Die narzisstischen Zahlen (auch Armstrong-Zahlen genannt) sind eine Teilmenge natürlicher Zahlen, die durch bestimmte Rechenvorschriften ihrer Ziffern sich selbst erzeugen. Sie spielen in der reinen Mathematik allerdings keine besondere Rolle, da sie stark vom verwendeten Zahlensystem (in der Regel vom Dezimalsystem) abhängen und somit keinen echten wissenschaftlichen Nutzen bringen.
Armstrong-Zahlen Bearbeiten
Eine Armstrong-Zahl (nach Michael F. Armstrong) oder PPDI (pluperfect digital invariant) ist eine Zahl, deren Summe ihrer Ziffern, jeweils potenziert mit der Stellenanzahl der Zahl, wieder die Zahl selbst ergibt.
Mit anderen Worten:
Eine n-stellige Zahl der Form
ist eine Armstrong-Zahl, wenn gilt:
Beispiele Bearbeiten
Beispiel 1:
Ein Beispiel für eine solche Zahl mit der Potenz n=5 ist die fünfstellige Zahl 54748:
Beispiel 2:
Die Liste von kleinsten narzisstischen Zahlen mit Stellen im Dezimalsystem ist die folgende (wenn keine Zahl mit dieser Stellenzahl existiert, steht 0 an dieser Stelle):
Es gibt insgesamt genau 88 narzisstische Zahlen (ohne die 0) im Dezimalsystem. Die Anzahl ihrer Stellen gibt die folgende Zahlenliste an:
Ordnet man diese Zahlen nach ihrer Stellenanzahl , so erhält man folgende Tabelle (Folge A005188 in OEIS):
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Verallgemeinerung Bearbeiten
Wählt man eine andere Basis , so ist eine narzisstische Zahl analog zum Dezimalsystem definiert:
Eine n-stellige Zahl mit Basis b der Form
ist eine narzisstische Zahl mit Basis b, wenn gilt:
Beispiele Bearbeiten
Beispiel 1:
Die Dezimalzahl ist eine narzisstische Zahl mit Basis .
Es ist im Vierersystem (es ist ), und tatsächlich gilt für die dann dreistellige Zahl: .
Beispiel 2:
Die Dezimalzahl ist eine narzisstische Zahl mit Basis .
Es ist im Sechsersystem (es ist ), und tatsächlich gilt für die dann fünfstellige Zahl: .
Eine Liste der narzisstischen Zahlen mit Basis wurde schon weiter oben angegeben (Folge A005188 in OEIS).
Es folgt eine Liste der narzisstischen Zahlen mit Basis , geschrieben im jeweiligen System (wobei aus Ermangelung an weiteren Ziffern gesetzt wird) bzw. im Dezimalsystem:
| Basis b | narzisstische Zahlen zur Basis b | narzisstische Zahlen zur Basis 10 |
|---|---|---|
| 2 | 0, 1 | 0, 1 |
| 3 | 0, 1, 2, 12, 22, 122 | 1, 2, 5, 8, 17 |
| 4 | 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303 (Folge A010343 in OEIS) | 1, 2, 3, 28, 29, 35, 43, 55, 62, 83, 243 (Folge A010344 in OEIS) |
| 5 | 1, 2, 3, 4, 23, 33, 103, 433, 2124, 2403, 3134, 124030, 124031, 242423, 434434444, 1143204434402, 14421440424444 (Folge A010345 in OEIS) | 1, 2, 3, 4, 13, 18, 28, 118, 289, 353, 419, 4890, 4891, 9113, 1874374, 338749352, 2415951874 (Folge A010346 in OEIS) |
| 6 | 1, 2, 3, 4, 5, 243, 514, 14340, 14341, 14432, 23520, 23521, 44405, 435152, 5435254, 12222215, 555435035, 1053025020422, 1053122514003, 1435403205450, 1435403205451, 1450005114454, 2135254510352, 2145555022413, 2500150125455, 133024510545125, 13435022253535055, 15205355253553320, 15205355253553321, 105144341423554535 (Folge A010347 in OEIS) | 1, 2, 3, 4, 5, 99, 190, 2292, 2293, 2324, 3432, 3433, 6197, 36140, 269458, 391907, 10067135, 2510142206, 2511720147, 3866632806, 3866632807, 3930544834, 4953134588, 5018649129, 6170640875, 124246559501, 4595333541803, 5341093125744, 5341093125745, 19418246235419 (Folge A010348 in OEIS) |
