11 nbsp durch 33 displaystyle 33 nbsp oder durch 99 displaystyle 99 nbsp kurzen und erhalt die Nenner 33 11 9 3 displaystyle 33 11 9 3 nbsp oder 1 displaystyle 1 nbsp Der einzige prime Nenner ist somit p 11 displaystyle p 11 nbsp denn der Bruch mit p 3 displaystyle p 3 nbsp hat die Periodenlange 1 displaystyle 1 nbsp Es gibt also keine andere Bruchzahl der Form 1 p displaystyle frac 1 p nbsp welche die Periodenlange n 2 displaystyle n 2 nbsp hat Somit ist p 11 displaystyle p 11 nbsp eine einzigartige Primzahl Die Primzahl p 41 displaystyle p 41 nbsp hat als Kehrwert den Bruch 1 41 displaystyle frac 1 41 nbsp dessen Dezimalbruchentwicklung 1 41 0 024 3902439 0 02439 displaystyle frac 1 41 0 0243902439 ldots 0 overline 02439 nbsp ist Die Periodenlange von 1 41 displaystyle frac 1 41 nbsp ist somit n 5 displaystyle n 5 nbsp Allerdings hat auch die Primzahl p 271 displaystyle p 271 nbsp als Kehrwert den Bruch 1 271 0 003 6900369 0 00369 displaystyle frac 1 271 0 0036900369 ldots 0 overline 00369 nbsp mit einer Periodenlange n 5 displaystyle n 5 nbsp Somit ist weder die Primzahl p 41 displaystyle p 41 nbsp noch die Primzahl p 271 displaystyle p 271 nbsp eine einzigartige Primzahl Die kleinsten einzigartigen Primzahlen sind die folgenden 3 11 37 101 9091 9901 333667 909091 99990001 999999000001 9999999900000001 909090909090909091 1111111111111111111 11111111111111111111111 900900900900990990990991 909090909090909090909090909091 Folge A040017 in OEIS dd Die dazugehorigen Periodenlangen sind die folgenden 1 2 3 4 10 12 9 14 24 36 48 38 19 23 39 62 Folge A051627 in OEIS Beispiel Obigen beiden Listen kann man an der 10 Stelle die beiden Zahlen 999999000001 displaystyle 999999000001 nbsp und 36 displaystyle 36 nbsp entnehmen Somit hat der Bruch 1 p 1 999999000001 displaystyle frac 1 p frac 1 999999000001 nbsp die Periodenlange 36 displaystyle 36 nbsp und es gibt keinen anderen Bruch der Form 1 q displaystyle frac 1 q nbsp mit q P displaystyle q in mathbb P nbsp der die Periodenlange 36 displaystyle 36 nbsp hat dd dd Die 24 einzigartige Primzahl p displaystyle p nbsp hat 128 Stellen und der dazugehorige Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp eine Periodenlange von 320 Die Primzahl p displaystyle p nbsp lautet p 999 999000 000999 999000 0001 displaystyle p 999 ldots 999000 ldots 000999 ldots 999000 ldots 0001 nbsp dd Diese Zahl beginnt mit 32 Neunen gefolgt von 32 Nullen danach kommen 32 Neunen und 32 Nullen und sie endet mit einer 1 displaystyle 1 nbsp Man schreibt auch kurz p 9 32 0 32 2 1 displaystyle p 9 32 0 32 2 1 nbsp Zurzeit sind mehr als 50 einzigartige Primzahlen oder einzigartige PRP Zahlen also Zahlen die sehr wahrscheinlich Primzahlen sind die aber momentan noch zu gross sind um sich absolut sicher zu sein bekannt Es gibt aber nur 18 einzigartige Primzahlen welche kleiner als 10 50 displaystyle 10 50 nbsp sind und 23 einzigartige Primzahlen welche kleiner als 10 100 displaystyle 10 100 nbsp sind Die momentan grosste wahrscheinliche einzigartige Primzahl Stand 23 September 2022 ist die folgende p 10 8177207 1 9 displaystyle p frac 10 8177207 1 9 nbsp dd Sie hat 8177207 displaystyle 8177207 nbsp Stellen ist eine Repunit und wurde im Mai 2021 von Serge Batalov und Ryan Propper entdeckt Allerdings ist diese Zahl eine PRP Zahl das heisst es noch nicht gesichert ob sie wirklich prim ist oder nicht weil sie so gross ist Sie erfullt aber viele Voraussetzungen fur eine Primzahl 2 3 Die momentan grosste bewiesene einzigartige Primzahl Stand 23 September 2022 ist die folgende p R 49081 10 49081 1 9 111 111 displaystyle p R 49081 frac 10 49081 1 9 111 ldots 111 nbsp dd Sie ist eine Repunit besteht aus 49081 displaystyle 49081 nbsp Einsen wurde schon im September 1999 von Harvey Dubner als PRP Zahl erkannt 2 4 aber erst 21 Jahre spater am 21 Marz 2022 von Paul Underwood als tatsachliche Primzahl identifiziert 5 6 Die zweitgrosste bewiesene einzigartige Primzahl Stand 24 Februar 2023 ist die folgende p F 23178 10000 10 30904 1 10 15452 99990001 displaystyle p Phi 23178 10000 frac 10 30904 1 10 15452 99990001 nbsp dd Sie hat 30897 displaystyle 30897 nbsp Stellen und wurde am 15 Oktober 2022 von Serge Batalov entdeckt 7 Man kann sie auch als p F 11589 10000 displaystyle p Phi 11589 10000 nbsp darstellen Dabei ist F n x displaystyle Phi n x nbsp das n te Kreisteilungspolynom Es folgt eine Tabelle der man entnehmen kann welche Periodenlangen n 100 displaystyle n leq 100 nbsp zu welchen Bruchzahlen 1 p displaystyle frac 1 p nbsp mit p P displaystyle p in mathbb P nbsp gehoren Einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben Periodenlangen n 100 displaystyle n leq 100 nbsp und die