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Repunit ist ein Kofferwort aus den englischen Wörtern repeated wiederholt und unit Einheit und bezeichnet eine Zahl die

Repunit

Repunit ist ein Kofferwort aus den englischen Wörtern repeated (wiederholt) und unit (Einheit) und bezeichnet eine Zahl, die nur die Ziffer 1 enthält. Eine Repunit ist eine besondere Repdigit („Schnapszahl“); die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von Albert H. Beiler geprägt. Im Deutschen wird auch die Bezeichnung Einserkolonne oder Einserschlange verwendet.

Eine prime Repunit oder Repunit-Primzahl ist eine Repunit, die zugleich eine Primzahl ist.

Definition Bearbeiten

Mathematisch sind Repunits (im Dezimalsystem) definiert als

Zudem lässt sich auch eine rekursive Definition angeben:

Die Zahl besteht also aus genau Einsen (). Die Folge der Repunits beginnt wie folgt: 1, 11, 111, 1111, … (Folge A002275 in OEIS).

Repunit-Primzahlen Bearbeiten

Die Definition der Repunits entstand historisch auf der Suche nach einer Zerlegung solcher Zahlen in ihre Primfaktoren. Die Frage, ob eine Repunit-Zahl eine Primzahl ist, beschäftigte Mathematiker schon im 19. Jahrhundert. So verfasste Carl Gustav Jacob Jacobi eine Arbeit mit dem Titel „Untersuchung, ob die Zahl 11111111111 eine Primzahl ist oder nicht. Ein Kuriosum, veranlasst durch Dase.“

Es ist einfach zu zeigen, dass durch teilbar ist, falls durch teilbar ist. Zum Beispiel ist teilbar durch : 111111111 = 111 · 1001001. Deshalb muss notwendig eine Primzahl sein, damit eine Primzahl sein kann. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, zum Beispiel ist keine Primzahl, da .

Außer für dieses Beispiel von kann nur Teiler von sein (für eine Primzahl ), wenn für ein bestimmtes .

Repunit-Primzahlen sind selten. ist eine Primzahl für (Folge A004023 in OEIS). Die im September 1999 von Harvey Dubner bzw. im Oktober 2000 von Lew Baxter gefundenen und sind wahrscheinlich Primzahlen (sogenannte PRP-Zahlen). Ende März 2007 ermittelten Paul Bourdelais und Harvey Dubner als primzahlverdächtig, vier Monate später fanden Maksym Voznyy und Anton Budnyy . Serge Batalov und Ryan Propper fanden binnen kürzester Zeit am 20. April 2021 und am 8. Mai 2021 als gegenwärtig (27. Mai 2021) größte bekannte wahrscheinliche Repunit-Primzahlen. Es wird vermutet, dass es unendlich viele Repunit-Primzahlen gibt.

Verallgemeinerte Repunits Bearbeiten

Da die obige Definition von Repunits auf dem Dezimalsystem beruht, mag diese Definition zunächst willkürlich erscheinen. Man kann die zugrunde liegende Idee jedoch verallgemeinern, indem man Repunits bezüglich einer beliebigen Basis definiert:

Die verallgemeinerte rekursive Definition lautet:

Die Zahl besteht also aus genau Einsen (), wenn sie als Zahl zur Basis notiert wird (wobei unabhängig von der Basis immer gleich 1 ist).

Wertetabelle einiger Repunits als Beispiel:

Gegenüberstellung einiger Repunit-Werte für gebräuchliche Zahlensysteme
Binärsystem
 Oktalsystem
 Dezimalsystem
 Hexadezimalsystem
binär dezimal oktal dezimal dezimal hexadezimal dezimal
1 12 110 18 110 110 116 110
2 112 310 118 910 1110 1116 1710
3 1112 710 1118 7310 11110 11116 27310
4 11112 1510 11118 58510 111110 111116 436910
5 111112 3110 111118 468110 1111110 1111116 6990510
6 1111112 6310 1111118 3744910 11111110 11111116 111848110
7 11111112 12710 11111118 29959310 111111110 111111116 1789569710
8 111111112 25510 111111118 239674510 1111111110 1111111116 28633115310
9 1111111112 51110 1111111118 1917396110 11111111110 11111111116 458129844910
10 11111111112 102310 11111111118 15339168910 111111111110 111111111116 7330077518510

Es ist einfach zu beweisen, dass für jedes , das nicht ohne Rest durch 2 oder teilbar ist, eine Repunit zur Basis existiert, die ein Vielfaches von ist.