| 7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 34, 44, 63, 250, 251, 305, 505, 12205, 12252, 13350, 13351, 15124, 36034, 205145, 1424553, 1433554, 3126542, 4355653, 6515652, 125543055, 161340144, 254603255, 336133614, 542662326, … (Folge A010349 in OEIS) | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 25, 32, 45, 133, 134, 152, 250, 3190, 3222, 3612, 3613, 4183, 9286, 35411, 191334, 193393, 376889, 535069, 794376, 8094840, 10883814, 16219922, 20496270, 32469576, 34403018, 416002778, 416352977, … (Folge A010350 in OEIS) |
| 8 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 64, 134, 205, 463, 660, 661, 40663, 42710, 42711, 60007, 62047, 636703, 3352072, 3352272, 3451473, 4217603, 7755336, 16450603, 63717005, 233173324, 3115653067, 4577203604, 61777450236, 147402312024, … (Folge A010351 in OEIS) | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 52, 92, 133, 307, 432, 433, 16819, 17864, 17865, 24583, 25639, 212419, 906298, 906426, 938811, 1122179, 2087646, 3821955, 13606405, 40695508, 423056951, 637339524, 6710775966, 13892162580, 32298119799, … (Folge A010354 in OEIS) |
| 9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 45, 55, 150, 151, 570, 571, 2446, 12036, 12336, 14462, 2225764, 6275850, 6275851, 12742452, 356614800, 356614801, 1033366170, 1033366171, 1455770342, 8463825582, 131057577510, 131057577511, …(Folge A010352 in OEIS) | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 41, 50, 126, 127, 468, 469, 1824, 8052, 8295, 9857, 1198372, 3357009, 3357010, 6287267, 156608073, 156608074, 403584750, 403584751, 586638974, 3302332571, 42256814922, 42256814923, 114842637961, … (Folge A010353 in OEIS) |
| 10 | siehe oben (Folge A005188 in OEIS) | siehe oben (Folge A005188 in OEIS) |
| … | … | … |
| 12 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 25, A5, 577, 668, A83, … | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 29, 125, 811, 944, 1539, 28733, 193084, 887690, 2536330, 6884751, 17116683, 5145662993, 25022977605, 39989277598, 294245206529, 301149802206, 394317605931, 429649124722, 446779986586, … (Folge A161949 in OEIS) |
| … | … | … |
| 16 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 5B0, 5B1, 60B, … | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 342, 371, 520, 584, 645, 1189, 2458, 2729, 1456, 1457, 1547, 1611, 2240, 2241, 2755, 3240, 3689, 3744, 3745, 47314, 79225, 177922, 177954, 368764, 369788, 786656, 786657, 787680, 787681, 811239, 812263, … (Folge A161953 in OEIS) |
| … | … | … |
Beispiel 3:
Wenn man die k-ten Potenzen der Ziffern einer k-stelligen Zahl n aufsummiert, erhält man (für n=1, 2, 3, 4, …) die folgenden Werte:
Die obige Liste ist so zu deuten: zum Beispiel steht an der . Stelle (dieser Wert ist zweistellig) der Wert . Wenn man also von die Ziffern mit der Anzahl ihrer Stellen, also , potenziert, ergibt es . Tatsächlich ist . Erhält man wieder exakt den Wert der Stelle (in diesem Fall wäre es gewesen), hätte man eine narzisstische Zahl gefunden.
Eigenschaften Bearbeiten
- Die Anzahl der narzisstischen Zahlen in einer gegebenen Basis b ist endlich.
- Spezialfall: Jede narzisstische Zahl im Dezimalsystem muss kleiner als sein.
