Dreiwertige Logiken auch ternare Logiken sind Beispiele fur mehrwertige Logiken also fur nichtklassische Logiken die sich von der klassischen Logik dadurch unterscheiden dass das Prinzip der Zweiwertigkeit aufgegeben wird Dies bedeutet dass es statt zwei Wahrheitswerten drei gibt namlich anstatt nur wahr bzw 1 und falsch bzw 0 ausserdem noch unbekannt unbestimmt moglich oder Don t Care bzw 1 2 oder i Inhaltsverzeichnis 1 Verschiedene dreiwertige Logiken 2 Formale Gemeinsamkeiten dreiwertiger Logiken 3 L3 und K3 4 B3 5 u als ausgezeichneter Wahrheitswert 6 Starke und schwache Negation 7 Literatur 8 EinzelnachweiseVerschiedene dreiwertige Logiken BearbeitenDie erste dreiwertige Logik ist das System L3 das Jan Lukasiewicz 1920 entwickelte L3 steht in enger Beziehung zur intuitionistischen Logik Das System wurde bald darauf von Lukasiewicz und anderen zu mehrwertigen Logiken erweitert Eine gangige Alternative zu L3 ist die von Stephen Cole Kleene 1938 entwickelte Logik K3 1 Dmitrij Analtoljevic Bocvar hat ebenfalls 1938 das dreiwertige System B3 vorgestellt um logische und semantische Antinomien zu untersuchen die in Logik hoherer Stufen auftreten konnen Der dritte Wahrheitswert stand bei ihm fur sinnlos paradox bedeutungslos oder unsinnig 2 3 Ausserdem gibt es Varianten der dreiwertigen Logik in der neben wahr auch unbestimmt ein ausgezeichneter Wahrheitswert ist d h Folgerichtigkeit bedeutet in solchen Systemen dass aus wahren Pramissen Konklusionen abgeleitet werden durfen die den Wahrheitswert wahr oder unbestimmt haben Eine Alternative hierzu ist der Gebrauch des schwachen nicht das die Negation einer Aussage mit unbestimmtem Wahrheitswert als wahr anerkennt Formale Gemeinsamkeiten dreiwertiger Logiken BearbeitenNeben den Wahrheitswerten w wahr und f falsch der klassischen Logik wird ein dritter Wahrheitswert eingefuhrt Bei Lukasiewicz der von einer erkenntnistheoretischen Fragestellung ausgeht ist die intendierte Bedeutung dieses neu eingefuhrten Wertes in etwa nicht bewiesen aber auch nicht widerlegt er kann als m moglich gelesen werden Interpretationen die L3 in der Informatik anwenden lesen den dritten Wahrheitswert als u fur unbekannt Andere dreiwertige Logiken gehen teilweise davon aus dass der dritte Wahrheitswert fur Aussagen vergeben wird die weder wahr noch falsch oder aber sowohl wahr als auch falsch seien In diesen Fallen ist der Wahrheitswert i fur indefinite Fur die Junktoren und displaystyle land nbsp oder displaystyle lor nbsp und nicht displaystyle neg nbsp sofern nicht das schwache nicht verwendet wird gelten folgende Wahrheitstafeln a und bba f u wf f f fu f u uw f u w a oder bba f u wf f u wu u u ww w w w nicht aa displaystyle neg nbsp af wu uw fDies kann auch folgendermassen zusammengefasst werden Der Wahrheitswert von A B displaystyle A land B nbsp ist das Minimum der Wahrheitswerte von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Der Wahrheitswert von A B displaystyle A lor B nbsp ist das Maximum der Wahrheitswerte von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Der Wahrheitswert von A displaystyle neg A nbsp ist der umgekehrte Wahrheitswert von A displaystyle A nbsp L3 und K3 BearbeitenDie Logiken L3 und K3 unterscheiden sich lediglich in der Definition der Subjunktion displaystyle rightarrow nbsp d h des Junktors der das naturlichsprachliche Konditional