www.wikidata.de-de.nina.az

Ternärsystem Das 3 adische System auch Dreiersystem und selten triadisches System genannt ist ein Stellenwertsystem zur

Ternärsystem

Das Ternärsystem, 3-adische System, auch Dreiersystem und selten triadisches System genannt, ist ein Stellenwertsystem zur Basis 3. Es kommt in drei Spielarten vor, als gewöhnliches Ternärsystem mit den Ziffern 0, 1 und 2 sowie als balanciertes Ternärsystem mit den Ziffern 0, 1 und −1; von eher theoretischem Interesse ist das negaternäre System mit der negativen Basis −3 und den Ziffern 0, 1 und 2.

Eine ternäre Ziffer wird auch als Trit (in Analogie zum Bit) und entsprechende eine Gruppe aus sechs Trits als Tryte bezeichnet. Im Jahr 1958 wurde in der Sowjetunion der ternäre Computer Setun entwickelt, der mit ternären Zahlen rechnete.

Gewöhnlich Bearbeiten

Eine Zahl wird im gewöhnlichen Ternärsystem durch eine Kombination der Ziffern 0, 1 und 2 dargestellt. Da Verwechslungen mit anderen Zahlendarstellungen, besonders mit dem Dezimalsystem auftreten können, wird eine Ternärzahl durch eine angehängte tiefgestellte 3 gekennzeichnet. Die einer Ternärzahl entsprechende Dezimalzahl kann wie im folgenden Beispiel errechnet werden:

Löst man die Potenzen auf, dann sieht die Gleichung so aus:

Die entsprechende, allgemeine Formel lautet

Hierbei ist die Ternärziffer an der Stelle (also entweder 0, 1 oder 2), die Anzahl der Nachkommastellen und die Nummer der höchsten Stelle. ist dann das Ergebnis, also der Wert der Ternärzahl. Diese Formel ist das gleiche wie die erste und die zweite lineare Formel im Artikel, nur eben anders dargestellt.

Weitere Beispiele von Zahlen im Ternärsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem:

  • 123 = 5
  • 1123 = 14
  • 1213 = 16

Man kann Zahlen im gewöhnlichen ternären System, wie Zahlen in anderen Stellenwertsystemen auch, zum Verständnis gut in einer Tabelle darstellen. Die Ziffer in einem Feld gibt an, wie oft die Zahl des Spaltennamens gezählt wird. Steht zum Beispiel in einem Feld der Spalte "3" eine "2", so muss man "3+3" oder "2∙3" rechnen, bei "1" unter "27" einfach "1∙27". Am Ende zählt man alle Einzelergebnisse der Zwischenrechnungen ("2∙3", "1∙27") zusammen und erhält die dezimale Zahl. Nullen die links der ersten 1 oder 2 stehen (führende Nullen), werden in der üblichen Schreibweise (Spalte zusammengesetzte Ternärzahl) nicht aufgeschrieben.

Zahl in Dezimal 27 (33) 9 (32) 3 (31) 1 (30) zusammengesetzte Ternärzahl
32 1 0 1 2 1012
46 1 2 0 1 1201
3 0 0 1 0 10
7 0 0 2 1 21
5 0 0 1 2 12
14 0 1 1 2 112

Balanciert Bearbeiten

Eine Zahl im balancierten Ternärsystem wird durch eine Kombination der Ziffern 0, 1 und −1 dargestellt. Die Ziffer −1 wird in diesem Artikel durch 1 wiedergegeben, eine andere Wiedergabe ist der Buchstabe T, oder auch eine umgestülpte (um 180° gedrehte) Ziffer 1: "1". Falls Verwechslungen auftreten können, wird eine balancierte Ternärzahl durch ein angehängtes tiefgestelltes "3bal" gekennzeichnet.

Beispiele für Zahlen im balancierten Ternärsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem:

  • 111 3bal = 5
  • 110 3bal = 6

Im balancierten Ternärsystem braucht man kein Vorzeichen. Um zur negativen Zahl überzugehen, vertauscht man alle Ziffern 1 mit 1 und alle Ziffern 1 mit 1.

