Die Differenzenrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik das die diskrete Entsprechung zur Analysis Differenzial und Integralrechnung bildet Wahrend sich die Analysis mit Funktionen beschaftigt die auf kontinuierlichen Raumen definiert sind um einen Grenzwertbegriff etablieren zu konnen im Besonderen mit Funktionen auf den reellen Zahlen interessiert man sich in der Differenzenrechnung fur Funktionen auf den ganzen Zahlen ℤ Die Differenzenrechnung kann zur Berechnung von Reihen angewandt werden Inhaltsverzeichnis 1 Differenzen und Summen 2 Eigenschaften 2 1 Invariante Funktion 2 2 Fallende Fakultaten 2 3 Produktregel und partielle Summation 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksDifferenzen und Summen BearbeitenDie bekannte kontinuierliche Differentialrechnung basiert auf dem Differenzialoperator D displaystyle mathrm D nbsp der wie folgt definiert ist D f x lim h 0 f x h f x h displaystyle mathrm D f x lim h rightarrow 0 frac f x h f x h nbsp Die Differenzenrechnung hingegen verwendet einen sogenannten Differenzenoperator D displaystyle Delta nbsp D f x f x 1 f x displaystyle Delta f x f x 1 f x nbsp Die umgekehrte Operation wird nicht wie in der kontinuierlichen Differentialrechnung mit dem unbestimmten Integral sondern mit einer unbestimmten Summe f x displaystyle sum f x nbsp erreicht die sich zum Differenzenoperator wie folgt verhalt g x D f x g x d x f x C displaystyle g x Delta f x quad Longleftrightarrow quad sum g x delta x f x C nbsp d displaystyle delta nbsp verhalt sich hier zu D displaystyle Delta nbsp wie d displaystyle mathrm d nbsp zu D displaystyle mathrm D nbsp in der kontinuierlichen Differentialrechnung C displaystyle C nbsp steht fur den Wert einer beliebigen Funktion die fur ganzzahlige x displaystyle x nbsp konstant ist C x 1 C x displaystyle C x 1 C x nbsp Das Pendant zu bestimmten Integralen sind bestimmte Summen Diese entsprechen gewohnlichen Summen ohne den Wert am hochsten Index a b f x d x k a b 1 f k F x a b F b F a displaystyle sideset a b sum f x delta x sum k a b 1 f k F x a b F b F a nbsp Eigenschaften BearbeitenInvariante Funktion Bearbeiten Eine unter dem Differenzialoperator invariante Funktion ist die Exponentialfunktion der Basis e In der Differenzenrechnung ist die Exponentialfunktion der Basis 2 invariant wie sich leicht ermitteln lasst D f x f x f x 1 f x f x f x 1 2 f x C f x C 2 x displaystyle begin aligned amp Delta f x f x Longleftrightarrow quad amp f x 1 f x f x Longleftrightarrow quad amp f x 1 2f x Longleftrightarrow quad amp exists C f x C cdot 2 x end aligned nbsp Fallende Fakultaten Bearbeiten Eine einfache Rechenregel gibt es fur fallende Fakultaten die fur jede Ganzzahl m displaystyle m nbsp wie folgt definiert sind x m x x m x x 1 x m 1 m Faktoren wenn m 0 1 x 1 x 2 x m m Faktoren wenn m lt 0 displaystyle x underline m frac x x m begin cases overbrace x x 1 ldots x m 1 m text Faktoren amp text wenn m geq 0 amp underbrace frac 1 x 1 x 2 ldots x m m text Faktoren amp text wenn m lt 0 end cases nbsp Dieser Ausdruck verhalt sich in der Differenzenrechnung folgendermassen D x m m x m 1 displaystyle