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Niven Konstante Die benannt nach dem kanadisch amerikanischen Mathematiker Ivan M Niven ist eine mathematische Konstante

Niven-Konstante

Die Niven-Konstante, benannt nach dem kanadisch-amerikanischen Mathematiker Ivan M. Niven, ist eine mathematische Konstante aus der Zahlentheorie. Sie ist definiert als der Grenzwert des arithmetischen Mittels der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der ersten natürlichen Zahlen für .

Definition Bearbeiten

Es sei eine ganze Zahl mit der Primfaktorzerlegung mit und für , außerdem und das Maximum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von (Folge A051903 in OEIS), zum Beispiel sind die Zahlen mit genau die quadratfreien Zahlen. Damit ist die Niven-Konstante definiert als

Eigenschaften Bearbeiten

Die Niven-Konstante lässt sich durch die Riemannsche Zetafunktion ausdrücken und auf diesem Wege näherungsweise berechnen (Niven 1969):

Für das asymptotische Verhalten der Minima der Exponenten bewies Niven auf Anregung von Erdős

wobei und das Minimum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von (Folge A051904 in OEIS) und ein Landau-Symbol ist. Somit ist insbesondere

Literatur Bearbeiten

  • Steven R. Finch: Niven’s constant. Kapitel 2.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 112–115 (englisch)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ivan Niven: Averages of exponents in factoring integers. (18. Juni 1968), Proceedings of the AMS 22, 1969, S. 356–360 (englisch)
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Veröffentlichungsdatum:
Die Niven Konstante benannt nach dem kanadisch amerikanischen Mathematiker Ivan M Niven ist eine mathematische Konstante aus der Zahlentheorie Sie ist definiert als der Grenzwert des arithmetischen Mittels der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der ersten n displaystyle n naturlichen Zahlen fur n displaystyle n to infty Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei m gt 1 displaystyle m gt 1 nbsp eine ganze Zahl mit der Primfaktorzerlegung m p 1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p k a k displaystyle m p 1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 cdots p k a k nbsp mit a i gt 0 displaystyle a i gt 0 nbsp und p i p j displaystyle p i neq p j nbsp fur i j displaystyle i neq j nbsp ausserdem H 1 1 displaystyle H left 1 right 1 nbsp und H m max a 1 a k displaystyle H m max a 1 a k nbsp das Maximum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von m displaystyle m nbsp Folge A051903 in OEIS zum Beispiel sind die Zahlen m displaystyle m nbsp mit H m 1 displaystyle H m 1 nbsp genau die quadratfreien Zahlen Damit ist die Niven Konstante definiert als lim n 1 n j 1 n H j displaystyle lim n to infty frac 1 n sum j 1 n H j nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Niven Konstante lasst sich durch die Riemannsche Zetafunktion z k displaystyle zeta left k right nbsp ausdrucken und auf diesem Wege naherungsweise berechnen Niven 1969 1 lim n 1 n j 1 n H j 1 k 2 1 1 z k displaystyle lim n to infty frac 1 n sum j 1 n H j 1 sum k 2 infty biggl 1 frac 1 zeta k biggr nbsp 1 705 21 11401 05367 76428 85514 53434 50816 07620 27651 65346 displaystyle 1 70521 text 11401 text 05367 text 76428 text 85514 text 53434 text 50816 text 07620 text 27651 text 65346 text nbsp Folge A033150 in OEIS Fur das asymptotische Verhalten der Minima der Exponenten bewies Niven auf Anregung von Erdos j 1 n h j n z 3 2 z 3 n o n displaystyle sum j 1 n h j n frac zeta tfrac 3 2 zeta 3 sqrt n o sqrt n nbsp wobei h 1 1 displaystyle h left 1 right 1 nbsp und h m min a 1 a k displaystyle h m min a 1 a k nbsp das Minimum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von m displaystyle m nbsp Folge A051904 in OEIS und o displaystyle o nbsp ein Landau Symbol ist Somit ist insbesondere lim n 1 n j 1 n h j 1 displaystyle lim n to infty frac 1 n sum j 1 n h j 1 nbsp Literatur BearbeitenSteven R Finch Niven s constant Kapitel 2 6 in Mathematical constants Cambridge University Press Cambridge 2003 ISBN 0 521 81805 2 S 112 115 englisch Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Niven s Constant In MathWorld englisch Folge A033151 in OEIS Kettenbruchentwicklung der Niven Konstante Einzelnachweise Bearbeiten Ivan Niven Averages of exponents in factoring integers 18 Juni 1968 Proceedings of the AMS 22 1969 S 356 360 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Niven Konstante amp oldid 214153504