Das Vorzeichen einer Zahl ist dasjenige ihrer höchstwertigen ternären Ziffer:

Auch hier kann man, wie für das gewöhnliche Ternärsystem gezeigt, die entsprechende Dezimalzahl ausrechnen:

Genau die Zahlen, die eine ganze Zahl plus 1/2 mal eine Potenz von 3 sind, haben zwei Darstellungen, so z. B.

dabei bedeutet der Überstrich, dass die Gruppe der Ziffern darunter (die Periode) bis ins Unendliche zu wiederholen ist. Anders als bei den gewöhnlichen Stellenwertsystemen zur Basis , bei denen genau die abbrechenden Darstellungen zwei verschiedene Darstellungen haben, sind es hier die Brüche , deren Darstellung allerdings nicht abbricht.

Knuth hebt hervor, dass in balancierten Systemen das Runden und Abschneiden dieselbe Operation mit demselben Ergebnis ist.

Ein auf dem balancierten Ternärsystem und der balancierten ternären Logik aufbauender Computer war der Setun (russisch Сетунь) (s. Einleitung).

Vergleich mit dem Dezimalsystem und dem Binärsystem Bearbeiten

Dezimal Binär Ternär Ternär (balanciert) Dezimal Binär Ternär Ternär (balanciert)
dez bin 3 bal3 dez bin 3 bal3
0 0 0 0
1 1 1 1 −1 −1 −1 1
2 10 2 11 −2 –10 –2 11
3 11 10 10 −3 –11 –10 10
4 100 11 11 −4 –100 –11 11
5 101 12 111 −5 –101 –12 111
6 110 20 110 −6 –110 –20 110
7 111 21 111 −7 –111 –21 111
8 1000 22 101 −8 –1000 –22 101
9 1001 100 100 −9 –1001 –100 100
10 1010 101 101 −10 –1010 –101 101
11 1011 102 111 −11 –1011 –102 111
12 1100 110 110 −12 –1100 –110 110
13 1101 111 111 −13 –1101 –111 111

Ternärcode mit Komma Bearbeiten

Wird im Ternärsystem jede Ziffer als 2 Binärziffern, etwa 0 :=00 1 :=10 und 2 :=01, codiert, dann kann die Kombination 11 als Trennzeichen, als „Komma“, zwischen zwei derart dargestellten nicht-negativen Zahlen verwendet werden. Für die Zahlenfolge ergibt sich bspw. die Zeichenkette 1011001011100111. Dabei sind die einzelnen Codewörter variabel lang und little-endian notiert.

Bei einer angenommenen geometrischen Verteilung der natürlichen Zahlen ist bei diesem ternären Komma-Code .

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Nikolay Petrovich Brusentsov, José Ramil Alvarez: Ternary Computers: The Setun and the Setun 70. In: J. Impagliazzo, E. Proydakov (Hrsg.): SoRuCom 2006, IFIP AICT 357. IFIP International Federation for Information Processing 2011, S. 74–80 (abgerufen am 9. Mai 2016).
  2. Knuth
  3. N.A.Krinitsky: Programming. Hrsg.: M.R.Shura-Bura. Moscow 1963, Chapter 10. Program-controlled machine Setun (russisch).

