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Smarandache Funktion In der Mathematik ist die eine Folge bzw eine zahlentheoretische Funktion die mit der Fakultät verw

Smarandache-Funktion

In der Mathematik ist die Smarandache-Funktion eine Folge bzw. eine zahlentheoretische Funktion, die mit der Fakultät verwandt ist. Historisch gesehen wurde sie zuerst von Édouard Lucas (1883), Joseph Neuberg (1887) und Aubrey J. Kempner (1918) betrachtet. 1980 wurde sie von Florentin Smarandache „wiederentdeckt“.

Definition und Werte Bearbeiten

Die Smarandache-Funktion ist definiert als die kleinste natürliche Zahl, für die die Fakultät von teilt.

Formal ist also die kleinste natürliche Zahl, für die gilt

Beispiele Bearbeiten

Ist zum Beispiel der Wert gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, … zu suchen, die durch 8 teilbar ist. Da und und nicht durch acht teilbar sind, aber doch, ist .

Allerdings ist etwa , da die Zahl 7 keine der Zahlen 1!, 2!, …, 6! teilt, während sie 7! trivialerweise teilt.

Die ersten Werte sind:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
1 (*) 2 3 4 5 3 7 4 6 5 11 4 13 7 5 6 17 6 19 5 7 11 23 4 10 13 9 7 29

(*) Der Wert wird von manchen Autoren auch als 0 definiert.

Eigenschaften Bearbeiten

Trivialerweise gilt

da ja auf jeden Fall teilt.

Ein grundlegendes Resultat ist, dass Gleichheit in der obigen Ungleichung genau für prime oder eintritt:

Beweis:

: Sei und nicht prim. Dann ist zu zeigen. Da nicht prim ist, gibt es natürliche Zahlen mit . Wäre sogar , so wäre und man erhielte den Widerspruch . Also ist und daher . Wäre , so folgte , also und damit , und man hätte erneut den Widerspruch . Daher muss sein und es folgt .

: Ist prim, so teilt keine Zahl für , da per def. nicht in vorkommt. Daher gilt . ist klar.

Übrigens ergibt sich dadurch für , die Anzahl der Primzahlen kleinergleich und der Ganzzahlfunktion:

Nach Paul Erdős stimmt mit dem größten Primfaktor von überein für asymptotisch fast alle , d. h. die Anzahl der Zahlen kleiner gleich , für die dies nicht gilt, ist o(n).

Allgemein gilt ferner

und

wobei für den größten Primfaktor von stehe.

Ganz allgemein gilt

Für (gerade) vollkommene Zahlen gilt außerdem ()

Abwandlungen Bearbeiten

Pseudosmarandache-Funktion Bearbeiten

Die Pseudosmarandache-Funktion ist die kleinste ganze Zahl, für die

also das kleinste natürliche , für das gilt

(siehe auch Dreieckszahl, Gaußsche Summenformel)

Die ersten Werte sind

Einige Eigenschaften:

  • sind nach oben hin unbegrenzt
  • hat unendlich viele Lösungen für
  • konvergiert für alle

Smarandache-Doppelfakultät-Funktion Bearbeiten

Ersetzt man in der Definition die Fakultät durch die Doppelfakultät

so ist

Die ersten Werte für sind

Smarandache-Funktion mit Primorial Bearbeiten

Das Primorial (auch Primfakultät, ) ist das Produkt der Primzahlen kleinergleich der gegebenen Zahl. Die Smarandache Near-to-Primorial Function von ist dann die kleinste Primzahl, für die , oder durch teilbar ist.

Smarandache-Kurepa-Funktion und Smarandache-Wagstaff-Funktion Bearbeiten

Für die Smarandache-Kurepa-Funktion wandle man die Fakultät nicht zur Doppelfakultät, sondern zu folgender Funktion ab:

Für prime ist analog die kleinste natürliche Zahl, sodass durch teilbar ist.

Die ersten Werte sind 2, 4, 6, 6, 5, 7, 7, 12, 22, 16, 55 und bilden Folge A049041 in OEIS.