Die Basis-2-Repunits sind bekannt als die Mersenne-Zahlen:

Die Repunit-Primzahlen sind eine Teilmenge der permutierbaren Primzahlen, also der Primzahlen, die Primzahlen bleiben, wenn man ihre Ziffern beliebig vertauscht.

Eine besonders große verallgemeinerte Repunit-Primzahl mit 37.090 Stellen berechnete Andy Steward 2006 mit . Im Jahr 2010 fand Tom Wu mit eine noch größere mit 41.382 Stellen. Die derzeit (31. Mai 2021) größte bekannte verallgemeinerte Repunit-Primzahl ist mit 95.202 Stellen und wurde von Tom Wu im Juni 2017 entdeckt.

Repunit-Primzahl zu unterschiedlichen Basen Bearbeiten

Beispiele:

  • Die Repunit ist zur Basis eine Primzahl, weil eine Primzahl ist.
  • Es folgt eine Tabelle der kleinsten Repunit-Primzahlen zu Basen , im Dezimalsystem geschrieben
Basis die kleinsten Repunit-Primzahlen zu Basen , im Dezimalsystem geschrieben OEIS-Folge
die dazugehörigen , für die obige Repunits Primzahlen sind OEIS-Folge
2 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727, … (alle Mersenne-Primzahlen) Folge A000668 in OEIS
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, ... Folge A000043 in OEIS
3 13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ... Folge A076481 in OEIS
3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, 2704981, 3598867, ... Folge A028491 in OEIS
4 5 (die einzige, weil ist und die Zahl für ungerade ein Teiler von und für gerade ein Teiler von ist)
2
5 31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, ... Folge A086122 in OEIS
3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, 3300593, ... Folge A004061 in OEIS
6 7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ... Folge A165210 in OEIS
2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ... Folge A004062 in OEIS
7 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,

138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601, ...

Folge A102170 in OEIS
5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ... Folge A004063 in OEIS
8 73 (die einzige, weil und der erste Faktor durch 7 teilbar ist, wenn nicht durch 3 teilbar ist
bzw. der zweite Faktor durch 7 teilbar ist, wenn ein Vielfaches von 3 ist)
3
9 es gibt keine einzige prime Repunit mit dieser Basis, weil und sowohl als auch gerade sind
-
10 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ... Folge A004022 in OEIS
2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207, ... Folge A004023 in OEIS
11 50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949, ...
17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, 1868983, ... Folge A005808 in OEIS
12 13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941, ...
2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ... Folge A004064 in OEIS

