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Differenzengleichung In der Mathematik wird durch eine auch als Rekursionsgleichung bezeichnet eine Folge rekursiv defin

Differenzengleichung

In der Mathematik wird durch eine Differenzengleichung (auch als Rekursionsgleichung bezeichnet) eine Folge rekursiv definiert. Das heißt, dass jedes Folgenglied eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder ist:

für natürliche Zahlen . Die bekanntesten Beispiele sind die Fakultätsfunktion und die Fibonacci-Folge. Eine Spezialform sind die linearen Differenzengleichungen. Anwendungen finden sich auch in Differenzengleichung (Differenzenverfahren).

Differenzengleichungen in der Ökonomie Bearbeiten

In der ökonomischen Theorie kommen Differenzengleichungen vor allem zum Einsatz, um die Entwicklung ökonomischer Größen über die Zeit zu analysieren. Vor allem in der Wachstumstheorie und Konjunkturtheorie werden zeitliche Abläufe vielmals in Form von Differenzengleichungen abgebildet.

Man geht dabei davon aus, dass z. B. das Bruttoinlandsprodukt sich auf einem bestimmten Pfad hin zu einem langfristigen Gleichgewicht entwickelt, in dem alle Kapazitäten ausgelastet sind. Je nach Lösung der Differenzengleichung ergibt sich der Entwicklungspfad als asymptotischer Verlauf oder als schwingender Verlauf (in etwa Kosinus-Kurven). Es bleibt aber nicht aus, dass zur mathematischen Modellierung (z. B. beim Bruttoinlandsprodukt) einige vereinfachende Annahmen gemacht werden müssen (z. B. über die Lagerbildung, Konsum als Anteil des BIP oder Investitionssteigerung durch Gewinnerwartung).

  • Anwendung von Differenzengleichung 1. Ordnung

Ein weiteres klassisches Beispiel ist das Spinnwebtheorem (auch cobweb theorem). Die Entwicklung der Preise und Mengen folgt rekursiven Funktionen oder, mathematisch ausgedrückt, allgemeinen Differenzengleichungen erster Ordnung.

  • Anwendung von Differenzengleichung 2. Ordnung

Das Multiplikator-Akzelerator-Modell will erklären, warum das wirtschaftliche Wachstum nicht monoton verläuft, sondern typischerweise einem Konjunkturzyklus folgt. Das Modell lässt sich aus dem Wachstumsmodell von Harrod und Domar heraus entwickeln, eine besondere Variante stammt von Paul A. Samuelson (1939) und John Richard Hicks (1950).