dazugehorigen Bruchzahlen 1 p displaystyle frac 1 p nbsp mit p P displaystyle p in mathbb P nbsp Perioden lange n displaystyle n nbsp Primzahl p displaystyle p nbsp Perioden lange n displaystyle n nbsp Primzahl p displaystyle p nbsp Perioden lange n displaystyle n nbsp Primzahl p displaystyle p nbsp Perioden lange n displaystyle n nbsp Primzahl p displaystyle p nbsp Perioden lange n displaystyle n nbsp Primzahl p displaystyle p nbsp 1 3 21 43 1933 10838689 41 83 1231 538987 201763709900322803748657942361 61 733 4637 329401 974293 1360682471 106007173861643 7061709990156159479 81 163 9397 2462401 676421558270641 1306548978080077784250461172 11 22 23 4093 8779 42 127 2689 459691 62 909090909090909090909090909091 82 2670502781396266997 34041938298060589973033 37 23 11111111111111111111111 43 173 1527791 1963506722254397 2140992015395526641 63 10837 23311 45613 45121231 1921436048294281 83 3367147378267 9512538508624154373682136329 3468957163858578045447411373945054253844774 101 24 99990001 44 89 1052788969 1056689261 64 19841 976193 6187457 834427406578561 84 226549 44581922233203408495 41 271 25 21401 25601 182521213001 45 238681 4185502830133110721 65 162503518711 5538396997364024056286510640780600481 85 262533041 8119594779271 42221001194055301701793311902914887896780816 7 13 26 859 1058313049 46 47 139 2531 549797184491917 66 599144041 183411838171 86 57009401 2182600451 73061165565718177487552417 239 4649 27 757 440334654777631 47 35121409 316362908763458525001406154038726382279 67 493121 79863595778924342083 28213380943176667001263153660999177245677 87 4003 72559 3101702516580297590451577932373394983427632454838 73 137 28 29 281 121499449 48 9999999900000001 68 28559389 1491383821 2324557465671829 88 617 162058348460129675849270826564021069539 333667 29 3191 16763 43037 62003 77843839397 49 505885997 1976730144598190963568023014679333 69 277 203864078068831 1595352086329224644348978893 89 497867 103733951 104984505733 5078554966026315671444089 40351331022280905328493281847587895315910 9091 30 211 241 2161 50 251 5051 78875943472201 70 4147571 265212793249617641 90 29611 3762091 898569568440111 21649 513239 31 2791 6943319 57336415063790604359 51 613 210631 52986961 13168164561429877 71 241573142393627673576957439049 45994811347886846310221728895223034301839 91 547 14197 17837 4262077 43442141653 316877365766624209 11074218647053005429131801312 9901 32 353 449 641 1409 69857 52 521 1900381976777332243781 72 3169 98641 3199044596370769 92 1289 18371524594609 418100330007166986793265890113 53 79 265371653 33 67 1344628210313298373 53 107 1659431 1325815267337711173 47198858799491425660200071 73 12171337159 1855193842151350117 49207341634646326934001739482502131487446637 93 90090090090090090090090090090099099099099099099099099099099114 909091 34 103 4013 21993833369 54 70541929 14175966169 74 7253 422650073734453 296557347313446299 94 6299 4855067598095567 29726270500913900677161192715 31 2906161 35 71 123551 102598800232111471 55 1321 62921 83251631 1300635692678058358830121 75 151 4201 15763985553739191709164170940063151 95 191 59281 63841 1289981231950849543985493631 96519461712164079145607034795175116 17 5882353 36 999999000001 56 7841 127522001020150503761 76 722817036322379041 1369778187490592461 96 97 206209 66554101249 7511831308291317 2071723 5363222357 37 2028119 247629013 2212394296770203368013 57 21319 10749631 3931123022305129377976519 77 5237 42043 29920507 136614668576002329371496447555915740910181043 97 12004721 846035731396919233767211537899097169 10939984685537053754033926684207011910766229658034803918 19 52579 38 909090909090909091 58 59 154083204930662557781201849 78 157 6397 216451 388847808493 98 197 507614162436553299491878172639593903553319 1111111111111111111 39 900900900900990990990991 59 2559647034361 4340876285657460212144534289928559826755746751 79 317 6163 10271 307627 49172195536083790769 3660574762725521461527140564875080461079917 99 199 397 34849 36285372434299046932476623547426886978631188605388320 3541 27961 40 1676321 5964848081 60 61 4188901 39526741 80 5070721 19721061166646717498359681 100 60101 7019801 14103673319201 1680588011350901Eigenschaften BearbeitenJede prime Repunit R n displaystyle R n nbsp also Primzahlen der Form 111 111 displaystyle 111 ldots 111 nbsp mit n displaystyle n nbsp Einsern ist eine einzigartige Primzahl Beispiel Die folgende Liste gibt die n displaystyle n nbsp der momentan bekannten primen Repunits R n displaystyle R n nbsp an 2 19 23 317 1031 49081 86453 109297 270343 5794777 8177207 Folge A004023 in OEIS dd Dabei sind die letzten funf Repunits R 86453 R 109297 R 270343 R 5794777 displaystyle R 86453 R 109297 R 270343 R 