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Ramanujan Primzahl en sind Primzahlen die einer Ungleichung nach S Ramanujan genügen die aus seiner Verallgemeinerung de

Ramanujan-Primzahl

Ramanujan-Primzahlen sind Primzahlen, die einer Ungleichung nach S. Ramanujan genügen, die aus seiner Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulats folgte, das Ramanujan dabei neu bewies. Das Bertrandsche Postulat besagt, dass für alle Zahlen zwischen und mindestens eine Primzahl liegt. Ramanujan-Primzahlen sind als kleinste Zahlen definiert, so dass für alle zwischen und mindestens Primzahlen liegen. Dass es diese für jedes gibt, bewies Ramanujan. Der Name Ramanujan-Primzahl wurde 2005 von Jonathan Sondow eingeführt.

Sei die Primzahlfunktion, das heißt, ist die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als sind. Dann ist die ‑te Ramanujan-Primzahl die kleinste Zahl , für die gilt:

Mit anderen Worten: Sie sind die kleinsten Zahlen , sodass für alle zwischen und mindestens Primzahlen liegen. Weil die Funktion nur an einer primen Stelle wachsen kann, muss eine Primzahl sein und es gilt:

Die ersten Ramanujan-Primzahlen sind:

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, … (Folge A104272 in OEIS)

Das Bertrandsche Postulat ist gerade der Fall (mit ).

Ramanujan bewies die Existenz dieser Primzahlen, indem er die Ungleichung

für ableitete. Die rechte Seite wächst monoton gegen Unendlich für .

Eigenschaften Bearbeiten

Es gilt für jedes

wobei den natürlichen Logarithmus bezeichnet, sowie

wobei die -te Primzahl ist.

Asymptotisch gilt

woraus mit dem Primzahlsatz folgt:

Die obigen Resultate stammen von Jonathan Sondow bis auf die Ungleichung , die Sondow vermutete und die Shanta Laishram bewies.

Beispiel Bearbeiten

Die ersten Primzahlen lauten:

Wir betrachten die beiden folgenden Eigenschaften (dabei ist die Anzahl der Primzahlen und die -te Ramanujan-Primzahl):

und untersuchen nun diese für die ersten :

