Die Hafner–Sarnak–McCurley Konstante ist eine mathematische Konstante, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Determinanten von zwei Matrizen zueinander teilerfremd sind.
Definition Bearbeiten
Seien zwei quadratische, ganzzahlige -Matrizen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Determinanten zueinander teilerfremd sind, durch die Funktion
beschrieben. Dabei bezeichnet die n-Primzahl.
Insbesondere ist für zwei -Matrizen die Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit:
Weitere Werte Bearbeiten
Die genauen Funktionswerte für wurden analytisch nicht ermittelt. Näherungsweise ergeben sich die Werte:
| n | D(n) |
|---|---|
| 2 | 0.453103 |
| 3 | 0.397276 |
| 4 | 0.373913 |
| 5 | 0.363321 |
Grenzwert Bearbeiten
Für die Funktion wurde durch Vardi (1991) der Grenzwert
mit einer Approximationsgeschwindigkeit von bewiesen.
Literatur Bearbeiten
- Finch, S. R. (2003), „§2.5 Hafner–Sarnak–McCurley Constant“, Mathematical Constants, Cambridge, England: Cambridge University Press, S. 110–112, ISBN 0-521-81805-2
- Hafner, J. L.; Sarnak, P. & McCurley, K. (1993), „Relatively Prime Values of Polynomials“, in Knopp, M. & Seingorn, M. (eds.), A Tribute to Emil Grosswald: Number Theory and Related Analysis, Providence, RI: Amer. Math. Soc., ISBN 0-8218-5155-1
- Vardi, I. (1991), Computational Recreations in Mathematica, Redwood City, CA: Addison–Wesley, ISBN 0-201-52989-0
Einzelnachweise Bearbeiten
- Hafner, Sarnak, McCurley, op. cit.
- Eric W. Weisstein: Hafner-Sarnak-McCurley Constant. Abgerufen am 16. Juni 2019 (englisch).