5794777 nbsp und R 8177207 displaystyle R 8177207 nbsp PRP Zahlen es ist also noch nicht gesichert ob sie wirklich Primzahlen sind 2 dd dd Die folgenden beiden Aussagen sind gleichwertig 6 8 9 Die Primzahl p displaystyle p nbsp ist eine einzigartige Primzahl mit Periode n displaystyle n nbsp p a F n 10 ggT F n 10 n displaystyle p alpha frac Phi n 10 operatorname ggT Phi n 10 n nbsp ist eine Potenz von p displaystyle p nbsp wobei F n x displaystyle Phi n x nbsp das n te Kreisteilungspolynom ist Spezialfall Ist n P displaystyle n in mathbb P nbsp eine Primzahl so gilt fur das Kreisteilungspolynom F n x displaystyle Phi n x nbsp F n x 1 x x 2 x 3 x n 1 i 0 n 1 x i displaystyle Phi n x 1 x x 2 x 3 ldots x n 1 sum i 0 n 1 x i nbsp und somit ist F n 10 1 10 10 2 10 3 10 n 1 i 0 n 1 10 i displaystyle Phi n 10 1 10 10 2 10 3 ldots 10 n 1 sum i 0 n 1 10 i nbsp dd Somit gilt fur oberen Satz p a 1 10 10 2 10 3 10 n 1 ggT 1 10 10 2 10 3 10 n 1 n 111 111 ggT 111 111 n R n ggT R n n displaystyle p alpha frac 1 10 10 2 10 3 ldots 10 n 1 operatorname ggT 1 10 10 2 10 3 ldots 10 n 1 n frac 111 ldots 111 operatorname ggT 111 ldots 111 n frac R n operatorname ggT R n n nbsp wobei R n displaystyle R n nbsp die n displaystyle n nbsp te Repunit ist dd Beispiel Sei die Periodenlange n 3 P displaystyle n 3 in mathbb P nbsp Dann ist p a 111 ggT 111 3 111 3 37 displaystyle p alpha frac 111 operatorname ggT 111 3 frac 111 3 37 nbsp Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen dass fur p 37 displaystyle p 37 nbsp die Periodenlange tatsachlich 3 displaystyle 3 nbsp ist dd dd Normalfall Ist n P displaystyle n not in mathbb P nbsp keine Primzahl so gilt fur das Kreisteilungspolynom F n x displaystyle Phi n x nbsp F n x 1 k n ggT k n 1 x e 2 p i k n displaystyle Phi n x prod 1 leq k leq n atop operatorname ggT k n 1 left x e 2 pi cdot mathrm i k n right nbsp dd Beispiel 1 Sei die Periodenlange n 9 P displaystyle n 9 not in mathbb P nbsp Dann ist F 9 x x 6 x 3 1 displaystyle Phi 9 x x 6 x 3 1 nbsp und es gilt p a F 9 10 ggT F 9 10 9 10 6 10 3 1 ggT 10 6 10 3 1 9 1001001 ggT 1001001 9 1001001 3 333667 displaystyle p alpha frac Phi 9 10 operatorname ggT Phi 9 10 9 frac 10 6 10 3 1 operatorname ggT 10 6 10 3 1 9 frac 1001001 operatorname ggT 1001001 9 frac 1001001 3 333667 nbsp dd Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen dass fur p 333667 displaystyle p 333667 nbsp die Periodenlange tatsachlich 9 displaystyle 9 nbsp ist dd Beispiel 2 Sei die Periodenlange n 1 P displaystyle n 1 not in mathbb P nbsp Dann ist F 1 x x 1 displaystyle Phi 1 x x 1 nbsp und es gilt p a F 1 10 ggT F 1 10 1 10 1 ggT 10 1 9 9 ggT 9 1 9 1 9 3 2 displaystyle p alpha frac Phi 1 10 operatorname ggT Phi 1 10 1 frac 10 1 operatorname ggT 10 1 9 frac 9 operatorname ggT 9 1 frac 9 1 9 3 2 nbsp dd Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen dass fur p 3 displaystyle p 3 nbsp die Periodenlange tatsachlich 1 displaystyle 1 nbsp ist dd Beispiel 3 Sei die Periodenlange n 6 P displaystyle n 6 not in mathbb P nbsp Dann ist F 6 x x 2 x 1 displaystyle Phi 6 x x 2 x 1 nbsp und es gilt p a F 6 10 ggT F 6 10 6 10 2 10 1 ggT 10 2 10 1 6 91 ggT 91 6 91 1 91 displaystyle p alpha frac Phi 6 10 operatorname ggT Phi 6 10 6 frac 10 2 10 1 operatorname ggT 10 2 10 1 6 frac 91 operatorname ggT 91 6 frac 91 1 91 nbsp dd Es ist aber 91 7 13 P displaystyle 91 7 cdot 13 not in P nbsp keine Primzahl somit gibt es auch keine einzigartige Primzahl mit Periodenlange 6 displaystyle 6 nbsp Stattdessen haben die Dezimalbruchentwicklungen von 1 7 displaystyle frac 1 7 nbsp und 1 13 displaystyle frac 1 13 nbsp die Periodenlange n 6 displaystyle n 6 nbsp dd dd dd Ungeloste Probleme BearbeitenEs wird vermutet dass es unendlich viele einzigartige Primzahlen gibt dies wurde aus einer anderen mathematischen Vermutung folgern namlich dass es unendlich viele prime Repunits gibt 10 Einzigartige Primzahlen im Dualsystem BearbeitenEinzigartige Primzahlen sind von der Basis abhangig mit der gezahlt wird In den oberen Abschnitten wurden einzigartige Primzahlen zur Basis b 10 displaystyle b 10 nbsp also im Dezimalsystem betrachtet In diesem Abschnitt werden einzigartige Primzahlen im Dualsystem also mit Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp behandelt Eine Primzahl p P displaystyle p in mathbb P nbsp ist eine einzigartige Primzahl zur Basis b 2 genau dann wenn gilt Der Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp hat zur Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp die Periodenlange n 1 displaystyle n geq 1 nbsp Es existiert keine weitere Primzahl q P displaystyle q in mathbb P nbsp fur die der Bruch 1 q displaystyle frac 1 q nbsp