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Das Ternarsystem 3 adische System auch Dreiersystem und selten triadisches System genannt ist ein Stellenwertsystem zur Basis 3 Es kommt in drei Spielarten vor als gewohnliches Ternarsystem mit den Ziffern 0 1 und 2 sowie als balanciertes Ternarsystem mit den Ziffern 0 1 und 1 von eher theoretischem Interesse ist das negaternare System mit der negativen Basis 3 und den Ziffern 0 1 und 2 Eine ternare Ziffer wird auch als Trit in Analogie zum Bit und entsprechende eine Gruppe aus sechs Trits als Tryte bezeichnet Im Jahr 1958 wurde in der Sowjetunion der ternare Computer Setun entwickelt der mit ternaren Zahlen rechnete 1 Inhaltsverzeichnis 1 Gewohnlich 2 Balanciert 3 Vergleich mit dem Dezimalsystem und dem Binarsystem 4 Ternarcode mit Komma 5 Literatur 6 Einzelnachweise 7 Siehe auch 8 WeblinksGewohnlich BearbeitenEine Zahl wird im gewohnlichen Ternarsystem durch eine Kombination der Ziffern 0 1 und 2 dargestellt Da Verwechslungen mit anderen Zahlendarstellungen besonders mit dem Dezimalsystem auftreten konnen wird eine Ternarzahl durch eine angehangte tiefgestellte 3 gekennzeichnet Die einer Ternarzahl entsprechende Dezimalzahl kann wie im folgenden Beispiel errechnet werden 112 3 1 3 2 1 3 1 2 3 0 14 10 displaystyle 112 3 1 cdot 3 2 1 cdot 3 1 2 cdot 3 0 14 10 nbsp Lost man die Potenzen auf dann sieht die Gleichung so aus 112 3 1 9 1 3 2 1 14 10 displaystyle 112 3 1 cdot 9 1 cdot 3 2 cdot 1 14 10 nbsp Die entsprechende allgemeine Formel lautet Z i n m z i 3 i displaystyle Z sum i n m z i cdot 3 i nbsp Hierbei ist z i displaystyle z i nbsp die Ternarziffer an der Stelle i displaystyle i nbsp also entweder 0 1 oder 2 n displaystyle n nbsp die Anzahl der Nachkommastellen und m displaystyle m nbsp die Nummer der hochsten Stelle Z displaystyle Z nbsp ist dann das Ergebnis also der Wert der Ternarzahl Diese Formel ist das gleiche wie die erste und die zweite lineare Formel im Artikel nur eben anders dargestellt Weitere Beispiele von Zahlen im Ternarsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem 123 5 1123 14 1213 16Man kann Zahlen im gewohnlichen ternaren System wie Zahlen in anderen Stellenwertsystemen auch zum Verstandnis gut in einer Tabelle darstellen Die Ziffer in einem Feld gibt an wie oft die Zahl des Spaltennamens gezahlt wird Steht zum Beispiel in einem Feld der Spalte 3 eine 2 so muss man 3 3 oder 2 3 rechnen bei 1 unter 27 einfach 1 27 Am Ende zahlt man alle Einzelergebnisse der Zwischenrechnungen 2 3 1 27 zusammen und erhalt die dezimale Zahl Nullen die links der ersten 1 oder 2 stehen fuhrende Nullen werden in der ublichen Schreibweise Spalte zusammengesetzte Ternarzahl nicht aufgeschrieben Zahl in Dezimal 27 33 9 32 3 31 1 30 zusammengesetzte Ternarzahl32 1 0 1 2 101246 1 2 0 1 12013 0 0 1 0 107 0 0 2 1 215 0 0 1 2 1214 0 1 1 2 112Balanciert BearbeitenEine Zahl im balancierten Ternarsystem 2 wird durch eine Kombination der Ziffern 0 1 und 1 dargestellt Die Ziffer 1 wird in diesem Artikel durch 1 wiedergegeben eine andere Wiedergabe ist der Buchstabe T oder auch eine umgestulpte um 180 gedrehte Ziffer 1 1 3 Falls Verwechslungen auftreten konnen wird eine balancierte Ternarzahl durch ein angehangtes tiefgestelltes 3bal gekennzeichnet Beispiele fur Zahlen im balancierten Ternarsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem 1113bal 5 1103bal 6Im balancierten Ternarsystem braucht man kein Vorzeichen Um zur negativen Zahl uberzugehen vertauscht