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • L. Berg: Differenzengleichungen zweiter Ordnung mit Anwendungen. Steinkopff, Darmstadt 1980, ISBN 3-7985-0546-2.
  • L. Berg: Lineare Gleichungssysteme mit Bandstruktur. Hanser, München/ Wien 1986, ISBN 3-446-14254-1.
  • U. Krause, T. Nesemann: Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme. Teubner, Stuttgart/ Leipzig 1999, ISBN 3-519-02639-2.
  • Franz Pfuff: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler kompakt. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0711-3, Kapitel 1, Abschnitt § 7 Differenzengleichungen und Finanzmathematik
  • R. Dürr, J. Ziegenbalg: Mathematik für Computeranwendungen. Schöningh, Paderborn 1989, ISBN 3-506-37562-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Differenzengleichung – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon
  2. Arthur Woll: Allgemeine Volkswirtschaftslehre. 12. Auflage. Vahlen, 1996, ISBN 3-8006-2973-9, S. 111 zur mathematischen Herleitung
  3. Multiplikator-Akzelerator-Modelle – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Lineare Rekurrenzen, Potenzreihen und ihre erzeugenden Funktionen – Lern- und Lehrmaterialien
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In der Mathematik wird durch eine Differenzengleichung auch als Rekursionsgleichung bezeichnet eine Folge rekursiv definiert Das heisst dass jedes Folgenglied eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder ist x n f n x n 1 x n 2 x n k displaystyle x n f n x n 1 x n 2 dotsc x n k fur naturliche Zahlen n displaystyle n Die bekanntesten Beispiele sind die Fakultatsfunktion und die Fibonacci Folge Eine Spezialform sind die linearen Differenzengleichungen Anwendungen finden sich auch in Differenzengleichung Differenzenverfahren Inhaltsverzeichnis 1 Differenzengleichungen in der Okonomie 2 Siehe auch 3 Literatur 4 Einzelnachweise 5 WeblinksDifferenzengleichungen in der Okonomie BearbeitenIn der okonomischen Theorie kommen Differenzengleichungen vor allem zum Einsatz um die Entwicklung okonomischer Grossen uber die Zeit zu analysieren Vor allem in der Wachstumstheorie und Konjunkturtheorie werden zeitliche Ablaufe vielmals in Form von Differenzengleichungen abgebildet 1 Man geht dabei davon aus dass z B das Bruttoinlandsprodukt sich auf einem bestimmten Pfad hin zu einem langfristigen Gleichgewicht entwickelt in dem alle Kapazitaten ausgelastet sind Je nach Losung der Differenzengleichung ergibt sich der Entwicklungspfad als asymptotischer Verlauf oder als schwingender Verlauf in etwa Kosinus Kurven Es bleibt aber nicht aus dass zur mathematischen Modellierung z B beim Bruttoinlandsprodukt einige vereinfachende Annahmen gemacht werden mussen z B uber die Lagerbildung Konsum als Anteil des BIP oder Investitionssteigerung durch Gewinnerwartung Anwendung von Differenzengleichung 1 OrdnungEin weiteres klassisches Beispiel ist das Spinnwebtheorem auch cobweb theorem Die Entwicklung der Preise und Mengen folgt rekursiven Funktionen oder mathematisch ausgedruckt allgemeinen Differenzengleichungen erster Ordnung 2 Anwendung von Differenzengleichung 2 OrdnungDas Multiplikator Akzelerator Modell will erklaren warum das wirtschaftliche Wachstum nicht monoton verlauft sondern typischerweise einem Konjunkturzyklus folgt Das Modell lasst sich aus dem Wachstumsmodell von Harrod und Domar heraus entwickeln eine besondere Variante stammt von Paul A Samuelson 1939 und John Richard Hicks 1950 3 Siehe auch BearbeitenRekursion Differenzenrechnung Erzeugende FunktionLiteratur BearbeitenL Berg Differenzengleichungen zweiter Ordnung mit Anwendungen Steinkopff Darmstadt 1980 ISBN 3 7985 0546 2 L Berg Lineare Gleichungssysteme mit Bandstruktur Hanser Munchen Wien 1986 ISBN 3 446 14254 1 U Krause T Nesemann Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme Teubner Stuttgart Leipzig 1999 ISBN 3 519 02639 2 Franz Pfuff Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler kompakt 1 Auflage Vieweg Teubner 2009 ISBN 978 3 8348 0711 3 Kapitel 1 Abschnitt 7 Differenzengleichungen und Finanzmathematik R Durr J Ziegenbalg Mathematik fur Computeranwendungen Schoningh Paderborn 1989 ISBN 3 506 37562 8 Einzelnachweise Bearbeiten Differenzengleichung Definition im Gabler Wirtschaftslexikon Arthur Woll Allgemeine Volkswirtschaftslehre 12 Auflage Vahlen 1996 ISBN 3 8006 2973 9 S 111 zur mathematischen Herleitung Multiplikator Akzelerator Modelle Definition im Gabler WirtschaftslexikonWeblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Lineare Rekurrenzen Potenzreihen und ihre erzeugenden Funktionen Lern und Lehrmaterialien 13 Differenzengleichungen Kapitel uber Differenzengleichungen mit mathematischen Beispielen Uni Greifswald pdf 52 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Differenzengleichung amp oldid 215601514