zur Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp ebenfalls die Periodenlange n displaystyle n nbsp hat Beispiele Bearbeiten Eine einzigartige Primzahl im Dualsystem ist die Zahl p 5 4 1 1 2 2 0 2 1 1 2 0 101 2 displaystyle p 5 4 1 underline 1 cdot 2 2 underline 0 cdot 2 1 underline 1 cdot 2 0 101 2 nbsp Es ist1 5 0 2 0 2 0 4 1 8 1 16 0 32 0 64 1 128 1 256 0 125 0 0625 0 2 1 0 2 2 1 2 3 1 2 4 0 2 5 0 2 6 1 2 7 1 2 8 0 00110011 0 0011 2 displaystyle begin aligned frac 1 5 0 2 amp frac 0 2 frac 0 4 frac 1 8 frac 1 16 frac 0 32 frac 0 64 frac 1 128 frac 1 256 ldots 0 125 0 0625 ldots amp underline 0 cdot 2 1 underline 0 cdot 2 2 underline 1 cdot 2 3 underline 1 cdot 2 4 underline 0 cdot 2 5 underline 0 cdot 2 6 underline 1 cdot 2 7 underline 1 cdot 2 8 ldots 0 00110011 ldots 0 overline 0011 2 end aligned nbsp dd eine im Dualsystem periodische Zahl mit Periodenlange n 4 displaystyle n 4 nbsp Es gibt keine weitere Primzahl p displaystyle p nbsp deren Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp im Dualsystem eine Periodenlange von n 4 displaystyle n 4 nbsp hat Somit ist p 5 displaystyle p 5 nbsp eine einzigartige Primzahl im Dualsystem dd Fur die Zahl p 2 1 2 1 0 2 0 10 2 displaystyle p 2 underline 1 cdot 2 1 underline 0 cdot 2 0 10 2 nbsp ist 1 p 1 2 0 5 1 2 1 0 1 2 displaystyle frac 1 p frac 1 2 0 5 underline 1 cdot 2 1 0 1 2 nbsp eine im Dualsystem nicht periodische Zahl also mit Periodenlange n 0 displaystyle n 0 nbsp Es gibt zwar keine weitere Primzahl p displaystyle p nbsp deren Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp im Dualsystem eine Periodenlange von n 0 displaystyle n 0 nbsp hat trotzdem ist p 2 displaystyle p 2 nbsp keine einzigartige Primzahl im Dualsystem weil n 1 displaystyle n geq 1 nbsp sein muss Die kleinsten einzigartigen Primzahlen im Dualsystem sind die folgenden jeweils im Dezimalsystem geschrieben 3 5 7 11 13 17 19 31 41 43 73 127 151 241 257 331 337 683 2731 5419 8191 43691 61681 65537 87211 131071 174763 262657 524287 599479 2796203 15790321 18837001 22366891 715827883 2147483647 4278255361 Folge A144755 in OEIS dd Die dazugehorigen Periodenlangen sind die folgenden 2 4 3 10 12 8 18 5 20 14 9 7 15 24 16 30 21 22 26 42 13 34 40 32 54 17 38 27 19 33 46 56 90 78 62 31 80 120 126 150 86 98 49 69 65 174 77 93 122 61 85 192 170 234 158 165 147 129 184 89 208 312 Folge A247071 in OEIS dd Wenn man die einzigartigen Primzahlen im Dualsystem nach ihrer Periodenlange n displaystyle n nbsp geordnet haben will so erhalt man die Folge A161509 in OEIS Die sortierte Liste der dazugehorigen Periodenlangen n displaystyle n nbsp ist dann die Folge A161508 in OEIS Die momentan Stand 23 Dezember 2018 grosste bekannte einzigartige Primzahl im Dualsystem ist die folgende 11 p 2 82589933 1 displaystyle p 2 82589933 1 nbsp dd Sie hat 24 862 048 displaystyle 24 862 048 nbsp Stellen und wurde am 21 Dezember 2018 von Patrick Laroche entdeckt Sie ist auch gleichzeitig die grosste bekannte Primzahl und dadurch auch gleichzeitig die grosste bekannte Mersenne Primzahl Der dazugehorige Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp hat im Dualsystem geschrieben die Periodenlange n 82589933 displaystyle n 82589933 nbsp und es gibt keine einzige weitere Primzahl q P displaystyle q in mathbb P nbsp dessen Bruch 1 q displaystyle frac 1 q nbsp dieselbe Periodenlange hat Die momentan Stand 21 Juli 2018 grosste bekannte einzigartige aber noch nicht endgultig bewiesene Primzahl im Dualsystem welche nicht gleichzeitig Mersenne Primzahl ist ist die folgende 12 p 2 13372531 1 3 displaystyle p frac 2 13372531 1 3 nbsp dd Sie hat 4 025 533 displaystyle 4 025 533 nbsp Stellen und wurde im September 2013 von Ryan Propper entdeckt Sie ist allerdings noch zu gross als dass man sicher sagen kann dass es sich um eine Primzahl handelt Sie erfullt viele Primzahl Eigenschaften und ist eine PRP Zahl Ist ihre Primalitat bewiesen so ist sie eine Wagstaff Primzahl Der dazugehorige Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp hat im Dualsystem geschrieben die Periodenlange n 2 13372531 26745062 displaystyle n 2 cdot 13372531 26745062 nbsp und es gibt keine einzige weitere Primzahl q P displaystyle q in mathbb P nbsp dessen Bruch 1 q displaystyle frac 1 q nbsp dieselbe Periodenlange hat Die momentan Stand 25 Oktober 2021 grosste bekannte einzigartige und auch bewiesene Primzahl im Dualsystem welche nicht gleichzeitig Mersenne Primzahl ist ist die folgende 13 p 2 95369 1 3 displaystyle p frac 2 95369 1 3 nbsp dd Sie hat 28709 displaystyle 28709 nbsp Stellen und wurde am 3 August 2021 von Bill Allombert entdeckt Sie ist die momentan grosste bekannte Wagstaff Primzahl Der