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Albert H. Beiler: Recreations in the Theory of Numbers. The queen of mathematics entertains. 2. Auflage. Dover, New York 1966, Kap. XI, S. 83 ff.
  2. Giovanni Di Maria: The Repunit Primes Project.
  3. Chris K. Caldwell: The Prime Glossery: Repunit.
  4. Andy Steward: (Memento vom 19. Oktober 2013 im Internet Archive)
  5. Chris K. Caldwell: The Top Twenty: Generalized Repunit. Abgerufen am 31. Mai 2021 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Repunit ist ein Kofferwort aus den englischen Wortern repeated wiederholt und unit Einheit und bezeichnet eine Zahl die nur die Ziffer 1 enthalt Eine Repunit ist eine besondere Repdigit Schnapszahl die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von Albert H Beiler gepragt 1 Im Deutschen wird auch die Bezeichnung Einserkolonne oder Einserschlange verwendet Eine prime Repunit oder Repunit Primzahl ist eine Repunit die zugleich eine Primzahl ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Repunit Primzahlen 3 Verallgemeinerte Repunits 3 1 Repunit Primzahl zu unterschiedlichen Basen 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenMathematisch sind Repunits im Dezimalsystem definiert als R n 10 n 1 9 k 0 n 1 10 k 11 1 n Ziffern displaystyle R n frac 10 n 1 9 sum k 0 n 1 10 k overbrace 11 dotso 1 n text Ziffern nbsp mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp Zudem lasst sich auch eine rekursive Definition angeben R n 1 wenn n 1 10 n 1 R n 1 wenn n 2 displaystyle R n begin cases 1 amp text wenn n 1 text 10 n 1 R n 1 amp text wenn n geq 2 text end cases nbsp Die Zahl R n displaystyle R n nbsp besteht also aus genau n displaystyle n nbsp Einsen n 1 displaystyle n geq 1 nbsp Die Folge der Repunits beginnt wie folgt 1 11 111 1111 Folge A002275 in OEIS Repunit Primzahlen BearbeitenDie Definition der Repunits entstand historisch auf der Suche nach einer Zerlegung solcher Zahlen in ihre Primfaktoren Die Frage ob eine Repunit Zahl eine Primzahl ist beschaftigte Mathematiker schon im 19 Jahrhundert So verfasste Carl Gustav Jacob Jacobi eine Arbeit mit dem Titel Untersuchung ob die Zahl 11111111111 eine Primzahl ist oder nicht Ein Kuriosum veranlasst durch Dase Es ist einfach zu zeigen dass R n displaystyle R n nbsp durch R a displaystyle R a nbsp teilbar ist falls n displaystyle n nbsp durch a displaystyle a nbsp teilbar ist Zum Beispiel ist R 9 displaystyle R 9 nbsp teilbar durch R 3 displaystyle R 3 nbsp 111111111 111 1001001 Deshalb muss notwendig n displaystyle n nbsp eine Primzahl sein damit R n displaystyle R n nbsp eine Primzahl sein kann Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend zum Beispiel ist R 3 displaystyle R 3 nbsp keine Primzahl da R 3 111 3 37 displaystyle R 3 111 3 cdot 37 nbsp Ausser fur dieses Beispiel von R 3 displaystyle R 3 nbsp kann p displaystyle p nbsp nur Teiler von R n displaystyle R n nbsp sein fur eine Primzahl n displaystyle n nbsp wenn p 2 k n 1 displaystyle p 2kn 1 nbsp fur ein bestimmtes k displaystyle k nbsp Repunit Primzahlen sind selten R n displaystyle R n nbsp ist eine Primzahl fur n 2 19 23 317 1031 displaystyle n 2 19 23 317 1031 ldots nbsp Folge A004023 in OEIS Die im September 1999 von Harvey Dubner bzw im Oktober 2000 von Lew Baxter gefundenen R 49081 displaystyle R 49081 nbsp und R 86453 displaystyle R 86453 nbsp sind wahrscheinlich Primzahlen sogenannte PRP Zahlen Ende Marz 2007 ermittelten Paul Bourdelais und Harvey Dubner R 109297 displaystyle R 109297 nbsp als primzahlverdachtig vier Monate spater fanden Maksym Voznyy und Anton Budnyy R 270343 displaystyle R 270343 nbsp Serge Batalov und Ryan Propper fanden binnen kurzester Zeit am 20 April 2021 R 5794777 displaystyle R 5794777 nbsp und am 8 Mai 2021 R 8177207 displaystyle R 8177207 nbsp als gegenwartig 27 Mai 2021 grosste bekannte wahrscheinliche Repunit