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Papyrus Rhind Der ist eine altägyptische auf Papyrus verfasste Abhandlung zu verschiedenen mathematischen Themen die wir

Papyrus Rhind

Der Papyrus Rhind ist eine altägyptische, auf Papyrus verfasste Abhandlung zu verschiedenen mathematischen Themen, die wir heute als Arithmetik, Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Bruchrechnung bezeichnen. Er gilt neben dem etwas älteren, aber weniger umfangreichen Papyrus Moskau 4676 als eine der wichtigsten Quellen für das heutige Wissen über die Mathematik im Alten Ägypten und wird auf etwa 1550 v. Chr. datiert.

Linkes Ende der Vorderseite des größten Fragments des Papyrus Rhind (heute im British Museum, pBM 10057)
Wiedergabe des in der oberen Abbildung rechts sichtbaren Textabschnitts
Verwendung verschiedenfarbiger Tinte in dem (von rechts nach links) in hieratischer Schrift verfassten Manuskript – hier beim 41. Problem (Vergrößerung der Abbildung per Klick)
Einige Zeilen unter einer Skizze
Transkription dieser Zeilen unter der Skizze zum 48. Problem

Entdeckung Bearbeiten

Der Papyrus Rhind ist benannt nach dem schottischen Anwalt und Antiquar Alexander Henry Rhind, der ihn 1858 in Luxor, Oberägypten erwarb. Die Schriftstücke wurden wohl wenig zuvor bei illegalen Grabungen auf dem gegenüber von Luxor westlich des Nils liegenden Gebiet Thebens in oder nahe dem Ramesseum gefunden, genauere Umstände sind nicht bekannt.

Details Bearbeiten

Der Papyrus wurde vermutlich im 16. Jahrhundert v. Chr. noch während der Zweiten Zwischenzeit angefertigt – einleitend wird das 33. Regierungsjahr des Apopi, eines Königs der 15. Dynastie der Hyksos, als Datum angegeben – und wird in wesentlichen Teilen als die Kopie eines über zwei Jahrhunderte älteren Papyrus angesehen, welcher wahrscheinlich aus der Regierungszeit des Amenemhet III. der 12. Dynastie im Mittleren Reich stammte. Der Kopist – ein Schreiber namens Ahmose, nach einer früheren Transkription auch Ahmes – gebrauchte die hieratische Schrift und hob einige Werte und aufgeführte Verfahren mit roter anstelle von schwarzer Tinte hervor, so beispielsweise Sätze von Teilern.

Heute liegt der Papyrus nurmehr in Form von Fragmenten einer über 5 Meter langen und etwa 32 cm breiten Schriftrolle vor, die beidseitig beschrieben ist. Im British Museum werden zwei Stücke von 295,5 cm und 199,5 cm Länge verwahrt (1865 inventarisiert mit Nr. 10057 bzw. 10058); die Lücke zwischen beiden wird auf annähernd 18 cm geschätzt. Der Papyrus gibt neben einigen Tabellen eine Reihe verschiedener mathematischer Probleme mit beispielhaften Lösungen wieder; insgesamt sind es je nach Zählweise 84, 87 oder 91 Aufgaben. Der Text konnte erst am Ende des 19. Jahrhunderts n. Chr. entziffert und übersetzt werden, seine mathematischen Aussagen werden seit Anfang des 20. Jahrhunderts entschlüsselt und erschlossen.

Inhaltlich lässt sich das Manuskript in drei Abteilungen gliedern. Nach dem Titel findet sich im ersten Teil zu Beginn eine längere Tabelle, die für alle ungeraden Zahlen n von 3 bis 101 den Bruch 2/n als eine Summe von Stammbrüchen darstellt, gefolgt von einer kurzen Tabelle für n von 2 bis 9 des Bruchs n/10. Anschließend werden 40 arithmetische und algebraische Probleme behandelt. Der zweite Teil stellt 20 geometrische Probleme vor und behandelt Rauminhalte und Flächeninhalte unterschiedlicher Figuren sowie das Verhältnis von Höhe zu Seite des Körpers einer Pyramide als deren Neigung. Zwei Dutzend weitere Probleme bilden den dritten Teil, neben Berechnungen bezogen auf die Herstellung von Brot und Bier wie auch auf die Fütterung von Geflügel und Rindern wird hier unter anderem eine Rätselaufgabe zu Katzen und Mäusen wiedergegeben.