dazugehorige Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp hat im Dualsystem geschrieben die Periodenlange n 2 95369 190738 displaystyle n 2 cdot 95369 190738 nbsp Die momentan Stand 21 Juli 2018 grosste bekannte einzigartige Primzahl im Dualsystem welche weder Mersenne Primzahl noch Wagstaff Primzahl aber leider eine PRP Zahl ist ist die folgende 14 p 2 4101572 1 17 16 1025393 1 17 displaystyle p frac 2 4101572 1 17 frac 16 1025393 1 17 nbsp dd Sie hat 1 234 695 displaystyle 1 234 695 nbsp Stellen und wurde im August 2014 von Paul Bourdelais entdeckt Eigenschaften Bearbeiten Jede Fermatsche Primzahl F n 2 2 n 1 displaystyle F n 2 2 n 1 nbsp ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem Ihre Periodenlange ist eine Zweierpotenz 2 n displaystyle 2 n nbsp mit n N n gt 0 displaystyle n in mathbb N n gt 0 nbsp Jede Mersenne Primzahl M n 2 n 1 displaystyle M n 2 n 1 nbsp ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem Ihre Periodenlange ist eine Primzahl n P displaystyle n in mathbb P nbsp Jede Wagstaff Primzahl p 2 q 1 3 displaystyle p frac 2 q 1 3 nbsp ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem Ihre Periodenlange ist das Doppelte einer ungeraden Primzahl n 2 q displaystyle n 2 cdot q nbsp mit q P q 3 displaystyle q in mathbb P q geq 3 nbsp Sei n 1 displaystyle n not 1 nbsp und n 6 displaystyle n not 6 nbsp eine naturliche Zahl Dann gilt Es existiert mindestens eine Primzahl p displaystyle p nbsp welche im Dualsystem die Periodenlange n displaystyle n nbsp hat Beweis Diese Aussage gilt wegen des Satzes von Zsigmondy dd dd Sei n gt 20 displaystyle n gt 20 nbsp eine naturliche Zahl mit n 4 mod 8 displaystyle n equiv 4 pmod 8 nbsp n displaystyle n nbsp habe also die Form n 8 k 4 displaystyle n 8k 4 nbsp mit k N displaystyle k in mathbb N nbsp Dann gilt Es existieren mindestens zwei Primzahlen p 1 p 2 displaystyle p 1 p 2 nbsp welche im Dualsystem die Periodenlange n displaystyle n nbsp haben Somit ist n 4 mod 8 displaystyle n equiv 4 pmod 8 nbsp niemals eine einzigartige Primzahl zur Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp Beweis Diese Aussage gilt wegen der Faktorisierung von Aurifeuille dd dd Die folgenden beiden Aussagen sind gleichwertig Die Primzahl p displaystyle p nbsp ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem mit Periode n displaystyle n nbsp p a F n 2 ggT F n 2 n displaystyle p alpha frac Phi n 2 operatorname ggT Phi n 2 n nbsp ist eine Potenz von p displaystyle p nbsp mit a N displaystyle alpha in mathbb N nbsp wobei F n x displaystyle Phi n x nbsp das n te Kreisteilungspolynom ist Beispiel Die einzigen bekannten n displaystyle n nbsp fur welche obiger Zahler F n 2 displaystyle Phi n 2 nbsp zusammengesetzt aber obiger Gesamtausdruck F n 2 ggT F n 2 n displaystyle frac Phi n 2 operatorname ggT Phi n 2 n nbsp prim ist sind die folgenden 18 20 21 54 147 342 602 889 dd In diesen Fallen hat F n 2 displaystyle Phi n 2 nbsp offenbar einen Teiler welcher auch Teiler von n displaystyle n nbsp ist Alle anderen bekannten einzigartigen Primzahlen zur Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp haben die Form F n 2 displaystyle Phi n 2 nbsp Es ist noch keine Primzahl p P displaystyle p in mathbb P nbsp bekannt fur die in obiger Formel a gt 1 displaystyle alpha gt 1 nbsp ist Fur alle bekannten einzigartigen Primzahlen p P displaystyle p in mathbb P nbsp im Dualsystem gilt a 1 displaystyle alpha 1 nbsp dd dd dd Ungeloste Probleme Bearbeiten Es wird vermutet dass es unendlich viele einzigartige Primzahlen zur Basis b 2 displaystyle b 2 nbsp gibt dies wurde aus einer anderen mathematischen Vermutung folgern namlich dass es unendlich viele Mersenne Primzahlen gibt Es wird vermutet dass es keine Wieferich Primzahlen gibt die gleichzeitig einzigartige Primzahlen im Dualsystem sind Einzigartige Primzahlen in anderen Zahlsystemen BearbeitenEine Primzahl p P displaystyle p in mathbb P nbsp ist eine einzigartige Primzahl zur Basis b genau dann wenn gilt Der Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp hat zur Basis b displaystyle b nbsp die Periodenlange n 1 displaystyle n geq 1 nbsp Es existiert keine weitere Primzahl q P displaystyle q in mathbb P nbsp fur die der Bruch 1 q displaystyle frac 1 q nbsp zur Basis b displaystyle b nbsp ebenfalls die Periodenlange n displaystyle n nbsp hat Eigenschaften Bearbeiten Die folgenden drei Aussagen sind gleichwertig p displaystyle p nbsp ist eine einzigartige Primzahl zur Basis b displaystyle b nbsp der Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp hat zur Basis b displaystyle b nbsp die Periodenlange n displaystyle n nbsp p displaystyle p nbsp ist der einzige Primteiler des n ten Kreisteilungspolynoms