Primzahlen 2 Es wird vermutet dass es unendlich viele Repunit Primzahlen gibt 3 Verallgemeinerte Repunits BearbeitenDa die obige Definition von Repunits auf dem Dezimalsystem beruht mag diese Definition zunachst willkurlich erscheinen Man kann die zugrunde liegende Idee jedoch verallgemeinern indem man Repunits bezuglich einer beliebigen Basis b displaystyle b nbsp definiert R n b b n 1 b 1 k 0 n 1 b k 11 1 n Ziffern b Zahl zur Basis b displaystyle R n b frac b n 1 b 1 sum k 0 n 1 b k underbrace overbrace 11 dotso 1 n text Ziffern b text Zahl zur Basis b nbsp mit b n N displaystyle b n in mathbb N nbsp b 2 displaystyle b geq 2 nbsp n 1 displaystyle n geq 1 nbsp Die verallgemeinerte rekursive Definition lautet R n b 1 wenn n 1 b n 1 R n 1 b wenn n 2 displaystyle R n b begin cases 1 amp text wenn n 1 text b n 1 R n 1 b amp text wenn n geq 2 text end cases nbsp Die Zahl R n b displaystyle R n b nbsp besteht also aus genau n displaystyle n nbsp Einsen n 1 displaystyle n geq 1 nbsp wenn sie als Zahl zur Basis b displaystyle b nbsp notiert wird wobei R 1 b displaystyle R 1 b nbsp unabhangig von der Basis immer gleich 1 ist Wertetabelle einiger Repunits als Beispiel Gegenuberstellung einiger Repunit Werte R n b displaystyle R n b nbsp fur gebrauchliche Zahlensysteme R n b displaystyle R n b nbsp Binarsystemb 2 displaystyle b 2 nbsp Oktalsystemb 8 displaystyle b 8 nbsp Dezimalsystemb 10 displaystyle b 10 nbsp Hexadezimalsystemb 16 displaystyle b 16 nbsp n displaystyle n nbsp binar dezimal oktal dezimal dezimal hexadezimal dezimal1 12 110 18 110 110 116 1102 112 310 118 910 1110 1116 17103 1112 710 1118 7310 11110 11116 273104 11112 1510 11118 58510 111110 111116 4369105 111112 3110 111118 468110 1111110 1111116 69905106 1111112 6310 1111118 3744910 11111110 11111116 1118481107 11111112 12710 11111118 29959310 111111110 111111116 17895697108 111111112 25510 111111118 239674510 1111111110 1111111116 286331153109 1111111112 51110 1111111118 1917396110 11111111110 11111111116 45812984491010 11111111112 102310 11111111118 15339168910 111111111110 111111111116 7330077518510Es ist einfach zu beweisen dass fur jedes n displaystyle n nbsp das nicht ohne Rest durch 2 oder p displaystyle p nbsp teilbar ist eine Repunit zur Basis 2 p displaystyle 2p nbsp existiert die ein Vielfaches von n displaystyle n nbsp ist Die Basis 2 Repunits sind bekannt als die Mersenne Zahlen M n 2 n 1 displaystyle M n 2 n 1 nbsp Die Repunit Primzahlen sind eine Teilmenge der permutierbaren Primzahlen also der Primzahlen die Primzahlen bleiben wenn man ihre Ziffern beliebig vertauscht Eine besonders grosse verallgemeinerte Repunit Primzahl mit 37 090 Stellen berechnete Andy Steward 2006 mit 28839 8317 1 28838 displaystyle textstyle frac 28839 8317 1 28838 nbsp Im Jahr 2010 fand Tom Wu mit 1549 12973 1 1548 displaystyle textstyle frac 1549 12973 1 1548 nbsp eine noch grossere mit 41 382 Stellen 4 Die derzeit 31 Mai 2021 grosste bekannte verallgemeinerte Repunit Primzahl ist 7176 24691 1 7175 displaystyle frac 7176 24691 1 7175 nbsp mit 95 202 Stellen und wurde von Tom Wu im Juni 2017 entdeckt 5 Repunit Primzahl zu unterschiedlichen Basen Bearbeiten Beispiele Die Repunit R 7 5 1111111 5 displaystyle R 7 5 1111111 5 nbsp ist zur Basis b 5 displaystyle b 5 nbsp eine Primzahl weil 1111111 5 1 5 6 1 5 5 1 5 4 1 5 3 1 5 2 1 5 1 1 5 0 15625 3125 625 125 25 5 1 19531 P displaystyle 1111111 5 underline 1 cdot 5 6 underline 1 cdot 5 5 underline 1 cdot 5 4 underline 1 cdot 5 3 underline 1 cdot 5 2 underline 1 cdot 5 1 underline 1 cdot 5 0 15625 3125 625 125 25 5 1 19531 in mathbb P nbsp eine Primzahl ist Es folgt eine Tabelle der kleinsten Repunit Primzahlen R n b displaystyle R n b nbsp zu Basen b 12 displaystyle b leq 12 nbsp im Dezimalsystem geschriebenBasis b displaystyle b nbsp die kleinsten Repunit Primzahlen R n b 11 1 n Einser b displaystyle