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Feigenbaum Konstante Die beiden n δ und α sind mathematische Konstanten die in der Chaosforschung eine wichtige Rolle sp

Feigenbaum-Konstante

Die beiden Feigenbaum-Konstanten δ und α sind mathematische Konstanten, die in der Chaosforschung eine wichtige Rolle spielen.

Erforschung Bearbeiten

Der Zahlenwert von wurde erstmals 1977 von den Physikern Siegfried Großmann und Stefan Thomae publiziert. Mitchell Feigenbaum, der diese Zahl bereits 1975 beim Studium der Fixpunkte von iterierten Funktionen entdeckt hatte, publizierte 1978 eine Arbeit über die Universalität dieser Konstante. Die Bedeutung dieser Konstanten für die Chaosforschung wird oft mit der von π für die Geometrie verglichen. Ihre Zahlenwerte lauten

Ausschnitt des Feigenbaum-Diagramms der logistischen Gleichung aus dem Bereich der Bifurkationen am Übergang von Ordnung (links) zum Chaos (rechts).

Diese Zahlen treten im Zusammenhang mit nichtlinearen Systemen in Erscheinung, die in Abhängigkeit von einem Parameter reguläres oder chaotisches Verhalten zeigen. Der Übergang ins Chaos ist dabei von einem Parameterbereich mit oszillierendem Verhalten gekennzeichnet. Zum chaotischen Bereich hin nimmt dabei die Oszillationsperiode stufenweise um den Faktor zwei zu, ein Phänomen, das als Periodenverdopplung bezeichnet wird. Die zugehörigen Parameterintervalle werden mit zunehmender Periode immer kürzer. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante δ.

Für den Fall nichtlinearer Systeme, die durch Zahlenfolgen mit nichtlinearem rekursivem Bildungsgesetz repräsentiert werden und die in Abhängigkeit von einem Parameter ein solches Verhalten zeigen, lässt sich dieses Phänomen im so genannten Feigenbaum-Diagramm darstellen. Es stellt Folgenglieder in Abhängigkeit dieses Parameters dar und zwar ab einem Folgenindex, nach dem die Folge sich auf ein bestimmtes Verhalten eingependelt hat, wie beispielsweise Konvergenz gegen einen Grenzzyklus oder chaotisches Verhalten, und entspricht damit einer Darstellung der Häufungspunkte der Folge. Stellen, an denen eine Periodenverdopplung stattfindet, sind durch gabelförmige Strukturen gekennzeichnet, die als Bifurkationen bezeichnet werden. Das Verhältnis der Breiten aufeinander folgender Gabeln am nächsten Bifurkationspunkt strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante α. Sie wird oft als zweite Feigenbaum-Konstante bezeichnet.

Im Bereich des chaotischen Verhaltens treten Inseln periodischen Verhaltens auf, „periodische Fenster“. Der Übergang vom chaotischen Verhalten zu diesen Inseln nichtchaotischen Verhaltens (von links nach rechts im Diagramm) ist instantan, aus den periodischen Fenstern heraus ist der Übergang wiederum von Periodenverdopplungen gekennzeichnet, die quantitativ das gleiche Verhalten zeigen (Selbstähnlichkeit). Bénard-Zellen sind ein physikalischer Vorgang, der mit der Feigenbaum-Doppelung zu erklären ist.

Dieses qualitative Verhalten und die zugehörigen Zahlenverhältnisse hängen nicht von den Details des mathematischen oder physikalischen nichtlinearen Systems ab, sondern stellen ein universelles und damit fundamentales Gesetz derartiger Systeme dar. Das einfachste mathematische Beispiel ist das Verhalten von Zahlenfolgen quadratischen rekursiven Bildungsgesetzes wie der logistischen Gleichung und der Zahlenfolge, die der Mandelbrot-Menge zugrunde liegt.