F n b displaystyle Phi n b nbsp welche nicht die Periodenlange n displaystyle n nbsp teilt Fall 1 b displaystyle b nbsp ist gerade R n b F n b ggT F n b n p a displaystyle R n b frac Phi n b operatorname ggT Phi n b n p alpha nbsp ist eine Potenz von p displaystyle p nbsp mit a N displaystyle alpha in mathbb N nbsp dd Fall 2 b displaystyle b nbsp ist ungerade R n b F n b ggT F n b n 2 b p a displaystyle R n b frac Phi n b operatorname ggT Phi n b n 2 beta cdot p alpha nbsp ist eine Zweierpotenz mal einer Potenz von p displaystyle p nbsp mit a b N a gt 0 b 0 displaystyle alpha beta in mathbb N alpha gt 0 beta geq 0 nbsp dd dd Einzigartige Primzahlen im Dezimalsystem bzw im Dualsystem fallen somit in den Fall 1 Sei die Primzahl p P displaystyle p in mathbb P nbsp ein Teiler der Basis b displaystyle b nbsp Dann gilt Die Primzahl p displaystyle p nbsp ist keine einzigartige Primzahl zur Basis b displaystyle b nbsp Der Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp hat zur Basis b displaystyle b nbsp die Periodenlange n 0 displaystyle n 0 nbsp hat also keine Periode Beweis der 1 Behauptung Wenn p displaystyle p nbsp Teiler der Basis b displaystyle b nbsp ist ist p displaystyle p nbsp auch Teiler von b n displaystyle b n nbsp und somit nicht Teiler der um 1 displaystyle 1 nbsp grosseren Zahl b n 1 displaystyle b n 1 nbsp Also ist p displaystyle p nbsp zu b n 1 displaystyle b n 1 nbsp teilerfremd Das Kreisteilungspolynom F n b displaystyle Phi n b nbsp ist aber so definiert dass es b n 1 displaystyle b n 1 nbsp teilen muss Somit ist auch p displaystyle p nbsp und F n b displaystyle Phi n b nbsp teilerfremd und es ist p displaystyle p nbsp somit auch kein Teiler von F n b ggT F n b n displaystyle frac Phi n b operatorname ggT Phi n b n nbsp Also kann p displaystyle p nbsp keine einzigartige Primzahl zur Basis b displaystyle b nbsp sein displaystyle Box nbsp dd dd dd Sei n N displaystyle n in mathbb N nbsp Dann gilt Es existiert mindestens eine Primzahl p P displaystyle p in mathbb P nbsp fur die 1 p displaystyle frac 1 p nbsp zur Basis b displaystyle b nbsp die Periodenlange n displaystyle n nbsp hat mit Ausnahme der folgenden Falle b 2 displaystyle b 2 nbsp und n 1 displaystyle n 1 nbsp oder n 6 displaystyle n 6 nbsp n 2 displaystyle n 2 nbsp und b 2 k 1 displaystyle b 2 k 1 nbsp mit k N k gt 0 displaystyle k in mathbb N k gt 0 nbsp Beweis Diese Aussage gilt wegen des Satzes von Zsigmondy dd dd Beispiele Bearbeiten Es folgt eine Auflistung von Primzahlen p displaystyle p nbsp fur die der Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp bei gegebener Basis b 24 displaystyle b leq 24 nbsp die Periodenlange n 24 displaystyle n leq 24 nbsp besitzt Einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben Primzahlen p displaystyle p nbsp fur die der Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp bei gegebener Basis b 24 displaystyle b leq 24 nbsp die Periodenlange n 24 displaystyle n leq 24 nbsp hat einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben Periodenlange n displaystyle downarrow quad nbsp Basis b displaystyle quad rightarrow nbsp 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 241 es gibt keine 2 3 2 5 2 3 7 2 3 2 5 11 2 3 13 2 7 3 5 2 17 2 3 19 2 5 3 7 2 11 232 3 es gibt keine 5 3 7 es gibt keine 3 5 11 3 13 7 3 5 es gibt keine 17 3 19 5 3 7 11 23 3 53 7 13 7 31 43 19 73 7 13 37 7 19 157 61 211 241 7 13 307 7 127 421 463 13 7 79 6014 5 5 17 13 37 5 5 13 41 101 61 5 29 5 17 197 113 257 5 29 5 13 181 401 13 17 5 97 5 53 5775 31 11 11 31 11 71 311 2801 31 151 11 61 41 271 3221 22621 30941 11 3761 11 4931 11 31 41 88741 41 2711 151 911 11 61 251 40841 245411 292561 3462016 es gibt keine 7 13 7 31 43 19 73 7 13 37 7 19 157 61 211 241 7 13 307 7 127 421 463 13 7 797 127 1093 43 127 19531 55987 29 4733 127 337 547 1093 239 4649 43 45319 659 4943 5229043 8108731 1743463 29 43 113 127 25646167 449 80207 701 70841 29 71 32719 43 631 3319 16968421 29 5336717 29 239 287718 17 41 257 313 1297 1201 17 241 17 193 73 137 7321 89 233 14281 41 937 17 1489 65537 41761 113 929 17 3833 160001 97241 73 3209 139921 3317779 73 757 19 73 19 829 19 2467 37 1063 262657 19 37 757 333667 1772893 37 80749 1609669 397 18973 541 21061 19 37 73 109 19 1270657 991 34327 523 29989 64008001 85775383 127 297613 19 7792003 19 2017 498710 11 61 41 521 11 101 11 191 11 331 1181 9091 13421 19141 11 2411 71 101 31 1531 61681 11 71 101 11 9041 11 2251 152381 185641 224071 31 41 211 11 579111 23 89 23 3851 23 89 683 12207031 23 3154757 1123 293459 23 89 599479 23 67 661 3851 21649 513239 15797 1806113 23 266981089 23 419 859 18041 67 4027 1154539 67 463 2333 8537 23 89 397 683 2113 