Veranschaulichung der Ramanujan-Primzahlen
Anmerkungen
1 0 0,5 0 0 0 -- -- -- -- --
2 1 1 0 1 ab hier ist immer 1 2 1 1 0 1
3 2 1,5 0 2 1 2 1 1 0 1
4 2 2 1 1 1 2 1 1 0 1
5 3 2,5 1 2 1 2 1 1 0 1
6 3 3 2 1 1 2 1 1 0 1
7 4 3,5 2 2 1 2 1 1 0 1
8 4 4 2 2 1 2 1 1 0 1
9 4 4,5 2 2 1 2 1 1 0 1
10 4 5 3 1 das letzte Mal ist 1 2 1 1 0 1
11 5 5,5 3 2 ab hier ist immer 2 11 5 5,5 3 2
12 5 6 3 2 2 11 5 5,5 3 2
13 6 6,5 3 3 2 11 5 5,5 3 2
14 6 7 4 2 2 11 5 5,5 3 2
15 6 7,5 4 2 2 11 5 5,5 3 2
16 6 8 4 2 das letzte Mal ist 2 11 5 5,5 3 2
17 7 8,5 4 3 ab hier ist immer 3 17 7 8,5 4 3
18 7 9 4 3 3 17 7 8,5 4 3
19 8 9,5 4 4 3 17 7 8,5 4 3
20 8 10 4 4 3 17 7 8,5 4 3
21 8 10,5 4 4 3 17 7 8,5 4 3
22 8 11 5 3 3 17 7 8,5 4 3
23 9 11,5 5 4 3 17 7 8,5 4 3
24 9 12 5 4 3 17 7 8,5 4 3
25 9 12,5 5 4 3 17 7 8,5 4 3
26 9 13 6 3 3 17 7 8,5 4 3
27 9 13,5 6 3 3 17 7 8,5 4 3
28 9 14 6 3 das letzte Mal ist 3 17 7 8,5 4 3
29 10 14,5 6 4 ab hier ist immer 4 29 10 14,5 6 4
30 10 15 6 4 4 29 10 14,5 6 4
31 11 15,5 6 5 4 29 10 14,5 6 4
32 11 16 6 5 4 29 10 14,5 6 4
33 11 16,5 6 5 4 29 10 14,5 6 4
34 11 17 7 4 4 29 10 14,5 6 4
35 11 17,5 7 4 4 29 10 14,5 6 4
36 11 18 7 4 4 29 10 14,5 6 4
37 12 18,5 7 5 4 29 10 14,5 6 4
38 12 19 8 4 4 29 10 14,5 6 4
39 12 19,5 8 4 4 29 10 14,5 6 4
40 12 20 8 4 das letzte Mal ist 4 29 10 14,5 6 4
41 13 20,5 8 5 ab hier ist immer 5 41 13 20,5 8 5
42 13 21 8 5 5 41 13 20,5 8 5
43 14 21,5 8 6 5 41 13 20,5 8 5
44 14 22 8 6 5 41 13 20,5 8 5
45 14 22,5 8 6 5 41 13 20,5 8 5
46 14 23 9 5 das letzte Mal ist 5 41 13 20,5 8 5
47 15 23,5 9 6 ab hier ist immer 6 47 15 23,5 9 6
48 15 24 9 6 6 47 15 23,5 9 6
49 15 24,5 9 6 6 47 15 23,5 9 6
50 15 25 9 6 6 47 15 23,5 9 6
51 15 25,5 9 6 6 47 15 23,5 9 6
52 15 26 9 6 6 47 15 23,5 9 6
53 16 26,5 9 7 6 47 15 23,5 9 6
54 16 27 9 7 6 47 15 23,5 9 6
55 16 27,5 9 7 6 47 15 23,5 9 6
56 16 28 9 7 6 47 15 23,5 9 6
57 16 28,5 9 7 6 47 15 23,5 9 6
58 16 29 10 6 das letzte Mal ist 6 47 15 23,5 9 6
59 17 29,5 10 7 ab hier ist immer 7 59 17 29,5 10 7
60 17 30 10 7 7 59 17 29,5 10 7
61 18 30,5 10 8 7 59 17 29,5 10 7
62 18 31 11 7 7 59 17 29,5 10 7
63 18 31,5 11 7 7 59 17 29,5 10 7
64 18 32 11 7 7 59 17 29,5 10 7
65 18 32,5 11 7 7 59 17 29,5 10 7