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion verwendet stattdessen

Smarandache-Ceil-Funktion Bearbeiten

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion k-ter Ordnung schließlich ist als die kleinste natürliche Zahl definiert, für die durch teilbar ist.

Die ersten Werte:

1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …
2 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, … (Folge A019554 in OEIS)
3 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, … (Folge A019555 in OEIS)
4 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, … (Folge A053166 in OEIS)

Weiteres Bearbeiten

  • Tutescu vermutete, dass für zwei aufeinanderfolgende Zahlen deren Werte der Smarandache-Funktion stets verschieden sind:
Die Vermutung wurde bis bestätigend nachgerechnet.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. E. Lucas: Question Nr. 288. In: Mathesis, 3, 1883, S. 232
  2. J. Neuberg: Solutions de questions proposées, Question Nr. 288. In: Mathesis, 7, 1887, S. 68–69
  3. Aubrey J. Kempner: Miscellanea. In: American Mathematical Monthly, 25, 1918, S. 201–210, doi:10.2307/2972639
  4. Florentin Smarandache: A Function in Number Theory. In: An. Univ. Timişoara, Ser. St. Mat., 18, 1980, S. 79–88. arxiv:math/0405143
  5. Folge A002034 in OEIS
  6. Sebastián Martín Ruiz: Smarandache’s function applied to perfect numbers. In: Smarandache Notions Journal, Vol. 10, Frühjahr 1999, S. 114. arxiv:math/0406241
  7. R.G.E. Pinch: arxiv:math/0504118 in arXiv, 6. April 2005
  8. Eric W. Weisstein: Smarandache Near-to-Primorial Function. In: MathWorld (englisch).
  9. Eric W. Weisstein: Smarandache-Kurepa Function. In: MathWorld (englisch).
  10. Eric W. Weisstein: Smarandache-Wagstaff Function. In: MathWorld (englisch).
  11. Eric W. Weisstein: Smarandache Ceil Function. In: MathWorld (englisch).
  12. L. Tutescu: On a Conjecture Concerning the Smarandache Function. Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society 17, S. 583, 1996
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist die Smarandache Funktion eine Folge bzw eine zahlentheoretische Funktion die mit der Fakultat verwandt ist Historisch gesehen wurde sie zuerst von Edouard Lucas 1 1883 Joseph Neuberg 2 1887 und Aubrey J Kempner 3 1918 betrachtet 1980 4 wurde sie von Florentin Smarandache wiederentdeckt Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Werte 1 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Abwandlungen 3 1 Pseudosmarandache Funktion 3 2 Smarandache Doppelfakultat Funktion 3 3 Smarandache Funktion mit Primorial 3 4 Smarandache Kurepa Funktion und Smarandache Wagstaff Funktion 3 5 Smarandache Ceil Funktion 4 Weiteres 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDefinition und Werte BearbeitenDie Smarandache Funktion m n displaystyle mu n nbsp ist definiert als die kleinste naturliche Zahl fur die n displaystyle n nbsp die Fakultat von m n displaystyle mu n nbsp teilt Formal ist m n displaystyle mu n nbsp also die kleinste naturliche Zahl fur die gilt n m n displaystyle n mu n nbsp Beispiele Bearbeiten Ist zum Beispiel der Wert m 8 displaystyle mu 8 nbsp gesucht ist die kleinste der Zahlen 1 2 3 zu suchen die durch 8 teilbar ist Da 1 1 displaystyle 1 1 nbsp und 2 1 2 2 