abbilden soll Die entsprechenden Wahrheitstafeln sind wenn a dann b in L3ba f u wf w w wu u w ww f u w wenn a dann b in K3ba f u wf w w wu u u ww f u wUmstritten ist also lediglich der Fall in dem beide Teile der Subjunktion den Wahrheitswert 1 2 haben Nach L3 ist die Subjunktion hier wahr nach K3 tragt sie den Wahrheitswert 1 2 Dieser Unterschied hat jedoch erhebliche Auswirkungen Insbesondere gibt es in K3 keine Tautologien Folgerichtigkeit bleibt jedoch moglich In L3 bleiben zahlreiche Tautologien der klassischen Logik erhalten es kommt dabei jedoch auch zu Paradoxien Diese Unterschiede sind vor allem damit zu erklaren dass Lukasiewicz eine erkenntnistheoretische Motivation verfolgte wahrend Kleene eher einen Umgang mit Aussagen suchte die sich auch bei objektiver Kenntnis der Wahrheit nicht ohne weiteres als wahr oder falsch bezeichnen lassen B3 BearbeitenDie Logik B3 unterscheidet zwischen inneren und ausseren Wahrheitswertfunktionen Die inneren Wahrheitswertfunktionen entsprechen den klassischen wenn der Wahrheitswert u nicht vorkommt und sind sonst stets u Die innere Negation entspricht damit der Negation in den L3 und K3 Innere Konjunktion in B3ba f u wf f u fu u u uw f u w Innere Alternative in B3ba f u wf f u wu u u uw w u w Innere Implikation in B3ba f u wf w u wu u u uw f u wHier ist der mittlere Wahrheitswert gewissermassen infektios 4 jede Verwendung von Propositionen mit diesem Wahrheitswert wird in irgendeiner Kombination von Junktoren dazu fuhren dass der Wahrheitswert der Gesamtaussage auch u ist Daher gibt es in B3 zwei weitere einstellige Wahrheitswertfunktionen jf und jw Wahrheitswertfunktion jwa jw a f fu fw w Wahrheitswertfunktion jfa jf a f wu fw fDie Wahrheitsfunktion jw steht fur die Ausserung einer Proposition jf steht fur die Verneinende Ausserung So kann die Behauptung einer Proposition P mit dem Wahrheitswert u als falsch bewertet werden die Ablehnung von P wird als wahr bewertet Bocvar wollte mit dieser Logik Paradoxien wie der Lugnerparadoxie begegnen die mit dem Wahrheitswert u belegt werden sollten Die Bedeutung von u ist hier also bedeutungslos oder paradox 5 u als ausgezeichneter Wahrheitswert BearbeitenEine andere Moglichkeit zum Umgang mit der dreiwertigen Logik ist ihn neben wahr als zweiten ausgezeichneten Wahrheitswert zuzulassen Damit ist Folgerichtigkeit gewahrleistet wenn der Wahrheitswert der Konklusion eines Arguments wahr oder unbestimmt bzw unbekannt ist Dabei liegt es nahe die Wahrheitsfunktion der Subjunktion gegenuber L3 zu verandern um die Zahl der Paradoxien zu begrenzen Als Beispiele hier die Wahrheitstabellen der Subjunktion in LP und RM3 wenn a dann b in LPba f u wf w w wu u u ww f u w wenn a dann b in RM3ba f u wf w w wu f u ww f f wLP Logic of Paradox von Graham Priest verwendet die gleiche Wahrheitsfunktion der Subjunktion wie K3 allerdings gibt es im Gegensatz zu K3 zahlreiche Tautologien dafur jedoch keinen modus ponens Dieser ist in RM3 gesichert auch einige Paradoxien aus LP tauchen hier nicht auf Starke und schwache Negation BearbeitenEine Alternative zur Verwendung von zwei ausgezeichneten Wahrheitswerten ist die Verwendung zweier unterschiedlicher Negationen Diese wird vor allem mit L3 kombiniert Dabei werden eine starke Negation displaystyle neg nbsp und die schwache Negation displaystyle thicksim nbsp unterschieden Der