66 18 33 11 7 das letzte Mal ist 7 59 17 29,5 10 7
67 19 33,5 11 8 ab hier ist immer 8 67 19 33,5 11 8
68 19 34 11 8 8 67 19 33,5 11 8
69 19 34,5 11 8 8 67 19 33,5 11 8
70 19 35 11 8 das letzte Mal ist 8 67 19 33,5 11 8
71 20 35,5 11 9 ab hier ist immer 9 71 20 35,5 11 9
72 20 36 11 9 9 71 20 35,5 11 9
73 21 36,5 11 10 9 71 20 35,5 11 9
74 21 37 12 9 9 71 20 35,5 11 9
75 21 37,5 12 9 9 71 20 35,5 11 9
76 21 38 12 9 9 71 20 35,5 11 9
77 21 38,5 12 9 9 71 20 35,5 11 9
78 21 39 12 9 9 71 20 35,5 11 9
79 22 39,5 12 10 9 71 20 35,5 11 9
80 22 40 12 10 9 71 20 35,5 11 9
81 22 40,5 12 10 9 71 20 35,5 11 9
82 22 41 13 9 9 71 20 35,5 11 9
83 23 41,5 13 10 9 71 20 35,5 11 9
84 23 42 13 10 9 71 20 35,5 11 9
85 23 42,5 13 10 9 71 20 35,5 11 9
86 23 43 14 9 9 71 20 35,5 11 9
87 23 43,5 14 9 9 71 20 35,5 11 9
88 23 44 14 9 9 71 20 35,5 11 9
89 24 44,5 14 10 9 71 20 35,5 11 9
90 24 45 14 10 9 71 20 35,5 11 9
91 24 45,5 14 10 9 71 20 35,5 11 9
92 24 46 14 10 9 71 20 35,5 11 9
93 24 46,5 14 10 9 71 20 35,5 11 9
94 24 47 15 9 9 71 20 35,5 11 9
95 24 47,5 15 9 9 71 20 35,5 11 9
96 24 48 15 9 das letzte Mal ist 9 71 20 35,5 11 9
97 25 48,5 15 10 ab hier ist immer 10 97 25 48,5 15 10
98 25 49 15 10 10 97 25 48,5 15 10
99 25 49,5 15 10 10 97 25 48,5 15 10
100 25 50 15 10 das letzte Mal ist 10 97 25 48,5 15 10
101 26 50,5 15 11 ab hier ist immer 11 101 26 50,5 15 11
102 26 51 15 11 11 101 26 50,5 15 11
103 27 51,5 15 12 11 101 26 50,5 15 11
104 27 52 15 12 11 101 26 50,5 15 11
105 27 52,5 15 12 11 101 26 50,5 15 11
106 27 53 16 11 das letzte Mal ist 11 101 26 50,5 15 11
107 28 53,5 16 12 ab hier ist immer 12 107 28 53,5 16 12
108 28 54 16 12 12 107 28 53,5 16 12
109 29 54,5 16 13 12 107 28 53,5 16 12
110 29 55 16 13 12 107 28 53,5 16 12
111 29 55,5 16 13 12 107 28 53,5 16 12
112 29 56 16 13 12 107 28 53,5 16 12
113 30 56,5 16 14 12 107 28 53,5 16 12
114 30 57 16 14 12 107 28 53,5 16 12
115 30 57,5 16 14 12 107 28 53,5 16 12
116 30 58 16 14 12 107 28 53,5 16 12
117 30 58,5 16 14 12 107 28 53,5 16 12
118 30 59 17 13 12 107 28 53,5 16 12
119 30 59,5 17 13 12 107 28 53,5 16 12
120 30 60 17 13 12 107 28 53,5 16 12
121 30 60,5 17 13 12 107 28 53,5 16 12