displaystyle 2 1 cdot 2 2 nbsp und 3 1 2 3 6 displaystyle 3 1 cdot 2 cdot 3 6 nbsp nicht durch acht teilbar sind 4 1 2 3 4 24 3 8 displaystyle 4 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 24 3 cdot 8 nbsp aber doch ist m 8 4 displaystyle mu 8 4 nbsp Allerdings ist etwa m 7 7 displaystyle mu 7 7 nbsp da die Zahl 7 keine der Zahlen 1 2 6 teilt wahrend sie 7 trivialerweise teilt Die ersten Werte sind 5 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29m n displaystyle mu n nbsp 1 2 3 4 5 3 7 4 6 5 11 4 13 7 5 6 17 6 19 5 7 11 23 4 10 13 9 7 29 Der Wert m 1 displaystyle mu 1 nbsp wird von manchen Autoren auch als 0 definiert Eigenschaften BearbeitenTrivialerweise gilt m n n displaystyle mu n leq n nbsp da ja n displaystyle n nbsp auf jeden Fall n n n 1 displaystyle n n cdot n 1 nbsp teilt Ein grundlegendes Resultat ist dass Gleichheit in der obigen Ungleichung genau fur prime n displaystyle n nbsp oder n 4 displaystyle n 4 nbsp eintritt m n n n prim oder n 4 displaystyle mu n n qquad Leftrightarrow qquad n text prim quad text oder quad n 4 nbsp Beweis displaystyle Rightarrow nbsp Sei m n n displaystyle mu n n nbsp und n displaystyle n nbsp nicht prim Dann ist n 4 displaystyle n 4 nbsp zu zeigen Da n displaystyle n nbsp nicht prim ist gibt es naturliche Zahlen 2 s t lt n displaystyle 2 leq s leq t lt n nbsp mit n s t displaystyle n st nbsp Ware sogar s lt t displaystyle s lt t nbsp so ware n s t t displaystyle n st t nbsp und man erhielte den Widerspruch m n t lt n displaystyle mu n leq t lt n nbsp Also ist s t displaystyle s t nbsp und daher n t 2 displaystyle n t 2 nbsp Ware 2 lt t displaystyle 2 lt t nbsp so folgte t lt 2 t lt t 2 n displaystyle t lt 2t lt t 2 n nbsp also t lt 2 t n 1 displaystyle t lt 2t leq n 1 nbsp und damit n t 2 t 2 t 2 t n 1 displaystyle n t 2 t cdot 2t 2t n 1 nbsp und man hatte erneut den Widerspruch m n lt n displaystyle mu n lt n nbsp Daher muss t 2 displaystyle t 2 nbsp sein und es folgt n 4 displaystyle n 4 nbsp displaystyle Leftarrow nbsp Ist n displaystyle n nbsp prim so teilt n displaystyle n nbsp keine Zahl m displaystyle m nbsp fur m lt n displaystyle m lt n nbsp da n displaystyle n nbsp per def nicht in m displaystyle m nbsp vorkommt Daher gilt m n n displaystyle mu n n nbsp m 4 4 displaystyle mu 4 4 nbsp ist klar Ubrigens ergibt sich dadurch fur p x displaystyle pi x nbsp die Anzahl der Primzahlen kleinergleich x displaystyle x nbsp und der Ganzzahlfunktion p x 1 k 2 x m k k displaystyle pi x 1 sum k 2 x left lfloor frac mu k k right rfloor nbsp Nach Paul Erdos stimmt m n displaystyle mu n nbsp mit dem grossten Primfaktor von n displaystyle n nbsp uberein fur asymptotisch fast alle n displaystyle n nbsp d h die Anzahl der Zahlen kleiner gleich n displaystyle n nbsp fur die dies nicht gilt ist o n Allgemein gilt ferner m n n displaystyle mu n n nbsp und m n g p f n displaystyle mu n geq mathrm gpf n nbsp wobei g p f displaystyle rm gpf nbsp fur den grossten Primfaktor von n displaystyle n nbsp stehe Ganz allgemein gilt m p 1 a 1 p 2 a 2 p n a n max m p 1 a 1 m p 2 a 2 m p n a n displaystyle mu left p 1 alpha 1 cdot p 2 alpha 2 cdot ldots cdot p n alpha n right max left mu left p 1 alpha 1 right mu left p 2 alpha 2 right ldots mu left p n alpha n right