man alle Ziffern 1 mit 1 und alle Ziffern 1 mit 1 1113bal 5Das Vorzeichen sgn displaystyle operatorname sgn nbsp einer Zahl ist dasjenige ihrer hochstwertigen ternaren Ziffer sgn displaystyle operatorname sgn nbsp 1113bal 13bal 1dez Auch hier kann man wie fur das gewohnliche Ternarsystem gezeigt die entsprechende Dezimalzahl ausrechnen 1103bal 1 32 1 31 0 30 1 9 1 3 0 1 6dez Genau die Zahlen die eine ganze Zahl plus 1 2 mal eine Potenz von 3 sind haben zwei Darstellungen so z B 0 1 3bal 1 1 3bal 1 2 dabei bedeutet der Uberstrich dass die Gruppe der Ziffern darunter die Periode bis ins Unendliche zu wiederholen ist Anders als bei den gewohnlichen Stellenwertsystemen zur Basis b displaystyle b nbsp bei denen genau die abbrechenden Darstellungen Z b Z 0 displaystyle mathbb Z b mathbb Z setminus 0 nbsp zwei verschiedene Darstellungen haben sind es hier die Bruche Z 1 2 3 Z Z 3 Z 1 2 displaystyle mathbb Z pm tfrac 1 2 3 mathbb Z mathbb Z 3 mathbb Z pm tfrac 1 2 nbsp deren Darstellung allerdings nicht abbricht Knuth hebt hervor dass in balancierten Systemen das Runden und Abschneiden dieselbe Operation mit demselben Ergebnis ist Ein auf dem balancierten Ternarsystem und der balancierten ternaren Logik aufbauender Computer war der Setun russisch Setun s Einleitung Vergleich mit dem Dezimalsystem und dem Binarsystem BearbeitenSiehe auch Dezimalsystem und Dualsystem Dezimal Binar Ternar Ternar balanciert Dezimal Binar Ternar Ternar balanciert dez bin 3 bal3 dez bin 3 bal30 0 0 01 1 1 1 1 1 1 12 10 2 11 2 10 2 113 11 10 10 3 11 10 104 100 11 11 4 100 11 115 101 12 111 5 101 12 1116 110 20 110 6 110 20 1107 111 21 111 7 111 21 1118 1000 22 101 8 1000 22 1019 1001 100 100 9 1001 100 10010 1010 101 101 10 1010 101 10111 1011 102 111 11 1011 102 11112 1100 110 110 12 1100 110 11013 1101 111 111 13 1101 111 111Ternarcode mit Komma BearbeitenWird im Ternarsystem jede Ziffer als 2 Binarziffern etwa 0 00 1 10 und 2 01 codiert dann kann die Kombination 11 als Trennzeichen als Komma zwischen zwei derart dargestellten nicht negativen Zahlen verwendet werden Fur die Zahlenfolge 1 3 7 displaystyle 1 3 7 nbsp ergibt sich bspw die Zeichenkette 1011001011100111 Dabei sind die einzelnen Codeworter variabel lang und little endian notiert Bei einer angenommenen geometrischen Verteilung 1 1 n q displaystyle 1 1 n q nbsp der naturlichen Zahlen n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp ist bei diesem ternaren Komma Code q log 3 4 1 26 displaystyle q log 3 4 approx 1 26 nbsp Literatur BearbeitenDonald Knuth The Art of Computer Programming 3 Auflage Band 2 Addison Wesley Boston 1998 ISBN 0 201 89684 2 Positional Number Systems S 194 213 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Nikolay Petrovich Brusentsov Jose Ramil Alvarez Ternary Computers The Setun and the Setun 70 In J Impagliazzo E Proydakov Hrsg SoRuCom 2006 IFIP AICT 357 IFIP International Federation for Information Processing 2011 S 74 80 abgerufen am 9 Mai 2016 Knuth N A Krinitsky Programming Hrsg M R Shura Bura Moscow 1963 Chapter 10 Program controlled machine Setun russisch Siehe auch BearbeitenDreiwertige Logik Stellenwertsystem Unarsystem 1 Dualsystem 2 Quaternar 4 Quinar 5 Senar 6 Dezimalsystem 10 Hexadezimalsystem 16 Ternarsystem und ternare MultiplikationWeblinks BearbeitenUber den Setun Computer auf Englisch Verschiedene Zahlensysteme Memento vom 4 November 2007 im Internet Archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ternarsystem amp oldid 238576927