Delta x underline m mx underline m 1 nbsp a b x m d x x m 1 m 1 a b wenn m 1 H x a b wenn m 1 displaystyle sideset a b sum x underline m delta x begin cases left frac x underline m 1 m 1 right a b amp text wenn m neq 1 left H x right a b amp text wenn m 1 end cases nbsp wobei H n displaystyle H n nbsp die n displaystyle n nbsp te harmonische Zahl ist Die harmonische Reihe ist somit das Gegenstuck zum naturlichen Logarithmus Die Ubereinstimmung geht so weit dass D x H x x H x displaystyle Delta x cdot H x x H x nbsp ebenfalls gilt Fallende Fakultaten und Potenzen konnen stets mittels Stirling Zahlen erster bzw zweiter Art ineinander umgewandelt werden x m k m k 1 m k x k displaystyle x underline m sum k left begin matrix m k end matrix right 1 m k x k nbsp x m k m k x k displaystyle x m sum k left begin matrix m k end matrix right x underline k nbsp Ausserdem gilt der binomische Lehrsatz auch fur fallende Fakultaten Beispiel zur Berechnung der Summe der ersten n displaystyle n nbsp Quadratzahlen k 0 n k 2 0 n 1 x 2 d x 0 n 1 x 2 x 1 d x n 1 3 3 n 1 2 2 n n 1 2 n 1 3 displaystyle sum k 0 n k 2 sideset 0 n 1 sum x 2 delta x sideset 0 n 1 sum x underline 2 x underline 1 delta x frac n 1 underline 3 3 frac n 1 underline 2 2 frac n n frac 1 2 n 1 3 nbsp Produktregel und partielle Summation Bearbeiten Die Produktregel der kontinuierlichen Differentialrechnung ist in folgender Form gultig D u x v x u x D v x v x 1 D u x displaystyle Delta u x v x u x Delta v x v x 1 Delta u x nbsp Diese Regel lasst sich durch Einfuhrung eines Verschiebeoperators E displaystyle mathrm E nbsp definiert als E f x f x 1 displaystyle mathrm E f x f x 1 nbsp kompakter ausdrucken D u v u D v E v D u displaystyle Delta uv u Delta v mathrm E v Delta u nbsp Die Umstellung der Terme fuhrt zur Formel der partiellen Summation ahnlich der partiellen Integration u D v u v E v D u displaystyle sum u Delta v uv sum mathrm E v Delta u nbsp Beispiel zur Berechnung der Summe k 0 n k 2 k displaystyle sum k 0 n k2 k nbsp Hier ist u x x displaystyle u x x nbsp und D v x 2 x displaystyle Delta v x 2 x nbsp sodass D u x 1 displaystyle Delta u x 1 nbsp v x 2 x displaystyle v x 2 x nbsp und E v x 2 x 1 displaystyle mathrm E v x 2 x 1 nbsp Die Formel zur partiellen Summation ergibt x 2 x d x x 2 x 2 x 1 d x x 2 x 2 x 1 C displaystyle sum x2 x delta x x2 x sum 2 x 1 delta x x2 x 2 x 1 C nbsp Dies fuhrt schliesslich zur Losung k 0 n k 2 k 0 n 1 x 2 x d x x 2 x 2 x 1 0 n 1 n 1 2 n 1 2 displaystyle begin aligned sum k 0 n k2 k amp sideset 0 n 1 sum x2 x delta x amp left x2 x 2 x 1 right 0 n 1 amp n 1 2 n 1 2 end aligned nbsp Siehe auch BearbeitenKoeffizienten fur Differenzenquotienten DifferenzengleichungLiteratur BearbeitenA O Gelfond Differenzenrechnung Dt Verlag d Wiss Berlin 1958 Ronald Graham u a Concrete Mathematics Addison Wesley Upper Saddle River 2008 ISBN 0 201 55802 5 N E Norlund Vorlesungen uber Differenzenrechnung Springer Verlag Berlin 1924 Reprint Chelsea New York 1954Weblinks BearbeitenBrian Hamrick Discrete Calculus PDF 70 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Differenzenrechnung amp oldid 228167275
