In der Zahlentheorie spricht man von Smarandache Konstanten nach Florentin Smarandache in zwei Zusammenhangen einmal bei der Andricaschen Vermutung andererseits bei der Smarandache Funktion Die beiden Definitionen haben ausser ihrem Namensgeber nichts gemein 1 ext Bezeichnet p n displaystyle p n die n displaystyle n te Primzahl so besagt die Andricasche Vermutung dass fur alle n displaystyle n p n 1 p n lt 1 displaystyle sqrt p n 1 sqrt p n lt 1 Diese Vermutung lasst sich wie folgt verallgemeinern p n 1 a p n a lt 1 f u r a l l e a lt a 0 displaystyle p n 1 a p n a lt 1 qquad quad mathrm f ddot u r alle a lt a 0 Diese Obergrenze fur a 0 displaystyle a 0 ungefahr 0 567 14813 displaystyle 0 56714813 wird oft als die Smarandache Konstante bezeichnet a 0 displaystyle a 0 ist Losung der Gleichung p 31 x p 30 x 127 x 113 x 1 displaystyle p 31 x p 30 x 127 x 113 x 1 2 Die Smarandache Funktion m n displaystyle mu n ist wie folgt definiert m n displaystyle mu n ist die kleinste naturliche Zahl fur die m n displaystyle mu n durch n displaystyle n teilbar ist Ist zum Beispiel der Wert m 8 displaystyle mu 8 gesucht ist die kleinste der Zahlen 1 2 3 zu suchen die durch 8 teilbar ist das ist 4 24 3 8 daher ist m 8 4 displaystyle mu 8 4 Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht die die Werte dieser Funktion verwenden Derartige Grenzwerte werden dann erste zweite Smarandache Konstanten genannt Smarandache Konstanten BearbeitenDie erste Smarandache Konstante ist definiert durch s 1 n 2 1 m n 1 093 170459 displaystyle s 1 sum n 2 infty frac 1 mu n 1 093170459 nbsp Deren Konvergenz ist mit m n n displaystyle mu n leq n nbsp und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen 1 m n lt 1 n e displaystyle sum frac 1 mu n lt sum frac 1 n e nbsp Die Nachkommastellen bilden Folge A048799 in OEIS Die zweite Smarandache Konstante ist s 2 n 2 m n n 1 714 0062935916 displaystyle s 2 sum n 2 infty frac mu n n 1 7140062935916 nbsp Fur diese ist ausserdem beweisen dass sie irrational ist sie ist Folge A048834 in OEIS Die dritte Smarandache Konstante ist dann s 3 n 2 1 m 2 m 3 m n 0 719 9607000437 displaystyle s 3 sum n 2 infty frac 1 mu 2 cdot mu 3 cdots mu n 0 7199607000437 nbsp Ihre Nachkommastellen ergeben die Folge A048835 in OEIS Ferner konvergiert folgende Reihe fur alle reellen Zahlen a 1 displaystyle alpha geq 1 nbsp s 4 a n 2 n a m 2 m 3 m n displaystyle s 4 alpha sum n 2 infty frac n alpha mu 2 cdot mu 3 cdots mu n nbsp Die ersten Werte fur naturliche a displaystyle alpha nbsp a displaystyle alpha nbsp S 4 a displaystyle S 4 alpha nbsp 1 1 7287576053 Folge A048836 in OEIS 2 4 5025120061 Folge A048837 in OEIS 3 13 011144194 Folge A048838 in OEIS Andere Autoren bewiesen dass s 5 n 1 1 n 1 m n n displaystyle s 5 sum n 1 infty frac 1 n 1 mu n n nbsp ebenfalls einen Grenzwert hat Die nachste Konstante s 6 n 2 m n n 1 displaystyle s 6 sum n 2 infty frac mu n n 1 nbsp konvergiert gegen einen Wert 0 218 282 lt s 6 lt 0 5 displaystyle 0 218282 lt s 6 lt 0 5 nbsp Allgemeiner konvergieren sogar s 7 n 2 m n n k und s 8 n 2 m n n k displaystyle s 7 sum n 2 infty frac mu n n k quad text und quad s 8 sum n 2 infty frac mu n n k nbsp fur naturliche bzw ganze k 0 displaystyle k not 0 nbsp Ausserdem konvergiert s 9 n 2 1 m 2 2 m 3 3 m n n displaystyle s 9 sum n 2 infty frac 1 frac mu 2 2 frac mu 3 3 cdots frac mu n n nbsp Zwei weitere Reihen sind s 10 a n 2 1 m n a m n displaystyle s 10 alpha sum n 2 infty frac 1 mu n alpha sqrt mu n nbsp und s 11 a n 2 1 m n a m n 1 displaystyle s 11 alpha sum n 2 infty frac 1 mu n alpha sqrt mu n 1 nbsp Diese konvergieren fur alle a gt 1 displaystyle a gt 1 nbsp Sei f N R displaystyle f colon mathbb N to mathbb R nbsp eine Funktion fur die gilt f t c t a d t d n 1 displaystyle f t leq frac c t alpha cdot d t d n 1 nbsp wobei t gt 0 displaystyle t gt 0 nbsp naturlich und a gt 1 c gt 12 displaystyle alpha gt 1 c gt 12 nbsp konstant sein sollen d n displaystyle d n nbsp bezeichne die Anzahl der Teiler von n displaystyle n nbsp Dann gilt s 12 f n 1 f m n displaystyle s 12 f sum n 1 infty f mu n nbsp ist konvergent Ausserdem ist auch s 13 n 1 1 m 1 m 2 m n displaystyle s 13 sum n 1 infty frac 1 mu 1 cdot mu 2 cdots mu n nbsp konvergent ebenso wie s 14 a n 1 1 m n m n log m n a displaystyle s 14 alpha sum n 1 infty frac 1 mu n cdot sqrt mu n cdot log left mu n right alpha nbsp fur a gt 1 displaystyle alpha gt 1 nbsp Eine weitere konvergente Reihe ist s 15 n 1 2 n m 2 n displaystyle s 15 sum n 1 infty frac 2 n mu 2 n nbsp Schliesslich konvergiert auch s 16 a n 1 m n n a 1 displaystyle s 16 alpha sum n 1 infty frac mu n n alpha 1 nbsp fur alle a gt 1 displaystyle alpha gt 1 nbsp Referenzen BearbeitenEinen Uberblick geben Eric W Weisstein Smarandache Constants In MathWorld englisch Smarandache Function in PlanetMath Constant involving the Smarandache Function http fs gallup unm edu CONSTANT TXTDetaillierte Arbeiten sind I Cojocaru S Cojocaru The First Constant of Smarandache in Smarandache Notions Journal 7 1996 PDF 5 4 MB S 116 118 dies ebd The Second Constant of Smarandache S 119 120 und The Third and Fourth Constants of Smarandache S 121 126 E Burton On Some Series Involving the Smarandache Function In Smarandache Function Journal 6 1995 PDF 2 6 MB S 13 15 E Burton On Some Convergent Series In Smarandache Notions Journal 7 1996 PDF 5 4 MB S 7 9 A J Kempner Miscellanea in The American Mathematical Monthly Vol 25 No 5 Mai 1918 S 201 210 jstorJ Sandor On The Irrationality Of Certain Alternative Smarandache Series In Smarandache Notions Journal 8 1997 PDF 8 8 MB S 143 144 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Smarandache Konstanten amp oldid 176710837