122 30 61 18 12 12 107 28 53,5 16 12
123 30 61,5 18 12 12 107 28 53,5 16 12
124 30 62 18 12 12 107 28 53,5 16 12
125 30 62,5 18 12 12 107 28 53,5 16 12
126 30 63 18 12 das letzte Mal ist 12 107 28 53,5 16 12
127 31 63,5 18 13 ab hier ist immer 13 127 31 63,5 18 13
128 31 64 18 13 13 127 31 63,5 18 13
129 31 64,5 18 13 13 127 31 63,5 18 13
130 31 65 18 13 13 127 31 63,5 18 13
131 32 65,5 18 14 13 127 31 63,5 18 13
132 32 66 18 14 13 127 31 63,5 18 13
133 32 66,5 18 14 13 127 31 63,5 18 13
134 32 67 19 13 13 127 31 63,5 18 13
135 32 67,5 19 13 13 127 31 63,5 18 13
136 32 68 19 13 13 127 31 63,5 18 13
137 33 68,5 19 14 13 127 31 63,5 18 13
138 33 69 19 14 13 127 31 63,5 18 13
139 34 69,5 19 15 13 127 31 63,5 18 13
140 34 70 19 15 13 127 31 63,5 18 13
141 34 70,5 19 15 13 127 31 63,5 18 13
142 34 71 20 14 13 127 31 63,5 18 13
143 34 71,5 20 14 13 127 31 63,5 18 13
144 34 72 20 14 13 127 31 63,5 18 13
145 34 72,5 20 14 13 127 31 63,5 18 13
146 34 73 21 13 13 127 31 63,5 18 13
147 34 73,5 21 13 13 127 31 63,5 18 13
148 34 74 21 13 das letzte Mal ist 13 127 31 63,5 18 13
149 35 74,5 21 14 ab hier ist immer 14 149 35 74,5 21 14
150 35 75 21 14 das letzte Mal ist 14 149 35 74,5 21 14
151 36 75,5 21 15 ab hier ist immer 15 151 36 75,5 21 15
152 36 76 21 15 15 151 36 75,5 21 15
153 36 76,5 21 15 15 151 36 75,5 21 15
154 36 77 21 15 15 151 36 75,5 21 15
155 36 77,5 21 15 15 151 36 75,5 21 15
156 36 78 21 15 15 151 36 75,5 21 15
157 37 78,5 21 16 15 151 36 75,5 21 15
158 37 79 22 15 15 151 36 75,5 21 15
159 37 79,5 22 15 15 151 36 75,5 21 15
160 37 80 22 15 15 151 36 75,5 21 15
161 37 80,5 22 15 15 151 36 75,5 21 15
162 37 81 22 15 15 151 36 75,5 21 15
163 38 81,5 22 16 15 151 36 75,5 21 15
164 38 82 22 16 15 151 36 75,5 21 15
165 38 82,5 22 16 15 151 36 75,5 21 15
166 38 83 23 15 das letzte Mal ist 15 151 36 75,5 21 15
167 39 83,5 23 16 ab hier ist immer 16 167 39 83,5 23 16
168 39 84 23 16 16 167 39 83,5 23 16
169 39 84,5 23 16 16 167 39 83,5 23 16
170 39 85 23 16 16 167 39 83,5 23 16
171 39 85,5 23 16 16 167 39 83,5 23 16
172 39 86 23 16 16 167 39 83,5 23 16
173 40 86,5 23 17 16 167 39 83,5 23 16
174 40 87 23 17 16 167 39 83,5 23 16