- Es gibt nur 88 narzisstische Zahlen im Dezimalsystem. Die größte narzisstische Zahl im Dezimalsystem hat aber nur 39 Stellen (statt den oben angegebenen maximalen 60 Stellen) und ist die folgende:
- Alle einstelligen Zahlen sind narzisstische Zahlen (in jeder Basis).
- Es gibt mindestens eine zweistellige narzisstische Zahl in einer Basis genau dann, wenn keine Primzahl ist.
- Jede Basis , welche kein Vielfaches von ist, hat mindestens eine dreistellige narzisstische Zahl. Die Basen ohne dreistellige narzisstische Zahlen sind die folgenden:
Perfekte digitale Invariante Bearbeiten
Eine Zahl, deren Summe ihrer Ziffern, jeweils potenziert mit irgendeiner Zahl (und nicht mit ihrer Stellenanzahl), wieder die Zahl selbst ergibt, nennt man perfekte digitale Invariante (oder PDI). Diese Zahlen sind allerdings keine narzisstischen Zahlen. Im Gegensatz zu den narzisstischen Zahlen gibt es bei PDIs (mit Basis ) keine obere Schranke für die Größe der Zahl. Man weiß auch nicht, ob es bei gegebener Basis endlich oder unendlich viele PDIs gibt.
Beispiele:
- Die Dezimalzahl hat vier Dezimalstellen, man kann sie aber als Summe von fünften Potenzen ihrer Dezimalstellen darstellen:
- Die kleinsten PDIs mit irgendeiner Potenz ihrer Ziffern sind
- In den beiden oberen Listen stehen (zum Beispiel) an 29. Stelle die Zahlen 14459929 und 7. Das bedeutet, dass die 8-stellige Zahl
- In den beiden oberen Listen sind aber auch narzisstische Zahlen inkludiert. Zum Beispiel sind an 25. Stelle die Zahlen 1741725 und 7. Das bedeutet, dass die 7-stellige Zahl ist.
- Die folgende Liste gibt die kleinsten Zahlen an, die gleich sind der Summe ihrer Ziffern mit n-ter Potenz (n=1, 2, 3, …) (die 0 gibt an, dass es keine solche Zahl gibt):
Narzisstische Zahlen mit steigender Potenz Bearbeiten
Narzisstische Zahlen mit steigender Potenz sind Zahlen, deren Summe ihrer Ziffern, potenziert mit deren Stelle in der Zahl (von links gezählt), die Zahl selbst ergibt. Also zum Beispiel eine Zahl abc = .
Beispiele:
- Folgende Zahlen sind in diesem Sinne narzisstisch:
Narzisstische Zahlen mit konstanter Basis Bearbeiten
Narzisstische Zahlen mit konstanter Basis sind Zahlen, bei denen die Basis konstant ist und die Exponenten den Ziffern der Zahl entsprechen.
Beispiel:
Wilde narzisstische Zahlen Bearbeiten
Wilde narzisstische Zahlen sind Zahlen, bei denen die Weise, auf die sie sich selbst aus ihren Ziffern erzeugen, nicht einheitlich ist.
Beispiel:
Interessante Zahlen Bearbeiten
Interessante Zahlen sind noch freier als die wilden narzisstischen Zahlen bei ihrer Erzeugung:
Beispiele:
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. David Wells, ISBN 0-14-026149-4
Weblinks Bearbeiten
- Eric W. Weisstein: Narzisstische Zahl. In: MathWorld (englisch).
- Prüfung auf narzisstische Zahlen in C# auf .NET-Snippets.de
Einzelnachweise Bearbeiten
- Armstrong Numbers, Dik T. Winter
- Lionel Deimel’s Web Log
- (Memento vom 27. Oktober 2009 im Internet Archive), Harvey Heinz
- Thomas Jüstel: Besondere Zahlen. (PDF) Fachhochschule Münster, abgerufen am 29. Oktober 2014.
- Eric W. Weisstein: Narzisstische Zahl. In: MathWorld (englisch).