2141993519227 23 199 16127 51217 104281 62060021 10778947368421 17513875027111 67 353 1176469537 3937230404603 67 7349 13436704712 13 73 241 601 13 97 13 181 37 109 6481 9901 13 1117 20593 28393 37 1033 13 3877 97 673 83233 229 457 13 769 13 12277 61 3181 157 1489 37 7549 13 73 34913 8191 797161 2731 8191 305175781 3433 760891 16148168401 79 8191 121369 398581 797161 53 79 265371653 1093 3158528101 477517 20369233 53 264031 1803647 157 29914249171 53 157483 16655159 53 157 1613 2731 8191 212057 2919196853 79 521 29759719289 599 29251 133338869 3121 142559 9690539 79 189437 516094151 79 2003 85107437663 47691619 480393499 53 6553 15913 689525314 43 547 29 113 29 449 29 197 113 911 43 5419 29 16493 909091 1623931 211 13063 29 22079 7027567 10678711 15790321 22796593 32222107 197 226871 827 10529 81867661 29 43 86969 71 673 2969 18345885715 151 4561 151 331 181 1741 1171 1201 31 159871 631 23311 31 271 4561 31 2906161 195019441 61 661 9781 4651 161971 31 2851 15511 61 39225301 61 151 331 1321 6566760001 31 601 558721 31 211 2460181 31 3001 261451 211 9391 18181 61 858794191 74912328481 241 17881 2448116 257 17 193 65537 17 11489 17 98801 17 169553 97 257 673 21523361 17 5882353 17 6304673 17 97 260753 407865361 17 5393 16097 7121 179953 641 6700417 18913 184417 97 113607841 15073 563377 17 1505882353 62897 300673 17 3227992561 17 3697 623009 17 2801 231168117 131071 1871 34511 43691 131071 409 466344409 239 409 1123 30839 14009 2767631689 103 2143 11119 131071 103 307 1021 1871 34511 2071723 5363222357 50544702849929377 2693651 74876782031 103 443 15798461357509 103 22771730193675277 1045002649 6734509609 137 953 26317 43691 131071 10949 1749233 2699538733 7563707819165039903 3044803 99995282631947 689852631578947368421 1502097124754084594737 239 74729519 176634767651 103 62246266355102810647 307 120574031 34156323425318 19 19 37 37 109 5167 46441 117307 87211 530713 19 52579 590077 1657 1801 19 271 937 19 132049 19 739 811 433 38737 1423 5653 73 465841 199 236377 307 69481 19 37 199 613 19 5966803 163 271 1117 127 199 756119 524287 1597 363889 174763 524287 191 6271 3981071 191 638073026189 419 4534166740403 32377 524287 1212847 1597 2851 101917 363889 1111111111111111111 6115909044841454629 29043636306420266077 12865927 9468940004449 459715689149916492091 4272113 370649274902657 229 457 174763 524287 525313 229 1103 202607147 291973723 6841 6089884909802812423 109912203092239643840221 75368484119 192696104561 12061389013 54921106624003 45943 341203 97404596002423 2129 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displaystyle n 2 3 4 ldots nbsp auch der Folge A108974 in OEIS entnehmen Es folgt eine Auflistung der Periodenlangen n displaystyle n nbsp von Bruchzahlen der Form 1 p displaystyle frac 1 p nbsp mit den ersten 34 Primzahlen p 139 displaystyle p leq 139 nbsp zu verschiedensten Basen b 24 displaystyle b leq 24 nbsp Wenn die Primzahl p displaystyle p nbsp ein Teiler der Basis b displaystyle b nbsp ist endet die Dezimalbruchentwicklung die Periodenlange betragt somit 0 displaystyle 0 nbsp Ist die Primzahl p displaystyle p nbsp eine einzigartige Primzahl zur Basis b displaystyle b nbsp so wird die Periodenlange n displaystyle n nbsp in einer gelben Zelle geschrieben Periodenlangen n displaystyle n nbsp von 1 p displaystyle frac 1 p nbsp mit p 139 displaystyle p leq 139 nbsp bei gegebener Basis b 24 displaystyle b leq 24 nbsp dabei bedeutet 0 displaystyle 0 nbsp dass die Primzahl p displaystyle p nbsp Teiler der Basis b displaystyle b nbsp ist Primzahl p displaystyle p nbsp displaystyle downarrow quad nbsp Basis b displaystyle b rightarrow nbsp 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 242 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 1 0 displaystyle 0 nbsp 3 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 2 0 displaystyle 0 nbsp 5 4 4 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 4 4 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 4 4 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 4 4 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 4 4 27 3 6 3 6 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 3 6 3 6 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 3 6 3 6 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 3 611 10 5 5 5 10 10 10 5 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 10 5 5 5 10 10 10 5 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 1013 12 3 6 4 12 12 4 3 6 12 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 12 3 6 4 12 12 4 3 6 1217 8 16 4 16 16 16 8 8 16 16 16 4 16 8 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 8 16 4 16 16 1619 18 18 9 9 9 3 6 9 18 3 6 18 18 18 9 9 2 0 