Näherungswert für den Flächeninhalt eines Kreises Bearbeiten

Ein Kreis in einem Quadrat, das durch ein Gitter zerlegt wird.
Der Kreisdurchmesser ist so lang wie eine Seite des umfassenden Quadrates – beträgt er 9, hat ein kleines Quadrat die Seitenlänge 3.

Flächenberechnungen eines Kreises finden sich im zweiten Teil des Papyrus Rhind. In der 48. Aufgabenstellung beschreibt Ahmes, wie er die Fläche eines Kreises berechnet, der einem Quadrat eingeschrieben ist. Aus heutiger Sicht lässt sich dies als Angabe einer Näherung der Kreiszahl auffassen. Auf Grundlage der im Papyrus neben einer Skizze angegebenen Rechenvorschrift (siehe vierte und fünfte Abbildung von oben) rekonstruierte Kurt Vogel 1928 die dahinterstehenden Überlegungen.

Ahmes drittelt zunächst die Seiten des Quadrats und gewinnt damit neun gleiche kleinere Quadrate mit der Seitenlänge von drei Einheiten. Dann schneidet er von den vier Eckzellen jeweils die Hälfte weg und kommt darüber zu der Figur eines unregelmäßigen Achtecks. Dieses Achteck setzt sich aus fünf vollen und vier halben zu der Gesamtfläche von sieben der kleinen Quadrate mit je Flächeneinheiten zusammen und besitzt so den Flächeninhalt von Quadrateinheiten. Es ist offensichtlich nur etwas kleiner als der Kreis – für dessen Fläche nimmt Ahmes daher den Inhalt von Quadrateinheiten an, also etwas größer.

Somit wird die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser gleich der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge gesetzt. Daraus ergibt sich näherungsweise für den Inhalt der Kreisfläche mit dem Halbmesser von

Der so ermittelte Wert verfehlt die Zahl (pi) absolut um etwa 0,01890 und relativ um weniger als ein Prozent (0,602 %). Im altägyptischen Zahlensystem wird dieser Wert nicht dezimal dargestellt, sondern als eine Summe von Stammbrüchen:

Für das im Papyrus Rhind wiedergegebene Verfahren kann die Annäherung an die Kreiszahl also aus dem Verhältnis der Flächeninhalte eines eingeschriebenen Kreises und seines umschreibenden Quadrates errechnet werden,

Der einem Quadrat mit 81 Flächeneinheiten eingeschriebene Kreis umfängt tatsächlich etwa 63,617 Flächeneinheiten. In Approximation wird hier durch die von Ahmes aufgeschriebene Methode ein Kreis auf ein Quadrat von bezogen, über eine achteckige Figur vermittelt und seine Fläche einem Quadrat von gleichgesetzt – was wohl als früher Versuch einer Quadratur des Kreises angesehen werden kann. Die Flächengleichheit eines Quadrats mit einer Kreisfläche wurde demnach angenommen, wenn dessen Seitenlänge ihres Durchmessers beträgt, also um ein Neuntel geringer ist.

Ein Kreis kann in ein orthogonales Gitter so eingezeichnet werden, dass die umfangende Kreislinie acht Gitterpunkte schneidet, die Viertelungspunkte der Seiten eines Quadrats sind, das der Kreisfläche nahezu flächengleich scheint.
Im Falle eines 8×8-Quadrats, mit 64 Flächeneinheiten, misst der Kreisdurchmesser ungefähr 9 Längeneinheiten.

Doch der Bezug von Konturen einer Figur in einem orthogonalen Netz von Linien war schon den altägyptischen Steinmetzen geläufig, um einen Entwurf anhand der Verhältnisse von Schnittpunkten auf die zu bearbeitende Steinfläche proportioniert zu übertragen. Vor diesem Hintergrund stellte Hermann Engels 1977 eine andere Vermutung vor, mit der das hier angegebene näherungsweise Verhältnis aufgrund des Planquadratnetzes zu erklären wäre. Danach würde man intuitiv einen Kreis C (mit Durchmesser ) so einzeichnen, dass sein Mittelpunkt der eines etwa flächengleichen Quadrats F (mit Seitenlänge ) aus 4 mal 4 Teilquadraten ist, das in den Viertelungspunkten seiner Seiten von diesem Kreis achtmal geschnitten wird. Bei Übergang zu einer noch feineren Unterteilung von F (in 8 mal 8 einheitliche Teilquadrate) erhält man für den Inhalt des Quadrats F also 64 solcher Flächeneinheiten, während der Kreisinhalt tatsächlich etwa 62,8 Flächeneinheiten beträgt – und einem Quadrat U mit 80 Flächeneinheiten exakt einzuschreiben ist –, denn

