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Brunsche Konstante Die ist eine mathematische Konstante aus dem Bereich der Zahlentheorie Benannt ist sie nach dem Mathe

Brunsche Konstante

Die Brunsche Konstante ist eine mathematische Konstante aus dem Bereich der Zahlentheorie. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Viggo Brun, welcher ihre Existenz durch Verwendung des nach ihm benannten Siebes bewiesen hat.

Brunsche Konstante für Primzahlzwillinge Bearbeiten

Im Jahr 1919 zeigte der Mathematiker Viggo Brun, dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge (Paare von Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt) konvergiert. Der Grenzwert dieser Summe wird Brunsche Konstante für Primzahlzwillinge genannt:

Dieses Ergebnis der analytischen Zahlentheorie ist auf den ersten Blick überraschend, da die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert, wie bereits im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler bewiesen wurde. Wäre auch divergent, hätte man einen Beweis für die bis heute offene Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (Alphonse de Polignac (1817–1890) 1849). Aus der Konvergenz lässt sich jedoch nicht auf das Gegenteil schließen.

Berechnung Bearbeiten

Die Idee zur Berechnung besteht darin, dass die Summation zunächst möglichst weit durchgeführt wird und dann der fehlende Rest abgeschätzt wird. So haben Daniel Shanks und John William Wrench, Jr. (1911–2009) alle Primzahlzwillinge unterhalb 2·106 benutzt.

Eine Schätzung

stammt von Pascal Sebah aus dem Jahr 2002, der hierfür alle Primzahlzwillinge bis 1016 betrachtete. Die Berechnung von ist allerdings außerordentlich schwierig, zum einen, da die Reihe sehr langsam konvergiert, zum anderen, da das Auffinden aller großen Primzahlzwillinge äußerst kompliziert ist (siehe auch: Primzahltests).

Die bislang genaueste Abschätzung ist (Stand 16. März 2010)

Hierfür wurden die Kehrwerte aller 19.831.847.025.792 Primzahlzwillinge unterhalb 2·1016 summiert:

und der Restterm abgeschätzt.

Brunsche Konstante für Primzahldrillinge Bearbeiten

Neben gibt es noch zwei weitere Brunsche Konstanten und für Primzahldrillinge.

Die ersten drei Primzahldrillinge der Form sind (5, 7, 11), (11, 13, 17) und (17, 19, 23). Auch in diesem Fall konvergiert die Summe und es gilt (Stand 16. März 2010):

Die ersten drei Primzahldrillinge der Form sind (7, 11, 13), (13, 17, 19) und (37, 41, 43). Die Summe konvergiert ebenfalls und es gilt (Stand 16. März 2010):

Brunsche Konstante für Primzahlvierlinge Bearbeiten

Neben gibt es noch die Brunsche Konstante für Primzahlvierlinge, Paare von Primzahlzwillingen, die einen Abstand von 4 haben (dies ist der kleinstmögliche Abstand zweier Primzahlzwillinge zueinander). Die ersten drei Primzahlvierlinge sind (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) und (101, 103, 107, 109), also

Da alle Summanden von auch in vorkommen und bis auf und keine Summanden doppelt vorhanden sind, konvergiert auch diese Reihe. Sie hat den Wert (Stand 16. März 2010)

Trivia Bearbeiten

  • 1994 entdeckte Thomas R. Nicely bei einer Abschätzung von über alle Primzahlzwillinge bis 1014 den sogenannten Pentium-FDIV-Bug.
  • Gelegentlich wird die Aussage über die Konvergenz der Summe der Reziproken aller Primzahlzwillinge (also die Existenz und Berechenbarkeit der Brunschen Konstanten) als Brunscher Witz bezeichnet. Der mathematische Witz liegt darin, dass trotz des präzisen Ergebnisses von Brun die eigentlich interessierende Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, offenbleibt (und die bejahende Vermutung bis heute nicht bewiesen werden konnte).