right nbsp Fur gerade vollkommene Zahlen n displaystyle n nbsp gilt ausserdem k N p prim displaystyle k in mathbb N p text prim nbsp 6 m n m 2 k 1 2 k 1 2 k 1 p displaystyle mu n mu 2 k 1 cdot 2 k 1 2 k 1 p nbsp Abwandlungen BearbeitenPseudosmarandache Funktion Bearbeiten Die Pseudosmarandache Funktion Z n displaystyle Z n nbsp ist die kleinste ganze Zahl fur die n teilt 1 2 3 Z n displaystyle n text teilt 1 2 3 cdots Z n nbsp also das kleinste naturliche n displaystyle n nbsp fur das gilt n Z n Z n 1 2 displaystyle n left frac Z n Z n 1 2 right nbsp siehe auch Dreieckszahl Gausssche Summenformel Die ersten Werte sind 1 3 2 7 4 3 6 15 8 4 10 8 12 7 5 31 16 8 18 15 Folge A011772 in OEIS Einige Eigenschaften 7 n lt Z n 2 n 1 displaystyle sqrt n lt Z n leq 2n 1 nbsp Z n n 1 fur ungerade n displaystyle Z n leq n 1 qquad text fur ungerade n nbsp Z 2 k 2 k 1 1 displaystyle Z 2 k 2 k 1 1 nbsp Z n 1 Z n und Z n 1 Z n und Z 2 n Z n displaystyle frac Z n 1 Z n text und frac Z n 1 Z n text und frac Z 2n Z n nbsp sind nach oben hin unbegrenzt n Z n k k Z k 2 displaystyle frac n Z n k k in mathbb Z k geq 2 nbsp hat unendlich viele Losungen fur n displaystyle n nbsp n 1 1 Z n a displaystyle sum n 1 infty frac 1 Z n alpha nbsp konvergiert fur alle a gt 1 displaystyle alpha gt 1 nbsp Smarandache Doppelfakultat Funktion Bearbeiten Ersetzt man in der Definition die Fakultat durch die Doppelfakultat n n n 2 n 4 2 fur n gerade n n 2 n 4 1 fur n ungerade displaystyle n begin cases n cdot n 2 cdot n 4 cdot ldots cdot 2 amp text fur n text gerade n cdot n 2 cdot n 4 cdot ldots cdot 1 amp text fur n text ungerade end cases nbsp so ist S d f n displaystyle mathrm Sdf n nbsp die kleinste naturliche Zahl die durch S d f n displaystyle mathrm Sdf n nbsp teilbar ist Die ersten Werte fur S d f n displaystyle mathrm Sdf n nbsp sind 1 2 3 4 5 6 7 4 9 10 11 6 13 14 5 6 Folge A007922 in OEIS Smarandache Funktion mit Primorial Bearbeiten Das Primorial auch Primfakultat p displaystyle p nbsp ist das Produkt der Primzahlen kleinergleich der gegebenen Zahl Die Smarandache Near to Primorial Function 8 von n displaystyle n nbsp ist dann die kleinste Primzahl fur die p 1 displaystyle p 1 nbsp p 1 displaystyle p 1 nbsp oder p displaystyle p nbsp durch n displaystyle n nbsp teilbar ist Smarandache Kurepa Funktion und Smarandache Wagstaff Funktion Bearbeiten Fur die Smarandache Kurepa Funktion S K n displaystyle mathrm SK n nbsp wandle man die Fakultat nicht zur Doppelfakultat sondern zu folgender Funktion ab f n k 0 n 1 k 0 1 2 n 1 displaystyle f n sum k 0 n 1 k 0 1 2 ldots n 1 nbsp Fur prime p displaystyle p nbsp ist S K p displaystyle mathrm SK p nbsp analog die kleinste naturliche Zahl sodass f S K p displaystyle f mathrm SK p nbsp durch p displaystyle p nbsp teilbar ist 9 Die ersten Werte sind 2 4 6 6 5 7 7 12 22 16 55 und bilden Folge A049041 in OEIS Die Smarandache Wagstaff Funktion verwendet stattdessen 10 f n k 1 n k 1 2 n displaystyle f n sum k 1 n k 1 2 ldots n nbsp Smarandache Ceil Funktion Bearbeiten Die Smarandache Wagstaff Funktion k ter Ordnung S k n displaystyle S k n nbsp schliesslich ist als die kleinste naturliche Zahl definiert fur die S k n k displaystyle S k n k nbsp durch n displaystyle n nbsp teilbar ist 11 Die