Doch beträgt der Durchmesser weniger als 9 bei einem Kreis C, der in ein Quadrat U von 80 Flächeneinheiten (hellgelb) einzuschreiben ist.
Dass dieses Quadrat flächengleich ist der Summe aus Quadrat F (64) plus einem 4×4-Quadrat (16), mag ein Vergleich der (grauen bzw. gelben) Teilflächen nahelegen – Pythagoras war dieser Zusammenhang bekannt.

Bei einer irrtümlichen Annahme, dass der Kreis C flächengleich mit dem Quadrat F wäre, beträgt der Fehler für die Angabe der Kreisfläche („64 Einheiten“) knapp zwei Prozent (1,825 %). Betrachtet man dagegen den tatsächlichen Inhalt der konstruierten Kreisfläche und nimmt dann hinsichtlich der Beziehung von Seitenlänge zu Durchmesser,

Wendet man alsdann für den oben beschriebenen Näherungswert von an, wird der tatsächliche Flächeninhalt von mit der Annäherung etwas zu hoch veranschlagt – doch das Ergebnis entspricht nun der falschen Annahme: „64 Einheiten“.

Auf die Weise erhielte man aus der Anschauung eines Kreises in einem Quadratnetz, wie es für eine Übertragung von Entwürfen auf zu bearbeitende Flächen üblich war, in recht einfacher Art – bei irriger Annahme und grobem Maß – eine schlichte Rechenregel für die Kreisfläche: „Vermindere den Kreisdurchmesser um ein Neuntel, so bekommst du die Seite des Quadrats.“ – das, wie oben dargestellt, nur um 0,6 Prozent zu groß ist.

Das abschätzend angesetzte Verhältnis von wird auch im Problem 41 (siehe dritte Abbildung von oben, vergrößert) des Papyrus Rhind angewandt, wo es um die Berechnung des Volumens eines zylindrischen Kornspeichers geht. Ebenfalls wird es in der Berechnungsvorschrift für den Flächeninhalt einer gekrümmten Oberfläche angenommen, die im Problem 10 des älteren Papyrus Moskau 4676 wiedergegeben ist; hier gehen allerdings die Interpretationen schon darüber auseinander, welche Fläche genau gemeint ist.

Aufbewahrungsort Bearbeiten

Die beiden Hauptstücke des Papyrus Rhind (Rhind Mathematical Papyrus (RMP)), ein knapp 3 m und ein knapp 2 m langes Fragment, befinden sich seit 1865 im Besitz des Britischen Museums in London, verzeichnet unter den Inventarnummern pBM 10057 bzw. pBM 10058. Von dem fehlenden Zwischenstück (knapp 0,2 m) sind einige kleinere Fragmente erhalten, die damals nicht von Rhind erworben wurden und heute im Brooklyn Museum in New York aufbewahrt werden.

Siehe auch Bearbeiten

Ausgaben Bearbeiten

  • August Eisenlohr: Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum). 2 Bände, Hinrichs, Leipzig 1877 (online).
  • Thomas Eric Peet: The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. Hodder & Stoughton für The University Press of Liverpool, London 1923.
  • Arnold Buffum Chace, Henry Parker Manning, Raymond C. Chace, Ludlow Bull: The Rhind Mathematical Papyrus: British Museum 10057 and 10058. 2 Bände, Mathematical Association of America, Oberlin (OH) 1927/ 1929. (Verkürzte Neuauflage: National Council of Teachers of Mathematics, Reston (OH) 1979, ISBN 0-87353-133-7).
  • Gay Robins, Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus. An Ancient Egyptian Text. British Museum, London 1987, ISBN 0-7141-0944-4 (mit Fotos des Papyrus).