175 40 87,5 23 17 16 167 39 83,5 23 16
176 40 88 23 17 16 167 39 83,5 23 16
177 40 88,5 23 17 16 167 39 83,5 23 16
178 40 89 24 16 das letzte Mal ist 16 167 39 83,5 23 16
179 41 89,5 24 17 ab hier ist immer 17 179 41 89,5 24 17
180 41 90 24 17 das letzte Mal ist 17 179 41 89,5 24 17
181 42 90,5 24 18 ab hier ist immer 18 181 42 90,5 24 18
182 42 91 24 18 18 181 42 90,5 24 18
183 42 91,5 24 18 18 181 42 90,5 24 18
184 42 92 24 18 18 181 42 90,5 24 18
185 42 92,5 24 18 18 181 42 90,5 24 18
186 42 93 24 18 18 181 42 90,5 24 18
187 42 93,5 24 18 18 181 42 90,5 24 18
188 42 94 24 18 18 181 42 90,5 24 18
189 42 94,5 24 18 18 181 42 90,5 24 18
190 42 95 24 18 18 181 42 90,5 24 18
191 43 95,5 24 19 18 181 42 90,5 24 18
192 43 96 24 19 18 181 42 90,5 24 18
193 44 96,5 24 20 18 181 42 90,5 24 18
194 44 97 25 19 18 181 42 90,5 24 18
195 44 97,5 25 19 18 181 42 90,5 24 18
196 44 98 25 19 18 181 42 90,5 24 18
197 45 98,5 25 20 18 181 42 90,5 24 18
198 45 99 25 20 18 181 42 90,5 24 18
199 46 99,5 25 21 18 181 42 90,5 24 18
200 46 100 25 21 18 181 42 90,5 24 18
201 46 100,5 25 21 18 181 42 90,5 24 18
202 46 101 26 20 18 181 42 90,5 24 18
203 46 101,5 26 20 18 181 42 90,5 24 18
204 46 102 26 20 18 181 42 90,5 24 18
205 46 102,5 26 20 18 181 42 90,5 24 18
206 46 103 27 19 18 181 42 90,5 24 18
207 46 103,5 27 19 18 181 42 90,5 24 18
208 46 104 27 19 18 181 42 90,5 24 18
209 46 104,5 27 19 18 181 42 90,5 24 18
210 46 105 27 19 18 181 42 90,5 24 18
211 47 105,5 27 20 18 181 42 90,5 24 18
212 47 106 27 20 18 181 42 90,5 24 18
213 47 106,5 27 20 18 181 42 90,5 24 18
214 47 107 28 19 18 181 42 90,5 24 18
215 47 107,5 28 19 18 181 42 90,5 24 18
216 47 108 28 19 18 181 42 90,5 24 18
217 47 108,5 28 19 18 181 42 90,5 24 18
218 47 109 29 18 18 181 42 90,5 24 18
219 47 109,5 29 18 18 181 42 90,5 24 18
220 47 110 29 18 18 181 42 90,5 24 18
221 47 110,5 29 18 18 181 42 90,5 24 18
222 47 111 29 18 18 181 42 90,5 24 18
223 48 111,5 29 19 18 181 42 90,5 24 18
224 48 112 29 19 18 181 42 90,5 24 18
225 48 112,5 29 19 18 181 42 90,5 24 18
226 48 113 30 18 das letzte Mal ist 18 181 42 90,5 24 18
227 49 113,5 30 19 ab hier ist immer 19 227 49 113,5 30 19
228 49 114 30 19 19 227 49 113,5 30 19

