www.wikidata.de-de.nina.az

Vermutung von Andrica Die benannt nach Dorin Andrica ist eine Vermutung zu den Primzahllücken Die ersten 100 Werte für p

Vermutung von Andrica

Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica, ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.

Die ersten 100 Werte für

Sei die -te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen gilt:

Unter Verwendung der -ten Primzahllücke lässt sie sich auch so formulieren:

Werte Bearbeiten

Die ersten 500 Werte für .

Es sei .

Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes , sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle mit wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt, der größte gefundene Wert war .

Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:


Folge A084976 in OEIS
Folge A084974 in OEIS
Folge A084977 in OEIS
4 7 0,670873
30 113 0,639281
217 1327 0,463722
263 1669 0,292684
367 2477 0,260522
429 2971 0,256245
462 3271 0,244265
590 4297 0,228429
650 4831 0,215476
738 5591 0,213675
…
10655462 191912783 0,008950

Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005) wurden die Primzahlen bis getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Allgemeiner kann man etwa die Gleichung

betrachten und nach maximalem bzw. minimalem suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr

  • Maximum trivialerweise bei , d. h.
  • Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei , d. h.
Dieses wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.

Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung

Außerdem wird vermutet, dass

Ähnliche Vermutung Bearbeiten

Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem und mindestens eine Primzahl existiert.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Titu Andreescu: Number Theory. Springer Science & Business Media, 2009, ISBN 978-0-8176-4645-5, S. PT26 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2005, S. 13.
  3. Folge A038458 in OEIS
  4. Sie ist nicht zu verwechseln mit den sechzehn Smarandacheschen Konstanten, die mit der Smarandache-Funktion in Verbindung stehen.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Vermutung von Andrica benannt nach Dorin Andrica ist eine Vermutung zu den Primzahllucken Die ersten 100 Werte fur p n 1 p n displaystyle sqrt p n 1 sqrt p n Sei p n displaystyle p n die n displaystyle n te Primzahl Dann besagt die Vermutung von Andrica dass folgende Ungleichung fur alle naturlichen n displaystyle n gilt p n 1 p n lt 1 displaystyle sqrt p n 1 sqrt p n lt 1 Unter Verwendung der n displaystyle n ten Primzahllucke g n p n 1 p n displaystyle g n p n 1 p n lasst sie sich auch so formulieren g n lt p n 1 p n displaystyle g n lt sqrt p n 1 sqrt p n Inhaltsverzeichnis 1 Werte 2 Verallgemeinerung 3 Ahnliche Vermutung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseWerte Bearbeiten nbsp Die ersten 500 Werte fur A n p n 1 p n displaystyle A n sqrt p n 1 sqrt p n nbsp Es sei A n p n 1 p n displaystyle A n sqrt p n 1 sqrt p n nbsp Empirisch sinken diese Werte asymptotisch fur steigendes n displaystyle n nbsp sodass es sehr wahrscheinlich ist dass die Vermutung stimmt Fur alle A n displaystyle A n nbsp mit n lt 26 10 10 displaystyle n lt 26 cdot 10 10 nbsp wurde die Vermutung von H J Smith bestatigt 1 der grosste gefundene Wert war A 4 0 670 873479 displaystyle A 4 approx 0 670873479 nbsp Einige Werte von denen jeweils vermutet wird dass sie fur grossere n displaystyle n nbsp nicht mehr ubertroffen werden sind der folgenden Tabelle zu entnehmen n displaystyle n nbsp Folge A084976 in OEIS p n displaystyle p n nbsp Folge A084974 in OEIS A n displaystyle A n nbsp Folge A084977 in OEIS4 7 0 67087330 113 0 639281217 1327 0 463722263 1669 0 292684367 2477 0 260522429 2971 0 256245462 3271 0 244265590 4297 0 228429650 4831 0 215476738 5591 0 213675 10655462 191912783 0 008950Numerische Computerberechnungen bestarken die Vermutung mittlerweile 2005 2 wurden die Primzahlen bis 10 16 displaystyle 10 16 nbsp getestet Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden Verallgemeinerung BearbeitenAllgemeiner kann man etwa die Gleichung p n 1 x p n x 1 displaystyle p n 1 x p n x 1 nbsp betrachten und nach maximalem bzw minimalem x displaystyle x nbsp suchen das eine solche Gleichung erfullt Die Gleichung hat ihr Maximum trivialerweise bei n 1 displaystyle n 1 nbsp d h 3 x 2 x 1 x 1 displaystyle 3 x 2 x 1 qquad Rightarrow qquad x 1 nbsp dd Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen und vermutlich auch allgemein bei n 30 displaystyle n 30 nbsp d h 127 x 113 x 1 x 0 567 14813 a 0 displaystyle 127 x 113 x 1 qquad Rightarrow qquad x 0 56714813 dots a 0 nbsp 3 dd Dieses a 0 displaystyle a 0 nbsp wird auch als die Smarandache Konstante bezeichnet 4 Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung B n p n 1 a p n a lt 1 fur alle a lt a 0 displaystyle B n p n 1 a p n a lt 1 qquad text fur alle a lt a 0 nbsp Ausserdem wird vermutet dass C n p n 1 1 k p n 1 k lt 2 k wobei k 2 k N n N displaystyle C n p n 1 1 k p n 1 k lt frac 2 k qquad text wobei k geq 2 k in mathbb N n in mathbb N nbsp Ahnliche Vermutung BearbeitenDie Vermutung von Andrica ist eine Verscharfung der Vermutung von Legendre nach der zwischen jedem n 2 displaystyle n 2 nbsp und n 1 2 displaystyle n 1 2 nbsp mindestens eine Primzahl existiert Literatur BearbeitenFlorentin Smarandache Six Conjectures which Generalize or Are Related to Andrica s Conjecture In Octogon Band 7 Nr 1 1999 S 173 176 arxiv 0707 2584v1 vgl PerezWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Andrica s Conjecture In MathWorld englisch Andrics s Conjecture Archivlink abgerufen am 6 November 2022 und Generalized Andrica conjecture auf PlanetMath M L Perez Five Smarandache Conjectures on PrimesEinzelnachweise Bearbeiten Titu Andreescu Number Theory Springer Science amp Business Media 2009 ISBN 978 0 8176 4645 5 S PT26 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Prime Numbers The Most Mysterious Figures in Math John Wiley amp Sons 2005 S 13 Folge A038458 in OEIS Sie ist nicht zu verwechseln mit den sechzehn Smarandacheschen Konstanten die mit der Smarandache Funktion in Verbindung stehen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vermutung von Andrica amp oldid 227737308