Literatur Bearbeiten

  • Marshall Clagett: Ancient Egyptian Science. A Source Book. Band 3: Ancient Egyptian Mathematics (= Memoirs of the American Philosophical Society. Band 232). American Philosophical Society, Philadelphia (PA) 1999, ISBN 0-87169-232-5.
  • Milo Gardner: An Ancient Egyptian Problem and its Innovative Arithmetic Solution. In: Gaṇita-Bhāratī. Bulletin of the Indian Society for the History of Mathematics. Band 28, 2006, ISSN 0970-0307, S. 157–173.
  • Richard J. Gillings: Mathematics in the time of the pharaohs. Unabridged, slightly corrected republication. Dover Publications, New York (NY) 1982, ISBN 0-486-24315-X.
  • Annette Imhausen: Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten (= Ägyptologische Abhandlungen. Band 65). Harrassowitz, Wiesbaden 2003, ISBN 3-447-04644-9.
  • Franz von Krbek: Eingefangenes Unendlich. Bekenntnis zur Geschichte der Mathematik. 2. Auflage. Geest & Portig, Leipzig 1954, S. 79 ff.
  • Neil MacGregor: Eine Geschichte der Welt in 100 Objekten. (Aus dem Englischen von Waltraut Götting, Andreas Wirthensohn, Annabell Zettel). Beck u. a., München 2011, ISBN 978-3-406-62147-5, S. 141–149.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Rhind Mathematical Papyrus – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ The Rhind Papyrus. in der Collection des British Museum. Abgerufen am 6. Juli 2021.
  2. ↑ Annette Imhausen: Mathematics in Ancient Egypt. A Contextual History. Princeton University Press, Princeton (NJ) u. a. 2020, ISBN 978-0-691-20907-4, S. 65 f. (google books).
  3. vergleiche die fotografische Wiedergabe dieser Stelle des Rhind mathematical papyrus im Internetauftritt des British Museum.
  4. siehe dazu Kurt Vogel: Vorgriechische Mathematik. Teil 1: Vorgeschichte und Ägypten (= Mathematische Studienhefte für den mathematischen Unterricht an höheren Schulen. Band 1, ZDB-ID 255205-X). Schroedel u. a., Hannover 1958, S. 66.
  5. ↑ Hermann Engels: Quadrature of the circle in ancient Egypt. In: Historia Mathematica. Band 4, Nr. 2, 1977, S. 137–140, doi:10.1016/0315-0860(77)90104-5.
  6. Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Band 1: Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 120 f. (eingeschränkte Online-Version (Google Books)).
  7. Fragments of Rhind Mathematical Papyrus. online in der Collection des Brooklyn Museum. Abgerufen am 29. August 2016.
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Der Papyrus Rhind ist eine altagyptische auf Papyrus verfasste Abhandlung zu verschiedenen mathematischen Themen die wir heute als Arithmetik Algebra Geometrie Trigonometrie und Bruchrechnung bezeichnen Er gilt neben dem etwas alteren aber weniger umfangreichen Papyrus Moskau 4676 als eine der wichtigsten Quellen fur das heutige Wissen uber die Mathematik im Alten Agypten und wird auf etwa 1550 v Chr 1 2 datiert Linkes Ende der Vorderseite des grossten Fragments des Papyrus Rhind heute im British Museum pBM 10057 Wiedergabe des in der oberen Abbildung rechts sichtbaren TextabschnittsVerwendung verschiedenfarbiger Tinte in dem von rechts nach links in hieratischer Schrift verfassten Manuskript hier beim 41 Problem Vergrosserung der Abbildung per Klick Einige Zeilen unter einer SkizzeTranskription dieser Zeilen unter der Skizze zum 48 Problem Inhaltsverzeichnis 1 Entdeckung 2 Details 3 Naherungswert fur den Flacheninhalt eines Kreises 4 Aufbewahrungsort 5 Siehe auch 6 Ausgaben 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseEntdeckung BearbeitenDer Papyrus Rhind ist benannt nach dem schottischen Anwalt und Antiquar Alexander Henry Rhind der ihn 1858 in Luxor Oberagypten erwarb Die Schriftstucke wurden wohl wenig zuvor bei illegalen Grabungen auf dem