Wahrheitswert der starken bzw inneren prasupponierenden Negation A displaystyle neg A nbsp ist die Umkehrung des Wahrheitswertes von A displaystyle A nbsp bei unbestimmtem Wahrheitswert andert sich hier nichts Der Wahrheitswert der schwachen bzw ausseren nicht prasupponierenden Negation A displaystyle thicksim A nbsp ist falsch wenn der Wahrheitswert von A displaystyle A nbsp wahr ist und sonst immer wahr Diese Negation entspricht etwa der Formulierung Es ist nicht wahr dass P Die Wahrheitstafeln sind also starke NegationA displaystyle neg nbsp Af wu uw f schwache NegationA displaystyle thicksim nbsp Af wu ww fEntsprechend werden zwei Subjunktionen definiert Die starke Subjunktion displaystyle Rightarrow nbsp durch A B A B displaystyle A Rightarrow B neg A lor B nbsp Die schwache Subjunktion displaystyle rightarrow nbsp durch A B A B displaystyle A rightarrow B thicksim A lor B nbsp Als Tautologien werden Formeln bezeichnet die bei jeder Belegung ihrer Elemente den Wahrheitswert w erhalten In diesem Sinne sind A A displaystyle thicksim A land thicksim A nbsp A A displaystyle A rightarrow thicksim thicksim A nbsp aber auch A A displaystyle A lor thicksim A nbsp und A A displaystyle thicksim thicksim A rightarrow A nbsp Tautologien Allgemein lasst sich zeigen dass die Tautologien in L3 die keine starken Junktoren enthalten genau den allgemeingultigen Formeln der klassischen zweiwertigen Logik entsprechen Dagegen sind A A displaystyle A lor neg A nbsp und A A displaystyle thicksim neg A rightarrow A nbsp keine Tautologien in L3 wohl aber die Umkehrung A A displaystyle A rightarrow thicksim neg A nbsp und die Formel A A displaystyle thicksim A land neg A nbsp L3 entspricht damit den Forderungen die die Intuitionisten aufgestellt haben Das ex falso quodlibet ist nicht nur in der klassischen Form A A B displaystyle thicksim A rightarrow A rightarrow B nbsp eine Tautologie sondern auch in der intuitionistischen Form A A B displaystyle neg A rightarrow A rightarrow B nbsp In der Form A A B displaystyle neg A Rightarrow A Rightarrow B nbsp ist es dagegen keine Tautologie wie dies etwa den Forderungen des Minimalkalkuls entspricht Literatur BearbeitenUlrich Blau Die Logik der Unbestimmtheiten und Paradoxien Heidelberg 2008 S 191 290 Susan Haack Philosophy of Logics Cambridge 1978 S 204 220 Jan Lukasiewicz Philosophical Remarks on Many Valued Systems of Propositional Logic in Storrs MacCall Hg Polish Logic 1920 1939 Oxford 1967 Graham Priest An Introduction to Non Classical Logic From If to Is Cambridge 2008 S 120 141 Einzelnachweise Bearbeiten Stephen Cole Kleene On notation for ordinal numbers In Journal Symbolic Logic 3 1938 S 150 155 Dmitrij Anatolevich Bochvar Dmitry Anatolyevich Bocvar Ob odnom trehznachnom ischislenii i ego primenenii k analizu paradoksov klassicheskogo rasshirennogo funkcionalnogo ischisleniya Ob odnom trehznacnom iscislenii i ego primenenii k analizu paradoksov klassiceskogo rassirennogo funkcional nogo iscislenia In Matematiceskij sbornik Band 46 4 1938 S 287 308 russisch Siegfried Gottwald Mehrwertige Logik Eine Einfuhrung in Theorie und Anwendung Akademie Verlag Berlin 1989 S 165 f Susan Haack Philosophy of Logics Cambridge 1978 S 207 Susan Haack Philosophy of Logics Cambridge 1978 S 211 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dreiwertige Logik amp oldid 218457348