Es wird vermutet, dass δ und α transzendent sind, ein entsprechender Beweis steht jedoch noch aus. Keith Briggs entwickelte und nutzte 1991 ein Verfahren zur Berechnung der Konstanten mit erhöhter numerischer Genauigkeit. Die genauesten Werte mit 1018 Dezimalstellen wurden 1999 von David Broadhurst angegeben.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. M. J. Feigenbaum: Universality in complex discrete dynamics. In: Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975–1976. 1976 (chaosbook.org [PDF]).
  2. Mitchell J. Feigenbaum: Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. In: Journal of Statistical Physics. 19. Jahrgang, Nr. 1, 1978, S. 25–52, doi:10.1007/BF01020332.
  3. Nichtlineare Dynamik und Chaos (PDF; 9,0 MB)
  4. Keith Briggs. – Homepage von Keith Briggs
  5. Feigenbaum constants to 1018 decimal places. In: Plouffe’s Inverter, E-Mail vom 22. März 1999
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Die beiden Feigenbaum Konstanten d und a sind mathematische Konstanten die in der Chaosforschung eine wichtige Rolle spielen Inhaltsverzeichnis 1 Erforschung 2 Literatur 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseErforschung BearbeitenDer Zahlenwert von d displaystyle delta nbsp wurde erstmals 1977 von den Physikern Siegfried Grossmann und Stefan Thomae publiziert Mitchell Feigenbaum der diese Zahl bereits 1975 beim Studium der Fixpunkte von iterierten Funktionen entdeckt hatte 1 publizierte 1978 eine Arbeit uber die Universalitat dieser Konstante 2 Die Bedeutung dieser Konstanten fur die Chaosforschung wird oft mit der von p fur die Geometrie verglichen Ihre Zahlenwerte lauten d 4 669 20 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577 47576 displaystyle delta 4 66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577 47576 dots nbsp Folge A006890 in OEIS a 2 502 90 78750 95892 82228 39028 73218 21578 63812 71376 72714 displaystyle alpha 2 50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578 63812 71376 72714 dots nbsp Folge A006891 in OEIS nbsp Ausschnitt des Feigenbaum Diagramms der logistischen Gleichung aus dem Bereich der Bifurkationen am Ubergang von Ordnung links zum Chaos rechts Diese Zahlen treten im Zusammenhang mit nichtlinearen Systemen in Erscheinung die in Abhangigkeit von einem Parameter regulares oder chaotisches Verhalten zeigen Der Ubergang ins Chaos ist dabei von einem Parameterbereich mit oszillierendem Verhalten gekennzeichnet Zum chaotischen Bereich hin nimmt dabei die Oszillationsperiode stufenweise um den Faktor zwei zu ein Phanomen das als Periodenverdopplung bezeichnet wird Die zugehorigen Parameterintervalle werden mit zunehmender Periode immer kurzer Das Verhaltnis der Langen aufeinander folgender Parameterintervalle unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die Feigenbaum Konstante d Fur den Fall nichtlinearer Systeme die durch Zahlenfolgen mit nichtlinearem rekursivem Bildungsgesetz reprasentiert werden und die in Abhangigkeit von einem Parameter ein solches Verhalten zeigen lasst sich dieses Phanomen im so genannten Feigenbaum Diagramm darstellen Es stellt Folgenglieder in Abhangigkeit dieses Parameters dar und zwar ab einem Folgenindex nach dem die Folge sich auf ein bestimmtes Verhalten eingependelt hat wie beispielsweise Konvergenz gegen einen Grenzzyklus oder chaotisches Verhalten und entspricht damit einer Darstellung der Haufungspunkte der Folge Stellen an denen eine Periodenverdopplung stattfindet sind durch gabelformige Strukturen gekennzeichnet die als Bifurkationen bezeichnet werden Das Verhaltnis der Breiten aufeinander folgender Gabeln am nachsten Bifurkationspunkt strebt dabei gegen die Feigenbaum Konstante a Sie wird oft als zweite Feigenbaum Konstante bezeichnet Im Bereich des chaotischen Verhaltens treten Inseln periodischen Verhaltens auf periodische Fenster 3 Der Ubergang vom chaotischen Verhalten zu diesen Inseln nichtchaotischen Verhaltens von links nach rechts im Diagramm ist instantan aus den periodischen Fenstern heraus ist der Ubergang wiederum von Periodenverdopplungen gekennzeichnet die quantitativ das gleiche Verhalten zeigen Selbstahnlichkeit Benard Zellen sind ein physikalischer Vorgang der mit der Feigenbaum Doppelung zu erklaren ist Dieses qualitative Verhalten und die zugehorigen Zahlenverhaltnisse hangen nicht von den Details des mathematischen oder physikalischen nichtlinearen Systems ab sondern stellen ein universelles und damit fundamentales Gesetz derartiger Systeme dar Das einfachste mathematische Beispiel ist das Verhalten von Zahlenfolgen quadratischen rekursiven Bildungsgesetzes wie der logistischen Gleichung und der Zahlenfolge die der Mandelbrot Menge zugrunde liegt Es wird vermutet dass d und a transzendent sind ein entsprechender Beweis steht jedoch noch aus Keith Briggs 4 entwickelte und nutzte 1991 ein Verfahren zur Berechnung der Konstanten mit erhohter numerischer Genauigkeit Die genauesten Werte mit 1018 Dezimalstellen wurden 1999 von David Broadhurst angegeben 5 Literatur BearbeitenSiegfried Grossmann Stefan Thomae Invariant distributions and stationary correlation functions of one dimensional discrete processes In Zeitschrift fur Naturforschung A 32 1977 S 1353 1363 PDF freier Volltext Mitchell J Feigenbaum The universal metric properties of nonlinear transformations 29 Mai 1979 In Journal of Statistical Physics 21 Dezember 1979 S 669 706 englisch a 2 502907876 auf S 703 d 4 6692 auf S 704 signallake com PDF 1 4 MB Heinz Otto Peitgen Peter H Richter The Beauty of Fractals Springer New York 1986 ISBN 0 387 15851 0 englisch Keith Briggs A precise calculation of the Feigenbaum constants In Mathematics of Computation 57 Juli 1991 S 435 439 englisch Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Feigenbaum Constant In MathWorld englisch Folge A159766 in OEIS Kettenbruchentwicklung von d Folge A159767 in OEIS Kettenbruchentwicklung von a Numberphile The Feigenbaum Constant 4 669 auf YouTube 16 Januar 2017 Einzelnachweise Bearbeiten M J Feigenbaum Universality 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