gegenuber von Luxor westlich des Nils liegenden Gebiet Thebens in oder nahe dem Ramesseum gefunden genauere Umstande sind nicht bekannt 1 Details BearbeitenDer Papyrus wurde vermutlich im 16 Jahrhundert v Chr noch wahrend der Zweiten Zwischenzeit angefertigt einleitend wird das 33 Regierungsjahr des Apopi eines Konigs der 15 Dynastie der Hyksos als Datum angegeben 1 und wird in wesentlichen Teilen als die Kopie eines uber zwei Jahrhunderte alteren Papyrus angesehen welcher wahrscheinlich aus der Regierungszeit des Amenemhet III der 12 Dynastie im Mittleren Reich stammte Der Kopist ein Schreiber namens Ahmose nach einer fruheren Transkription auch Ahmes gebrauchte die hieratische Schrift und hob einige Werte und aufgefuhrte Verfahren mit roter anstelle von schwarzer Tinte hervor so beispielsweise Satze von Teilern Heute liegt der Papyrus nurmehr in Form von Fragmenten einer uber 5 Meter langen und etwa 32 cm breiten Schriftrolle vor die beidseitig beschrieben ist Im British Museum werden zwei Stucke von 295 5 cm und 199 5 cm Lange verwahrt 1865 inventarisiert mit Nr 10057 bzw 10058 die Lucke zwischen beiden wird auf annahernd 18 cm geschatzt Der Papyrus gibt neben einigen Tabellen eine Reihe verschiedener mathematischer Probleme mit beispielhaften Losungen wieder insgesamt sind es je nach Zahlweise 84 87 oder 91 Aufgaben Der Text konnte erst am Ende des 19 Jahrhunderts n Chr entziffert und ubersetzt werden seine mathematischen Aussagen werden seit Anfang des 20 Jahrhunderts entschlusselt und erschlossen 2 Inhaltlich lasst sich das Manuskript in drei Abteilungen gliedern Nach dem Titel findet sich im ersten Teil zu Beginn eine langere Tabelle die fur alle ungeraden Zahlen n von 3 bis 101 den Bruch 2 n als eine Summe von Stammbruchen darstellt gefolgt von einer kurzen Tabelle fur n von 2 bis 9 des Bruchs n 10 Anschliessend werden 40 arithmetische und algebraische Probleme behandelt Der zweite Teil stellt 20 geometrische Probleme vor und behandelt Rauminhalte und Flacheninhalte unterschiedlicher Figuren sowie das Verhaltnis von Hohe zu Seite des Korpers einer Pyramide als deren Neigung Zwei Dutzend weitere Probleme bilden den dritten Teil neben Berechnungen bezogen auf die Herstellung von Brot und Bier wie auch auf die Futterung von Geflugel und Rindern wird hier unter anderem eine Ratselaufgabe zu Katzen und Mausen wiedergegeben Naherungswert fur den Flacheninhalt eines Kreises Bearbeiten nbsp Ein Kreis in einem Quadrat das durch ein Gitter zerlegt wird Der Kreisdurchmesser ist so lang wie eine Seite des umfassenden Quadrates betragt er 9 hat ein kleines Quadrat die Seitenlange 3 Flachenberechnungen eines Kreises finden sich im zweiten Teil des Papyrus Rhind In der 48 Aufgabenstellung beschreibt Ahmes wie er die Flache eines Kreises berechnet der einem Quadrat eingeschrieben ist Aus heutiger Sicht lasst sich dies als Angabe einer Naherung der Kreiszahl p displaystyle pi nbsp auffassen Auf Grundlage der im Papyrus neben einer Skizze angegebenen Rechenvorschrift siehe vierte und funfte Abbildung von oben 3 rekonstruierte Kurt Vogel 1928 die dahinterstehenden Uberlegungen 4 Ahmes drittelt zunachst die Seiten des Quadrats und gewinnt damit neun gleiche kleinere Quadrate mit der Seitenlange von drei Einheiten Dann schneidet er von den vier Eckzellen jeweils die Halfte weg und kommt daruber zu der Figur eines unregelmassigen Achtecks Dieses Achteck setzt sich aus funf vollen und vier halben zu der Gesamtflache von sieben der kleinen Quadrate mit je 3 2 9 displaystyle 3 2 9 nbsp Flacheneinheiten zusammen und besitzt so den Flacheninhalt von 7 9 63 displaystyle 7 cdot 9 63 nbsp Quadrateinheiten Es ist offensichtlich nur etwas kleiner als der Kreis