ersten Werte k displaystyle k nbsp S k n displaystyle S k n nbsp 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 n displaystyle n nbsp 2 1 2 3 2 5 6 7 4 3 10 11 6 13 14 15 Folge A019554 in OEIS 3 1 2 3 2 5 6 7 2 3 10 11 6 13 14 15 Folge A019555 in OEIS 4 1 2 3 2 5 6 7 2 3 10 11 6 13 14 15 Folge A053166 in OEIS Weiteres BearbeitenTutescu 12 vermutete dass fur zwei aufeinanderfolgende Zahlen deren Werte der Smarandache Funktion stets verschieden sind m n m n 1 fur alle n displaystyle mu n not mu n 1 qquad quad text fur alle n nbsp dd Die Vermutung wurde bis 10 9 displaystyle 10 9 nbsp bestatigend nachgerechnet Es gibt eine recht grosse Vielfalt konvergenter Reihen die die Smarandache Funktion verwenden Derartige Grenzwerte werden oft als Smarandache Konstanten bezeichnet nicht zu verwechseln mit der Smarandache Konstante in der verallgemeinerten Andricaschen Vermutung Die Reihe der Kehrwerte der Fakultaten der Smarandache Funktion konvergiert erste Smarandache Konstante n 2 1 m n 1 093 17 displaystyle sum n 2 infty frac 1 mu n 1 09317 dots nbsp Folge A048799 in OEIS dd Literatur BearbeitenKenichiro Kashihara Comments and topics on Smarandache notions and problems PDF 1 6 MB Erhus University Press 1996 ISBN 1 87958 555 3 Norbert Hungerbuhler Ernst Specker A Generalisation of the Smarandache Function to Several Variables PDF 220 kB In Electronic Journal of Combinatorical Number Theory 6 2006 A23 C Dumitrescu N Virlan St Zamfir E Radescu N Radescu F Smarandache Smarandache Type Function Obtained by Duality In Studii si Cercetari Stiintifice Seria Matematica University of Bacau No 9 1999 S 49 72 arxiv 0706 2858 Sebastian Martin Ruiz M L Perez Properties and Problems related to Smarandache Type Functions In Mathematics Magazine for grades 1 12 2 2004 S 46 53 arxiv math 0407479 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Smarandache Function In MathWorld englisch Das Smarandache Function Journal fs gallup unm edu Vol 1 PDF 1 6 MB Vol 6 PDF 2 6 MB und Smarandache Notions Journal Vol 7 PDF 5 4 MB Vol 8 PDF 8 8 MB Vol 9 PDF 5 0 MB Vol 10 PDF 7 3 MB Vol 11 PDF 10 8 MB Vol 12 PDF 12 5 MB Vol 13 PDF 11 1 MB Einzelnachweise Bearbeiten E Lucas Question Nr 288 In Mathesis 3 1883 S 232 J Neuberg Solutions de questions proposees Question Nr 288 In Mathesis 7 1887 S 68 69 Aubrey J Kempner Miscellanea In American Mathematical Monthly 25 1918 S 201 210 doi 10 2307 2972639 Florentin Smarandache A Function in Number Theory In An Univ Timisoara Ser St Mat 18 1980 S 79 88 arxiv math 0405143 Folge A002034 in OEIS Sebastian Martin Ruiz Smarandache s function applied to perfect numbers In Smarandache Notions Journal Vol 10 Fruhjahr 1999 S 114 arxiv math 0406241 R G E Pinch arxiv math 0504118 in arXiv 6 April 2005 Eric W Weisstein Smarandache Near to Primorial Function In MathWorld englisch Eric W Weisstein Smarandache Kurepa Function In MathWorld englisch Eric W Weisstein Smarandache Wagstaff Function In MathWorld englisch Eric W Weisstein Smarandache Ceil Function In MathWorld englisch L Tutescu On a Conjecture Concerning the Smarandache Function Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society 17 S 583 1996 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Smarandache Funktion amp oldid 217062200