Literatur Bearbeiten

  • Viggo Brun: La série où les dénominateurs sont «nombres premiers jumeaux» est convergente ou finie, Bulletin des Sciences Mathématiques 43, 1919, S. 100–104, 124–128 (französisch; bei Gallica: gallica.bnf.fr)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Thomas R. Nicely: Prime Constellations Research Project. 16. März 2010
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Veröffentlichungsdatum:
Die Brunsche Konstante ist eine mathematische Konstante aus dem Bereich der Zahlentheorie Benannt ist sie nach dem Mathematiker Viggo Brun welcher ihre Existenz durch Verwendung des nach ihm benannten Siebes bewiesen hat Inhaltsverzeichnis 1 Brunsche Konstante fur Primzahlzwillinge 1 1 Berechnung 2 Brunsche Konstante fur Primzahldrillinge 3 Brunsche Konstante fur Primzahlvierlinge 4 Trivia 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseBrunsche Konstante fur Primzahlzwillinge BearbeitenIm Jahr 1919 zeigte der Mathematiker Viggo Brun dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge Paare von Primzahlen deren Differenz 2 betragt konvergiert Der Grenzwert B 2 displaystyle B 2 nbsp dieser Summe wird Brunsche Konstante fur Primzahlzwillinge genannt B 2 p p 2 prim 1 p 1 p 2 1 3 1 5 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 1 19 1 29 1 31 displaystyle B 2 textstyle sum limits p p 2 text prim frac 1 p frac 1 p 2 frac 1 3 frac 1 5 tfrac 1 5 tfrac 1 7 tfrac 1 11 tfrac 1 13 tfrac 1 17 tfrac 1 19 tfrac 1 29 tfrac 1 31 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allerdings ausserordentlich schwierig zum einen da die Reihe sehr langsam konvergiert zum anderen da das Auffinden aller grossen Primzahlzwillinge ausserst kompliziert ist siehe auch Primzahltests Die bislang genaueste Abschatzung ist Stand 16 Marz 2010 1 B 2 1 902 16 05832 09 0 000 00 00007 81 displaystyle B 2 1 90216 05832 09 pm 0 00000 00007 81 nbsp Hierfur wurden die Kehrwerte aller 19 831 847 025 792 Primzahlzwillinge unterhalb 2 1016 summiert p p 2 prim lt 2 10 16 1 p 1 p 2 1 831 80 80634 32379 01198 41239 12086 74712 537 displaystyle textstyle sum limits p p 2 text prim atop lt 2 cdot 10 16 frac 1 p frac 1 p 2 1 83180 80634 32379 01198 41239 12086 74712 537 ldots nbsp und der Restterm abgeschatzt Brunsche Konstante fur Primzahldrillinge BearbeitenNeben B 2 displaystyle B 2 nbsp gibt es noch zwei weitere Brunsche Konstanten B 3 a displaystyle B 3a nbsp und B 3 b displaystyle B 3b nbsp fur Primzahldrillinge Die ersten drei Primzahldrillinge der Form p p 2 p 6 displaystyle p p 2 p 6 nbsp sind 5 7 11 11 13 17 und 17 19 23 Auch in diesem Fall konvergiert die Summe und es gilt Stand 16 Marz 2010 1 B 3 a 1 5 1 7 1 11 1 11 1 13 1 17 1 17 1 19 1 23 1 097 85 10396 79 displaystyle B 3a left tfrac 1 5 tfrac 1 7 tfrac 1 11 right left tfrac 1 11 tfrac 1 13 tfrac 1 17 right left tfrac 1 17 tfrac 1 19 tfrac 1 23 right ldots approx 1 09785 10396 79 nbsp Die ersten drei Primzahldrillinge der Form p p 4 p 6 displaystyle p p 4 p 6 nbsp sind 7 11 13 13 17 19 und 37 41 43 Die Summe konvergiert ebenfalls und es gilt Stand 16 Marz 2010 1 B 3 b 1 7 1 11 1 13 1 13 1 17 1 19 1 37 1 41 1 43 0 837 11 32124 11 displaystyle B 3b left tfrac 1 7 tfrac 1 11 tfrac 1 13 right left tfrac 1 13 tfrac 1 17 tfrac 1 19 right left tfrac 1 37 tfrac 1 41 tfrac 1 43 right ldots approx 0 83711 32124 11 nbsp Brunsche Konstante fur Primzahlvierlinge BearbeitenNeben B 2 displaystyle B 2 nbsp gibt es noch die Brunsche Konstante B 4 displaystyle B 4 nbsp fur Primzahlvierlinge Paare von Primzahlzwillingen die 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sogenannten Pentium FDIV Bug Gelegentlich wird die Aussage uber die Konvergenz der Summe der Reziproken aller Primzahlzwillinge also die Existenz und Berechenbarkeit der Brunschen Konstanten als Brunscher Witz bezeichnet Der mathematische Witz liegt darin dass trotz des prazisen Ergebnisses von Brun die eigentlich interessierende Frage ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt offenbleibt und die bejahende Vermutung bis heute nicht bewiesen werden konnte Literatur BearbeitenViggo Brun La serie 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 1 19 1 29 1 31 1 41 1 43 1 59 1 61 displaystyle textstyle frac 1 5 frac 1 7 frac 1 11 frac 1 13 frac 1 17 frac 1 19 frac 1 29 frac 1 31 frac 1 41 frac 1 43 frac 1 59 frac 1 61 ldots nbsp ou les denominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie Bulletin des Sciences Mathematiques 43 1919 S 100 104 124 128 franzosisch bei Gallica gallica bnf fr Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Brun s Constant In MathWorld englisch Thomas R Nicely Prime Constellations Research Project Einzelnachweise Bearbeiten a b c d Thomas R Nicely Prime Constellations Research Project 16 Marz 2010 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Brunsche Konstante amp oldid 236211814