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ramanujan: A proof of Bertrand’s postulate. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 11 (1919), 181–182.
  2. J. Sondow: Ramanujan primes and Bertrand’s postulate. In: American Mathematical Monthly. Band 116, 2009, S. 630–635, Arxiv, pdf.
  3. The first 1000 and 10000 primes
Primzahl­mengen


formelbasiert

Carol ((2n − 1)2 − 2) | Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (22n + 1) | Kubisch (x3 − y3)/(x − y) | Kynea ((2n + 1)2 − 2) | Leyland (xy + yx) | Mersenne (2p − 1) | Mills (A3n) | Pierpont (2u⋅3v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x4 + y4) | Thabit (3⋅2n − 1) | Wagstaff ((2p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅bn − 1) | Woodall (n⋅2n − 1)

Primzahlfolgen

Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin

eigenschaftsbasiert

Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson

basis­abhängig

Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular

basierend auf Tupel

Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)

nach Größe

Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)

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Veröffentlichungsdatum:
Ramanujan Primzahlen sind Primzahlen die einer Ungleichung nach S Ramanujan genugen die aus seiner Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulats folgte das Ramanujan dabei neu bewies 1 Das Bertrandsche Postulat besagt dass fur alle Zahlen x 1 displaystyle x geq 1 zwischen x displaystyle x und 2 x displaystyle 2x mindestens eine Primzahl liegt Ramanujan Primzahlen R n displaystyle R n sind als kleinste Zahlen definiert so dass fur alle x R n displaystyle x geq R n zwischen x displaystyle x und x 2 displaystyle tfrac x 2 mindestens n displaystyle n Primzahlen liegen Dass es diese fur jedes n displaystyle n gibt bewies Ramanujan Der Name Ramanujan Primzahl wurde 2005 von Jonathan Sondow eingefuhrt Sei x p x displaystyle x mapsto pi x die Primzahlfunktion das heisst p x displaystyle pi x ist die Anzahl der Primzahlen die nicht grosser als x displaystyle x sind Dann ist die n displaystyle n te Ramanujan Primzahl die kleinste Zahl R n displaystyle R n fur die gilt p x p x 2 n displaystyle pi x pi left frac x 2 right geq n fur alle x R n displaystyle x geq R n Mit anderen Worten Sie sind die kleinsten Zahlen R n displaystyle R n sodass fur alle x R n displaystyle x geq R n zwischen x 2 displaystyle tfrac x 2 und x displaystyle x mindestens n displaystyle n Primzahlen liegen Weil die Funktion x p x p x 2 displaystyle x mapsto pi x pi tfrac x 2 nur an einer primen Stelle x displaystyle x wachsen kann muss R n displaystyle R n eine Primzahl sein und es gilt p R n p R n 2 n displaystyle pi R n pi left frac R n 2 right n Die ersten Ramanujan Primzahlen sind 2 11 17 29 41 47 59 67 71 97 101 107 127 149 151 167 179 181 227 229 233 239 241 263 269 281 307 311 347 349 367 373 401 409 419 431 433 439 461 487 491 Folge A104272 in OEIS Das Bertrandsche Postulat ist gerade der Fall n 1 displaystyle n 1 mit R 1 2 displaystyle R 1 2 Ramanujan bewies die Existenz dieser Primzahlen indem er die Ungleichung p x p x 2 gt 1 log x x 6 3 x displaystyle pi x pi left frac x 2 right gt frac 1 log x left frac x 6 3 sqrt x right fur x gt 300 displaystyle x gt 300 ableitete Die rechte Seite wachst monoton gegen Unendlich fur x displaystyle x to infty Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Beispiel 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenEs gilt fur jedes n 1 displaystyle n geq 1 nbsp 2 n ln 2 n lt R n lt 4 n ln 4 n displaystyle 2n ln 2n lt R n lt 4n ln 4n nbsp wobei ln displaystyle ln nbsp den naturlichen Logarithmus bezeichnet sowie p 2 n lt R n lt p 