R n b overbrace 11 ldots 1 n text Einser b nbsp zu Basen b 12 displaystyle b leq 12 nbsp im Dezimalsystem geschrieben OEIS Folgedie dazugehorigen n displaystyle n nbsp fur die obige Repunits Primzahlen sind OEIS Folge2 3 7 31 127 8191 131071 524287 2147483647 2305843009213693951 618970019642690137449562111 162259276829213363391578010288127 170141183460469231731687303715884105727 alle Mersenne Primzahlen Folge A000668 in OEIS2 3 5 7 13 17 19 31 61 89 107 127 521 607 1279 2203 2281 3217 4253 4423 9689 9941 11213 19937 21701 23209 44497 86243 110503 132049 216091 756839 859433 1257787 1398269 2976221 3021377 6972593 13466917 20996011 24036583 25964951 30402457 32582657 37156667 42643801 43112609 57885161 74207281 77232917 82589933 Folge A000043 in OEIS3 13 1093 797161 3754733257489862401973357979128773 6957596529882152968992225251835887181478451547013 Folge A076481 in OEIS3 7 13 71 103 541 1091 1367 1627 4177 9011 9551 36913 43063 49681 57917 483611 877843 2215303 2704981 3598867 Folge A028491 in OEIS4 5 die einzige weil 4 n 1 2 n 1 2 n 1 displaystyle 4 n 1 left 2 n 1 right left 2 n 1 right nbsp ist und die Zahl 3 displaystyle 3 nbsp fur ungerade n displaystyle n nbsp ein Teiler von 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp und fur gerade n displaystyle n nbsp ein Teiler von 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp ist 25 31 19531 12207031 305175781 177635683940025046467781066894531 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781 Folge A086122 in OEIS3 7 11 13 47 127 149 181 619 929 3407 10949 13241 13873 16519 201359 396413 1888279 3300593 Folge A004061 in OEIS6 7 43 55987 7369130657357778596659 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371 Folge A165210 in OEIS2 3 7 29 71 127 271 509 1049 6389 6883 10613 19889 79987 608099 1365019 Folge A004062 in OEIS7 2801 16148168401 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457 138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601 Folge A102170 in OEIS5 13 131 149 1699 14221 35201 126037 371669 1264699 Folge A004063 in OEIS8 73 die einzige weil 8 n 1 4 n 2 n 1 2 n 1 displaystyle 8 n 1 left 4 n 2 n 1 right left 2 n 1 right nbsp und der erste Faktor 4 n 2 n 1 displaystyle 4 n 2 n 1 nbsp durch 7 teilbar ist wenn n displaystyle n nbsp nicht durch 3 teilbar istbzw der zweite Faktor 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp durch 7 teilbar ist wenn n displaystyle n nbsp ein Vielfaches von 3 ist 39 es gibt keine einzige prime Repunit mit dieser Basis weil 9 n 1 3 n 1 3 n 1 displaystyle 9 n 1 left 3 n 1 right left 3 n 1 right nbsp und sowohl 3 n 1 displaystyle 3 n 1 nbsp als auch 3 n 1 displaystyle 3 n 1 nbsp gerade sind 10 11 1111111111111111111 11111111111111111111111 Folge A004022 in OEIS2 19 23 317 1031 49081 86453 109297 270343 5794777 8177207 Folge A004023 in OEIS11 50544702849929377 6115909044841454629 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949 17 19 73 139 907 1907 2029 4801 5153 10867 20161 293831 1868983 Folge A005808 in OEIS12 13 157 22621 29043636306420266077 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941 2 3 5 19 97 109 317 353 701 9739 14951 37573 46889 769543 Folge A004064 in OEISWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Repunit In MathWorld englisch Giovanni Di Maria The Repunit Primes Project Einzelnachweise Bearbeiten Albert H Beiler Recreations in the Theory of Numbers The queen of mathematics entertains 2 Auflage Dover New York 1966 Kap XI S 83 ff Giovanni Di Maria The Repunit Primes Project Chris K Caldwell The Prime Glossery Repunit Andy Steward Titanic Prime Generalized Repunits Memento vom 19 Oktober 2013 im Internet Archive Chris K Caldwell The Top Twenty Generalized Repunit Abgerufen am 31 Mai 2021 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Repunit amp oldid 233138760 Repunit Primzahl zu unterschiedlichen Basen