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Bertrandsches Postulat Das Bertrandsche Postulat auch Satz von Bertrand Tschebyschow ist ein mathematisches Theorem das

Bertrandsches Postulat

Das Bertrandsche Postulat (auch Satz von Bertrand-Tschebyschow) ist ein mathematisches Theorem, das besagt, dass für jede natürliche Zahl mindestens eine Primzahl mit existiert.

Diese Behauptung wurde zuerst 1845 von dem Mathematiker Joseph Bertrand aufgestellt, der sie für natürliche Zahlen bis 3.000.000 bewies. Den ersten vollständigen Beweis für alle natürlichen Zahlen lieferte Tschebyschow fünf Jahre später. Einen weiteren, einfacheren Beweis gab der indische Mathematiker S. Ramanujan an, der dabei auch Ramanujan-Primzahlen einführte. 1932 lieferte auch Paul Erdős einen einfachen Beweis.

Ramanujan bewies eine Verallgemeinerung, die Existenz von Ramanujan-Primzahlen , so dass für alle zwischen und mindestens Primzahlen liegen.

Beweis für n ≤ 4000 Bearbeiten

Für die ersten 4000 natürlichen Zahlen lassen sich einfach Primzahlen angeben, sodass die Behauptung gilt. In der Folge

von Primzahlen ist jedes Folgenglied kleiner als das Doppelte des vorhergehenden. Somit gilt die Behauptung für

Literatur Bearbeiten

  • Das BUCH der Beweise. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42535-7 (3. Auflage: ISBN 978-3-642-02258-6).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. J. Bertrand: Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme. In: Journal de l’École Royale Polytechnique. 30 (18), 1845, S. 123–140 (französisch).
  2. Tchebichef: Mémoire sur les nombres premiers. (1850), Mémoires de l’académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg 7, 1854, S. 17–33; Journal de mathématiques pures et appliquées 1re série 17, 1852, S. 366–390.
    In: A. Markoff, N. Sonin (Hrsg.): Oeuvres de P. L. Tchebychef. Tome I. St.-Pétersbourg 1899, S. 51–70 (französisch; im Internet-Archiv).
  3. S. Ramanujan: A proof of Bertrand’s postulate. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 11, 1919, S. 181–182 (englisch).

Weblinks Bearbeiten

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Das Bertrandsche Postulat auch Satz von Bertrand Tschebyschow ist ein mathematisches Theorem das besagt dass fur jede naturliche Zahl n gt 1 displaystyle n gt 1 mindestens eine Primzahl p displaystyle p mit n lt p lt 2 n displaystyle n lt p lt 2 n existiert Diese Behauptung wurde zuerst 1845 von dem Mathematiker Joseph Bertrand aufgestellt der sie fur naturliche Zahlen bis 3 000 000 bewies 1 Den ersten vollstandigen Beweis fur alle naturlichen Zahlen lieferte Tschebyschow funf Jahre spater 2 Einen weiteren einfacheren Beweis gab der indische Mathematiker S Ramanujan an der dabei auch Ramanujan Primzahlen einfuhrte 3 1932 lieferte auch Paul Erdos einen einfachen Beweis Ramanujan bewies eine Verallgemeinerung die Existenz von Ramanujan Primzahlen R n displaystyle R n so dass fur alle x R n displaystyle x geq R n zwischen x displaystyle x und x 2 displaystyle frac x 2 mindestens n displaystyle n Primzahlen liegen Inhaltsverzeichnis 1 Beweis fur n 4000 2 Literatur 3 Einzelnachweise 4 WeblinksBeweis fur n 4000 BearbeitenFur die ersten 4000 naturlichen Zahlen lassen sich einfach Primzahlen angeben sodass die Behauptung gilt In der Folge 2 3 5 7 13 23 43 83 163 317 631 1259 2503 4001 displaystyle 2 3 5 7 13 23 43 83 163 317 631 1259 2503 4001 nbsp Folge A295262 in OEIS von Primzahlen ist jedes Folgenglied kleiner als das Doppelte des vorhergehenden Somit gilt die Behauptung fur n 4000 displaystyle n leq 4000 nbsp Literatur BearbeitenDas BUCH der Beweise Springer Berlin 2002 ISBN 3 540 42535 7 3 Auflage ISBN 978 3 642 02258 6 Einzelnachweise Bearbeiten J Bertrand Memoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu elle renferme In Journal de l Ecole Royale Polytechnique 30 18 1845 S 123 140 franzosisch Tchebichef Memoire sur les nombres premiers 1850 Memoires de l academie imperiale des sciences de St Petersbourg 7 1854 S 17 33 Journal de mathematiques pures et appliquees 1re serie 17 1852 S 366 390 In A Markoff N Sonin Hrsg Oeuvres de P L Tchebychef Tome I St Petersbourg 1899 S 51 70 franzosisch im Internet Archiv S Ramanujan A proof of Bertrand s postulate In Journal of the Indian Mathematical Society 11 1919 S 181 182 englisch Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Bertrand s Postulate In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bertrandsches Postulat amp oldid 229001505