3 n displaystyle p 2n lt R n lt p 3n nbsp fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp wobei p n displaystyle p n nbsp die n displaystyle n nbsp te Primzahl ist Asymptotisch gilt R n p 2 n displaystyle R n sim p 2n nbsp fur n displaystyle n to infty nbsp woraus mit dem Primzahlsatz folgt R n 2 n ln 2 n displaystyle R n sim 2n ln 2n nbsp Die obigen Resultate stammen von Jonathan Sondow 2 bis auf die Ungleichung R n lt p 3 n displaystyle R n lt p 3n nbsp die Sondow vermutete und die Shanta Laishram bewies Beispiel BearbeitenDie ersten Primzahlen lauten 3 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 Folge A000040 in OEIS Wir betrachten die beiden folgenden Eigenschaften dabei ist p x displaystyle pi x nbsp die Anzahl der Primzahlen x displaystyle leq x nbsp und R n displaystyle R n nbsp die n displaystyle n nbsp te Ramanujan Primzahl p x p x 2 n displaystyle pi x pi left frac x 2 right geq n nbsp fur alle x R n displaystyle x geq R n nbsp p R n p R n 2 n displaystyle pi R n pi left frac R n 2 right n nbsp und untersuchen nun diese fur die ersten x N x 228 displaystyle x in mathbb N x leq 228 nbsp Veranschaulichung der Ramanujan Primzahlen R n displaystyle R n nbsp x displaystyle x nbsp p x displaystyle pi x nbsp x 2 displaystyle frac x 2 nbsp p x 2 displaystyle pi left frac x 2 right nbsp p x p x 2 displaystyle pi x pi left frac x 2 right nbsp Anmerkungen n displaystyle n nbsp R n displaystyle R n nbsp p R n displaystyle pi R n nbsp R n 2 displaystyle frac R n 2 nbsp p R n 2 displaystyle pi left frac R n 2 right nbsp p R n p R n 2 n displaystyle pi R n pi left frac R n 2 right stackrel n nbsp 1 0 0 5 0 0 0 2 1 1 0 1 ab hier ist immer p x p x 2 1 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 1 nbsp 1 2 1 1 0 13 2 1 5 0 2 1 2 1 1 0 14 2 2 1 1 1 2 1 1 0 15 3 2 5 1 2 1 2 1 1 0 16 3 3 2 1 1 2 1 1 0 17 4 3 5 2 2 1 2 1 1 0 18 4 4 2 2 1 2 1 1 0 19 4 4 5 2 2 1 2 1 1 0 110 4 5 3 1 das letzte Mal ist p x p x 2 1 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 1 nbsp 1 2 1 1 0 111 5 5 5 3 2 ab hier ist immer p x p x 2 2 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 2 nbsp 2 11 5 5 5 3 212 5 6 3 2 2 11 5 5 5 3 213 6 6 5 3 3 2 11 5 5 5 3 214 6 7 4 2 2 11 5 5 5 3 215 6 7 5 4 2 2 11 5 5 5 3 216 6 8 4 2 das letzte Mal ist p x p x 2 2 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 2 nbsp 2 11 5 5 5 3 217 7 8 5 4 3 ab hier ist immer p x p x 2 3 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 3 nbsp 3 17 7 8 5 4 318 7 9 4 3 3 17 7 8 5 4 319 8 9 5 4 4 3 17 7 8 5 4 320 8 10 4 4 3 17 7 8 5 4 321 8 10 5 4 4 3 17 7 8 5 4 322 8 11 5 3 3 17 7 8 5 4 323 9 11 5 5 4 3 17 7 8 5 4 324 9 12 5 4 3 17 7 8 5 4 325 9 12 5 5 4 3 17 7 8 5 4 326 9 13 6 3 3 17 7 8 5 4 327 9 13 5 6 3 3 17 7 8 5 4 328 9 14 6 3 das letzte Mal ist p x p x 2 3 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 3 nbsp 3 17 7 8 5 4 329 10 14 5 6 4 ab hier ist immer p x p x 2 4 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 4 nbsp 4 29 10 14 5 6 430 10 15 6 4 4 29 10 14 5 6 431 11 15 5 6 5 4 29 10 14 5 6 432 11 16 6 5 4 29 10 14 5 6 433 11 16 5 6 5 4 29 10 14 5 6 434 11 17 7 4 4 29 10 14 5 6 435 11 17 5 7 4 4 29 10 14 5 6 436 11 18 7 4 4 29 10 14 5 6 437 12 18 5 7 5 4 29 10 14 5 6 438 12 19 8 4 4 29 10 14 5 6 439 12 19 5 8 4 4 29 10 14 5 6 440 12 20 8 4 das letzte Mal ist p x p x 2 4 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 4 nbsp 4 29 10 14 5 6 441 13 20 5 8 5 ab hier ist immer p x p x 2 5 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 5 nbsp 5 41 13 20 5 8 542 13 21 8 5 5 41 13 20 5 8 543 14 21 5 8 6 5 41 13 20 5 8 544 14 22 8 6 5 41 13 20 5 8 545 14 22 5 8 6 5 41 13 20 5 8 546 14 23 9 5 das letzte Mal ist p x p x 2 5 