fur dessen Flache nimmt Ahmes daher den Inhalt von 64 8 8 displaystyle 64 8 cdot 8 nbsp Quadrateinheiten an also etwas grosser Somit wird die Flache eines Kreises mit dem Durchmesser 9 displaystyle 9 nbsp gleich der Flache eines Quadrates mit der Seitenlange 8 displaystyle 8 nbsp gesetzt Daraus ergibt sich naherungsweise fur den Inhalt A K displaystyle A mathrm K nbsp der Kreisflache mit dem Halbmesser r displaystyle r nbsp von 9 2 displaystyle tfrac 9 2 nbsp uber A K r 2 p displaystyle A mathrm K r 2 cdot pi nbsp also 9 2 2 p 8 2 displaystyle left frac 9 2 right 2 cdot pi approx 8 2 nbsp und damit annahernd p 8 2 9 2 2 16 9 2 3 160 49 displaystyle pi approx frac 8 2 left frac 9 2 right 2 left frac 16 9 right 2 approx 3 16049 nbsp Der so ermittelte Wert verfehlt die Zahl p displaystyle pi nbsp pi absolut um etwa 0 01890 und relativ um weniger als ein Prozent 0 602 Im altagyptischen Zahlensystem wird dieser Wert nicht dezimal dargestellt sondern als eine Summe von Stammbruchen 16 9 2 256 81 3 1 9 1 27 1 81 p displaystyle left frac 16 9 right 2 frac 256 81 3 frac 1 9 frac 1 27 frac 1 81 approx pi nbsp Fur das im Papyrus Rhind wiedergegebene Verfahren kann die Annaherung an die Kreiszahl p displaystyle pi nbsp also aus dem Verhaltnis der Flacheninhalte eines eingeschriebenen Kreises und seines umschreibenden Quadrates errechnet werden da A Q r 2 4 displaystyle A mathrm Q r 2 cdot 4 nbsp so denn A K A Q p r 2 2 r 2 p 4 displaystyle frac A mathrm K A mathrm Q frac pi r 2 2r 2 frac pi 4 nbsp und somit p 4 A K A Q 4 64 81 displaystyle pi 4 cdot frac A mathrm K A mathrm Q approx 4 cdot frac 64 81 nbsp Der einem Quadrat mit 81 Flacheneinheiten eingeschriebene Kreis umfangt tatsachlich etwa 63 617 Flacheneinheiten In Approximation wird hier durch die von Ahmes aufgeschriebene Methode ein Kreis auf ein Quadrat von 9 9 displaystyle 9 cdot 9 nbsp bezogen uber eine achteckige Figur vermittelt und seine Flache einem Quadrat von 8 8 displaystyle 8 cdot 8 nbsp gleichgesetzt was wohl als fruher Versuch 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Quadrat F ware betragt der Fehler fur die Angabe der Kreisflache 64 Einheiten knapp zwei Prozent 1 825 Betrachtet man dagegen den tatsachlichen Inhalt der konstruierten Kreisflache und nimmt dann hinsichtlich der Beziehung von Seitenlange zu Durchmesser bei a 8 displaystyle a 8 nbsp ergibt sich d 4 5 8 944 displaystyle d 4 cdot sqrt 5 approx 8 944 nbsp also d 9 displaystyle d approx 9 nbsp naherungsweise mit der Schatzung a 8 9 d displaystyle a approx tfrac 8 9 d nbsp vorlieb so verfehlt man damit r 2 displaystyle r 2 nbsp um ungefahr 1 234 Prozent genau um 1 81 displaystyle tfrac 1 81 nbsp denn 9 2 2 20 25 displaystyle left tfrac 9 2 right 2 20 25 nbsp statt 20 displaystyle 20 nbsp Flacheneinheiten Wendet man alsdann fur p displaystyle pi nbsp den oben beschriebenen Naherungswert von 16 9 2 displaystyle left tfrac 16 9 right 2 nbsp an wird der tatsachliche Flacheninhalt von A C r 2 p 20 p 62 832 displaystyle A mathrm C r 2 cdot pi 20 pi approx 62 832 nbsp mit der Annaherung A 9 2 2 16 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wiedergegeben ist hier gehen allerdings die Interpretationen schon daruber auseinander welche Flache genau gemeint ist 6 Aufbewahrungsort BearbeitenDie beiden Hauptstucke des Papyrus Rhind Rhind Mathematical Papyrus RMP ein knapp 3 m und ein knapp 2 m langes Fragment befinden sich seit 1865 im Besitz des Britischen Museums in London verzeichnet unter den Inventarnummern pBM 10057 bzw pBM 10058 1 Von dem fehlenden Zwischenstuck knapp 0 2 m sind einige kleinere Fragmente erhalten die damals nicht von Rhind erworben wurden und heute im Brooklyn Museum in New York aufbewahrt