displaystyle 0 nbsp 1 18 18 9 923 11 11 11 22 11 22 11 11 22 22 11 11 22 22 11 22 11 22 22 22 2 0 displaystyle 0 nbsp 129 28 28 14 14 14 7 28 14 28 28 4 14 28 28 7 4 28 28 7 28 14 7 731 5 30 5 3 6 15 5 15 15 30 30 30 15 10 5 30 15 15 15 30 30 10 3037 36 18 18 36 4 9 12 9 3 6 9 36 12 36 9 36 36 36 36 18 36 12 3641 20 8 10 20 40 40 20 4 5 40 40 40 8 40 5 40 5 40 20 20 40 10 4043 14 42 7 42 3 6 14 21 21 7 42 21 21 21 7 21 42 42 42 7 14 21 2147 23 23 23 46 23 23 23 23 46 46 23 46 23 46 23 23 23 46 46 23 46 46 2353 52 52 26 52 26 26 52 26 13 26 52 13 52 13 13 26 52 52 52 52 52 4 1359 58 29 29 29 58 29 58 29 58 58 29 58 58 29 29 29 58 29 29 29 29 58 5861 60 10 30 30 60 60 20 5 60 4 15 3 6 15 15 60 60 30 5 12 15 20 2067 66 22 33 22 33 66 22 11 33 66 66 66 11 11 33 33 66 33 66 33 11 33 1171 35 35 35 5 35 70 35 35 35 70 35 70 10 35 35 10 35 35 7 70 70 14 3573 9 12 9 72 36 24 3 6 8 72 36 72 72 72 9 24 18 36 72 24 8 36 1279 39 78 39 39 78 78 13 39 13 39 26 39 26 26 39 26 13 39 39 13 13 3 683 82 41 41 82 82 41 82 41 41 41 41 82 82 82 41 41 82 82 82 41 82 41 8289 11 88 11 44 88 88 11 44 44 22 8 88 88 88 11 44 44 88 44 44 22 88 8897 48 48 24 96 12 96 16 24 96 48 16 96 96 96 12 96 16 32 32 96 4 96 24101 100 100 50 25 10 100 100 50 4 100 100 50 10 100 25 10 100 25 50 50 50 50 25103 51 34 51 102 102 51 17 17 34 102 102 17 17 51 51 51 51 51 102 102 34 17 34107 106 53 53 106 106 106 106 53 53 53 53 53 53 106 53 106 106 53 106 106 106 53 106109 36 27 18 27 108 27 12 27 108 108 54 108 108 27 9 36 108 36 54 27 27 36 108113 28 112 14 112 112 14 28 56 112 56 112 56 28 4 7 112 8 112 112 112 56 112 112127 7 126 7 42 126 126 7 63 42 63 126 63 126 63 7 63 63 3 6 63 9 126 18131 130 65 65 65 130 65 130 65 130 65 65 65 130 65 65 130 26 26 65 65 130 130 26137 68 136 34 136 136 68 68 68 8 68 136 136 34 34 17 68 34 68 136 136 34 136 136139 138 138 69 69 23 69 46 69 46 69 138 69 46 138 69 138 138 138 69 138 138 46 69 Nun folgt eine Tabelle der man die kleinsten Periodenlangen n displaystyle n nbsp bis inklusive n 600 displaystyle n 600 nbsp entnehmen kann fur die der Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp mit p P displaystyle p in mathbb P nbsp eine einzigartige Lange hat Es gibt somit keine andere Primzahl q P displaystyle q in mathbb P nbsp zur gegebenen Basis b 24 displaystyle b leq 24 nbsp mit der gleichen Periodenlange Ausserdem wird jeweils auch die dazugehorige einzigartige Primzahl p displaystyle p nbsp angegeben deren Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp diese Periodenlange n displaystyle n nbsp hat die kleinsten Periodenlangen n 600 displaystyle n leq 600 nbsp fur den Bruch 1 p displaystyle frac 1 p nbsp von einzigartigen Primzahlen p P displaystyle p in mathbb P nbsp zur Basis b 24 displaystyle b leq 24 nbsp und die dazugehorigen Primzahlen p P displaystyle p in mathbb P nbsp Basis b displaystyle b nbsp die kleinsten Periodenlangen n 600 displaystyle n leq 600 nbsp von einzigartigen Primzahlen p displaystyle p nbsp zur Basis b 24 displaystyle b leq 24 nbsp OEIS Folgedie dazugehorigen einzigartigen Primzahlen p displaystyle p nbsp mit diesen Periodenlangen n 600 displaystyle n leq 600 nbsp OEIS Folge2 2 3 4 5 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 26 27 30 31 32 33 34 38 40 42 46 49 54 56 61 62 65 69 77 78 80 85 86 89 90 93 98 107 120 122 126 127 129 133 145 147 150 158 165 170 174 184 192 195 202 208 234 254 261 280 296 312 322 334 342 345 366 374 382 398 410 414 425 447 471 507 521 550 567 579 590 600 Folge A161508 in OEIS3 7 5 31 127 17 73 11 13 8191 43 151 257 131071 19 524287 41 337 683 241 2731 262657 331 2147483647 65537 599479 43691 174763 61681 5419 2796203 4432676798593 87211 15790321 2305843009213693951 715827883 145295143558111 10052678938039 581283643249112959 22366891 4278255361 9520972806333758431 2932031007403 618970019642690137449562111 Folge A161509 in OEIS3 1 3 4 5 6 7 8 9 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p 1 in mathbb P nbsp und p 2 P displaystyle p 2 in mathbb P nbsp nennt man bi einzigartige Primzahlen vom englischen bi unique prime wenn gilt Die beiden Bruchzahlen 1 p 1 displaystyle frac 1 p 1 nbsp und 1 p 2 displaystyle frac 1 p 2 nbsp haben die gleiche Periodenlange n displaystyle n nbsp Es gibt keine andere Primzahl q P displaystyle q in mathbb P nbsp sodass 1 q displaystyle frac 1 q nbsp diese Periodenlange n displaystyle n nbsp besitztBeispiele Bearbeiten Sei die Basis b 10 displaystyle b 10 nbsp und die Periodenlange n 6 displaystyle n 6 nbsp Dann gilt fur das Kreisteilungspolynom F n b displaystyle Phi n b nbsp und fur R n b displaystyle R n b nbsp F n b F 6 10 10 2 10 1 91 displaystyle Phi n b Phi 6 10 10 2 10 1 91 img