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 5 nbsp 5 41 13 20 5 8 547 15 23 5 9 6 ab hier ist immer p x p x 2 6 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 6 nbsp 6 47 15 23 5 9 648 15 24 9 6 6 47 15 23 5 9 649 15 24 5 9 6 6 47 15 23 5 9 650 15 25 9 6 6 47 15 23 5 9 651 15 25 5 9 6 6 47 15 23 5 9 652 15 26 9 6 6 47 15 23 5 9 653 16 26 5 9 7 6 47 15 23 5 9 654 16 27 9 7 6 47 15 23 5 9 655 16 27 5 9 7 6 47 15 23 5 9 656 16 28 9 7 6 47 15 23 5 9 657 16 28 5 9 7 6 47 15 23 5 9 658 16 29 10 6 das letzte Mal ist p x p x 2 6 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 6 nbsp 6 47 15 23 5 9 659 17 29 5 10 7 ab hier ist immer p x p x 2 7 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 7 nbsp 7 59 17 29 5 10 760 17 30 10 7 7 59 17 29 5 10 761 18 30 5 10 8 7 59 17 29 5 10 762 18 31 11 7 7 59 17 29 5 10 763 18 31 5 11 7 7 59 17 29 5 10 764 18 32 11 7 7 59 17 29 5 10 765 18 32 5 11 7 7 59 17 29 5 10 766 18 33 11 7 das letzte Mal ist p x p x 2 7 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 7 nbsp 7 59 17 29 5 10 767 19 33 5 11 8 ab hier ist immer p x p x 2 8 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 8 nbsp 8 67 19 33 5 11 868 19 34 11 8 8 67 19 33 5 11 869 19 34 5 11 8 8 67 19 33 5 11 870 19 35 11 8 das letzte Mal ist p x p x 2 8 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 8 nbsp 8 67 19 33 5 11 871 20 35 5 11 9 ab hier ist immer p x p x 2 9 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 9 nbsp 9 71 20 35 5 11 972 20 36 11 9 9 71 20 35 5 11 973 21 36 5 11 10 9 71 20 35 5 11 974 21 37 12 9 9 71 20 35 5 11 975 21 37 5 12 9 9 71 20 35 5 11 976 21 38 12 9 9 71 20 35 5 11 977 21 38 5 12 9 9 71 20 35 5 11 978 21 39 12 9 9 71 20 35 5 11 979 22 39 5 12 10 9 71 20 35 5 11 980 22 40 12 10 9 71 20 35 5 11 981 22 40 5 12 10 9 71 20 35 5 11 982 22 41 13 9 9 71 20 35 5 11 983 23 41 5 13 10 9 71 20 35 5 11 984 23 42 13 10 9 71 20 35 5 11 985 23 42 5 13 10 9 71 20 35 5 11 986 23 43 14 9 9 71 20 35 5 11 987 23 43 5 14 9 9 71 20 35 5 11 988 23 44 14 9 9 71 20 35 5 11 989 24 44 5 14 10 9 71 20 35 5 11 990 24 45 14 10 9 71 20 35 5 11 991 24 45 5 14 10 9 71 20 35 5 11 992 24 46 14 10 9 71 20 35 5 11 993 24 46 5 14 10 9 71 20 35 5 11 994 24 47 15 9 9 71 20 35 5 11 995 24 47 5 15 9 9 71 20 35 5 11 996 24 48 15 9 das letzte Mal ist p x p x 2 9 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 9 nbsp 9 71 20 35 5 11 997 25 48 5 15 10 ab hier ist immer p x p x 2 10 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 10 nbsp 10 97 25 48 5 15 1098 25 49 15 10 10 97 25 48 5 15 1099 25 49 5 15 10 10 97 25 48 5 15 10100 25 50 15 10 das letzte Mal ist p x p x 2 10 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 10 nbsp 10 97 25 48 5 15 10101 26 50 5 15 11 ab hier ist immer p x p x 2 11 displaystyle pi x pi frac x 2 geq 11 nbsp 11 101 26 50 5 15 11102 26 51 15 11 11 101 26 50 5 15 11103 27 51 5 15 12 11 101 26 50 5 15 11104 27 52 15 12 11 101 26 50 5 15 11105 27 52 5 15 12 11 101 26 50 5 15 11106 27 53 16 11 das letzte Mal ist p x p x 2 11 displaystyle pi x pi frac x 2 leq 11 nbsp 11 101 26 50 5 15 11107 28 53 5 16 12 ab hier 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Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache Wellin Strobogrammatisch Tetradisch Trunkierbar Zirkularbasierend auf Tupel Ausbalanciert p n p p n Chen Cousin p p 4 Cunningham p 2p 1 Drilling p p 2 oder p 4 p 6 Konstellation Sexy p p 6 Sichere p p 1 2 Sophie Germain p 2p 1 Vierling p p 2 p 6 p 8 Zwilling p p 2 Zwillings Bi Kette n 1 2n 1 nach Grosse Titanisch 1 000 Stellen Gigantisch 10 000 Stellen Mega 1 000 000 Stellen Beva 1 000 000 000 Stellen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ramanujan Primzahl amp oldid 205509933