werden 7 Siehe auch BearbeitenPapyri Lahun Kahun Geschichte der Mathematik Mathematik im Alten Agypten Liste der Papyri des Alten AgyptenAusgaben BearbeitenAugust Eisenlohr Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter Papyrus Rhind des British Museum 2 Bande Hinrichs Leipzig 1877 online Thomas Eric Peet The Rhind Mathematical Papyrus British Museum 10057 and 10058 Hodder amp Stoughton fur The University Press of Liverpool London 1923 Arnold Buffum Chace Henry Parker Manning Raymond C Chace Ludlow Bull The Rhind Mathematical Papyrus British Museum 10057 and 10058 2 Bande Mathematical Association of America Oberlin OH 1927 1929 Verkurzte Neuauflage National Council of Teachers of Mathematics Reston OH 1979 ISBN 0 87353 133 7 Gay Robins Charles Shute The Rhind Mathematical Papyrus An Ancient Egyptian Text British Museum London 1987 ISBN 0 7141 0944 4 mit Fotos des Papyrus Literatur BearbeitenMarshall Clagett Ancient Egyptian Science A Source Book Band 3 Ancient Egyptian Mathematics Memoirs of the American Philosophical Society Band 232 American Philosophical Society Philadelphia PA 1999 ISBN 0 87169 232 5 Milo Gardner An Ancient Egyptian Problem and its Innovative Arithmetic Solution In Gaṇita Bharati Bulletin of the Indian Society for the History of Mathematics Band 28 2006 ISSN 0970 0307 S 157 173 Richard J Gillings Mathematics in the time of the pharaohs Unabridged slightly corrected republication Dover Publications New York NY 1982 ISBN 0 486 24315 X Annette Imhausen Agyptische Algorithmen Eine Untersuchung zu den mittelagyptischen mathematischen Aufgabentexten Agyptologische Abhandlungen Band 65 Harrassowitz Wiesbaden 2003 ISBN 3 447 04644 9 Franz von Krbek Eingefangenes Unendlich Bekenntnis zur Geschichte der Mathematik 2 Auflage Geest amp Portig Leipzig 1954 S 79 ff Neil MacGregor Eine Geschichte der Welt in 100 Objekten Aus dem Englischen von Waltraut Gotting Andreas Wirthensohn Annabell Zettel Beck u a Munchen 2011 ISBN 978 3 406 62147 5 S 141 149 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Rhind Mathematical Papyrus Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Rhind Mathematical Papyrus Artikel mit Abbildungen der Papyrus Fragmente auf Site des British Museum Eric W Weisstein Rhind Papyrus MathWorld A Wolfram Web Resource abgerufen am 29 Januar 2011 Vorlage Cite web temporar O Connor and Robertson Mathematics in Egyptian Papyri Scott W Williams Egyptian Mathematics Papyri RMP 2 n Table der englischen WikipediaEinzelnachweise Bearbeiten a b c d The Rhind Papyrus in der Collection des British Museum Abgerufen am 6 Juli 2021 a b Annette Imhausen Mathematics in Ancient Egypt A Contextual History Princeton University Press Princeton NJ u a 2020 ISBN 978 0 691 20907 4 S 65 f google books vergleiche die fotografische Wiedergabe dieser Stelle des Rhind mathematical papyrus im Internetauftritt des British Museum siehe dazu Kurt Vogel Vorgriechische Mathematik Teil 1 Vorgeschichte und Agypten Mathematische Studienhefte fur den mathematischen Unterricht an hoheren Schulen Band 1 ZDB ID 255205 X Schroedel u a Hannover 1958 S 66 a b Hermann Engels Quadrature of the circle in ancient Egypt In Historia Mathematica Band 4 Nr 2 1977 S 137 140 doi 10 1016 0315 0860 77 90104 5 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise Band 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin u a 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 120 f eingeschrankte Online Version Google Books Fragments of Rhind Mathematical Papyrus online in der Collection des Brooklyn Museum Abgerufen am 29 August 2016 Normdaten Werk GND 4735890 7 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Papyrus Rhind amp oldid 234723440